--- title: "Puissances" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances --- # Chapitre 56 — Puissances Plier une feuille de papier en deux $10$ fois (si l’on peut !) : son épaisseur double à chaque fois, et $10$ doublements la multiplient par $2^{10} = 1024$. Les puissances sont l’abréviation de la multiplication répétée ; ce chapitre fixe la notation et ses règles, avec un rôle particulier pour les puissances de $10$. ## 56.1 Définition **Définition 56.1 (Puissance).** Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$ : $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}, $$ lu « $a$ à la (puissance) $n$ » ; $a$ est la *base*, $n$ l’*exposant*. Noms particuliers : $a^2$ se lit « $a$ au carré », $a^3$ « $a$ au cube ». Par convention : $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **Exemple 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $10^3 = 1000$ ; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$ ; $(-2)^3 = -8$ et $(-2)^4 = +16$ ([Exemple 54.5](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#ex-g8-negprod-powers)). Attention : $a^n$ n’est *pas* $a \times n$ : $2^5 = 32$, et non $10$. ![Puissances de 2 : chaque barre est le double de la précédente. La croissance par multiplication répétée s’emballe bien plus vite que la croissance par addition répétée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *Puissances de $2$ : chaque barre est le double de la précédente. La croissance par multiplication répétée s’emballe bien plus vite que la croissance par addition répétée.* ## 56.2 Les règles des exposants **Théorème 56.3 (Règles des exposants).** Pour une base non nulle $a$ et des [exposants](#def-g8-powers-def) entiers $m$, $n$ : $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **Preuve en comptant les facteurs.** $a^m \times a^n$ aligne $m$ facteurs $a$ suivis de $n$ autres : $m + n$ au total. $\left(a^m\right)^n$ répète un bloc de $m$ facteurs $n$ fois : $mn$ facteurs. $(ab)^n$ contient $n$ lettres $a$ et $n$ lettres $b$, que l’on peut regrouper. La règle du [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) vient d’annuler $n$ des $m$ facteurs ; avec les conventions $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, elle reste vraie même lorsque $n \geq m$. ∎ **Exemple 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ Un piège : les règles s’appliquent à une *base commune* (ou à un [exposant](#def-g8-powers-def) commun, pour la dernière). Aucune règle ne simplifie $2^3 \times 5^2$ — il faut juste calculer : $8 \times 25 = 200$. ## 56.3 Puissances de dix **Proposition 56.5 (Puissances de dix).** Pour $n \geq 1$ : $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$, et $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$. Les règles des [exposants](#def-g8-powers-def) se lisent : multiplier des puissances de dix, c’est additionner les [exposants](#def-g8-powers-def). **Exemple 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$ ; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$. Les grandes et petites quantités deviennent lisibles : $$ \text{un milliard} = 10^9, \qquad \text{un millionième} = 10^{-6}. $$ Combiné avec les décimaux : $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ et $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (décaler la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point), [Proposition 38.7](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#prop-g6-decimals-shift)). L’usage systématique de cette écriture — la *notation scientifique* — est développé au [Chapitre 63](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#ch-g9-fractions). **Exemple 56.7 (Ordres de grandeur).** La lumière parcourt environ $3 \times 10^8$ m/s ; une année compte environ $3.2 \times 10^7$ secondes. Une année-lumière mesure donc environ $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m} $$ — dix millions de milliards de mètres. Les puissances de dix font tenir les calculs astronomiques sur une ligne. **Méthode 56.8 (Simplifier une expression avec des puissances).** 1. Grouper les facteurs base par base ; 2. appliquer les règles d’ [exposants](#def-g8-powers-def) au sein de chaque base ; 3. calculer les petites puissances restantes, ou laisser la réponse sous forme de puissance si elle est grande. **Exemple 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 Exercices **Exercice 56.1 ★.** Calculer : $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **Solution de Exercice 56.1.** $2^6 = 64$ ; $3^3 = 27$ ; $10^5 = 100\,000$ ; $1^{100} = 1$ ; $0.1^2 = 0.01$ ; $6^0 = 1$. **Exercice 56.2 ★.** Calculer : $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **Solution de Exercice 56.2.** $(-3)^2 = 9$ ; $-3^2 = -9$ ; $(-1)^{15} = -1$ ; $(-5)^3 = -125$ ; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **Exercice 56.3 ★.** Écrire comme une seule puissance : $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **Solution de Exercice 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$ ; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$ ; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$ ; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$ ; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (même [exposant](#def-g8-powers-def) : multiplier les bases). **Exercice 56.4 ★.** Écrire comme un [nombre décimal](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-places) : $10^{-2}$ ; $4 \times 10^3$ ; $2.5 \times 10^{-4}$ ; $10^0$. **Solution de Exercice 56.4.** $10^{-2} = 0.01$ ; $4 \times 10^3 = 4000$ ; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$ ; $10^0 = 1$. **Exercice 56.5 ★.** Écrire avec une puissance de dix : cent mille ; un dixième ; dix milliards ; $0.000\,001$. **Solution de Exercice 56.5.** $10^5$ ; $10^{-1}$ ; $10^{10}$ ; $10^{-6}$. **Exercice 56.6 ★.** Simplifier, puis calculer : $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **Solution de Exercice 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **Exercice 56.7 ★.** Vrai ou faux ? Corriger les faux. $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **Solution de Exercice 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$ : *faux* — les [exposants](#def-g8-powers-def) s’additionnent : $2^7$. $5^2 + 5^3 = 5^5$ : *faux* — pas de règle pour les [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) : $25 + 125 = 150$, tandis que $5^5 = 3125$. $(3^2)^4 = 3^8$ : *vrai*. $10^3 \times 10^3 = 100^3$ : *vrai* — les deux valent $10^6$ (gauche : $10^{3+3}$ ; droite : $(10^2)^3$). **Exercice 56.8 ★★.** Une rumeur se propage : le jour 1, trois personnes la connaissent ; chaque jour, chaque personne qui la connaît en informe trois nouvelles. Écrire avec une puissance le nombre de *nouvelles* personnes informées le jour $4$, et calculer combien de personnes connaissent la rumeur à la fin du jour 4 (y compris les trois d’origine). **Solution de Exercice 56.8.** Nouvelles personnes le jour $4$ : chacune des $3^3 = 27$ personnes informées le jour 3 en informe trois autres : $3^4 = 81$. Connaissant à la fin du jour 4 : $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ personnes. **Exercice 56.9 ★★.** Une feuille de papier a $0.1$ mm d’épaisseur, soit $10^{-4}$ m. La plier double son épaisseur à chaque fois. 1. Exprimer l’épaisseur après $10$ plis comme un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) , et la calculer en centimètres ( $2^{10} = 1024$ ). 2. Après $42$ plis l’épaisseur serait $2^{42} \times 10^{-4}$ m, avec $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Montrer que cela dépasse la distance Terre–Lune, environ $3.8 \times 10^8$ m. **Solution de Exercice 56.9.** *1.* Épaisseur : $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm. *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, plus grand que $3.8 \times 10^8$ m : après $42$ plis (théoriques !), la liasse de papier dépasserait la Lune. **Exercice 56.10 ★★.** Ranger du plus petit au plus grand, sans calculatrice : $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (Calculer chacun ; $2^{10}$ et $10^3$ sont des voisins célèbres.) **Solution de Exercice 56.10.** $2^{10} = 1024$ ; $10^3 = 1000$ ; $3^6 = 729$ ; $5^4 = 625$. Ordre : $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **Exercice 56.11 ★★★.** Lequel est plus grand, $2^{100}$ ou $10^{30}$ ? Utiliser $2^{10} = 1024 > 10^3$ pour comparer $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ avec $\left(10^3\right)^{10}$. **Solution de Exercice 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ et $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$. Puisque $1024 > 1000$, multiplier dix copies de chacun conserve l’inégalité : $2^{100} > 10^{30}$. ## 56.5 Problème : l’échiquier et les puissances de deux **Problème 56.1.** Devoir maison — la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) géométrique $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$, d’une légende célèbre jusqu’aux nombres binaires La légende : en récompense d’avoir inventé le jeu d’échecs, le sage Sissa demanda à son roi un grain de blé sur la première case du plateau, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième — en doublant de case en case, jusqu’à la soixante-quatrième. Le roi rit d’une telle modestie. Ce problème calcule ce que le roi a promis, à l’aide des règles sur les [exposants](#def-g8-powers-def) du [Théorème 56.3](#thm-g8-powers-rules), et s’achève là où l’histoire mène en secret : les nombres binaires qu’abrite tout ordinateur. **Partie I — L’astuce du doublement.** Pour $n \geq 1$, notons $S_n$ le nombre total de grains posés sur les $n$ premières cases. 1. Exprimer le nombre de grains de la case $k$ comme une puissance de $2$ . Quelle puissance se trouve sur la case $64$ ? 2. Calculer $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ et $S_5$ , et comparer chacun à une puissance de $2$ voisine. Conjecturer une formule pour $S_n$ . 3. L’*astuce du doublement* : écrire les [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $S_n$ et $2 \times S_n$ l’une sous l’autre, soustraire, et démontrer la conjecture : $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. Combien de grains le roi a-t-il promis en tout ? Exprimer la réponse à l’aide d’une puissance de $2$ , et compléter la remarque classique : « l’échiquier entier porte un grain de moins qu’une seule soixante-cinquième case n’en porterait ». 5. Montrer que la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de l’échiquier (cases $33$ à $64$ ) porte *exactement* $2^{32}$ fois plus de grains que la première [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) . **Partie II — Quelle est la taille de $2^{64}$ ?** La comparaison $2^{10} = 1024 > 10^3$ de l’[Exercice 56.11](#exo-g8-powers-11) est la clé de toutes les estimations qui suivent. 6. Montrer que $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ . 7. Un grain de blé pèse environ $0.05$ g, c’est-à-dire $5 \times 10^{-2}$ g. Montrer que le blé promis pèse plus de $8 \times 10^{17}$ g, et convertir cette [masse](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/12-argent-et-mesures#def-g2-measure-units) en tonnes ( $1$ tonne $= 10^6$ g). 8. Le monde entier récolte actuellement environ $8 \times 10^8$ tonnes de blé par an. Combien d’années de récolte mondiale le roi a-t-il promis, au moins ? 9. Trouver le plus petit entier $n$ tel que $2^n > 10^6$ — c’est-à-dire combien de doublements il faut pour dépasser le million. (Calculer $2^{19}$ et $2^{20}$ exactement, en utilisant $2^{10} = 1024$ .) 10. Un beau parleur nous propose un salaire mensuel : $1$ centime le premier jour, puis chaque jour le double de la veille. Quel jour la paie *journalière* dépasse-t-elle pour la première fois un million d’euros ( $10^8$ centimes) ? (Calculer $2^{26}$ et $2^{27}$ exactement.) **Partie III — Des poids binaires.** Une marchande possède cinq poids : $1$, $2$, $4$, $8$ et $16$ grammes, un de chaque. Elle en pose certains sur l’un des plateaux d’une balance pour peser des marchandises sur l’autre plateau. 11. Quels poids pose-t-elle pour peser $21$ g ? Pour peser $27$ g ? 12. Expliquer pourquoi toute cible de $16$ g ou plus *doit* utiliser le poids de $16$ g, et pourquoi toute cible de $15$ g ou moins ne doit *pas* l’utiliser. (La question 3 dit ce que les poids $1, 2, 4, 8$ peuvent atteindre au maximum.) Expliquer pourquoi le même raisonnement se répète avec le poids suivant par ordre décroissant, à chaque étape. 13. En déduire que toute cible entière de $1$ à $31$ g peut être pesée, et *d’une seule façon* : chaque nombre entre $1$ et $31$ est une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de puissances de $2$ distinctes d’une unique manière. 14. La marchande achète un sixième poids, de $32$ g. Jusqu’à quelle cible peut-elle désormais peser ? Écrire $45$ g comme [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de puissances de $2$ distinctes. 15. Dans un ordinateur, un nombre « sur 64 bits » est stocké sur $64$ cases contenant chacune un $0$ ou un $1$ — la case $k$ apportant $2^{k-1}$ lorsqu’elle contient un $1$ , comme les grains de la légende. À l’aide de la partie I, expliquer pourquoi les nombres entiers qu’une telle machine peut stocker vont exactement de $0$ à $2^{64} - 1$ . **Solution de Problème 56.1.** **1.** Les grains doublent de case en case à partir de $1 = 2^0$ : la case $k$ porte $2^{k-1}$ grains ([Définition 56.1](#def-g8-powers-def)). La case $64$ porte $2^{63}$. **2.** $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 2 = 3$, $S_3 = 3 + 4 = 7$, $S_4 = 7 + 8 = 15$, $S_5 = 15 + 16 = 31$ : toujours un de moins que la puissance de $2$ suivante ($2$, $4$, $8$, $16$, $32$). Conjecture : $S_n = 2^n - 1$. **3.** Doubler chaque terme de $S_n$ décale chaque puissance d’un cran ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$) : $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ En retranchant la première ligne de la seconde, tous les termes de $2$ à $2^{n-1}$ figurent dans les deux et se simplifient : $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** Le total vaut $S_{64} = 2^{64} - 1$ grains. Une soixante-cinquième case porterait $2^{64}$ grains : l’échiquier entier porte donc exactement un grain de moins que cette seule case. **5.** La première [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) porte $S_{32} = 2^{32} - 1$ grains. L’échiquier entier en porte $2^{64} - 1$, donc la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) en porte $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ (en factorisant par $2^{32}$ et en utilisant $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$, [Théorème 56.3](#thm-g8-powers-rules)) : exactement $2^{32}$ fois la première [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half). **6.** Par les règles sur les [exposants](#def-g8-powers-def), $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. Comme $2^{10} = 1024 > 10^3$, $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** Plus de $1.6 \times 10^{19}$ grains à $5 \times 10^{-2}$ g chacun : $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} . $$ En divisant par $10^6$ g par tonne : plus de $8 \times 10^{11}$ tonnes — huit cents milliards de tonnes. **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$ : le roi a promis au moins *mille ans* de la récolte mondiale actuelle tout entière. (La légende raconte que ses conseillers le lui firent remarquer.) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$, tandis que $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. Le plus petit [exposant](#def-g8-powers-def) est donc $n = 20$ : vingt doublements passent le million. **10.** La paie du jour $n$ vaut $2^{n-1}$ centimes (jour 1 : $2^0 = 1$). Or $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ La paie journalière dépasse donc $10^8$ centimes pour la première fois lorsque $n - 1 = 27$ : le jour $28$. **11.** $21 = 16 + 4 + 1$ : poids de $16$, $4$ et $1$ g. $27 = 16 + 8 + 2 + 1$ : poids de $16$, $8$, $2$ et $1$ g. **12.** D’après la question 3, les poids $1, 2, 4, 8$ réunis pèsent $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g. Sans le poids de $16$ g, la marchande ne peut donc pas dépasser $15$ g : toute cible de $16$ g ou plus doit l’utiliser. Et une cible de $15$ g ou moins ne doit pas l’utiliser, puisque le poids de $16$ g dépasse à lui seul la cible. Le choix du plus gros poids est donc *forcé*. Il [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) alors une cible d’au plus $15$ g à former avec $1, 2, 4, 8$ — et le même argument se répète : $8$ est forcé (utilisé si la cible restante vaut $\geq 8$, écarté sinon, car $1 + 2 + 4 = 7$), puis $4$ (car $1 + 2 = 3$), puis $2$, puis $1$. **13.** En suivant les choix forcés, la cible restante après chaque étape ne dépasse jamais le total des poids restants : le procédé s’achève donc sur un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) nul, et toute cible de $1$ à $31$ est atteinte. Et comme chaque choix en chemin était forcé, aucune autre sélection de poids ne peut atteindre la même cible : l’écriture de chaque nombre de $1$ à $31$ comme [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de puissances de $2$ distinctes existe et est *unique*. **14.** Les six poids totalisent $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g, et le même argument de choix forcé couvre toutes les cibles de $1$ à $63$ g. Pour $45$ : la cible vaut $\geq 32$, on utilise donc $32$ ; il reste $13 < 16$, on écarte $16$ ; on utilise $8$ (il reste $5$), on utilise $4$ (il reste $1$), on écarte $2$, on utilise $1$ : $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** Choisir un $0$ ou un $1$ sur chacune des $64$ cases revient à choisir quelles puissances $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ inclure dans une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) — exactement la pesée de la marchande avec $64$ poids. Le plus petit nombre stockable est $0$ (toutes les cases à $0$) ; le plus grand est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de *toutes* les puissances, c’est-à-dire le total du roi : $S_{64} = 2^{64} - 1$ (partie I). D’après l’argument des choix forcés, chaque entier intermédiaire est atteint exactement une fois : une machine sur $64$ bits stocke précisément les entiers de $0$ à $2^{64} - 1$.