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title: "Fractions et puissances"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 63
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances
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# Chapitre 63 — Fractions et puissances

[Fractions](#def-g9-fractions-fraction) et [puissances](#def-g9-fractions-power) sont les outils quotidiens du calcul : partager des quantités, comparer des proportions, écrire des nombres très grands ou très petits. Ce chapitre consolide les règles pour calculer avec elles — avec chaque étape intermédiaire écrite — et introduit la [notation scientifique](#def-g9-fractions-scientific).

## 63.1 Calculer avec des fractions

**Définition 63.1 (Fraction).**

Une *fraction* $\dfrac ab$ (avec $b \neq 0$) est le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) de $a$ par $b$. Deux fractions sont égales lorsque l’une s’obtient de l’autre en multipliant (ou divisant) [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) par le même nombre non nul :

$$
\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
$$

**Exemple 63.2.**

Simplifier $\dfrac{42}{56}$ étape par étape :

$$
\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28}
= \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .
$$

(Au [Chapitre 64](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#ch-g9-arith) le plus grand commun [diviseur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) fera cela en une seule étape.)

**Méthode 63.3 (Additionner et soustraire des fractions).**

1. Mettre les deux [fractions](#def-g9-fractions-fraction) sur un *[dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun* (un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) commun des deux [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) ) ;
2. additionner ou soustraire les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) , en gardant le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) ;
3. simplifier le résultat si possible.

**Exemple 63.4.**

Calculer $\dfrac56 + \dfrac34$. Un [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun de $6$ et $4$ est $12$ :

$$
\frac56 + \frac34
= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}
= \frac{19}{12}.
$$

Calculer $2 - \dfrac37$. Écrire $2$ comme [fraction](#def-g9-fractions-fraction) sur $7$ :

$$
2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
$$

![Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en 12 cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, 10 + 9 = 19 douzièmes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-49c3774c1a9a.svg)

*Pourquoi un [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) commun : découper les deux entiers en $12$ cases égales rend les [fractions](#def-g9-fractions-fraction) comparables et additionnables — ensemble, $10 + 9 = 19$ douzièmes.*

**Méthode 63.5 (Multiplier et diviser des fractions).**

1. Pour multiplier, multiplier les [numérateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) entre eux et les [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) entre eux : $\dfrac ab \times \dfrac cd =  \dfrac{ac}{bd}$ (simplifier *avant* de multiplier dès que possible) ;
2. pour diviser, multiplier par l’ [inverse](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#def-g8-fractions-inverse) du [diviseur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) : $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

**Exemple 63.6.**

$$
\frac{7}{15} \times \frac{25}{14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7}
= \frac{25}{30} = \frac56,
$$

où l’on a simplifié par le facteur commun $7$, puis par $5$. Et une division :

$$
\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}
= \frac34 \times \frac89
= \frac{3 \times 8}{4 \times 9}
= \frac{24}{36} = \frac23 .
$$

## 63.2 Puissances

**Définition 63.7 (Puissance).**

Pour un nombre réel $a$ et un entier positif $n$, la *puissance* $a^n$ est le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de $n$ facteurs égaux à $a$ :

$$
a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} .
$$

Par convention $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$), et les [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) négatifs désignent les [inverses](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#def-g8-fractions-inverse) :

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
$$

**Exemple 63.8.**

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ; $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -(3^2) = -9$ (l’[exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) lie avant le signe moins) ; $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ ; $5^1 = 5$ et $5^0 = 1$.

**Théorème 63.9 (Règles des exposants).**

Pour tous $a$, $b$ non nuls et tous entiers $m$, $n$ :

$$
a^m \times a^n = a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},
\qquad
\left(a^m\right)^n = a^{mn},
\qquad
(ab)^n = a^n b^n .
$$

**Démonstration.** Pour les [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) positifs, compter les facteurs. Pour la première règle : $a^m \times a^n$ est $m$ facteurs $a$ suivis de $n$ facteurs $a$, au total $m + n$ facteurs. Pour la troisième : $\left(a^m\right)^n$ répète $n$ fois un bloc de $m$ facteurs, donnant $mn$ facteurs. Les deux autres règles sont analogues ; l’extension aux [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) nuls et négatifs se vérifie à partir de $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (et rend la convention $a^0 = 1$ le seul choix cohérent, puisque $a^n \times a^0$ doit valoir $a^{n+0} = a^n$). ∎

**Exemple 63.10.**

Simplifier étape par étape :

$$
\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4}
= \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4}
= \frac{3^5}{3^4}
= 3^{5-4} = 3^1 = 3 .
$$

Et avec deux lettres : $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$.

## 63.3 Puissances de dix et notation scientifique

**Proposition 63.11 (Puissances de dix).**

Pour un entier positif $n$ : $10^n$ s’écrit « $1$ suivi de $n$ [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) », et $10^{-n} = 0.0\dots01$ avec le $1$ à la $n$-ième place décimale. Multiplier un [nombre décimal](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-places) par $10^n$ (resp. $10^{-n}$) décale sa [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) de $n$ places vers la droite (resp. la gauche).

**Définition 63.12 (Notation scientifique).**

La *notation scientifique* d’un [nombre décimal](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-places) positif est la façon unique de l’écrire sous la forme

$$
a \times 10^n,
\qquad\text{avec } 1 \leq a < 10 \text{ et } n \text{ un entier.}
$$

**Exemple 63.13.**

La distance Terre–Soleil est d’environ $149\,600\,000$ km $= 1.496
\times 10^8$ km. La taille d’une molécule d’eau est d’environ $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Pour calculer avec de tels nombres, regrouper les parties décimales et les [puissances](#def-g9-fractions-power) de dix :

$$
(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2})
= (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)}
= 7.5 \times 10^{3}.
$$

**Méthode 63.14 (Mettre un nombre en notation scientifique).**

1. Déplacer la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) juste après le premier chiffre non nul ; cela donne le facteur $a$ avec $1 \leq a < 10$ ;
2. compter le nombre de places dont la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) a bougé : ce décompte est $n$ , positif si le nombre d’origine était $\geq 10$ , négatif s’il était $< 1$ ;
3. vérifier : $a \times 10^n$ doit reproduire le nombre d’origine.

## 63.4 Exercices

**Exercice 63.1 ★.**

Calculer et donner le résultat sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) entièrement simplifiée :

$$
\frac13 + \frac15, \qquad
\frac72 - \frac53, \qquad
\frac{5}{12} + \frac38, \qquad
3 - \frac45 .
$$

**Solution de Exercice 63.1.**

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$.

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$.

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} =
\dfrac{19}{24}$.

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$.

**Exercice 63.2 ★.**

Calculer et simplifier :

$$
\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad
\frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad
\frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
$$

**Solution de Exercice 63.2.**

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35}
= \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (simplifier par $9$ et par $5$).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54
= \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$.

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4}
{3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (les $3$ et les $4$ s’annulent).

**Exercice 63.3 ★.**

Calculer :

$$
2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad
\left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
$$

**Solution de Exercice 63.3.**

$2^5 = 32$ ; $(-2)^4 = 16$ ; $-2^4 = -16$ ; $4^{-2} = \frac{1}{16}$ ; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$ ; $7^0 = 1$.

**Exercice 63.4 ★.**

Écrire comme une seule [puissance](#def-g9-fractions-power) :

$$
5^3 \times 5^6, \qquad
\frac{7^9}{7^5}, \qquad
\left(2^3\right)^4, \qquad
\frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad
2^5 \times 4 .
$$

**Solution de Exercice 63.4.**

$5^3 \times 5^6 = 5^9$ ; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$ ; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ ; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$ ; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$.

**Exercice 63.5 ★.**

Écrire en [notation scientifique](#def-g9-fractions-scientific) : $45\,000$ ; $0.0072$ ; $302.5$ ; $0.000\,000\,9$ ; douze millions.

**Solution de Exercice 63.5.**

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$ ; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ ; $302.5 = 3.025 \times 10^2$ ; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$ ; douze millions $= 1.2 \times 10^7$.

**Exercice 63.6 ★★.**

Calculer, en donnant le résultat en [notation scientifique](#def-g9-fractions-scientific) :

$$
(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}),
\qquad
\frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}},
\qquad
(5 \times 10^3)^2 .
$$

**Solution de Exercice 63.6.**

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$.

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)}
= 3 \times 10^7$.

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$.

**Exercice 63.7 ★★.**

Un réservoir est plein aux $\frac35$. Après avoir ajouté $30$ litres, il est plein aux $\frac34$. Quelle est la capacité du réservoir ? (Exprimer d’abord la [fraction](#def-g9-fractions-fraction) ajoutée du réservoir.)

**Solution de Exercice 63.7.**

L’eau ajoutée représente $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ du réservoir. Donc $\frac{3}{20}$ de la capacité vaut $30$ litres : $\frac{1}{20}$ vaut $10$ litres, et la capacité est $200$ litres.

**Exercice 63.8 ★★.**

Alice mange $\frac14$ d’un gâteau, puis Ben mange $\frac13$ de ce qui reste, puis Carla mange $\frac12$ de ce qui reste encore. Quelle [fraction](#def-g9-fractions-fraction) du gâteau reste-t-il à la fin ? (Calculer le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) après chaque étape.)

**Solution de Exercice 63.8.**

Après Alice : $1 - \frac14 = \frac34$ du gâteau [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder). Ben mange $\frac13 \times \frac34 = \frac14$, laissant $\frac34 - \frac14 = \frac12$. Carla mange la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de cela, $\frac14$, laissant $\frac14$ du gâteau.

**Exercice 63.9 ★★.**

La lumière parcourt $3 \times 10^8$ mètres par seconde. Le Soleil est à environ $1.5 \times 10^{11}$ m. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle à nous atteindre ? Donner la réponse en secondes ([notation scientifique](#def-g9-fractions-scientific) non nécessaire), puis en minutes et secondes.

**Solution de Exercice 63.9.**

Temps $= \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} =
\dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ secondes, soit $8$ minutes et $20$ secondes.

**Exercice 63.10 ★★★.**

Lequel est plus grand, $2^{30}$ ou $3^{20}$ ? (Indication : écrire les deux comme des [puissances](#def-g9-fractions-power) d’[exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) $10$ en utilisant $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$, et comparer $2^3$ avec $3^2$.)

**Solution de Exercice 63.10.**

Écrire les deux nombres comme [puissances](#def-g9-fractions-power) d’[exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) $10$ :

$$
2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10},
\qquad
3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.
$$

Puisque $8 < 9$, en multipliant dix copies de chacun : $8^{10} <
9^{10}$, donc $2^{30} < 3^{20}$.

## 63.5 Problème : le code secret des décimales périodiques

**Problème 63.1.**

Devoir maison — toute fraction a une écriture décimale qui s’arrête ou se répète, tout décimal périodique est une fraction, et $0.999\ldots$ vaut exactement $1$

Divisons $3$ par $11$ : les chiffres se mettent à psalmodier, $0.272727\ldots$ sans fin. Divisons $1$ par $4$ : les chiffres s’arrêtent net, $0.25$. Ce problème démontre que ce sont là les deux seuls comportements possibles pour une [fraction](#def-g9-fractions-fraction) — puis il [inverse](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/55-fractions-les-quatre-operations#def-g8-fractions-inverse) la machine : étant donné un décimal périodique quelconque, il reconstitue la [fraction](#def-g9-fractions-fraction) qui se cache derrière. En chemin, il règle une fois pour toutes l’égalité la plus discutée des mathématiques scolaires.

**Partie I — De la [fraction](#def-g9-fractions-fraction) au décimal.**

1. Calculer, en posant la division, les écritures décimales de $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ et $\frac{3}{11}$ . Lesquelles s’arrêtent, lesquelles se répètent, et avec quelle période ?
2. Expliquer pourquoi l’écriture décimale de *n’importe quelle* [fraction](#def-g9-fractions-fraction) $\frac ab$ doit soit s’arrêter, soit finir par se répéter. (Dans la division posée par $b$ , quelles valeurs les [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) successifs peuvent-ils prendre ? Que se passe-t-il à l’instant où un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) apparaît pour la seconde fois ?)
3. Pousser la division de $1$ par $7$ assez loin pour trouver la période. Quelle est sa longueur, et comment cette longueur se compare-t-elle à la borne promise par la question 2 ?
4. Certaines [fractions](#def-g9-fractions-fraction) s’arrêtent parce que leur [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) peut être gonflé jusqu’à une [puissance](#def-g9-fractions-power) de dix : $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . Expliquer le critère, et pourquoi aucun multiplicateur entier ne pourra jamais transformer $3$ , $6$ ou $11$ en $10$ , $100$ , $1000, \dots$ (par quel chiffre le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) finirait-il ?).
5. Sans poser de division, ranger $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ et $\frac{33}{50}$ en « s’arrête » et « se répète », puis donner l’écriture décimale des deux qui s’arrêtent.

**Partie II — Du décimal périodique à la [fraction](#def-g9-fractions-fraction).**

6. L’astuce du décalage. Posons $x = 0.7777\ldots$ Calculer $10x$ , puis $10x - x$ , et en déduire $x$ sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) . Vérifier en posant la division.
7. Posons $x = 0.727272\ldots$ Quelle [puissance](#def-g9-fractions-power) de dix décale $x$ d’exactement une période ? S’en servir pour écrire $x$ sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) irréductible.
8. Un cas mixte : $x = 0.58333\ldots$ (seul le $3$ se répète). Calculer $1000x - 100x$ et en déduire $x$ sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) irréductible.
9. La célèbre : appliquer l’astuce du décalage à $x = 0.9999\ldots$ Quelle [fraction](#def-g9-fractions-fraction) — quel *nombre* — trouve-t-on ? Réconcilier le résultat avec son intuition, en se souvenant du voisin fantôme du [Problème 38.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#pb-g6-decimals-1) et du [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) qui rétrécit du [Problème 39.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#pb-g6-fractions-1) : $0.999\ldots$ est-il « juste en dessous » de $1$ , ou bien un autre nom pour $1$ ?
10. Convertir $2.454545\ldots$ et $0.123123123\ldots$ en [fractions](#def-g9-fractions-fraction) irréductibles.

**Partie III — Le dictionnaire achevé.**

11. Les questions 6 à 10 suggèrent un dictionnaire : une période de $k$ chiffres démarrant juste après la [virgule](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/25-dixiemes-et-centiemes#def-g4-decimals-point) vaut cette période sur $k$ neufs ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Utiliser le dictionnaire pour prévoir $0.037037\ldots$ sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) , simplifier — et s’émerveiller : quelle [fraction](#def-g9-fractions-fraction) étonnamment simple psalmodie « $037$ » ? Le vérifier en posant la division.
12. Combiner le dictionnaire avec un décalage : écrire $0.0272727\ldots$ sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) irréductible.
13. Le nombre $0.101001000100001\ldots$ (un $1$ , puis un $0$ , puis un $1$ , puis deux $0$ , puis un $1$ , puis trois $0$ , et ainsi de suite) ne s’arrête jamais. Est-ce un décimal périodique ? Que dit alors la partie I à son sujet — peut-il être une [fraction](#def-g9-fractions-fraction) ? (On vient de rencontrer son premier nombre démontrablement *irrationnel* ; le plus célèbre est démasqué au [Chapitre 65](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/65-racines-carrees#ch-g9-sqrt) .)
14. Combien de chiffres a $2^{30}$ , en gros ? Utiliser $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ et les règles des [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) ( [Théorème 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) pour écrire $2^{30}$ en [notation scientifique](#def-g9-fractions-scientific) (approchée), et conclure. (Comparer avec [Exercice 63.10](#exo-g9-fractions-10) .)
15. Bouquet final : écrire $0.20262026\ldots$ sous forme de [fraction](#def-g9-fractions-fraction) , et énoncer la morale à double sens de tout le problème : quelles écritures décimales sont des [fractions](#def-g9-fractions-fraction) , et quelles [fractions](#def-g9-fractions-fraction) ont quelles écritures décimales ?

**Solution de Problème 63.1.**

**1.** $\frac14 = 0.25$ (s’arrête) ; $\frac13 = 0.333\ldots$ (période $3$) ; $\frac56 = 0.8333\ldots$ (période $3$ après le $8$) ; $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (période $27$).

**2.** À chaque étape de la division par $b$, le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) est l’une des $b$ valeurs $0, 1, \dots, b - 1$ ([Théorème 37.7](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#thm-g6-wholes-division)). Si un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ apparaît, la division s’arrête. Sinon, après au plus $b$ étapes, un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) doit réapparaître — il y a plus d’étapes que de [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) possibles — et à partir de cet instant la division reproduit exactement la suite de chiffres qu’elle avait produite après la première apparition : l’écriture décimale tourne en boucle indéfiniment. S’arrêter ou se répéter : il n’existe pas de troisième comportement.

**3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$ : la période $142857$ est de longueur $6$. La question 2 promettait une répétition en au plus $7$ étapes — ici les [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $1, 3, 2, 6, 4, 5$ apparaissent tous avant que le $1$ ne revienne : la plus longue mélopée possible pour une division par $7$.

**4.** $\frac ab$ s’arrête exactement lorsque l’une des [fractions](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{a \times k}{b \times k}$ a pour [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) $10$, $100$, $1000, \dots$ — c’est-à-dire lorsque le [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) peut être multiplié jusqu’à une [puissance](#def-g9-fractions-power) de dix, comme $4 \times 25 = 100$ ou $8 \times 125 = 1\,000$. Pour $3$ et $6$, c’est sans espoir : une [puissance](#def-g9-fractions-power) de dix a pour [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres $1$, alors que tout [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $3$ a une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de chiffres [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $3$ — aucun [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $3$ (donc aucun de $6$) ne vaut jamais $10$, $100$, $1\,000, \dots$ Pour $11$ : diviser $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$ par $11$ laisse toujours un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) ($10$, $1$, $10$, $1, \dots$), jamais $0$. Les [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) qui atteignent une [puissance](#def-g9-fractions-power) de dix s’arrêtent ; tous les autres se répètent.

**5.** $\frac{9}{40}$ : $40 \times 25 = 1\,000$, s’arrête : $\frac{225}{1000} = 0.225$. $\frac{33}{50}$ : $50 \times 2 = 100$, s’arrête : $\frac{66}{100} = 0.66$. $\frac{5}{12}$ : $12$ est un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $3$, se répète ($0.41666\ldots$).

**6.** $10x = 7.777\ldots$, donc $10x - x = 7$ (les queues se compensent parfaitement), $9x = 7$ et $x = \frac79$. Vérification par la division : $7 \div 9 = 0.777\ldots$

**7.** La période a deux chiffres : on décale donc de $100$ : $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, d’où $99x = 72$ et $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

**8.** $1000x = 583.333\ldots$ et $100x = 58.333\ldots$ ; en soustrayant, $900x = 525$, donc $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (diviser par $75$). On a bien $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

**9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, donc $9x = 9$ et $x = 1$. Ce n’est pas « juste en dessous » de $1$ : $0.999\ldots$ *est* le nombre $1$, écrit dans un second costume. Tout nombre strictement inférieur à $1$ laisse un écart, et [Problème 38.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#pb-g6-decimals-1) a montré qu’un écart contient toujours d’autres nombres — alors que rien ne tient entre $0.999\ldots$ et $1$. Les neufs sans fin sont le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) de chocolat du [Problème 39.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/39-fractions-premiers-pas#pb-g6-fractions-1) rétréci en dessous de toute quantité positive : il ne reste rien.

**10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 +
\frac{5}{11} = \frac{27}{11}$. Et $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (diviser par $3$).

**11.** Dictionnaire : $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. Comme $999 = 27 \times 37$, cela se simplifie en $\frac{1}{27}$ : c’est la [fraction](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ qui psalmodie « $037$ ». Vérification par la division : $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

**12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times
0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99}
= \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (diviser par $9$).

**13.** Les blocs de [zéros](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) s’allongent sans fin : aucune période fixe ne peut donc se répéter indéfiniment. Ce n’est *pas* un décimal périodique (et il ne s’arrête jamais). D’après la partie I, toute [fraction](#def-g9-fractions-fraction) s’arrête ou se répète — ce nombre n’est donc pas une [fraction](#def-g9-fractions-fraction) du tout : il est irrationnel, fabriqué sur mesure. La vedette de l’irrationalité, $\sqrt2$, est démasquée au [Chapitre 65](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/65-racines-carrees#ch-g9-sqrt).

**14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx
(1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$ : un nombre légèrement supérieur à $10^9$, il a donc $10$ chiffres. (Exactement : $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

**15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, déjà irréductible ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ ne partage aucun facteur avec $2026 = 2 \times 1013$). Le dictionnaire achevé : *les [fractions](#def-g9-fractions-fraction) sont exactement les décimaux qui s’arrêtent ou se répètent* — les [dénominateurs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) amis des [puissances](#def-g9-fractions-power) de dix s’arrêtent, tous les autres psalmodient une période ; et réciproquement, toute mélopée, même celle d’un millésime, est une [fraction](#def-g9-fractions-fraction) déguisée.