---
title: "Milieux et parallèles"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 59
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles
---

# Chapitre 59 — Milieux et parallèles

Joindre les milieux de deux côtés d’un triangle : le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) obtenu est toujours [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) au troisième côté, et exactement deux fois plus court. Ce « théorème des milieux » et sa réciproque sont le premier avant-goût d’une grande idée — les [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) découpent des longueurs proportionnellement — qui s’épanouit en le théorème de Thalès au [Chapitre 68](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#ch-g9-thales).

## 59.1 Le théorème des milieux

**Théorème 59.1 (Théorème des milieux).**

Dans un triangle $ABC$, soit $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$. Alors la droite $(IJ)$ est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$, et

$$
IJ = \frac{BC}{2} .
$$

**Idée de preuve.** Soit $K$ le [symétrique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-def) de $I$ par rapport à $J$ (un demi-tour, [Chapitre 52](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#ch-g7-central)). Le [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ a des diagonales $[IK]$ et $[AC]$ se croisant en leur milieu commun $J$ : c’est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram), donc $KC$ est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $AI$, c’est-à-dire à $(AB)$, et $KC = AI = IB$. Alors $IBCK$ a deux côtés opposés ($[IB]$ et $[KC]$) [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) et égaux : c’est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) aussi ([Théorème 52.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#thm-g7-central-recognize)), donc $(IK) \parallel (BC)$ — c’est-à-dire $(IJ) \parallel (BC)$ — et $BC = IK = 2\,IJ$. ∎

![Le segment des milieux (IJ) (rouge) est parallèle au troisième côté (BC) et deux fois plus court.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg)

*Le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) des milieux $[IJ]$ (rouge) est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) au troisième côté $(BC)$ et deux fois plus court.*

**Exemple 59.2.**

Dans un triangle $ABC$ avec $BC = 9$ cm, les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[AC]$ sont joints. Sans aucune mesure : $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. Le petit triangle $AIJ$ est une copie à demi-échelle de $ABC$ — son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) est aussi la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) de $ABC$.

**Théorème 59.3 (Réciproque).**

Dans un triangle $ABC$, la droite passant par le milieu $I$ de $[AB]$ et *[parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)* à $(BC)$ coupe le côté $[AC]$ en son milieu.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 59.4.**

Un chemin traverse un champ triangulaire, partant du milieu d’un côté et courant [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) au côté opposé. La réciproque garantit que le chemin sort exactement au milieu de l’autre côté — sans mesure nécessaire du côté lointain.

**Méthode 59.5 (Choisir entre théorème et réciproque).**

1. *Deux milieux connus* $\Rightarrow$ utiliser le théorème direct : conclure parallélisme et demi-longueur.
2. *Un milieu et une [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) connus* $\Rightarrow$ utiliser la réciproque : conclure que le point d’intersection est un milieu.
3. Écrire quel triangle, quels milieux et quel théorème on utilise — une phrase chacun.

## 59.2 Triangles à demi-échelle

**Proposition 59.6 (Le triangle des milieux).**

Joindre les trois milieux des côtés d’un triangle le découpe en quatre triangles d’[aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) égales, chacun une copie à demi-échelle de l’original.

**Démonstration.** Chaque côté du triangle des milieux est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à un côté de $ABC$ et deux fois plus court ([Théorème 59.1](#thm-g8-midpoints-direct), appliqué trois fois). Les quatre petits triangles ont des côtés des trois mêmes longueurs, donc ce sont des copies identiques ; ensemble ils pavent $ABC$, donc chacun a le [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area). ∎

![Le triangle des milieux IJK découpe ABC en quatre triangles égaux — une figure à retenir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg)

*Le triangle des milieux $IJK$ découpe $ABC$ en quatre triangles égaux — une figure à retenir.*

**Remarque 59.7 (Vers Thalès).**

Le théorème des milieux est le cas « une [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) » d’un fait plus général : une droite [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés dans des *rapports égaux* — un tiers et un tiers, deux cinquièmes et deux cinquièmes … Cet énoncé général est le théorème de Thalès ([Chapitre 68](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#ch-g9-thales)) ; le cas des milieux est le seul nécessaire cette année.

## 59.3 Exercices

**Exercice 59.1 ★.**

Dans un triangle $RST$, $M$ est le milieu de $[RS]$ et $N$ le milieu de $[RT]$, avec $ST = 7$ cm. Que peut-on dire de la droite $(MN)$ et de la longueur $MN$ ? Citer le théorème utilisé.

**Solution de Exercice 59.1.**

$M$ et $N$ sont les milieux de deux côtés du triangle $RST$ : par le théorème des milieux ([Théorème 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)), $(MN) \parallel (ST)$ et $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

**Exercice 59.2 ★.**

Dans un triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et la droite passant par $I$ [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $J$, avec $AC = 11$ cm. Calculer $AJ$, en citant le théorème utilisé.

**Solution de Exercice 59.2.**

$I$ est un milieu et $(IJ) \parallel (BC)$ : par la *réciproque* ([Théorème 59.3](#thm-g8-midpoints-converse)), $J$ est le milieu de $[AC]$, donc $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

**Exercice 59.3 ★.**

Tracer un triangle $ABC$ avec $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm, placer les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[AC]$, et mesurer $IJ$ pour vérifier le théorème. Calculer le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) de $AIJ$ sans rien mesurer d’autre.

**Solution de Exercice 59.3.**

La mesure donne $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$. [Périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) de $AIJ$ : $AI = 4$, $AJ = 3$, $IJ = 3.5$ : total $10.5$ cm — la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) de $ABC$ ($8 + 6 + 7 = 21$ cm).

**Exercice 59.4 ★.**

$IJK$ est le triangle des milieux de $ABC$, dont les côtés mesurent $10$, $12$ et $16$ cm. Donner les trois côtés de $IJK$ et son [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter). Comment se comparent les deux [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) ?

**Solution de Exercice 59.4.**

Chaque côté de $IJK$ est la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un côté de $ABC$ : $5$, $6$ et $8$ cm. [Périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) : $19$ cm, la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

**Exercice 59.5 ★.**

L’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’un triangle est $36$ cm$^2$. Quelle est l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de son triangle des milieux ? De chacun des quatre petits triangles ?

**Solution de Exercice 59.5.**

Le triangle des milieux est l’un des quatre triangles égaux de [Proposition 59.6](#prop-g8-midpoints-medial) : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $\frac{36}{4} = 9$ cm$^2$ — et chacun des quatre petits triangles a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $9$ cm$^2$.

**Exercice 59.6 ★★.**

Dans un triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[AC]$ et $K$ celui de $[BC]$. Montrer que $IJKB$ est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram). (Comparer $[IJ]$ et $[BK]$ : [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ? égaux ?)

**Solution de Exercice 59.6.**

Par le théorème des milieux dans $ABC$ : $(IJ) \parallel (BC)$, c’est-à-dire $(IJ) \parallel (BK)$, et $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (puisque $K$ est le milieu de $[BC]$). Deux côtés opposés de $IJKB$ sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) et égaux : c’est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) ([Théorème 52.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#thm-g7-central-recognize), critère 3).

**Exercice 59.7 ★★.**

Une voile triangulaire a son bord le plus bas long de $6.4$ m. Une couture de renfort joint les milieux des deux autres bords. Quelle longueur de couture faut-il ? Et si la couture joignait au contraire les points situés au [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de chaque bord, en partant du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du haut ? (Conjecture avec un dessin ; la preuve est celle de Thalès, [Chapitre 68](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#ch-g9-thales).)

**Solution de Exercice 59.7.**

La couture joint deux milieux : $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Au [quart](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) depuis le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du haut, le dessin suggère une couture de $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la base — confirmé par Thalès au [Chapitre 68](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#ch-g9-thales).

**Exercice 59.8 ★★.**

Dans le triangle $ABC$, rectangle en $A$, $M$ est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$, et la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AB)$ passant par $M$ rencontre $[AC]$ en $N$.

1. Montrer que $N$ est le milieu de $[AC]$ .
2. Expliquer pourquoi $(MN)$ est [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AC)$ .

**Solution de Exercice 59.8.**

*1.* $M$ est le milieu de $[BC]$ et $(MN) \parallel (AB)$ : par la réciproque du théorème des milieux (dans le triangle $ABC$, côté $[AC]$), $N$ est le milieu de $[AC]$.

*2.* $(MN) \parallel (AB)$ et $(AB) \perp (AC)$ ([angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) en $A$) : une droite [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AB)$ est aussi [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AC)$ ([Proposition 40.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#prop-g6-lines-facts)). Donc $(MN) \perp (AC)$ — le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[MN]$ est le morceau de [médiatrice](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#def-g6-symmetry-bisector) montrant à nouveau que $MA = MC$ ([Théorème 60.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus#thm-g8-cosine-circle)).

**Exercice 59.9 ★★★.**

Soit $ABCD$ un [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) *quelconque*, et $I$, $J$, $K$, $L$ les milieux de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ (la conjecture de [Exercice 52.11](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#exo-g7-central-11)).

1. Appliquer le théorème des milieux dans le triangle $ABC$ au [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ , et dans le triangle $ACD$ au [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[LK]$ : comparer chacun à la diagonale $[AC]$ .
2. Conclure que $IJKL$ est toujours un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) .

**Solution de Exercice 59.9.**

*1.* Dans le triangle $ABC$, $I$ et $J$ sont milieux de $[AB]$ et $[BC]$ : $(IJ) \parallel (AC)$ et $IJ = \frac{AC}{2}$. Dans le triangle $ACD$, $L$ et $K$ sont milieux de $[DA]$ et $[CD]$ : $(LK) \parallel (AC)$ et $LK = \frac{AC}{2}$.

*2.* Donc $[IJ]$ et $[LK]$ sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) (tous deux [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la diagonale $(AC)$) et égaux (tous deux la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de $AC$) : $IJKL$ est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) ([Théorème 52.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#thm-g7-central-recognize), critère 3) — pour *tout* [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$, comme conjecturé en [Exercice 52.11](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#exo-g7-central-11).

## 59.4 Problème : les trois médianes et le centre de gravité

**Problème 59.1.**

Devoir maison — les médianes d’un triangle se coupent en un même point, aux deux tiers de chacune d’elles

Découper un triangle dans du carton rigide : il tiendra en équilibre, parfaitement à plat, sur une pointe de crayon placée en un point bien particulier — le *centre de gravité* du triangle. Ce problème trouve ce point. Une *médiane* d’un triangle est le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) qui joint un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au *milieu* du côté opposé. On démontrera — avec le théorème des milieux employé deux fois, d’une manière inattendue — que les trois médianes passent toutes par un même point, et on situera ce point précisément.

**Partie I — Échauffement.**

1. Tracer un grand triangle $ABC$ (sans forme particulière), construire les milieux $I$ de $[AB]$ , $J$ de $[AC]$ et $K$ de $[BC]$ , et tracer les trois médianes $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . Qu’observe-t-on ?
2. Démontrer qu’une médiane découpe le triangle en deux triangles de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) . (Comparer les bases et les hauteurs, et utiliser la formule de l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : base $\times$ hauteur $\div\ 2$ .) Pour un triangle d’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm $^2$ , quelles sont les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) des deux morceaux ?
3. Dans le triangle $ABC$ , que dit [Théorème 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) du [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ?

**Partie II — Deux médianes se coupent aux deux tiers.** Les médianes $[BJ]$ et $[CI]$ se coupent en un point ; appelons-le $G$. Soit $M$ le milieu de $[GB]$ et $N$ le milieu de $[GC]$.

4. Appliquer le théorème des milieux *dans le triangle $GBC$* : que dit-il du [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ?
5. En déduire que $(IJ) \parallel (MN)$ et $IJ = MN$ , et conclure à l’aide du [Théorème 52.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#thm-g7-central-recognize) que $IJNM$ est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) .
6. Expliquer pourquoi $I$ et $N$ sont tous deux sur la médiane $(CI)$ , et $J$ et $M$ tous deux sur la médiane $(BJ)$ — les diagonales du [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ sont donc $[IN]$ et $[JM]$ , et elles se coupent exactement en $G$ . Que dit alors la *définition* d’un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) au sujet de $G$ ?
7. En déduire que $BM = MG = GJ$, et conclure : $$BG = 2 \times GJ$$ — le point $G$ se trouve sur la médiane $[BJ]$ aux deux tiers depuis le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $B$. Énoncer et justifier le résultat analogue sur la médiane $[CI]$.
8. Oublions maintenant $[CI]$ et reprenons exactement le même raisonnement sur le couple de médianes $[BJ]$ et $[AK]$ : leur point d’intersection se trouve lui aussi aux deux tiers de $[BJ]$ depuis $B$ . Expliquer pourquoi cela oblige ce point à être le *même* point $G$ — et conclure que les trois médianes passent par $G$ .
9. Dans un triangle où la médiane $[BJ]$ mesure $9$ cm, à quelle distance $G$ se trouve-t-il de $B$ , et de $J$ ?
10. Justifier en une phrase que $AG = 2 \times GK$ également.

**Partie III — Six parts égales, et des coordonnées.** Les trois médianes découpent le triangle en six petits triangles autour de $G$.

11. Dans le triangle $GBC$ , le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[GK]$ est une médiane. En déduire que les deux petits triangles $GBK$ et $GKC$ ont la même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) .
12. À l’aide de la question 2 dans les triangles $ABK$ et $AKC$ (tous deux coupés par la médiane $[AK]$ de $ABC$ ), montrer que les triangles $ABG$ et $ACG$ ont la même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) . En recommençant avec une autre médiane, conclure que les trois triangles $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ ont tous pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) le tiers de celle de $ABC$ .
13. Chacun de ces trois triangles est coupé en deux par un morceau de médiane (par exemple $[GI]$ est une médiane du triangle $ABG$ — issue de quel [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ?). Conclure : les six petites parts autour de $G$ ont toutes la même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) , le sixième du triangle.
14. Dans un repère quadrillé, placer $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ et $C(0, 6)$, avec $K(3, 3)$ milieu de $[BC]$. Utiliser le théorème des deux tiers de la partie II pour calculer les coordonnées de $G$ sur la médiane $[AK]$ ; vérifier ensuite que le même point se trouve aux deux tiers de la médiane $[BJ]$, où $J(0, 3)$. Comparer les coordonnées de $G$ aux moyennes $$\frac{0 + 6 + 0}{3},  \qquad  \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$
15. Le final de l’équilibre : à l’aide des questions 2 et 8, expliquer pourquoi le triangle de carton tient en équilibre sur le tranchant d’un couteau posé le long d’une médiane quelconque — autant de carton de chaque côté — et pourquoi la pointe du crayon doit donc être placée en $G$ , le point que les physiciens appellent le [centre de gravité](#pb-g8-midpoints-1) . (Une démonstration d’équilibre pleinement rigoureuse réclame le calcul intégral des [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) universitaires ; l’égalité des [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) la rend crédible dès aujourd’hui.)

**Solution de Problème 59.1.**

**1.** Quel que soit le triangle tracé, les trois médianes semblent passer par un même point, situé à l’intérieur du triangle, visiblement plus proche du milieu de chaque côté que du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposé. La suite du problème le démontre.

**2.** Prenons la médiane $[AK]$ du triangle $ABC$ : les triangles $ABK$ et $AKC$ ont des bases $BK$ et $KC$ de même longueur ($K$ est le milieu de $[BC]$) portées par la même droite $(BC)$, et la même hauteur : la distance de $A$ à $(BC)$. Par la formule de l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area), chacun a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) base $\times$ hauteur $\div\ 2$, avec des bases égales et des hauteurs égales : les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) sont donc égales. Pour un triangle d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm$^2$ : deux morceaux de $18$ cm$^2$ chacun.

**3.** $I$ et $J$ sont les milieux des côtés $[AB]$ et $[AC]$ du triangle $ABC$, donc d’après [Théorème 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) : $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \frac{BC}{2}$.

**4.** $M$ et $N$ sont les milieux des côtés $[GB]$ et $[GC]$ du triangle $GBC$, donc par le même théorème : $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \frac{BC}{2}$.

**5.** $(IJ)$ et $(MN)$ sont toutes deux [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$, donc [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) entre elles ; et $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. Le [quadrilatère](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ a ainsi deux côtés opposés, $[IJ]$ et $[NM]$, [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) et de même longueur : d’après le critère 3 du [Théorème 52.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#thm-g7-central-recognize), $IJNM$ est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram).

**6.** $G$ est sur la médiane $[CI]$, et $N$ est le milieu de $[GC]$, [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) porté par cette même droite médiane : donc $I$, $N$ (ainsi que $G$ et $C$) sont tous sur $(CI)$. De même, $J$, $M$ et $G$ sont sur la droite médiane $(BJ)$. Dans le [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$, les diagonales sont $[IN]$ et $[JM]$ ; elles sont portées par les deux droites médianes, qui se coupent en $G$ — les diagonales se coupent donc en $G$. D’après la *définition* d’un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) (critère 1 du [Théorème 52.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#thm-g7-central-recognize) : les diagonales ont le même milieu), $G$ est le milieu de $[IN]$ *et* de $[JM]$ : $GI = GN$ et $GJ = GM$.

**7.** $M$ est le milieu de $[GB]$, donc $BM = MG$ ; et $MG = GJ$ par la question 6. D’où $BM = MG = GJ$ : la médiane $[BJ]$ est découpée en trois parts égales, dont $BG$ prend deux :

$$
BG = 2 \times GJ .
$$

Symétriquement, $N$ est le milieu de $[GC]$ et $GN = GI$, donc $CN = NG = GI$ et $CG = 2 \times GI$ : sur la médiane $[CI]$ aussi, le point d’intersection se trouve aux deux tiers depuis le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**8.** Le raisonnement n’a rien utilisé de particulier au couple $[BJ]$, $[CI]$ : mené sur le couple $[BJ]$, $[AK]$, il montre que leur point d’intersection est lui aussi sur $[BJ]$ aux deux tiers depuis $B$. Or il n’y a qu’*un seul* point du [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ situé à la distance $\frac23 BJ$ de $B$ — le point d’intersection de $[BJ]$ et $[AK]$ est donc ce même $G$. Les trois médianes passent ainsi par $G$ : elles sont *concourantes*.

**9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm et $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

**10.** D’après la question 8, le même calcul des deux tiers vaut sur la médiane $[AK]$ (reprendre le raisonnement des questions 4 à 7 avec le couple $[AK]$, $[BJ]$) : $AG = 2 \times GK$.

**11.** Dans le triangle $GBC$, le point $K$ est le milieu du côté $[BC]$, donc $[GK]$ est une médiane de $GBC$ ; d’après la question 2, les triangles $GBK$ et $GKC$ ont la même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area).

**12.** La médiane $[AK]$ découpe $ABC$ en $ABK$ et $AKC$ de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) (question 2). En retranchant de chacun son petit triangle de la question 11 :

$$
\text{aire}(ABG) = \text{aire}(ABK) - \text{aire}(GBK),
\qquad
\text{aire}(ACG) = \text{aire}(AKC) - \text{aire}(GKC),
$$

et les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) retranchées sont égales, donc $\text{aire}(ABG) = \text{aire}(ACG)$. Le même calcul le long de la médiane $[BJ]$ — qui partage $ABC$ en $ABJ$ et $CBJ$ de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area), tandis que $[GJ]$, médiane du triangle $GAC$, le partage en $GAJ$ et $GCJ$ — donne $\text{aire}(ABG) = \text{aire}(CBG)$. Les trois triangles $ABG$, $BCG$, $CAG$ ont donc la même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area), et comme ils pavent ensemble $ABC$, chacun a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) le tiers du tout.

**13.** Dans le triangle $ABG$, le point $I$ est le milieu du côté $[AB]$, donc $[GI]$ est une médiane de $ABG$ *issue du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $G$* : elle découpe $ABG$ en deux triangles de même [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) (question 2), à savoir $AIG$ et $IBG$. Il en va de même dans $BCG$ (médiane $[GK]$) et dans $CAG$ (médiane $[GJ]$). Chaque tiers de $ABC$ est coupé en deux : les six parts autour de $G$ ont donc chacune pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ du triangle.

**14.** Sur la médiane $[AK]$, de $A(0,0)$ à $K(3,3)$ : $G$ se trouve aux deux tiers, ses coordonnées valent donc $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. Sur la médiane $[BJ]$, de $B(6, 0)$ à $J(0, 3)$ : être aux deux tiers revient à ajouter les deux tiers du déplacement ($-6$ horizontalement, $+3$ verticalement) :

$$
\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right)
= (2, 2) .
$$

Le même point — comme la question 8 le promettait. Et $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$ : les coordonnées du [centre de gravité](#pb-g8-midpoints-1) sont les *moyennes* des coordonnées des trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**15.** D’après la question 2, un tranchant de couteau posé le long d’une médiane laisse la même quantité de carton de chaque côté ([aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) égales) : le triangle tient donc en équilibre le long de chacune des trois droites médianes. Un point d’équilibre doit se trouver simultanément sur les trois droites d’équilibre, et d’après la question 8 les trois médianes n’ont qu’un point commun : $G$. C’est là qu’il faut poser la pointe du crayon. (L’égalité des [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de part et d’autre est la version crédible de l’argument ; la version honnête, qui pèse *où* se trouve le carton et pas seulement combien il y en a, réclame le calcul intégral des [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) universitaires — lequel confirme $G$.)