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title: "Le théorème de Pythagore"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 58
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore
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# Chapitre 58 — Le théorème de Pythagore

Le théorème le plus célèbre de toutes les mathématiques relie les trois côtés d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles). Avec lui, des longueurs deviennent calculables qu’aucune règle ne mesurerait directement : diagonales, distances, hauteurs. C’est aussi notre première grande rencontre avec la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) entre un théorème et sa réciproque.

## 58.1 Le théorème

**Théorème 58.1 (Pythagore).**

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 :
$$

le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle)) égale la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des carrés des deux autres côtés.

**Idée de preuve.** Quatre copies du triangle, disposées à l’intérieur d’un grand carré de côté $AB + AC$, laissent découvert un carré incliné construit sur l’hypoténuse : comparer les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) donne l’égalité. Le calcul détaillé est proposé en [Exercice 58.11](#exo-g8-pythagoras-11) ; le théorème découle aussi du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) scalaire, étudié dans un [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ultérieur. ∎

![Le théorème comme énoncé d’aires : le carré construit sur l’hypoténuse (25) a exactement la même aire que les deux autres carrés réunis (16 + 9). Ici les côtés mesurent 3, 4, 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-pythagoras/fig-1633da61d8e5.svg)

*Le théorème comme énoncé d’[aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : le carré construit sur l’hypoténuse ($25$) a exactement la même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) que les deux autres carrés réunis ($16 + 9$). Ici les côtés mesurent $3$, $4$, $5$.*

**Méthode 58.2 (Calculer une longueur).**

Dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) où deux côtés sont connus :

1. nommer l’hypoténuse (opposée à l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) — toujours le plus long côté) ;
2. écrire l’égalité de [Théorème 58.1](#thm-g8-pythagoras-direct) avec les valeurs connues ;
3. résoudre pour le carré manquant : *additionner* les carrés si l’hypoténuse est inconnue, *soustraire* si un côté de l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) est inconnu ;
4. prendre la racine carrée, exacte ou à la calculatrice, et vérifier que l’hypoténuse est bien sortie la plus longue.

**Exemple 58.3 (Trouver l’hypoténuse).**

Un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a pour côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $6$ et $8$. Hypoténuse $c$ :

$$
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
\qquad
c = \sqrt{100} = 10 .
$$

(Le nombre $\sqrt{100}$, la *racine carrée* de $100$, est le nombre positif dont le carré est $100$ ; les racines carrées ont un chapitre entier au [Chapitre 65](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/65-racines-carrees#ch-g9-sqrt).)

**Exemple 58.4 (Trouver un côté de l’angle droit).**

Une échelle de $5$ m s’appuie contre un mur, son pied à $1.4$ m du mur. Hauteur atteinte $h$ : l’échelle est l’hypoténuse, donc

$$
h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04,
\qquad
h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.
$$

Soustraire, ne pas additionner : l’inconnue ici est un *côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle)*.

## 58.2 La réciproque

**Théorème 58.5 (Réciproque de Pythagore).**

Si, dans un triangle $ABC$, les côtés satisfont $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Méthode 58.6 (Tester un angle droit).**

Étant donné les trois côtés d’un triangle :

1. calculer séparément le carré du plus long côté, et la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des carrés des deux autres ;
2. si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque), au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposé au plus long côté ;
3. s’ils diffèrent, il n’est pas rectangle — car le théorème de Pythagore forcerait l’égalité.

**Exemple 58.7.**

Côtés $5$, $12$, $13$ : carré du plus long côté, $13^2 = 169$ ; [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des autres carrés, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Égaux : rectangle (opposé au côté $13$).

Côtés $6$, $7$, $9$ : $9^2 = 81$ mais $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : pas un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) (il l’est « presque » — les nombres décident, pas l’œil).

**Remarque 58.8 (Théorème contre réciproque).**

Le théorème et sa réciproque disent des choses différentes : le théorème *utilise* un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) pour calculer des longueurs ; la réciproque utilise des longueurs pour *prouver* un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle). Les bâtisseurs ont utilisé la réciproque depuis des millénaires : une corde nouée à $3$, $4$, $5$ unités, tendue, donne un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) parfait.

**Exemple 58.9 (Diagonale d’un carré).**

La diagonale d’un carré de côté $1$ est l’hypoténuse d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $1$ et $1$ :

$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,
$$

donc $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — un nombre qui n’est pas une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def), comme le prouvera le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant. Pour un carré de côté $c$, la diagonale est $c\sqrt2$.

## 58.3 Exercices

**Exercice 58.1 ★.**

Dans chaque [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), calculer l’hypoténuse : côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $9$ et $12$ ; $5$ et $12$ ; $8$ et $15$.

**Solution de Exercice 58.1.**

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

**Exercice 58.2 ★.**

Un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a pour hypoténuse $25$ et un côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $7$. Calculer l’autre côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle).

**Solution de Exercice 58.2.**

Côté$^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, donc le côté mesure $\sqrt{576} = 24$.

**Exercice 58.3 ★.**

Calculer la diagonale d’un rectangle de côtés $12$ cm et $9$ cm ; la diagonale d’un carré de côté $5$ cm (valeur exacte avec une racine carrée, puis arrondie au mm).

**Solution de Exercice 58.3.**

Rectangle : $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Carré : $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm ([Exemple 58.9](#ex-g8-pythagoras-diagonal)).

**Exercice 58.4 ★.**

Quels triangles sont rectangles ? Justifier avec [Méthode 58.6](#met-g8-pythagoras-test) :

$$
(20,\ 21,\ 29); \qquad
(7,\ 8,\ 11); \qquad
(1.5,\ 2,\ 2.5).
$$

**Solution de Exercice 58.4.**

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ et $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : rectangle.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : non rectangle.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : rectangle (c’est $(3,4,5)$ réduit de [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half)).

**Exercice 58.5 ★.**

Un portail est contreventé par une planche diagonale. Le portail mesure $3$ m de large et $1.6$ m de haut : quelle longueur a la planche ?

**Solution de Exercice 58.5.**

Planche $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

**Exercice 58.6 ★.**

Un [triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a deux côtés de $10$ cm et une base de $12$ cm. Sa hauteur le partage en deux [triangles rectangles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : calculer cette hauteur, puis l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du triangle.

**Solution de Exercice 58.6.**

La hauteur tombe au milieu de la base ([triangle isocèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles)), donc chaque demi-triangle a pour hypoténuse $10$ et un côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. [Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm$^2$.

**Exercice 58.7 ★★.**

Un écran de télévision est un rectangle $16{:}9$ mesurant $88.5$ cm sur $49.8$ cm. Les écrans se vendent par la diagonale, en pouces ($1$ pouce $= 2.54$ cm). Calculer la diagonale en cm, puis en pouces ([arrondir](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round) au pouce le plus proche).

**Solution de Exercice 58.7.**

Diagonale : $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04}
= \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. En pouces : $101.5 \div 2.54 \approx 40$ pouces.

**Exercice 58.8 ★★.**

Un bateau navigue $24$ km vers l’est, puis $10$ km vers le nord. À quelle distance est-il de son point de départ (à vol d’oiseau) ? Dessiner d’abord la situation.

**Solution de Exercice 58.8.**

Les deux côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) mesurent $24$ km et $10$ km : $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

**Exercice 58.9 ★★.**

Une échelle de $2.5$ m doit atteindre un rebord de fenêtre à $2.4$ m du sol. À quelle distance du mur faut-il placer son pied ? La réponse est-elle compatible avec les conseils de sécurité (pied à environ un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la longueur de l’échelle du mur) ?

**Solution de Exercice 58.9.**

Distance du pied : $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} =
\sqrt{0.49} = 0.7$ m. Un [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de l’échelle vaut $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m : les $0.7$ m trouvés sont proches du placement conseillé — acceptable.

**Exercice 58.10 ★★.**

Sur un quadrillage, placer $A(1, 2)$ et $B(5, 5)$, et tracer le [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) aux axes dont l’hypoténuse est $[AB]$. Calculer $AB$. (Cette construction, pour deux points quelconques, devient la formule de distance de la géométrie analytique, vue dans un [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ultérieur.)

**Solution de Exercice 58.10.**

Les côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) mesurent $5 - 1 = 4$ (horizontal) et $5 - 2 = 3$ (vertical), donc

$$
AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .
$$

**Exercice 58.11 ★★★.**

Quatre copies d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $a$, $b$ et d’hypoténuse $c$ sont placées aux coins d’un carré de côté $a + b$, laissant un carré incliné de côté $c$ découvert au milieu.

1. Exprimer l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) du grand carré de deux façons : directement, et comme (quatre triangles) $+$ (carré incliné).
2. Développer $(a + b)^2$ (voir [Théorème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#thm-g8-equations-expand) ) et en déduire $c^2 = a^2 + b^2$ : vous avez prouvé le théorème de Pythagore.

**Solution de Exercice 58.11.**

*1.* Directement : $(a + b)^2$. En morceaux : quatre triangles d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $\frac{ab}{2}$ chacun, plus le carré incliné $c^2$ :

$$
(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .
$$

*2.* En développant le membre de gauche : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Donc

$$
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 + b^2 = c^2 . \qed
$$

## 58.4 Problème : les triplets pythagoriciens

**Problème 58.1.**

Devoir maison — les triangles rectangles à côtés entiers, et l’identité $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ qui les engendre tous

Un *triplet pythagoricien* est un triplet d’entiers $(a, b, c)$ vérifiant

$$
a^2 + b^2 = c^2 ,
$$

comme le $(3, 4, 5)$ des bâtisseurs. Une tablette d’argile babylonienne en cataloguait d’énormes — dont $(4601,\ 4800,\ 6649)$ — plus de mille ans avant Pythagore. Ce problème part à la chasse aux triplets, puis construit la machine qui les [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) : une identité algébrique tout droit venue du [Chapitre 57](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#ch-g8-equations), mise au service de la géométrie.

**Partie I — La chasse aux triplets.**

1. Vérifier que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ et $(20, 21, 29)$ sont des [triplets pythagoriciens](#pb-g8-pythagoras-1) . Que dit [Théorème 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) des triangles ayant ces longueurs de côtés ?
2. Expliquer pourquoi une corde tendue à douze [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) égaux, disposée en triangle de côtés $3$ , $4$ et $5$ [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) , donne aux bâtisseurs un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) parfait.
3. Montrer que si $(a, b, c)$ est un [triplet pythagoricien](#pb-g8-pythagoras-1) , alors $(ka, kb, kc)$ en est un aussi, pour tout entier $k \geq 1$ . En déduire trois nouveaux triplets à partir de $(3, 4, 5)$ .
4. Les [multiples](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$ sont les triplets $(3k, 4k, 5k)$ . Montrer que $(5, 12, 13)$ n’en est *pas* un.
5. Expliquer pourquoi les questions 3 et 4 réunies démontrent qu’agrandir $(3, 4, 5)$ ne pourra jamais produire tous les [triplets pythagoriciens](#pb-g8-pythagoras-1) : il faut une autre machine.

**Partie II — La machine.** Prendre deux entiers $m > n \geq 1$ et former les trois nombres

$$
a = m^2 - n^2,
\qquad
b = 2mn,
\qquad
c = m^2 + n^2 .
$$

6. À l’aide des identités remarquables du [Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1) (poser $A = m^2$ et $B = n^2$), développer $a^2$ et $b^2$, et démontrer que $$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2  = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$$ la machine [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) toujours un [triplet pythagoricien](#pb-g8-pythagoras-1).
7. Faire tourner la machine sur $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ et $(4, 3)$ , et présenter les cinq triplets dans un tableau.
8. L’un des triplets du tableau est l’agrandissement d’un triplet plus petit. Lequel, et de lequel ?
9. Trouver $(m, n)$ pour lequel la machine [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) le triplet $(20, 21, 29)$ de la question 1 (les côtés de l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) dans un ordre ou dans l’autre).
10. Trouver $m$ et $n$ tels que $m^2 + n^2 = 100$ , et en déduire un [triplet pythagoricien](#pb-g8-pythagoras-1) dont l’hypoténuse vaut $100$ .

**Partie III — Des familles, et un final de parité.**

11. Faire tourner la machine avec $m = n + 1$ . Montrer que le côté [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) vaut $2n + 1$ , le côté [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2n^2 + 2n$ , et l’hypoténuse $2n^2 + 2n + 1$ — l’hypoténuse et le côté [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) diffèrent donc exactement de $1$ . Écrire les triplets pour $n = 1, 2, 3, 4$ .
12. En déduire que *tout* [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3, 5, 7, 9, \dots$ est le côté d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) à côtés entiers, et donner un triplet contenant $11$ .
13. Les [nombres pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) marchent aussi : faire tourner la machine avec $n = 1$ , et produire un triplet contenant $14$ . Obtenir ensuite le même triplet une seconde fois, en agrandissant l’un de ceux du tableau de la question 7.
14. Montrer que le carré d’un [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) et que le carré d’un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . (Écrire le nombre sous la forme $2k$ ou $2k + 1$ et utiliser une identité.)
15. Conclure le final de parité : il n’existe aucun [triplet pythagoricien](#pb-g8-pythagoras-1) dont les trois nombres soient [impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — dans tout [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) à côtés entiers, au moins un côté est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .

**Solution de Problème 58.1.**

**1.** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. Les trois sont des triplets, et d’après [Théorème 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) un triangle ayant ces longueurs de côtés est rectangle, l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) faisant face au côté le plus long.

**2.** La corde forme un triangle de côtés $3$, $4$, $5$ (en [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects)), et $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : par la réciproque ([Théorème 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse)), l’angle entre les côtés de $3$ et $4$ [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) est exactement droit — aucun rapporteur n’est nécessaire, seulement des nœuds.

**3.** Si $a^2 + b^2 = c^2$, alors

$$
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2
= k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .
$$

À partir de $(3, 4, 5)$ : par exemple $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ et $(30, 40, 50)$.

**4.** Un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) $(3k, 4k, 5k)$ dont le plus petit nombre serait $5$ exigerait $3k = 5$, et aucun entier $k$ ne le vérifie ($k = 1$ donne $3$, $k = 2$ donne $6$). Donc $(5, 12, 13)$ n’est pas un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$.

**5.** La question 3 montre que l’agrandissement ne [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) que les triplets $(3k, 4k, 5k)$ ; la question 4 exhibe un véritable triplet qui n’est pas de cette forme. La famille de tous les [triplets pythagoriciens](#pb-g8-pythagoras-1) est donc strictement plus vaste que les [multiples](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $(3, 4, 5)$ : pour les produire, il faut du nouveau.

**6.** Posons $A = m^2$ et $B = n^2$. Par les identités remarquables ([Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1)) :

$$
a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\qquad
b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .
$$

En additionnant :

$$
a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB
= A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
= \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .
$$

**7.**

| $(m, n)$ | $m^2 - n^2$ | $2mn$ | $m^2 + n^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(2, 1)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(3, 1)$ | $8$ | $6$ | $10$ |
| $(3, 2)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
| $(4, 1)$ | $15$ | $8$ | $17$ |
| $(4, 3)$ | $7$ | $24$ | $25$ |

**8.** $(8, 6, 10)$ est le double de $(4, 3, 5)$ — autrement dit du $(3, 4, 5)$ des bâtisseurs. La machine redécouvre parfois un vieux triplet déguisé.

**9.** Il faut $m^2 - n^2 = 21$ et $2mn = 20$, donc $mn = 10$ : en essayant $m = 5$, $n = 2$, on obtient $25 - 4 = 21$ et $2 \times 10 = 20$, avec l’hypoténuse $25 + 4 = 29$. La machine [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) $(21, 20, 29)$ pour $(m, n) = (5, 2)$.

**10.** $m = 8$, $n = 6$ donnent $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$. Le triplet est

$$
\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),
$$

et l’on a bien $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$.

**11.** Avec $m = n + 1$ :

$$
m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
$$

([différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de carrés consécutifs, [Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1)) ; $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; et $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$. L’hypoténuse dépasse le côté [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) d’exactement $1$. Pour $n = 1, 2, 3, 4$ :

$$
(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad
(9, 40, 41) .
$$

**12.** Tout [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) au moins égal à $3$ s’écrit $2n + 1$ pour un certain $n \geq 1$, et la question 11 fournit un triplet dont le côté [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) vaut exactement $2n + 1$. Pour $11 = 2 \times 5 + 1$, prendre $n = 5$ :

$$
(11,\ 60,\ 61),
\qquad
11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .
$$

**13.** Avec $n = 1$, la machine donne $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$, dont le côté [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2m$ peut être n’importe quel [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) à partir de $4$. Pour $14 = 2 \times 7$, prendre $m = 7$ : le triplet $(48, 14, 50)$. Le même triplet apparaît en doublant $(7, 24, 25)$ du tableau de la question 7 : $(14, 48, 50)$ — les trois mêmes nombres.

**14.** Un [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) s’écrit $2k$, et $(2k)^2 = 4k^2$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (c’est un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $4$, donc [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). Un [nombre impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) s’écrit $2k + 1$, et la première identité remarquable donne

$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,
$$

un [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) augmenté de $1$ : c’est [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**15.** Supposons $a$, $b$, $c$ tous [impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd). D’après la question 14, $a^2$ et $b^2$ sont [impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), donc $a^2 + b^2$ est une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de deux [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : elle est *paire*. Or $c^2$ serait *[impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. L’égalité $a^2 + b^2 = c^2$ est alors impossible. Dans tout [triplet pythagoricien](#pb-g8-pythagoras-1), au moins l’un des trois nombres est donc [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — comme le confirme chaque ligne du tableau de la question 7.