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title: "Proportionnalité, vitesse et moyennes"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 61
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes
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# Chapitre 61 — Proportionnalité, vitesse et moyennes

La [proportionnalité](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/49-proportionnalite#def-g7-prop-table) ([Chapitre 49](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/49-proportionnalite#ch-g7-prop)) rencontre maintenant le monde physique : [vitesse](#def-g8-speed-def), débits, conversions d’unités — des quantités qui sont des *[quotients](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder)* de deux autres. Le chapitre se clôt sur les [moyennes pondérées](#def-g8-speed-average), où la pensée proportionnelle évite une erreur classique.

## 61.1 Vitesse moyenne

**Définition 61.1 (Vitesse moyenne).**

La *vitesse moyenne* d’un trajet est le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder)

$$
v = \frac{d}{t}
\qquad
\left(\text{distance divisée par durée}\right),
$$

en kilomètres par heure (km/h), mètres par seconde (m/s), … La formule s’[inverse](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#def-g8-fractions-inverse) : $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$.

**Exemple 61.2.**

Un train parcourt $270$ km en $1$ h $30$ min. Convertir d’abord le temps : $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Puis

$$
v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.
$$

Distance à $90$ km/h pendant $2$ h $20$ min $= \frac73$ h : $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Temps pour $35$ km à $14$ km/h : $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

**Remarque 61.3 (Les minutes ne sont pas des décimaux).**

$1$ h $30$ min vaut $1.5$ h, mais $1$ h $20$ min n’est *pas* $1.2$ h : c’est $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Toujours convertir les minutes en [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) d’heure ($60$ min $= 1$ h) avant de diviser.

![À vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps : une droite passant par l’origine, dont la pente est la vitesse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-speed/fig-76bf790066e6.svg)

*À [vitesse](#def-g8-speed-def) constante, la distance est proportionnelle au temps : une droite passant par l’origine, dont la pente *est* la [vitesse](#def-g8-speed-def).*

**Méthode 61.4 (Convertir des vitesses).**

Pour convertir des km/h en m/s : $1$ km $= 1000$ m et $1$ h $= 3600$ s, donc

$$
v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s}
= \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.
$$

Pour convertir des m/s en km/h, multiplier par $3.6$.

**Exemple 61.5.**

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Un sprinter parcourant $100$ m en $10$ s se déplace à $10$ m/s $= 36$ km/h.

## 61.2 Grandeurs quotients

**Exemple 61.6 (Débit, densité, prix au kilo).**

La [vitesse](#def-g8-speed-def) a de nombreux cousins, tous traités de la même façon :

- un robinet remplit $48$ L en $4$ min : débit $\frac{48}{4} = 12$ L/min, donc remplir une baignoire de $150$ L prend $\frac{150}{12} = 12.5$ min ;
- $0.6$ kg de fromage coûtent $9$ euros : prix $\frac{9}{0.6} = 15$ euros par kg ;
- une voiture consomme $6.3$ L pour $90$ km : consommation $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L pour $100$ km.

Identifier le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder), et la formule à trois voies ($q = \frac ab$, $a = qb$, $b = \frac aq$) fait le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder).

## 61.3 Moyennes pondérées

**Définition 61.7 (Moyenne pondérée).**

Lorsque des valeurs $v_1, v_2, \dots$ s’accompagnent d’[effectifs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/50-organiser-des-donnees#def-g7-stats-frequency) (ou de poids) $n_1, n_2, \dots$, leur *moyenne pondérée* est

$$
\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :
$$

total des valeurs, divisé par le total des poids.

**Exemple 61.8.**

Un contrôle a été passé par deux groupes : groupe 1, $12$ élèves, moyenne $11$ ; groupe 2, $18$ élèves, moyenne $14$. Moyenne de toute la classe :

$$
\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18}
= \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .
$$

*Pas* $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ : le plus grand groupe tire la moyenne vers la sienne — les poids comptent.

**Exemple 61.9 (Vitesse moyenne sur deux étapes).**

Un cycliste parcourt $30$ km à $30$ km/h, puis $30$ km à $15$ km/h. La [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) sur tout le trajet n’est *pas* $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Calculer avec la définition :

1. temps : $\frac{30}{30} = 1$ h, puis $\frac{30}{15} = 2$ h ; total $3$ h ;
2. distance totale $60$ km, donc $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

L’étape lente dure plus longtemps, donc elle pèse plus — une moyenne de [vitesses](#def-g8-speed-def) doit être pondérée par le *temps*.

## 61.4 Exercices

**Exercice 61.1 ★.**

Calculer la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) : $150$ km en $2$ h ; $27$ km en $45$ min ; $100$ m en $12.5$ s.

**Solution de Exercice 61.1.**

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h : $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

**Exercice 61.2 ★.**

Calculer la distance : $2$ h à $85$ km/h ; $40$ min à $90$ km/h. Calculer le temps : $315$ km à $90$ km/h (en h et min).

**Solution de Exercice 61.2.**

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h : $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

**Exercice 61.3 ★.**

Convertir : $72$ km/h en m/s ; $5$ m/s en km/h ; $108$ km/h en m/s.

**Solution de Exercice 61.3.**

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

**Exercice 61.4 ★.**

Un robinet débite $15$ L/min. Combien de temps pour remplir un réservoir de $600$ L ? Combien de litres en $2$ h $30$ ?

**Solution de Exercice 61.4.**

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min : $15 \times 150 = 2250$ L.

**Exercice 61.5 ★.**

Quelle est la meilleure affaire : $1.2$ kg de pommes pour $3.30$ euros, ou $0.8$ kg pour $2.16$ euros ? Comparer les prix au kilogramme.

**Solution de Exercice 61.5.**

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euros/kg contre $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euros/kg : la seconde offre est (légèrement) la meilleure affaire.

**Exercice 61.6 ★.**

Une classe de $25$ élèves a une moyenne de $12.4$ à un contrôle ; une autre classe de $35$ élèves a une moyenne de $10$. Calculer la moyenne des deux classes réunies.

**Solution de Exercice 61.6.**

$$
\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60}
= \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .
$$

**Exercice 61.7 ★.**

Le son se propage à environ $340$ m/s. On voit un éclair et on entend le tonnerre $6$ secondes plus tard. À quelle distance a frappé l’éclair (à $100$ m près) ?

**Solution de Exercice 61.7.**

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

**Exercice 61.8 ★★.**

Un randonneur marche $2$ h à $5$ km/h, se repose $30$ min, puis marche $1$ h $30$ à $4$ km/h. Calculer la distance totale et la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) *y compris le repos* (distance totale sur le temps écoulé total).

**Solution de Exercice 61.8.**

Distances : $2 \times 5 = 10$ km, puis $1.5 \times 4 = 6$ km : total $16$ km. Temps écoulé : $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. [Vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) : $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

**Exercice 61.9 ★★.**

Notes avec coefficients : une élève a obtenu $15$ (coefficient $3$), $9$ (coefficient $2$) et $12$ (coefficient $1$). Calculer la [moyenne pondérée](#def-g8-speed-average). Quelle moyenne simple (non pondérée) aurait-elle, et pourquoi diffèrent-elles ?

**Solution de Exercice 61.9.**

Pondérée : $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1}
= \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$. Simple : $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$. Elles diffèrent car les coefficients donnent à la note $15$ trois fois le poids de la note $12$.

**Exercice 61.10 ★★.**

Une voiture parcourt $120$ km à $80$ km/h puis $120$ km à $120$ km/h.

1. Calculer la durée de chaque étape, puis la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) sur tout le trajet.
2. Expliquer pourquoi la réponse est inférieure à $100$ km/h, le milieu des deux [vitesses](#def-g8-speed-def) .

**Solution de Exercice 61.10.**

*1.* Temps : $\frac{120}{80} = 1.5$ h et $\frac{120}{120} = 1$ h. [Vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) : $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

*2.* La voiture passe *plus de temps* à $80$ km/h ($1.5$ h) qu’à $120$ km/h ($1$ h) : la [vitesse](#def-g8-speed-def) lente pèse plus dans la [moyenne pondérée](#def-g8-speed-average) par le temps, la tirant sous le milieu $100$.

**Exercice 61.11 ★★★.**

Deux villages sont distants de $18$ km. Anna part du premier à $10{:}00$ en marchant à $5$ km/h vers le second ; Boris part du second au même moment en marchant à $4$ km/h vers le premier. À quelle heure se rencontrent-ils, et à quelle distance du village d’Anna ? (Ensemble ils referment l’écart à $5 + 4$ km/h.)

**Solution de Exercice 61.11.**

L’écart de $18$ km se referme à $5 + 4 = 9$ km/h : ils se rencontrent après $\frac{18}{9} = 2$ h, à $12{:}00$. Anna a alors marché $2 \times 5 = 10$ km : ils se rencontrent à $10$ km du village d’Anna (et $8$ km de celui de Boris — vérification : $10 + 8 =
18$).

## 61.5 Problème : la moyenne harmonique, ou pourquoi le trajet de retour gâche la moyenne

**Problème 61.1.**

Devoir maison — la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) sur deux distances égales vaut $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, et elle ne dépasse jamais le milieu des deux [vitesses](#def-g8-speed-def)

[Exemple 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) et [Exercice 61.10](#exo-g8-speed-10) se sont toutes deux terminées par la même surprise : aller à une [vitesse](#def-g8-speed-def), revenir à une autre, et la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) tombe *en dessous* du milieu des deux. Ce problème trouve la formule exacte qui explique la surprise — un nouveau genre de moyenne, la *moyenne harmonique* — démontre que la surprise est un théorème, et la pousse jusqu’à son extrême logique : un rattrapage qu’aucune [vitesse](#def-g8-speed-def) au monde ne peut réaliser.

**Partie I — La formule de l’aller-retour.** Un trajet parcourt une distance $d$ à la [vitesse](#def-g8-speed-def) $v_1$, puis la même distance $d$ à la [vitesse](#def-g8-speed-def) $v_2$ (tous ces nombres étant positifs).

1. Exprimer les deux durées, puis la durée totale, sous forme de [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) faisant intervenir $d$ , $v_1$ , $v_2$ .
2. La [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) du trajet entier vaut $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) à étages ([Exemple 55.8](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#ex-g8-fractions-complex)). La simplifier et démontrer : $$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$$
3. Contrôler la formule sur les deux calculs cités plus haut : $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h ( [Exemple 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) ), et $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h ( [Exercice 61.10](#exo-g8-speed-10) ).
4. La distance $d$ a disparu de la formule. Qu’est-ce que cela signifie, concrètement, pour la cycliste ?
5. Supposons maintenant que le trajet passe la même *durée* $T$ à chaque [vitesse](#def-g8-speed-def) . Montrer que la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) vaut alors $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , le simple milieu. Dans le langage de la [Définition 61.7](#def-g8-speed-average) : par quelle grandeur une moyenne de [vitesses](#def-g8-speed-def) doit-elle toujours être pondérée, et qu’est-ce qui change d’un scénario à l’autre ?

**Partie II — Harmonique contre arithmétique.** Pour deux nombres positifs $v_1$, $v_2$, posons

$$
H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2}
\quad\text{(leur \emph{moyenne harmonique}),}
\qquad
A = \frac{v_1 + v_2}{2}
\quad\text{(leur \emph{moyenne arithmétique}).}
$$

6. Calculer $H$ et $A$ pour les couples $(30, 15)$ et $(80, 120)$ . Laquelle des deux moyennes l’emporte à chaque fois ?
7. Mettre $A - H$ au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $2(v_1 + v_2)$, développer le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) avec les identités remarquables ([Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1)), et démontrer : $$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$$
8. En déduire le théorème caché derrière toutes ces surprises : pour des [vitesses](#def-g8-speed-def) positives, $H \leq A$ toujours, avec égalité exactement lorsque $v_1 = v_2$ . Pourquoi un carré au [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) règle-t-il l’affaire ?
9. Démontrer l’élégante identité $H \times A = v_1 \times v_2$ : les deux moyennes redonnent, en se multipliant, le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de départ.
10. Une voiture parcourt $60$ km à $40$ km/h et $60$ km à $60$ km/h. Prévoir la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) par la formule, puis la confirmer par le chemin long, avec les durées et la distance totale.

**Partie III — Le rattrapage impossible.**

11. Une cycliste s’engage dans une course de $30$ km en espérant une moyenne de $30$ km/h. Quelle durée totale la course peut-elle prendre, au plus ? Elle parcourt les $15$ premiers kilomètres à $15$ km/h : que reste-t-il de ce budget-temps ?
12. Montrer que la moyenne espérée est devenue littéralement impossible : calculer sa [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) si elle parcourt la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) à $90$ km/h, et expliquer pourquoi même une [vitesse](#def-g8-speed-def) arbitrairement énorme la laisse en deçà de $30$ km/h.
13. Elle abaisse son objectif à $20$ km/h. Quelle [vitesse](#def-g8-speed-def) sur les $15$ derniers kilomètres l’atteint ? Vérifier la réponse avec la formule de la [moyenne harmonique](#pb-g8-speed-1) .
14. Un robinet d’eau froide remplit seul une baignoire en $20$ min ; un robinet d’eau chaude la remplit seul en $30$ min. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) de la baignoire les deux robinets ensemble remplissent-ils par minute, et combien de temps leur faut-il ? Comparer la réponse à $H(20, 30)$ — que remarque-t-on ?
15. Un avion effectue le même trajet à l’aller et au retour : $900$ km/h avec le vent, $700$ km/h contre lui. Calculer la [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def) de l’aller-retour, et expliquer en une phrase pourquoi un vent, quel qu’il soit, *allonge* toujours un aller-retour.

**Solution de Problème 61.1.**

**1.** D’après [Définition 61.1](#def-g8-speed-def), $t_1 = \frac{d}{v_1}$ et $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; le trajet entier dure $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ pour une distance de $2d$.

**2.** Factorisons $d$ au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et simplifions-le :

$$
\bar v
= \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}
= \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .
$$

[Dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun à l’intérieur : $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$, et diviser revient à multiplier par l’[inverse](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#def-g8-fractions-inverse) ([Théorème 55.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#thm-g8-fractions-div)) :

$$
\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .
$$

**3.** $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15}
= \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, comme dans [Exemple 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) ; et $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200}
= 96$ km/h, comme trouvé dans [Exercice 61.10](#exo-g8-speed-10).

**4.** La moyenne ne dépend que des deux [vitesses](#def-g8-speed-def), et pas de $d$ : un aller-retour de $1$ km et un aller-retour de $100$ km aux deux mêmes [vitesses](#def-g8-speed-def) ont exactement la même [vitesse moyenne](#def-g8-speed-def). (C’est pourquoi la formule a pu être contrôlée sur des trajets de longueurs différentes.)

**5.** En roulant la durée $T$ à chaque [vitesse](#def-g8-speed-def), les distances valent $v_1 T$ et $v_2 T$, donc

$$
\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T}
= \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T}
= \frac{v_1 + v_2}{2} .
$$

Une moyenne de [vitesses](#def-g8-speed-def) est toujours pondérée par le *temps* ([Définition 61.7](#def-g8-speed-average)). À durées égales, les deux [vitesses](#def-g8-speed-def) ont le même poids : c’est le simple milieu. À distances égales, la [vitesse](#def-g8-speed-def) la plus lente occupe *plus* de temps, donc davantage de poids — et la moyenne glisse vers elle.

**6.** Pour $(30, 15)$ : $H = 20$ et $A = 22.5$. Pour $(80, 120)$ : $H = 96$ et $A = 100$. La moyenne arithmétique l’emporte les deux fois.

**7.** Au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun $2(v_1 + v_2)$ :

$$
A - H
= \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,
$$

et le [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) se développe avec les identités du [Problème 57.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#pb-g8-equations-1) :

$$
(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2
= (v_1 - v_2)^2 .
$$

**8.** Un carré n’est jamais négatif, et $2(v_1 + v_2)$ est positif : donc $A - H \geq 0$, c’est-à-dire $H \leq A$, pour tout couple de [vitesses](#def-g8-speed-def) positives. L’égalité exige $(v_1 - v_2)^2 = 0$, c’est-à-dire $v_1 = v_2$ : dès que les deux [vitesses](#def-g8-speed-def) diffèrent, la moyenne de l’aller-retour tombe strictement en dessous du milieu — la surprise est un théorème.

**9.** Multiplions :

$$
H \times A
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2}
= v_1 v_2 ,
$$

après simplification du facteur $2$ et du facteur $v_1 + v_2$.

**10.** Par la formule : $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times
60}{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Par le chemin long : $\frac{60}{40} = 1.5$ h et $\frac{60}{60} = 1$ h, soit $120$ km en $2.5$ h : $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Les deux concordent.

**11.** Réaliser une moyenne de $30$ km/h sur $30$ km demande une durée totale d’au plus $\frac{30}{30} = 1$ h. Or les $15$ premiers kilomètres à $15$ km/h prennent déjà $\frac{15}{15} = 1$ h : le budget-temps *entier* est dépensé, avec la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du parcours restant à faire.

**12.** À $90$ km/h, la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) prend $\frac{15}{90} = \frac16$ h, donc la course dure $\frac76$ h et

$$
\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7
\text{ km/h} < 30 .
$$

Quelle que soit la [vitesse](#def-g8-speed-def) de la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half), sa durée est un nombre positif : la durée totale dépasse donc $1$ h et la moyenne reste strictement inférieure à $30$ km/h. (Par la formule : $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ imposerait $30 v_2 = 450 + 30 v_2$, c’est-à-dire $0 = 450$ — aucune [vitesse](#def-g8-speed-def) $v_2$ ne convient.)

**13.** Une moyenne de $20$ km/h autorise $\frac{30}{20} = 1.5$ h ; après la première heure, il reste $15$ km à faire en $0.5$ h : il lui faut $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h. Vérification : $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45}
= 20$ km/h.

**14.** Par minute, les robinets remplissent $\frac{1}{20}$ et $\frac{1}{30}$ de la baignoire ; ensemble

$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
= \frac{3}{60} + \frac{2}{60}
= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
$$

de la baignoire par minute : la baignoire se remplit en $12$ min. Et $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : les deux robinets réunis mettent exactement la *[moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la [moyenne harmonique](#pb-g8-speed-1)* de leurs durées individuelles — les débits s’ajoutent, on est donc encore en terrain de [moyenne harmonique](#pb-g8-speed-1).

**15.** Même distance à l’aller et au retour, donc

$$
\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700}
= \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},
$$

en dessous des $800$ km/h par air calme. En une phrase : l’avion passe *plus* de temps à voler contre le vent qu’avec lui, donc l’étape lente pèse davantage dans la [moyenne pondérée](#def-g8-speed-average) par le temps — un vent ne peut qu’allonger un aller-retour.