--- title: "Calcul littéral et équations" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 57 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations --- # Chapitre 57 — Calcul littéral et équations L’année 7 a introduit les lettres et réduit des expressions simples ([Chapitre 48](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/48-expressions-litterales#ch-g7-literal)). Ce chapitre ajoute les deux compétences qui rendent l’algèbre puissante : *développer* des [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de parenthèses, et *résoudre des [équations](#def-g8-equations-def)* — trouver le nombre caché derrière la lettre. ## 57.1 Développer **Théorème 57.1 (Distributivité simple et double).** Pour tous nombres : $$ k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . $$ **Démonstration.** La première règle est [Théorème 45.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/45-priorites-operatoires#thm-g7-priorities-distributivity) (signes inclus : $k$ et les termes peuvent être négatifs, [Chapitre 54](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#ch-g8-negprod)). Pour la seconde, appliquer la première règle deux fois, en traitant $(c + d)$ comme un seul nombre : $$ (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd . \qedhere $$ ∎ **Exemple 57.2.** Attention aux signes à chaque terme : $$ \begin{align*} 3(2x - 5) &= 6x - 15, \\ -2(4x - 7) &= -8x + 14 && \text{(un moins devant inverse les deux signes)}, \\ (x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\ (2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 . \end{align*} $$ ![Double distributivité comme aires : le rectangle (a+b) × (c+d) se découpe en quatre rectangles plus petits — un par terme du développement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg) *Double distributivité comme [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : le rectangle $(a+b) \times (c+d)$ se découpe en quatre rectangles plus petits — un par terme du développement.* **Méthode 57.3 (Développer et réduire).** 1. Développer chaque [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) , en écrivant chaque terme avec son signe ; 2. regrouper les termes semblables ( $x^2$ avec $x^2$ , $x$ avec $x$ , nombres avec nombres) ; 3. vérifier avec une valeur : substituer par ex. $x = 2$ dans l’original et dans le résultat — des résultats égaux attrapent la plupart des erreurs. ## 57.2 Résoudre des équations **Définition 57.4 (Équation).** Une *équation* est une égalité avec un nombre inconnu, noté $x$ (ou toute autre lettre). La *résoudre*, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ rendant l’égalité vraie — les *solutions*. **Théorème 57.5 (Règles de la balance).** Une [équation](#def-g8-equations-def) conserve exactement les mêmes solutions lorsque : 1. le même nombre est ajouté à (ou soustrait de) les deux membres ; 2. les deux membres sont multipliés (ou divisés) par le même nombre *non nul* . **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ ![Une équation est une balance en équilibre : tout ce qui est fait à un plateau doit l’être à l’autre, et l’équilibre — l’égalité — survit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-3d7114eaf958.svg) *Une [équation](#def-g8-equations-def) est une balance en équilibre : tout ce qui est fait à un plateau doit l’être à l’autre, et l’équilibre — l’égalité — survit.* **Méthode 57.6 (Résoudre une équation du premier degré).** 1. Développer et réduire chaque membre si besoin ; 2. ajouter ou soustraire des deux côtés pour rassembler les termes en $x$ d’un côté, les nombres purs de l’autre ; 3. réduire, puis diviser les deux membres par le coefficient de $x$ ; 4. *vérifier* en substituant la valeur trouvée dans l’ [équation](#def-g8-equations-def) originale. **Exemple 57.7.** Résoudre $7x - 5 = 4x + 16$ : $$ \begin{align*} 7x - 5 &= 4x + 16 \\ 7x - 4x &= 16 + 5 && \text{(ajouter $5$, soustraire $4x$, des deux côtés)} \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 && \text{(diviser les deux membres par 3).} \end{align*} $$ Vérification : membre de gauche $7 \times 7 - 5 = 44$ ; membre de droite $4 \times 7 + 16 = 44$. La solution est $7$. **Exemple 57.8 (Avec parenthèses et négatifs).** Résoudre $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ : $$ \begin{align*} 3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(développer les deux membres)} \\ 3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(réduire)} \\ 5x &= 15 && \text{(ajouter $2x + 12$ des deux côtés)} \\ x &= 3 . \end{align*} $$ Vérification : $3(3 - 4) = -3$ et $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$. Solution : $3$. **Méthode 57.9 (Résoudre un problème par une équation).** 1. Choisir l’inconnue : « soit $x$ … » (la quantité demandée, ou une quantité plus simple qui s’y rattache) ; 2. traduire l’histoire en une [équation](#def-g8-equations-def) ; 3. la résoudre ; 4. interpréter : répondre à la question d’origine en une phrase, avec les unités, et vérifier la réponse face à l’histoire. **Exemple 57.10.** Lucas a $4$ ans de plus que sa sœur ; ensemble leurs âges somment à $26$. Soit $x$ l’âge de la sœur ; alors Lucas a $x + 4$, et $$ x + (x + 4) = 26 \ \Longrightarrow\ 2x + 4 = 26 \ \Longrightarrow\ 2x = 22 \ \Longrightarrow\ x = 11 . $$ La sœur a $11$ ans, Lucas $15$. Vérification : $11 + 15 = 26$ et $15 - 11 = 4$. ## 57.3 Ordre et inégalités **Proposition 57.11 (Opérations et ordre).** Ajouter le même nombre aux deux membres d’une inégalité la conserve ; multiplier les deux membres par un nombre *positif* la conserve ; multiplier par un nombre *négatif* la *renverse* : $$ 2 < 5 \ \text{ mais }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 . $$ **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ **Exemple 57.12.** Résoudre $5 - 2x \leq 11$ : soustraire $5$ des deux côtés, $-2x \leq 6$ ; diviser par $-2$ *et renverser* : $x \geq -3$. Tous les nombres supérieurs ou égaux à $-3$ sont solutions — une [équation](#def-g8-equations-def) a d’ordinaire une solution, une inégalité en a toute une demi-droite. ## 57.4 Exercices **Exercice 57.1 ★.** Développer et réduire : $$ 5(2x + 3), \qquad -3(4x - 1), \qquad 2(3x - 2) + 4(x + 5). $$ **Solution de Exercice 57.1.** $5(2x + 3) = 10x + 15$. $-3(4x - 1) = -12x + 3$. $2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$. **Exercice 57.2 ★.** Développer et réduire : $$ (x + 2)(x + 7), \qquad (3x + 1)(2x - 5), \qquad (x - 4)(x - 6). $$ **Solution de Exercice 57.2.** $(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$. $(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$. $(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$. **Exercice 57.3 ★.** $x = 3$ est-il solution de $4x - 5 = 7$ ? De $2x + 1 = x + 4$ ? De $x^2 = 6x - 9$ ? (Substituer et comparer les deux membres.) **Solution de Exercice 57.3.** $4 \times 3 - 5 = 7$ : oui. $2 \times 3 + 1 = 7$ et $3 + 4 = 7$ : oui. $3^2 = 9$ et $6 \times 3 - 9 = 9$ : oui — $x = 3$ résout les trois. **Exercice 57.4 ★.** Résoudre, avec une vérification : $$ x + 9 = 4, \qquad 5x = -35, \qquad \frac{x}{3} = 8, \qquad 2x - 7 = 13 . $$ **Solution de Exercice 57.4.** $x + 9 = 4$ : $x = -5$ (vérification : $-5 + 9 = 4$). $5x = -35$ : $x = -7$. $\frac x3 = 8$ : $x = 24$. $2x - 7 = 13$ : $2x = 20$, $x = 10$ (vérification : $20 - 7 = 13$). **Exercice 57.5 ★.** Résoudre : $$ 6x + 5 = 2x + 25, \qquad 9 - 4x = x - 11, \qquad 3(x + 2) = 2x + 11 . $$ **Solution de Exercice 57.5.** $6x + 5 = 2x + 25$ : $4x = 20$, donc $x = 5$. $9 - 4x = x - 11$ : $20 = 5x$, donc $x = 4$. $3(x + 2) = 2x + 11$ : $3x + 6 = 2x + 11$, donc $x = 5$. **Exercice 57.6 ★.** Résoudre $4(2x - 3) = 5(x + 6)$, en développant d’abord, et vérifier la solution. **Solution de Exercice 57.6.** $8x - 12 = 5x + 30$, donc $3x = 42$ et $x = 14$. Vérification : $4(28 - 3) = 100$ et $5(14 + 6) = 100$. **Exercice 57.7 ★.** Traduire et résoudre : « le triple d’un nombre, diminué de $8$, vaut $19$ » ; « le double d’un nombre augmenté de $5$ égale le nombre augmenté de $12$ ». **Solution de Exercice 57.7.** « $3x - 8 = 19$ » : $3x = 27$, $x = 9$. « $2x + 5 = x + 12$ » : $x = 7$. **Exercice 57.8 ★★.** La longueur d’un rectangle dépasse de $5$ cm sa largeur, et son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) est $58$ cm. Soit $x$ la largeur : écrire une [équation](#def-g8-equations-def), la résoudre et donner les deux dimensions. **Solution de Exercice 57.8.** Largeur $x$, longueur $x + 5$ ; [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$, donc $4x = 48$ et $x = 12$ : largeur $12$ cm, longueur $17$ cm (vérification : $2 \times (12 + 17) = 58$). **Exercice 57.9 ★★.** Trois nombres entiers consécutifs ont pour [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $141$. Appeler le milieu $n$ et trouver les trois. **Solution de Exercice 57.9.** Les nombres sont $n - 1$, $n$, $n + 1$ avec [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $3n = 141$, donc $n = 47$ : les nombres sont $46$, $47$, $48$. **Exercice 57.10 ★★.** Résoudre les inégalités et décrire les solutions : $$ 3x + 4 > 19, \qquad 7 - 2x \geq 1, \qquad 5(x - 1) < 2x + 7 . $$ **Solution de Exercice 57.10.** $3x + 4 > 19$ : $3x > 15$, donc $x > 5$. $7 - 2x \geq 1$ : $-2x \geq -6$, diviser par $-2$ renverse : $x \leq 3$. $5(x-1) < 2x + 7$ : $5x - 5 < 2x + 7$, donc $3x < 12$ et $x < 4$. **Exercice 57.11 ★★.** Mia a $140$ euros d’économies et ajoute $15$ euros chaque mois ; Tom a $200$ euros et ajoute $10$ euros chaque mois. Après combien de mois Mia aura-t-elle strictement plus que Tom ? (Mettre en place une inégalité.) **Solution de Exercice 57.11.** Après $n$ mois, Mia a $140 + 15n$ et Tom $200 + 10n$. Mia mène lorsque $$ 140 + 15n > 200 + 10n \ \Longleftrightarrow\ 5n > 60 \ \Longleftrightarrow\ n > 12 : $$ à partir du $13$e mois. **Exercice 57.12 ★★★.** Résoudre l’[équation](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$. (Multiplier les deux membres par $20$, le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun, puis procéder comme d’habitude ; vérifier la solution dans l’[équation](#def-g8-equations-def) originale.) **Solution de Exercice 57.12.** Multiplier les deux membres par $20$ : $$ 5(x + 3) = 4(2x - 1) \ \Longrightarrow\ 5x + 15 = 8x - 4 \ \Longrightarrow\ 19 = 3x \ \Longrightarrow\ x = \frac{19}{3}. $$ Vérification : $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} = \frac73$, et $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} = \frac{35}{15} = \frac73$. Égaux : la solution est $\frac{19}{3}$. ## 57.5 Problème : les identités remarquables et l’escalier des nombres impairs **Problème 57.1.** Devoir maison — $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$, et la somme $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ Trois développements reviennent si souvent que l’algèbre les connaît par cœur : on les appelle les *identités remarquables*. Ce problème les établit à partir de la double distributivité ([Théorème 57.1](#thm-g8-equations-expand)), en fait un pouvoir de calcul mental, s’en sert pour démontrer un beau résultat sur les [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), et s’achève en résolvant des [équations](#def-g8-equations-def) d’un genre tout nouveau : des [équations](#def-g8-equations-def) contenant un carré. **Partie I — Les trois identités.** 1. Développer $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ et réduire, pour démontrer que $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$ 2. Démontrer de même les deux compagnes : $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$ 3. Dessiner un carré de côté $a + b$ , partager chaque côté en $a$ et $b$ , et découper le carré en quatre morceaux. Quel terme de la première identité chaque partie du dessin représente-t-elle ? 4. Calcul mental : utiliser les identités pour calculer, sans poser aucune multiplication, $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$ 5. Un piège classique : Zoé écrit « $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ». Tester sa formule avec $a = 3$ , $b = 4$ , et expliquer sur le dessin de la question 3 quels morceaux exactement sa formule oublie. **Partie II — L’escalier des [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd).** 6. Calculer $1$ , puis $1 + 3$ , puis $1 + 3 + 5$ , puis $1 + 3 + 5 + 7$ , puis $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Que remarque-t-on sur les résultats ? 7. Expliquer pourquoi le $n$ -ième [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) vaut $2n - 1$ (vérification : $n = 1, 2, 3$ donnent $1, 3, 5$ ). 8. Utiliser une identité de la partie I pour développer et réduire $(n + 1)^2 - n^2$ . Quel rapport le résultat a-t-il avec la question 7 ? 9. La question 8 dit ceci : pour passer d’un carré de côté $n$ à un carré de côté $n + 1$, on ajoute exactement le [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) suivant de cases unités — une bordure en L le long de deux côtés, plus le coin. En partant de $1 = 1^2$ et en faisant grandir le carré couche par couche, expliquer pourquoi $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des $n$ premiers [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) est le $n$-ième carré. 10. En déduire, sans les additionner un à un : la valeur de $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; et combien de [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , à partir de $1$ , totalisent exactement $400$ . **Partie III — Des [équations](#def-g8-equations-def) avec un carré.** 11. Reconnaître une identité remarquable dans $x^2 + 6x + 9$ , et résoudre l’ [équation](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ . 12. Expliquer, à l’aide de la règle des signes et des distances du [Théorème 54.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#thm-g8-negprod-rules) , pourquoi un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de deux nombres ne peut être nul *que si* l’un des deux facteurs est nul. S’en servir pour résoudre $(x - 2)(x + 5) = 0$ . 13. Résoudre $x^2 = 49$ en ramenant tout d’un même côté et en factorisant $x^2 - 49$ à l’aide de la troisième identité. Combien de solutions cette [équation](#def-g8-equations-def) a-t-elle — et en quoi cela diffère-t-il de toutes les [équations](#def-g8-equations-def) résolues jusqu’ici dans ce chapitre ? 14. Dans [Exercice 57.3](#exo-g8-equations-3) , on a vérifié que $x = 3$ est solution de $x^2 = 6x - 9$ . Montrer que c’est la *seule* : ramener tout d’un même côté, reconnaître une identité, et conclure. 15. Bouquet final : calculer $2026^2 - 2025^2$ de tête, et expliquer à l’aide d’une identité pourquoi la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de deux carrés consécutifs est toujours la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux nombres — c’est la question 8 à nouveau. **Solution de Problème 57.1.** **1.** Double distributivité ([Théorème 57.1](#thm-g8-equations-expand)) avec $c = a$, $d = b$ : $$ (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 , $$ puisque $ab$ et $ba$ sont le même [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def). **2.** Même développement, en surveillant les signes : $$ (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 , $$ $$ (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 : $$ cette fois les termes croisés $-ab$ et $+ba$ se compensent au lieu de doubler. **3.** Le carré de côté $a + b$ se découpe en quatre morceaux : un carré $a \times a$ (le $a^2$), un carré $b \times b$ (le $b^2$), et *deux* rectangles $a \times b$ (ensemble, le $2ab$). L’identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ énonce que les quatre [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) remplissent le grand carré — c’est le dessin de la double distributivité, les deux côtés étant partagés de la même façon. **4.** Avec les identités : $$ \begin{align*} 101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\ 99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\ 49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 . \end{align*} $$ **5.** Pour $a = 3$, $b = 4$ : $(3 + 4)^2 = 49$ alors que $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. La formule de Zoé oublie les deux rectangles $a \times b$ du dessin — les $2ab = 24$ manquants, et l’on a bien $25 + 24 = 49$. **6.** $1$ ; $1 + 3 = 4$ ; $1 + 3 + 5 = 9$ ; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ ; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Les résultats sont les carrés parfaits $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$. **7.** Les [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) partent de $1$ et montent par pas de $2$ : le $n$-ième s’atteint après $n - 1$ pas de $2$ depuis $1$, il vaut donc $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Vérification : $n = 1, 2, 3$ donnent $1, 3, 5$. **8.** Par la première identité, $$ (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 : $$ la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de deux carrés consécutifs est exactement le $(n+1)$-ième [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (question 7 avec $n + 1$ à la place de $n$ : $2(n+1) - 1 = 2n + 1$). **9.** Construisons les carrés l’un après l’autre. On part d’une seule case : $1 = 1^2$. Pour passer du carré de côté $1$ au carré de côté $2$, on ajoute $2 \times 1 + 1 = 3$ cases (question 8) : $1 + 3 = 2^2$. Pour passer au côté $3$, on ajoute $2 \times 2 + 1 = 5$ cases : $1 + 3 + 5 = 3^2$. Chaque nouveau [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) est exactement la couche en L qui complète le carré suivant : après avoir ajouté les $n$ premiers [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), le carré de côté $n$ est achevé, $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$. **10.** Les [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) de $1$ à $99$ sont les $50$ premiers ($2n - 1 = 99$ donne $n = 50$), donc $$ 1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 . $$ Et $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ exige $n = 20$ : les *vingt* premiers [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (de $1$ à $39$) totalisent $400$. **11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$ : la première identité avec $a = x$, $b = 3$. L’[équation](#def-g8-equations-def) s’écrit donc $(x + 3)^2 = 0$. Or un carré n’est nul que si le nombre lui-même est nul ([Théorème 54.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#thm-g8-negprod-rules) : un nombre non nul a une distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) non nulle, donc son carré aussi). D’où $x + 3 = 0$ : l’unique solution est $x = -3$. **12.** D’après [Théorème 54.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/54-multiplier-des-nombres-relatifs#thm-g8-negprod-rules), la distance à [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) d’un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) des distances. Si les deux facteurs sont non nuls, les deux distances sont non nulles, donc la distance du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) l’est aussi : le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) ne peut pas valoir $0$. Un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) nul impose donc au moins un facteur nul. Pour $(x - 2)(x + 5) = 0$ : ou bien $x - 2 = 0$, ou bien $x + 5 = 0$, d’où les deux solutions $x = 2$ et $x = -5$. **13.** $x^2 = 49$ devient $x^2 - 49 = 0$, et la troisième identité le factorise : $$ x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 . $$ D’après la question 12, $x = 7$ ou $x = -7$ : *deux* solutions. Toutes les [équations](#def-g8-equations-def) résolues jusqu’ici dans ce chapitre étaient du premier degré et avaient exactement une solution ; un carré dans l’[équation](#def-g8-equations-def) peut en produire deux. **14.** Ramenons tout dans le membre de gauche : $x^2 - 6x + 9 = 0$, et reconnaissons la deuxième identité : $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. L’[équation](#def-g8-equations-def) est donc $(x - 3)^2 = 0$, ce qui impose $x - 3 = 0$ (comme à la question 11) : $x = 3$ est l’unique solution — la vérification de l’[Exercice 57.3](#exo-g8-equations-3) l’avait trouvée, et la factorisation prouve qu’il n’y en a pas d’autre. **15.** Par la troisième identité, $$ 2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025) = 1 \times 4051 = 4\,051 . $$ En général, $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$ : la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de deux carrés consécutifs est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des deux nombres — le même $2n + 1$ qu’à la question 8, obtenu cette fois par la troisième identité plutôt que par la première.