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title: "Pyramides et cônes"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones
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# Chapitre 62 — Pyramides et cônes

Après les [prismes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) et [cylindres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) du [Chapitre 53](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#ch-g7-areas) — [solides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à section constante — viennent les [solides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à pointe : [pyramides](#def-g8-solids-def) et [cônes](#def-g8-solids-def). Leur formule de [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) porte un célèbre facteur $\frac13$, que ce chapitre rend plausible et utilise ; l’étude des [solides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) se poursuit avec les sphères et les sections au [Chapitre 70](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/70-solides-et-volumes#ch-g9-solids).

## 62.1 Décrire pyramides et cônes

**Définition 62.1 (Pyramide, cône).**

- Une *pyramide* a un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) pour *base* et un point, le *[sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)* , joint à chaque [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de la base par des [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) triangulaires. Sa *hauteur* est la distance du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au plan de la base.
- Un *cône* est la même construction sur un disque : un disque de base, un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , et une surface latérale courbe.

Une pyramide est *régulière* lorsque sa base est un [polygone](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-polygon) régulier (carré, [triangle équilatéral](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles), …) et que son [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) se trouve à la verticale du centre de la base.

![Une pyramide à base carrée et un cône : une base polygonale ou circulaire, un sommet, et la hauteur mesurée perpendiculairement à la base.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-42633317b7a2.svg)

*Une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base carrée et un [cône](#def-g8-solids-def) : une base polygonale ou circulaire, un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), et la hauteur mesurée perpendiculairement à la base.*

**Exemple 62.2 (Compter faces, arêtes, sommets).**

Une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base carrée a $5$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ($1$ carré $+ 4$ triangles), $8$ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et $5$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def). Avec une base à $n$ côtés : $n + 1$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $2n$ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $n + 1$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def). Vérifier le petit motif d’Euler : [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $+$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $=$ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $+ 2$.

## 62.2 Volume

**Théorème 62.3 (Volume d’une pyramide ou d’un cône).**

Pour une [pyramide](#def-g8-solids-def) ou un [cône](#def-g8-solids-def) d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $B$ et de hauteur $h$ :

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— un tiers du [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) ou du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) de même base et même hauteur. Pour un [cône](#def-g8-solids-def) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de base $r$ : $V = \frac13 \pi r^2 h$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 62.4 (Pourquoi un tiers ?).**

Remplir une [pyramide](#def-g8-solids-def) creuse d’eau et la verser dans le [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) de même base et même hauteur : il faut exactement trois remplissages. Mieux encore : un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) peut se découper en trois [pyramides](#def-g8-solids-def) identiques, chacune ayant une [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) pour base et un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) pour apex (essayer de se le représenter !). Une preuve générale utilise l’intégration, un outil du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant.

**Exemple 62.5.**

Une [pyramide](#def-g8-solids-def) a une base carrée de côté $5$ cm et une hauteur de $9$ cm :

1. [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base : $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
2. [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Un cornet de glace de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm et de hauteur $10$ cm :

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ cm}^3 .
$$

**Exemple 62.6 (Attention à la hauteur).**

Pour un [cône](#def-g8-solids-def), ne pas confondre la hauteur $h$ ([sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au centre de la base, [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)) avec la *génératrice* $s$ ([sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au bord). Elles sont liées par Pythagore ([Théorème 58.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#thm-g8-pythagoras-direct)) dans le [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) sommet–centre–bord :

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

Un [cône](#def-g8-solids-def) avec $r = 3$ et $s = 5$ a donc pour hauteur $h = \sqrt{25 - 9} = 4$, et pour [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

**Méthode 62.7 (Problèmes de volume).**

1. Identifier le [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ( [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) / [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ; [pyramide](#def-g8-solids-def) / [cône](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ ) ;
2. calculer d’abord l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $B$ , comme une étape séparée ;
3. vérifier que la hauteur est [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la base (utiliser Pythagore si la génératrice est donnée) ;
4. multiplier, garder des unités cohérentes, convertir à la fin si besoin ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

## 62.3 Patrons

**Exemple 62.8 (Patron d’une pyramide).**

Déplier une [pyramide](#def-g8-solids-def) régulière à base carrée la met à plat en son *[patron](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-net)* : la base carrée avec quatre [triangles isocèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) identiques attachés à ses côtés. Les côtés égaux des triangles sont les *[arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) latérales* de la [pyramide](#def-g8-solids-def) — leur longueur n’est ni $h$ ni la hauteur d’une [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), donc étiqueter soigneusement avant de découper le carton.

![Le patron d’une pyramide à base carrée : replier les quatre triangles jusqu’à ce que leurs sommets se rejoignent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-da4b2a2f34de.svg)

*Le [patron](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-net) d’une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base carrée : replier les quatre triangles jusqu’à ce que leurs [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) se rejoignent.*

## 62.4 Exercices

**Exercice 62.1 ★.**

Combien de [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), d’[arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) a une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base triangulaire (un *tétraèdre*) ? À base hexagonale ?

**Solution de Exercice 62.1.**

Tétraèdre : $4$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $6$ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $4$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$). Base hexagonale : $7$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $12$ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $7$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$).

**Exercice 62.2 ★.**

Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) d’une [pyramide](#def-g8-solids-def) d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $36$ cm$^2$ et de hauteur $10$ cm ; d’une [pyramide](#def-g8-solids-def) de base rectangulaire $6 \times 4$ cm et de hauteur $7.5$ cm.

**Solution de Exercice 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm$^3$.

Base rectangulaire : $B = 24$ cm$^2$, donc $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm$^3$.

**Exercice 62.3 ★.**

Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) d’un [cône](#def-g8-solids-def) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm et de hauteur $9$ cm (exact avec $\pi$, puis [arrondi](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-rounding) au cm$^3$).

**Solution de Exercice 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm$^3$.

**Exercice 62.4 ★.**

Un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) et un [cône](#def-g8-solids-def) ont le même [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm et la même hauteur $12$ cm. Calculer les deux [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume). Quel est leur rapport ?

**Solution de Exercice 62.4.**

[Cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) : $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm$^3$. [Cône](#def-g8-solids-def) : $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm$^3$. Rapport : le [cône](#def-g8-solids-def) est le tiers du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism).

**Exercice 62.5 ★.**

Une [pyramide](#def-g8-solids-def) a pour [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) $56$ cm$^3$ et pour hauteur $8$ cm. Quelle est son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base ? (Écrire la formule du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) et résoudre.)

**Solution de Exercice 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$, donc $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm$^2$.

**Exercice 62.6 ★.**

Esquisser le [patron](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-net) d’un [cône](#def-g8-solids-def) (un disque pour la base, et un secteur d’un disque plus grand pour la surface latérale). Quelle mesure du [cône](#def-g8-solids-def) est le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de ce secteur : la hauteur $h$ ou la génératrice $s$ ?

**Solution de Exercice 62.6.**

La surface latérale se déroule en un secteur de disque dont le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) est la *génératrice* $s$ (la distance du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au bord — ce [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) est sur la surface), et non la hauteur $h$.

**Exercice 62.7 ★★.**

La [pyramide](#def-g8-solids-def) du Louvre a une base carrée de côté environ $35$ m et une hauteur d’environ $22$ m. Estimer son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume), à la centaine de mètres cubes près.

**Solution de Exercice 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ — environ $9\,000$ mètres cubes.

**Exercice 62.8 ★★.**

Un [cône](#def-g8-solids-def) a pour génératrice $13$ cm et pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de base $5$ cm. Calculer sa hauteur, puis son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) (exact avec $\pi$).

**Solution de Exercice 62.8.**

Hauteur : $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm$^3$.

**Exercice 62.9 ★★.**

Un verre conique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm et de hauteur $9$ cm est rempli à ras bord, puis versé dans un verre cylindrique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm. Quelle hauteur le liquide atteint-il dans le [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) ?

**Solution de Exercice 62.9.**

Même [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes), donc le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du [cône](#def-g8-solids-def) est le tiers du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) *pour la même hauteur* : le liquide atteint $\frac{9}{3} = 3$ cm dans le [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism).

**Exercice 62.10 ★★.**

Un sablier est formé de deux [cônes](#def-g8-solids-def) identiques ([rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm, hauteur $4.5$ cm) joints par leurs [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def). Tout le sable remplit exactement un [cône](#def-g8-solids-def). Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de sable (exact, puis en cm$^3$ [arrondi](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-rounding) au dixième), et la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) intérieur total du sablier occupée par le sable.

**Solution de Exercice 62.10.**

Sable $=$ un [cône](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi
\approx 18.8$ cm$^3$. Le sablier contient deux tels [cônes](#def-g8-solids-def), donc le sable remplit exactement la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) intérieur total.

**Exercice 62.11 ★★★.**

Une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base carrée de côté $6$ cm a son [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à la verticale d’un coin de la base, à la hauteur $8$ cm.

1. La formule $V = \frac13 Bh$ s’applique-t-elle encore ? (Oui — le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) n’a pas besoin d’être centré. Calculer $V$ .)
2. Calculer la longueur de la plus longue [arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) latérale, du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au coin opposé de la base (deux étapes de Pythagore : la diagonale de la base d’abord).

**Solution de Exercice 62.11.**

*1.* Oui : la formule $V = \frac13 Bh$ vaut pour toute position du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), tant que $h$ est la distance [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) au plan de la base. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm$^3$.

*2.* Diagonale de la base : $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. La plus longue [arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) latérale est l’hypoténuse d’un [triangle rectangle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/41-triangles-et-quadrilateres#def-g6-shapes-triangles) de côtés de l’[angle droit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-rightangle) $6\sqrt2$ (dans le plan de la base) et $8$ (vertical) :

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ cm}.
$$

## 62.5 Problème : un cube découpé en trois pyramides

**Problème 62.1.**

Devoir maison — d’où vient le facteur $\frac13$, et ce qu’il advient d’une pyramide coupée à mi-hauteur

La remarque qui suit [Théorème 62.3](#thm-g8-solids-volume) affirme qu’un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) peut se découper en trois [pyramides](#def-g8-solids-def) identiques — « essayer de se le représenter ! ». Ce problème se le représente précisément, en tire honnêtement le fameux facteur $\frac13$, découpe ensuite le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’une seconde façon en *six* [pyramides](#def-g8-solids-def), et s’achève en tranchant une [pyramide](#def-g8-solids-def) à mi-hauteur — avec un résultat que peu de gens devinent correctement du premier coup.

Partout, $ABCDEFGH$ est un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’[arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $a$ : base $ABCD$, [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) supérieure $EFGH$, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$.

**Partie I — Trois [pyramides](#def-g8-solids-def) de même [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).**

1. Le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $G$ appartient à trois [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) . Énumérer les trois [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) qui ne contiennent *pas* $G$ , et décrire les trois [pyramides](#def-g8-solids-def) obtenues en prenant chacune d’elles pour base, avec $G$ pour [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à chaque fois. Combien chaque [pyramide](#def-g8-solids-def) a-t-elle de [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , d’ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et de [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ( [Exemple 62.2](#ex-g8-solids-count) ) ?
2. Expliquer pourquoi faire tourner le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’un tiers de tour autour de sa grande diagonale $(AG)$ laisse le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) inchangé mais permute circulairement les trois bases de la question 1 — et pourquoi les trois [pyramides](#def-g8-solids-def) sont donc des copies identiques les unes des autres.
3. En admettant que les trois [pyramides](#def-g8-solids-def) remplissent le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sans se chevaucher (une maquette en carton est fort convaincante), en déduire le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de chacune.
4. Contrôler ce résultat avec la formule du [Théorème 62.3](#thm-g8-solids-volume) : la [pyramide](#def-g8-solids-def) de base $ABCD$ et de [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $G$ a son [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à la verticale d’un *coin* de sa base, exactement comme dans [Exercice 62.11](#exo-g8-solids-11) . Identifier sa hauteur, appliquer la formule, et comparer.
5. Pour un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’ [arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $6$ cm, donner le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de chacune des trois [pyramides](#def-g8-solids-def) — et expliquer le rapport entre cette décomposition et l’expérience du transvasement du chapitre (trois remplissages de la [pyramide](#def-g8-solids-def) pour un [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) ).

**Partie II — Six [pyramides](#def-g8-solids-def) de même [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), le centre.** Soit maintenant $O$ le centre du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ; joindre $O$ aux quatre [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de chacune des six [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

6. Décrire les six [pyramides](#def-g8-solids-def) obtenues, et expliquer pourquoi elles sont des copies identiques les unes des autres. Quelle est la hauteur de chacune ?
7. En déduire, en partageant le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de chacune des six [pyramides](#def-g8-solids-def) .
8. Recalculer ce [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) avec la formule $V = \frac13 B h$ , et vérifier que les deux réponses concordent.
9. Les deux décompositions confirment le facteur $\frac13$ pour des [pyramides](#def-g8-solids-def) très particulières. Expliquer pourquoi elles ne *démontrent* pas encore [Théorème 62.3](#thm-g8-solids-volume) pour toute [pyramide](#def-g8-solids-def) et tout [cône](#def-g8-solids-def) — et dire comment le chapitre traite cette lacune : quel énoncé est admis, quelle expérience l’appuie, et dans quel [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de la série il est honnêtement démontré.
10. Un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’ [arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $6$ cm est découpé en ses six [pyramides](#def-g8-solids-def) de centre. Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de chacune, des deux façons.

**Partie III — Couper une [pyramide](#def-g8-solids-def) à mi-hauteur.** $SABCD$ est une [pyramide](#def-g8-solids-def) régulière à base carrée : côté de base $c$, hauteur $h$, [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $S$ à la verticale du centre de la base. La couper par le plan passant par les *milieux* des quatre [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) latérales $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$.

11. Appliquer le théorème des milieux ( [Théorème 59.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#thm-g8-midpoints-direct) ) dans le triangle $SAB$ : quelles sont la direction et la longueur du [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) joignant les milieux de $[SA]$ et de $[SB]$ ? En déduire que la section est un carré de côté $\frac{c}{2}$ , [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la base, à la hauteur $\frac{h}{2}$ .
12. Le morceau situé au-dessus de la coupe est lui-même une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base carrée. Donner son côté de base et sa hauteur, et montrer que son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) vaut exactement le *huitième* du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) initial $V$ .
13. En déduire le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du morceau inférieur (le *tronc de [pyramide](#def-g8-solids-def)* , la forme d’une [pyramide](#def-g8-solids-def) inachevée). Dans quel rapport la coupe à mi-hauteur partage-t-elle le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ?
14. La [pyramide](#def-g8-solids-def) du Louvre ( [Exercice 62.7](#exo-g8-solids-7) : côté de base $35$ m, hauteur $22$ m) est nettoyée en deux campagnes : le verre situé au-dessus de la mi-hauteur, puis celui situé en dessous. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#def-g6-fractions-def) du *[volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume)* se trouve sous la mi-hauteur ? L’estimer en mètres cubes, à la centaine près.
15. La morale générale : si *toutes* les dimensions d’une [pyramide](#def-g8-solids-def) sont multipliées par $2$ , qu’arrive-t-il à son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ? Par quel facteur le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) est-il multiplié lorsque chaque dimension est multipliée par $k$ — et comment cela explique-t-il, en une ligne, le « huitième » de la question 12 ?

**Solution de Problème 62.1.**

**1.** $G$ appartient à la [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) supérieure $EFGH$ et aux deux [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) latérales $BCGF$ et $DCGH$. Les trois [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) qui ne contiennent *pas* $G$ sont la base $ABCD$, la [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) avant $ABFE$ et la [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) gauche $ADHE$ (elles ont toutes le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $A$ en commun, le coin opposé à $G$). Les trois [pyramides](#def-g8-solids-def) sont $ABCDG$, $ABFEG$ et $ADHEG$ : chacune a pour base une [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) carrée du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) et pour [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) le lointain $G$. Chacune est une [pyramide](#def-g8-solids-def) à base carrée : $5$ [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $8$ [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $5$ [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ([Exemple 62.2](#ex-g8-solids-count)).

**2.** La grande diagonale $[AG]$ joint les deux seuls [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) n’appartenant à aucune des trois bases. Une rotation d’un tiers de tour autour de la droite $(AG)$ envoie le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) sur lui-même (les trois [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) issues de $A$ — vers $B$, $D$, $E$ — sont permutées circulairement, de même que les trois [arêtes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) aboutissant à $G$). Elle transporte la base $ABCD$ sur $ADHE$, puis $ADHE$ sur $ABFE$, et ainsi de suite : les [sommets](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) restent en $G$, les bases tournent. Chaque [pyramide](#def-g8-solids-def) est ainsi transportée sur la suivante : les trois sont des copies identiques.

**3.** Trois morceaux identiques remplissant le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) s’en partagent le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) à parts égales :

$$
V_{\text{pyramide}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** La [pyramide](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ a pour base $ABCD$, d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $a^2$, et son [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $G$ se trouve à la verticale du coin $C$, à la hauteur $CG = a$ (une [arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) verticale du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)). Comme dans [Exercice 62.11](#exo-g8-solids-11), la formule s’applique avec la hauteur [perpendiculaire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) $h = a$ :

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

en parfait accord avec la question 3 — la décomposition et la formule se confirment l’une l’autre.

**5.** Pour $a = 6$ : $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ chacune. L’expérience du transvasement est cette décomposition rendue liquide : le [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) de base $ABCD$ et de hauteur $a$ est le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) lui-même, et il contient exactement trois remplissages de la [pyramide](#def-g8-solids-def) — ici, les trois remplissages s’assemblent même géométriquement en le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**6.** Joindre le centre $O$ aux quatre coins de chaque [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) six [pyramides](#def-g8-solids-def), une par [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : base carrée, [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) $O$. Le centre est également placé par rapport aux six [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) (toute rotation ou symétrie du [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) fixe $O$ et permute les [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)) : les six [pyramides](#def-g8-solids-def) sont donc identiques. La hauteur de chacune est la distance de $O$ à une [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de l’[arête](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $\frac{a}{2}$.

**7.** Six morceaux identiques se partagent le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : $V = \frac{a^3}{6}$ chacun.

**8.** Par la formule : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $a^2$, hauteur $\frac a2$ :

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

Les deux réponses concordent.

**9.** Les deux décompositions ne concernent que des [pyramides](#def-g8-solids-def) aux proportions très particulières, taillées dans un [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ; une [pyramide](#def-g8-solids-def) élancée, une [pyramide](#def-g8-solids-def) de guingois ou un [cône](#def-g8-solids-def) ne s’assemblent pas ainsi (trois [cônes](#def-g8-solids-def) ne remplissent pas un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism)). C’est pourquoi [Théorème 62.3](#thm-g8-solids-volume) est *admis* à ce niveau : les décompositions et l’expérience du transvasement rendent le $\frac13$ tout à fait crédible, et la démonstration générale honnête — l’intégration — est donnée dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant.

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$ ; et par la formule, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Les deux concordent.

**11.** Dans le triangle $SAB$, les milieux des côtés $[SA]$ et $[SB]$ sont joints par un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(AB)$ et de longueur $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ ([Théorème 59.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#thm-g8-midpoints-direct)). Il en va de même sur chaque [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) latérale : les quatre milieux forment donc un carré de côté $\frac c2$, aux côtés [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à ceux de la base. Sur la verticale issue du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), la coupe passe au milieu de la hauteur (à nouveau le théorème des milieux, dans un triangle passant par $S$, le centre de la base et un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de la base) : le plan de coupe se situe à la hauteur $\frac h2$.

**12.** Le morceau supérieur est une [pyramide](#def-g8-solids-def) régulière à base carrée, de côté de base $\frac c2$ et de hauteur $\frac h2$ (sa base est la section, son [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) est $S$). Son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) vaut

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

le huitième du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) initial — et non la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half).

**13.** Le tronc de [pyramide](#def-g8-solids-def) garde le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. La coupe à mi-hauteur partage donc le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) dans le rapport $1 : 7$ — la dalle du bas, d’apparence modeste, contient sept fois le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de la pointe.

**14.** Sous la mi-hauteur se trouvent les $\frac78$ du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume). Avec $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx
8\,983$ m$^3$ ([Exercice 62.7](#exo-g8-solids-7)) :

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ m}^3
$$

à la centaine près — la campagne de la « [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) inférieure » nettoie près de huit fois le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de verre de la campagne supérieure.

**15.** Doubler toutes les dimensions multiplie l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base par $2^2 = 4$ et la hauteur par $2$, donc le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) par $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Un agrandissement de rapport $k$ multiplie les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) par $k^2$ et une longueur de plus par $k$ : les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) sont donc multipliés par $k^3$. Le morceau supérieur de la question 12 est une réduction de la [pyramide](#def-g8-solids-def) entière de rapport $k = \frac12$ : son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) vaut donc $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ du tout — voilà l’explication en une ligne.