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title: "Fractions : les quatre opérations"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations
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# Chapitre 55 — Fractions : les quatre opérations

Ce chapitre achève l’arithmétique des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) : addition et soustraction avec *n’importe quels* [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def), multiplication, et — la nouveauté — la division, qui se révèle être une multiplication déguisée. Les signes du [Chapitre 54](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#ch-g8-negprod) accompagnent le voyage.

## 55.1 Additionner avec n’importe quels dénominateurs

**Méthode 55.1 (Dénominateur commun).**

Pour additionner ou soustraire $\frac ab$ et $\frac cd$ :

1. trouver un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) commun de $b$ et $d$ (le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) $b \times d$ fonctionne toujours ; un plus petit économise des efforts) ;
2. réécrire les deux [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) avec ce [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) ;
3. additionner ou soustraire les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) ; simplifier.

**Exemple 55.2.**

Calculer $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$. Un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) commun de $6$ et $4$ est $12$ :

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

Avec des signes : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} -
\dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$.

## 55.2 Multiplier des fractions

**Théorème 55.3 (Produit de fractions).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**Pourquoi, sur une figure.** Prendre $\frac34$ de $\frac25$ d’un carré : couper le carré en $5$ bandes verticales et en garder $2$ ; couper horizontalement en $4$ et garder $3$ rangées de ce qui reste. La partie gardée est une grille de $3 \times 2$ petites cellules sur $4 \times 5$ : [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$. ∎

![3/4 × 2/5 : la région doublement ombrée compte 3 × 2 = 6 cellules sur 4 × 5 = 20, c’est-à-dire 6/20 = 3/10 — numérateurs multipliés, dénominateurs multipliés.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-76f3a9c95da5.svg)

*$\frac34 \times \frac25$ : la région doublement ombrée compte $3 \times 2 = 6$ cellules sur $4 \times 5 = 20$, c’est-à-dire $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) multipliés, [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) multipliés.*

**Exemple 55.4.**

Simplifier *avant* de multiplier, en barrant les facteurs communs :

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(le facteur $7$ et un facteur $3$ s’annulent entre haut et bas). Avec des signes, les règles de [Théorème 54.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#thm-g8-negprod-rules) s’appliquent d’abord : $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) =
+\frac{10}{12} = \frac56$.

## 55.3 Diviser des fractions

**Définition 55.5 (Inverse).**

L’*inverse* d’un nombre non nul $x$ est le nombre qui, multiplié par $x$, donne $1$. L’inverse de $\frac ab$ est $\frac ba$, puisque $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; l’inverse d’un entier $n$ est $\frac1n$.

**Théorème 55.6 (Diviser, c’est multiplier par l’inverse).**

Pour $c \neq 0$ :

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**Démonstration.** Par définition, le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $q$ de $\frac ab$ par $\frac cd$ est le nombre tel que $q \times \frac cd = \frac ab$. Vérifier le candidat $q = \frac ab \times \frac dc$ :

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**Exemple 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

Contrôle de bon sens : diviser par $\frac{7}{10}$, un nombre plus petit que $1$, doit donner un résultat *plus grand* que $\frac35$ — et $\frac67 > \frac35$ en effet ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$).

**Exemple 55.8 (Barres de fraction dans des barres de fraction).**

Un « double étage » n’est qu’une division écrite verticalement :

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

Repérer d’abord la barre *principale* (la plus longue), puis appliquer [Théorème 55.6](#thm-g8-fractions-div).

**Méthode 55.9 (Calculs mixtes).**

Dans une expression mélangeant [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) et les quatre opérations :

1. appliquer les priorités habituelles ( [Chapitre 45](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#ch-g7-priorities) ) ;
2. convertir chaque division en multiplication par l’ [inverse](#def-g8-fractions-inverse) ;
3. décider les signes d’abord ( [Méthode 54.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#met-g8-negprod-compute) ), puis multiplier ou trouver des [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) communs ;
4. simplifier à la première occasion.

**Exemple 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(produit d'abord~!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 Exercices

**Exercice 55.1 ★.**

Calculer et simplifier :

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**Solution de Exercice 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} =
\dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} =
\dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} =
\dfrac{37}{30}$.

**Exercice 55.2 ★.**

Calculer (signes d’abord) :

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**Solution de Exercice 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} =
-\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} =
-\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} =
-\dfrac{11}{10}$.

**Exercice 55.3 ★.**

Calculer, en simplifiant avant de multiplier :

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**Solution de Exercice 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15}
= \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplifier par $5$ et par $4$).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3}
= \dfrac{3}{2}$ (simplifier par $7$ et par $3$).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45}
= -\dfrac43$ (signes contraires : négatif).

**Exercice 55.4 ★.**

Donner l’[inverse](#def-g8-fractions-inverse) de : $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$.

**Solution de Exercice 55.4.**

[Inverses](#def-g8-fractions-inverse) : $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (l’[inverse](#def-g8-fractions-inverse) garde le signe).

**Exercice 55.5 ★.**

Calculer :

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**Solution de Exercice 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18}
= \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70}
= \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**Exercice 55.6 ★.**

Calculer les doubles étages :

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**Solution de Exercice 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} =
\dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} =
\dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**Exercice 55.7 ★.**

Calculer, en respectant les priorités :

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**Solution de Exercice 55.7.**

[Produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) d’abord : $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10}
= \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$.

Parenthèses d’abord : $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45
= \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$.

**Exercice 55.8 ★★.**

Un réservoir est plein aux $\frac{2}{5}$. On ajoute $\frac{1}{3}$ *de la capacité du réservoir*. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) du réservoir est maintenant pleine ? Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) est encore vide ?

**Solution de Exercice 55.8.**

Plein : $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} =
\dfrac{11}{15}$ du réservoir. Vide : $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.

**Exercice 55.9 ★★.**

Les trois [quarts](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) des élèves d’une classe ont réussi un contrôle ; parmi ceux-ci, les deux tiers ont obtenu plus de $14$ sur $20$. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de la classe a obtenu plus de $14$ ? Si cela représente $12$ élèves, quelle est la taille de la classe ?

**Solution de Exercice 55.9.**

[Fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) avec plus de $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ de la classe. Si cela fait $12$ élèves, la classe en compte $24$.

**Exercice 55.10 ★★.**

Une corde de $\frac{15}{2}$ m doit être coupée en morceaux de $\frac{3}{4}$ m chacun. Combien de morceaux obtient-on ? (Une division de [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) — vérifier que la réponse est un nombre entier.)

**Solution de Exercice 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43
= \dfrac{60}{6} = 10$ morceaux — un nombre entier, pas de corde perdue.

**Exercice 55.11 ★★.**

Calculer

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**Solution de Exercice 55.11.**

$E$ : division d’abord : $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10}
= \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; puis $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} =
-\dfrac{1}{12}$.

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times
\dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (le carré est positif).

**Exercice 55.12 ★★★.**

Simplifier l’expression

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(commencer par la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) la plus intérieure et remonter, une barre à la fois).

**Solution de Exercice 55.12.**

De l’intérieur vers l’extérieur : $1 + 1 = 2$ ; puis $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; puis

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 Problème : les fractions égyptiennes

**Problème 55.1.**

Devoir maison — toute fraction est une somme de fractions unitaires deux à deux distinctes

Une *[fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire* est une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $1$. Les scribes de l’Égypte ancienne — le papyrus Rhind a été copié vers $1550$ av. J.-C. — écrivaient toute [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) comme une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires *deux à deux distinctes* : jamais $\frac27 = \frac17 + \frac17$, mais $\frac27 = \frac14 +
\frac{1}{28}$. Une telle [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) s’appelle une *écriture égyptienne* de la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def). Ce problème transforme les techniques d’addition et de comparaison de ce chapitre ([Méthode 55.1](#met-g8-fractions-add)) en une méthode — publiée par Fibonacci en $1202$ — qui [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) une écriture égyptienne de toute [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) comprise entre $0$ et $1$, et s’achève sur une énigme d’héritage restée célèbre.

**Partie I — [Fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires et identité de dédoublement.**

1. Calculer $\frac12 + \frac13$ et $\frac12 + \frac14$ , et en déduire des écritures égyptiennes de $\frac56$ et de $\frac34$ .
2. Vérifier l’entrée des scribes pour $\frac27$ : montrer que $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
3. Vérifier que $\frac13 + \frac16 = \frac12$ et que $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$. Démontrer ensuite l’*identité de dédoublement* : pour tout entier $n \geq 1$, $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. En déduire une écriture égyptienne de $1$ lui-même, comme [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de trois [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires distinctes.
5. Dédoubler le dernier terme de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ pour obtenir une *seconde* écriture égyptienne de $\frac56$ , à trois [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires. Expliquer pourquoi aucune [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) n’a d’écriture égyptienne unique.

**Partie II — La méthode gloutonne de Fibonacci.** La méthode est la suivante : retrancher la *plus grande* [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire qui tient, et recommencer avec ce qui reste.

6. En passant par des [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) communs, montrer que $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Pourquoi cela prouve-t-il que $\frac14$ est la plus grande [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire inférieure à $\frac27$ ?
7. Calculer $\frac27 - \frac14$ . Quelle écriture de $\frac27$ la méthode gloutonne produit-elle ?
8. Passons à $\frac57$ . Montrer que la plus grande [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire inférieure à $\frac57$ est $\frac12$ , et calculer $\frac57 - \frac12$ .
9. Montrer que la plus grande [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire inférieure à $\frac{3}{14}$ est $\frac15$ (comparer $\frac{3}{14}$ à $\frac14$ puis à $\frac15$), calculer $\frac{3}{14} - \frac15$, et conclure : $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ Vérifier cette écriture directement avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $70$.
10. Appliquer la méthode gloutonne à $\frac45$ , en vérifiant à chaque étape que la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire choisie est bien la plus grande qui tienne, et vérifier l’écriture finale.

**Partie III — Pourquoi la méthode s’arrête toujours, et le dix-huitième chameau.**

11. Aux questions 7 à 10, la méthode a été appliquée à $\frac27$ , $\frac57$ et $\frac45$ . Pour chacune, dresser la liste des [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) des [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) successifs (avant toute simplification). Qu’observe-t-on ?
12. Pour une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ et un entier $n$, montrer que $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. Supposons que la méthode gloutonne retranche $\frac1n$ de $\frac ab$ : alors $\frac1n$ tient, mais $\frac{1}{n-1}$ est déjà trop grande, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$. En mettant les deux au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $b \times (n - 1)$, en déduire que $b > a \times n - a$, donc que le nouveau [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) vérifie $$a \times n - b < a .$$ Expliquer pourquoi cela démontre que la méthode s’arrête toujours.
14. Un vieux conte : un père meurt en laissant $17$ chameaux, en léguant $\frac12$ du troupeau à son aîné, $\frac13$ au deuxième, $\frac19$ au troisième — et aucune des parts n’est un nombre entier de chameaux. Un voisin prête à la famille un dix-huitième chameau ; les enfants prennent $9$ , $6$ et $2$ chameaux, et le chameau emprunté est rendu. Calculer $\frac12 + \frac13 + \frac19$ et expliquer le tour de passe-passe : pourquoi le troupeau a-t-il pu se partager en chameaux entiers, et pourquoi aucun enfant n’a-t-il reçu moins que ce que promettait le testament ?
15. Réparer le testament : proposer trois [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires *distinctes* dont la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut exactement $1$ , et donner la plus petite taille de troupeau pour laquelle les trois parts sont des nombres entiers de chameaux.

**Solution de Problème 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ et $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. Donc $\frac56 = \frac12 + \frac13$ et $\frac34 = \frac12 + \frac14$ sont des écritures égyptiennes (les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires y sont bien distinctes).

**2.** Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $28$ :

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 =
\frac12$, et $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. En général, le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun de $\frac{1}{n+1}$ et de $\frac{1}{n(n+1)}$ est $n(n+1)$ :

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** Partir de $1 = \frac12 + \frac12$ et dédoubler la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) par la question 3 :

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

trois [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires distinctes.

**5.** En dédoublant le $\frac13$ de $\frac56 = \frac12 +
\frac13$, on obtient

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

Aucune écriture égyptienne n’est jamais unique : l’identité de dédoublement peut toujours remplacer la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire de plus grand [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) par deux nouvelles [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires encore plus petites — de toute écriture on en fabrique donc une autre.

**6.** Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $21$ : $\frac27 = \frac{6}{21} <
\frac{7}{21} = \frac13$. Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $28$ : $\frac14 =
\frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. Les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaires décroissent à mesure que leur [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) grandit, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$ ; comme $\frac13$ (et tout ce qui la dépasse) est trop grande et que $\frac14$ tient, $\frac14$ est la plus grande [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire inférieure à $\frac27$.

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} =
\frac{1}{28}$ : la méthode gloutonne [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$, exactement l’entrée des scribes de la question 2.

**8.** Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $14$ : $\frac12 = \frac{7}{14} <
\frac{10}{14} = \frac57$, tandis que la seule [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire plus grande, $1$, dépasse $\frac57$. Donc $\frac12$ est la plus grande qui tienne, et

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $28$ : $\frac{3}{14} = \frac{6}{28}
< \frac{7}{28} = \frac14$, donc $\frac14$ est trop grande. Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $70$ : $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} =
\frac{3}{14}$, donc $\frac15$ tient : c’est la plus grande [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire inférieure à $\frac{3}{14}$. Alors

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{d'où}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

Vérification : $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} =
\frac{50}{70} = \frac57$.

**10.** Première étape : $\frac12 = \frac{5}{10} <
\frac{8}{10} = \frac45$ et $1 > \frac45$, on retranche donc $\frac12$ : $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. Deuxième étape : $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} =
\frac{3}{10}$ est trop grande, et $\frac14 = \frac{5}{20} <
\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ tient ; on retranche donc $\frac14$ : $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} =
\frac{1}{20}$. Conclusion :

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** Les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) des [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) successifs sont : pour $\frac27$ : $2$, puis $1$ ; pour $\frac57$ : $5$, puis $3$, puis $1$ ; pour $\frac45$ : $4$, puis $3$, puis $1$. Chaque liste est *strictement décroissante*.

**12.** Le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun de $\frac ab$ et de $\frac1n$ est $b \times n$ :

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** Au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $b \times (n-1)$, l’inégalité $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compare les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $b$ et $a \times (n - 1)$ :

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

et en ajoutant $a - b$ aux deux membres on obtient $a > a \times n - b$. Ainsi, après chaque étape gloutonne, le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) du [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) (question 12) est un entier strictement plus petit que le précédent. Or des entiers ne peuvent pas décroître strictement indéfiniment : après au plus $a$ étapes, le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) a pour [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $1$ — c’est une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) unitaire — ou vaut $0$, et la méthode s’arrête.

**14.** Avec le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $18$ :

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

c’est-à-dire *moins que* $1$ : le testament a oublié $\frac{1}{18}$ du troupeau. Ce manque est tout le secret du tour. Sur $18$ chameaux, les parts $\frac12$, $\frac13$, $\frac19$ sont les entiers $9$, $6$ et $2$, dont la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) vaut $9 + 6 + 2 = 17$ : exactement le troupeau, et le dix-huitième chameau rentre chez lui. Et personne ne peut se plaindre : sur $17$ chameaux, le testament promettait $\frac{17}{2} = 8.5$, puis $\frac{17}{3} \approx 5.67$, puis $\frac{17}{9} \approx 1.89$ chameaux, et chaque enfant a reçu strictement davantage ($9$, $6$ et $2$). Le $\frac{1}{18}$ oublié est ce que le chameau du voisin a comblé le temps du partage.

**15.** La question 4 fournit le testament réparé :

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

Les parts sont entières lorsque la taille du troupeau est [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $2$, par $3$ et par $6$ — c’est-à-dire [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $6$. Le plus petit troupeau convenable compte $6$ chameaux : parts $3$, $2$ et $1$, et rien ne reste.