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title: "Le triangle rectangle et le cosinus"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus
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# Chapitre 60 — Le triangle rectangle et le cosinus

Deux beaux faits lient le [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) au cercle : un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) s’inscrit exactement dans un demi-cercle, son hypoténuse étant un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle). Et un nombre, le *cosinus* d’un angle, code la forme de tout [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) ayant cet angle — le premier rapport trigonométrique, avant ses frères sinus et tangente ([Chapitre 69](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/69-trigonometrie-dans-le-triangle-rectangle#ch-g9-trig)).

## 60.1 Le triangle rectangle et son cercle

**Théorème 60.1 (Théorème du cercle).**

1. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $A$ se trouve sur le cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) l’hypoténuse $[BC]$ .
2. Réciproquement, si $A$ se trouve sur un cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (avec $A \neq B, C$ ), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

De façon équivalente : dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) — la médiane issue de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) mesure la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de l’hypoténuse.

**Preuve du 1.** Soit $O$ le milieu de $[BC]$ et $D$ le [symétrique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-def) de $A$ par rapport à $O$. Les diagonales de $ABDC$ se coupent en leur milieu commun $O$, donc $ABDC$ est un [parallélogramme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram) ([Définition 52.7](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-parallelogram)) — avec un [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) en $A$ : c’est un rectangle. Les diagonales d’un rectangle sont égales, donc $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : le point $A$ est à distance $\frac{BC}{2}$ de $O$, c’est-à-dire sur le cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[BC]$. (Le point 2 se prouve en parcourant l’argument à l’envers.) ∎

![Où que se trouve A sur le cercle, l’angle BAC est droit — la conjecture de , devenue un théorème. La médiane rouge (OA) est un rayon : la moitié de l’hypoténuse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*Où que se trouve $A$ sur le cercle, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit — la conjecture de [Exercice 41.10](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#exo-g6-shapes-10), devenue un théorème. La médiane rouge $[OA]$ est un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de l’hypoténuse.*

**Exemple 60.2.**

Un triangle a une hypoténuse de $10$ cm. Sans rien savoir d’autre, la médiane issue de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) mesure $5$ cm, et le [cercle circonscrit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#pb-g6-symmetry-1) au triangle a pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm, centré au milieu de l’hypoténuse.

## 60.2 Le cosinus d’un angle aigu

**Définition 60.3 (Cosinus).**

Dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), pour un angle aigu $\theta$ :

$$
\cos\theta = \frac{\text{côté adjacent à } \theta}{\text{hypoténuse}}
$$

— le côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) touchant $\theta$, divisé par l’hypoténuse. Ce rapport ne dépend que de l’angle, pas de la taille du triangle : tous les [triangles rectangles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de même angle aigu sont des agrandissements les uns des autres, et les agrandissements conservent les rapports de longueurs ([Chapitre 59](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#ch-g8-midpoints) a commencé cette histoire ; [Chapitre 68](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#ch-g9-thales) l’achève).

![Deux triangles rectangles partageant l’angle : le petit est une réduction du grand, donc adjacent hypoténuse est le même pour les deux — cette valeur commune est .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*Deux [triangles rectangles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) partageant l’angle $\theta$ : le petit est une réduction du grand, donc $\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ est le même pour les deux — cette valeur commune est $\cos\theta$.*

**Proposition 60.4 (Premières valeurs et bornes).**

Pour tout angle aigu $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$, et le cosinus *diminue* lorsque l’angle s’ouvre : un angle plus large a un cosinus plus petit. Repères : $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac12$, $\cos 90^\circ = 0$ (les valeurs extrêmes correspondant aux triangles aplatis).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Méthode 60.5 (Utiliser le cosinus).**

Dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), lorsque les quantités connues et cherchées sont un angle aigu, son côté adjacent et l’hypoténuse :

1. écrire la définition : $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ avec les valeurs connues à leur place ;
2. résoudre la petite [équation](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#def-g8-equations-def) pour l’inconnue (multiplier ou diviser) ;
3. pour un *angle* inconnu, appliquer le $\cos^{-1}$ de la calculatrice au rapport calculé ;
4. contrôles de bon sens : une longueur doit sortir plus courte que l’hypoténuse ; un angle strictement entre $0^\circ$ et $90^\circ$ .

**Exemple 60.6 (Trouver un côté).**

Une rampe de $6$ m fait un angle de $20^\circ$ avec le sol horizontal. Distance horizontale parcourue (adjacente à $20^\circ$, hypoténuse $6$ m) :

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.
$$

**Exemple 60.7 (Trouver un angle).**

Dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), le côté adjacent à l’angle $\theta$ mesure $3.5$ et l’hypoténuse $5$ :

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 Exercices

**Exercice 60.1 ★.**

Un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) a une hypoténuse de $13$ cm. Quelle est la longueur de la médiane issue du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ? Quel est le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) du cercle passant par les trois [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ?

**Solution de Exercice 60.1.**

Médiane issue de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de l’hypoténuse, $6.5$ cm ([Théorème 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). Le [cercle circonscrit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#pb-g6-symmetry-1) est centré au milieu de l’hypoténuse avec un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de $6.5$ cm.

**Exercice 60.2 ★.**

Tracer un cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $8$ cm avec un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, choisir un point $A$ quelconque sur le cercle et tracer $ABC$. Quel angle est droit ? Citer le théorème. Mesurer $AB$ et $AC$ et vérifier Pythagore.

**Solution de Exercice 60.2.**

L’angle en $A$ est droit ($[BC]$ est un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) : point 2 de [Théorème 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). Les mesures satisfont $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$, à la précision de mesure près.

**Exercice 60.3 ★.**

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$, nommer le côté adjacent à l’angle $\widehat E$, le côté opposé, et l’hypoténuse. Écrire $\cos \widehat E$ comme un rapport.

**Solution de Exercice 60.3.**

Hypoténuse : $[EF]$ (opposée à l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $D$). Adjacent à $\widehat E$ : $[ED]$. Opposé : $[DF]$. Donc $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$.

**Exercice 60.4 ★.**

Calculer la quantité manquante ($\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\cos 50^\circ \approx 0.643$) :

1. hypoténuse $10$ , angle $35^\circ$ : côté adjacent ?
2. côté adjacent $6$ , angle $50^\circ$ : hypoténuse ?

**Solution de Exercice 60.4.**

*1.* adjacent $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$.

*2.* hypoténuse $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$.

**Exercice 60.5 ★.**

Dans un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), le côté adjacent à $\theta$ mesure $8$ et l’hypoténuse $10$. Calculer $\cos\theta$, puis $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$).

**Solution de Exercice 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$, donc $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$.

**Exercice 60.6 ★.**

Expliquer pourquoi $\cos\theta$ ne peut jamais valoir $1.2$ pour un angle aigu d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles).

**Solution de Exercice 60.6.**

$\cos\theta$ est un côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) divisé par l’hypoténuse, et l’hypoténuse est le *plus long* côté d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) : le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est toujours plus petit que $1$. Une valeur de $1.2$ signifierait un côté plus long que l’hypoténuse — impossible.

**Exercice 60.7 ★★.**

Une tyrolienne de $25$ m descend d’une plateforme jusqu’au sol, faisant un angle de $12^\circ$ avec l’horizontale ($\cos 12^\circ \approx
0.978$). Quelle distance horizontale couvre-t-elle ?

**Solution de Exercice 60.7.**

Portée horizontale $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx
24.5$ m.

**Exercice 60.8 ★★.**

Ranger sans calculatrice : $\cos 20^\circ$, $\cos 70^\circ$, $\cos 45^\circ$ (utiliser [Proposition 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)). Puis vérifier à la calculatrice.

**Solution de Exercice 60.8.**

Le cosinus diminue lorsque l’angle croît ([Proposition 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)) :

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(Calculatrice : $0.342 < 0.707 < 0.940$.)

**Exercice 60.9 ★★.**

Une échelle de longueur $L$ s’appuie contre un mur avec un angle $\theta$ entre l’échelle et le *sol*. Son pied est à $1.2$ m du mur et $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$). Calculer $L$, puis la hauteur atteinte (Pythagore).

**Solution de Exercice 60.9.**

La distance au sol est adjacente à $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$, donc $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Hauteur (Pythagore) : $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

**Exercice 60.10 ★★.**

$[BC]$ est un [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) d’un cercle de centre $O$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4.5$ cm, et $A$ est un point du cercle avec $AB = 5.4$ cm.

1. Pourquoi $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
2. Calculer $AC$ , puis $\cos \widehat B$ .

**Solution de Exercice 60.10.**

*1.* $A$ est sur un cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ : [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) en $A$ ([Théorème 60.1](#thm-g8-cosine-circle)).

*2.* $BC = 9$ cm (deux fois le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes)). Pythagore : $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Et $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$.

**Exercice 60.11 ★★★.**

En utilisant la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) d’un [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côté $1$ (coupé le long d’une hauteur), justifier le repère $\cos 60^\circ = \frac12$ de [Proposition 60.4](#prop-g8-cosine-bounds). (Où tombe le pied de la hauteur sur la base ? La version trigonométrique complète est [Exemple 69.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/69-trigonometrie-dans-le-triangle-rectangle#ex-g9-trig-special).)

**Solution de Exercice 60.11.**

Dans le [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côté $1$, la hauteur issue d’un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) tombe au *milieu* du côté opposé ([axe de symétrie](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/42-la-symetrie-axiale#def-g6-symmetry-axis)). La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du triangle est rectangle avec hypoténuse $1$ (un côté entier), un angle de $60^\circ$ au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de la base, et côté adjacent $\frac12$ (la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la base). D’où

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 Problème : les relations d’Euclide, et Pythagore une fois de plus

**Problème 60.1.**

Devoir maison — la hauteur d’un triangle rectangle : $AB^2 = BH \times BC$, $AH^2 = BH \times HC$, une seconde démonstration de Pythagore, et une machine à construire des racines carrées

Abaisser, depuis l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à l’hypoténuse : ce court [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) — la *hauteur* — vérifie des relations si utiles qu’Euclide les a placées au cœur de ses *Éléments*. Dans ce problème, la propriété qui définit le cosinus, « le rapport ne dépend que de l’angle » ([Définition 60.3](#def-g8-cosine-def)), les démontre toutes ; en chemin, on redémontrera le théorème de Pythagore par une voie entièrement différente, et l’on terminera par une machine à la règle et au compas qui construit $\sqrt2$, $\sqrt5$, $\sqrt{n}$ pour tout entier $n$.

Partout, $ABC$ est un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) en $A$, et $H$ est le pied de la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) abaissée de $A$ sur l’hypoténuse $[BC]$, de sorte que $H$ se trouve entre $B$ et $C$ et que $AH \perp BC$.

**Partie I — Un angle, deux triangles.**

1. À l’aide de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles d’un triangle ( [Théorème 51.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#thm-g7-triangles-sum) ) dans $ABH$ puis dans $ABC$ , montrer que $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : la hauteur découpe le [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) en deux triangles plus petits portant les *mêmes angles* que celui de départ.
2. Les triangles $ABC$ (rectangle en $A$) et $ABH$ (rectangle en $H$) ont l’angle $\widehat B$ en commun. Écrire $\cos\widehat B$ dans chacun d’eux, et déduire de la [Définition 60.3](#def-g8-cosine-def) que $$AB^2 = BH \times BC .$$ (Pour passer de rapports égaux à des [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) égaux, multiplier les deux membres par les deux [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def), [Théorème 57.5](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#thm-g8-equations-balance).)
3. Énoncer et démontrer la relation jumelle au [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $C$ : $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. Prendre le triangle $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Calculer $BH$ et $CH$ à partir des questions 2 et 3, et vérifier que $BH + HC = BC$ .
5. En général, exprimer $BH$ et $CH$ par des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) ne faisant intervenir que les trois côtés. En quel sens le pied $H$ partage-t-il l’hypoténuse « proportionnellement aux carrés des côtés de l’ [angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) » ?

**Partie II — Pythagore à nouveau, et la hauteur.**

6. Additionner les relations des questions 2 et 3 et utiliser $BH + HC = BC$ pour obtenir $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ le théorème de Pythagore ([Théorème 58.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#thm-g8-pythagoras-direct)), redémontré — sans le moindre puzzle d’[aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) (comparer avec [Exercice 58.11](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#exo-g8-pythagoras-11)).
7. Appliquer Pythagore dans le petit triangle $ABH$ pour écrire $AH^2 = AB^2 - BH^2$, remplacer $AB^2$ par $BH \times BC$, et factoriser par $BH$ pour démontrer la *relation d’Euclide sur la hauteur* : $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. Calculer l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de $ABC$ de deux façons — les côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) comme base et hauteur, puis l’hypoténuse comme base ([Théorème 53.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#thm-g7-areas-triangle)) — et en déduire la troisième relation : $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. Retour au triangle $3$ – $4$ – $5$ : calculer $AH$ par la question 8, puis vérifier numériquement la relation sur la hauteur de la question 7, à l’aide des valeurs de $BH$ et $CH$ trouvées à la question 4.
10. Le pied de la hauteur partage l’hypoténuse d’un certain [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) en deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $BH = 2$ cm et $HC = 8$ cm. Calculer la hauteur $AH$ .

**Partie III — Une machine à racines carrées.** Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ formé de deux morceaux bout à bout : $BH = p$ et $HC = q$. Tracer le demi-cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, et appeler $A$ le point où la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$ en $H$ le rencontre.

11. À l’aide du [Théorème 60.1](#thm-g8-cosine-circle), expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ — la question 7 s’applique donc, et $$AH^2 = p \times q .$$ (La longueur $AH$ s’appelle la *moyenne géométrique* de $p$ et $q$.)
12. Prendre $p = 1$ et $q = 2$ . Que vaut $AH^2$ ? Quelle longueur célèbre de l’ [Exemple 58.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ex-g8-pythagoras-diagonal) la figure à la règle et au compas vient-elle de construire ?
13. Décrire la recette qui construit un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de longueur $\sqrt n$ pour tout entier $n \geq 1$ , et dire quel choix de $p$ et $q$ construit $\sqrt 5$ .
14. Soit $O$ le centre du demi-cercle. Expliquer pourquoi $AH$ ne peut jamais dépasser le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ , et pour quelle position de $H$ les deux sont égaux.
15. En déduire l’inégalité : pour tous nombres positifs $p$ et $q$, $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ avec égalité exactement lorsque $p = q$. La redémontrer ensuite sans aucune géométrie : développer $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ et reconnaître une identité remarquable ([Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1)).

**Solution de Problème 60.1.**

**1.** Dans le triangle $ABH$, rectangle en $H$, la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des angles ([Théorème 51.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/51-triangles-et-angles#thm-g7-triangles-sum)) donne $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$, donc $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$. Dans le triangle $ABC$, rectangle en $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$, donc $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$. D’où $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : les deux petits triangles répètent bien les angles $\widehat B$, $\widehat C$, $90^\circ$ du triangle de départ.

**2.** Dans $ABC$ (rectangle en $A$), le côté adjacent à $\widehat B$ est $AB$ et l’hypoténuse est $BC$ : $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$. Dans $ABH$ (rectangle en $H$), le côté adjacent à $\widehat B$ est $BH$ et l’hypoténuse est $AB$ : $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$. Le rapport ne dépend que de l’angle ([Définition 60.3](#def-g8-cosine-def)), donc

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

en multipliant les deux membres par $BC \times AB$ ([Théorème 57.5](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#thm-g8-equations-balance)) : $AB^2 = BH \times BC$.

**3.** Les triangles $ABC$ (rectangle en $A$) et $ACH$ (rectangle en $H$) ont l’angle $\widehat C$ en commun. Côté adjacent sur hypoténuse dans chacun :

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** $AB^2 = BH \times BC$ s’écrit $9 = BH \times 5$, donc $BH = 1.8$ ; et $16 = CH \times 5$ donne $CH = 3.2$. Vérification : $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — comme il se doit, puisque $H$ est sur l’hypoténuse entre $B$ et $C$.

**5.** En divisant chaque relation par $BC$ :

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

Ainsi $BH$ et $CH$ sont proportionnels à $AB^2$ et $AC^2$ : le pied de la hauteur partage l’hypoténuse dans le rapport des carrés des côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) ($1.8 : 3.2 = 9 : 16$ à la question 4).

**6.** En additionnant les deux relations et en factorisant par $BC$ (distributivité) :

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

C’est [Théorème 58.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#thm-g8-pythagoras-direct), obtenu à partir du seul cosinus — une démonstration véritablement différente du puzzle d’[aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) à quatre triangles de l’[Exercice 58.11](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#exo-g8-pythagoras-11).

**7.** Pythagore dans $ABH$ (rectangle en $H$, d’hypoténuse $[AB]$) : $AH^2 = AB^2 - BH^2$. En remplaçant $AB^2$ par $BH \times BC$ (question 2) et en factorisant par $BH$ :

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** Avec les côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) comme base et hauteur, l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de $ABC$ vaut $\frac{AB \times AC}{2}$ ; avec l’hypoténuse $[BC]$ pour base, la hauteur est précisément $AH$, et l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) vaut aussi $\frac{BC \times AH}{2}$ ([Théorème 53.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#thm-g7-areas-triangle)). En égalant et en doublant : $AB \times AC = BC \times AH$.

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5}
= 2.4$. Vérification de la question 7 : $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ et $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$. Égalité.

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$, donc $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

**11.** Le point $A$ est sur le cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (et diffère de $B$ et de $C$), donc d’après le point 2 du [Théorème 60.1](#thm-g8-cosine-circle) le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par construction, $(AH) \perp (BC)$ avec $H$ entre $B$ et $C$ : le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AH]$ est précisément la hauteur de la question 7, et $AH^2 = BH \times HC = p \times q$.

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : la figure construit, à la règle et au compas seuls, un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) dont le carré vaut $2$ — la diagonale du carré unité, $\sqrt2 \approx 1.414$, de l’[Exemple 58.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ex-g8-pythagoras-diagonal).

**13.** Recette : mettre bout à bout deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de longueurs $p = 1$ et $q = n$ ; tracer le demi-cercle dont le [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) est le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) entier (de longueur $n + 1$) ; élever la [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) au point de jonction ; elle rencontre le demi-cercle en un point dont la distance à la jonction vaut $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$. Pour $\sqrt5$ : prendre $p = 1$ et $q = 5$ (un demi-cercle de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $6$).

**14.** $A$ est sur le cercle de centre $O$, donc $OA = \frac{p+q}{2}$, le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes). Si $H \neq O$, le triangle $AHO$ est rectangle en $H$ d’hypoténuse $[OA]$, et un côté de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) est plus court que l’hypoténuse : $AH < OA$. Si $H = O$, alors $AH = OA$ exactement. Dans tous les cas $AH \leq \frac{p+q}{2}$, avec égalité précisément lorsque $H$ est le centre — c’est-à-dire lorsque $p = q$.

**15.** En élevant au carré $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (les deux membres sont positifs) et en utilisant $AH^2 = pq$ :

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

avec égalité exactement pour $p = q$. Redémonstration algébrique, avec les identités remarquables ([Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1)) :

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

un carré, donc jamais négatif — et nul exactement lorsque $p = q$. La [moyenne géométrique](#pb-g8-cosine-1) de deux nombres ne dépasse jamais leur [demi-somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def).