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title: "Racines carrées"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 65
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/65-racines-carrees
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# Chapitre 65 — Racines carrées

Quelle longueur a la diagonale d’un carré de côté $1$ ? Le théorème de Pythagore répond $\sqrt 2$, un nombre dont le carré est $2$ — et qui se révèle ne pas être une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction). Ce chapitre définit les [racines carrées](#def-g9-sqrt-def), établit les règles pour calculer avec elles, et enseigne à simplifier des expressions comme $\sqrt{75}$.

## 65.1 Définition et premières propriétés

**Définition 65.1 (Racine carrée).**

Soit $a \geq 0$. La *racine carrée* de $a$, notée $\sqrt a$, est l’unique nombre *positif ou nul* dont le carré est $a$ :

$$
\sqrt a \geq 0
\qquad\text{et}\qquad
\left(\sqrt a\right)^2 = a .
$$

Les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée, car tout carré est positif ou nul.

**Exemple 65.2.**

$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt 0 = 0$, $\sqrt 1 = 1$, $\sqrt{2.25} = 1.5$. Les premières [racines carrées](#def-g9-sqrt-def) à connaître par cœur sont celles des *carrés parfaits* : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
64, 81, 100, 121, 144$.

![La diagonale d’un carré unité a pour longueur √12 + 12 = √2 1.414, par le théorème de Pythagore ( le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-e4c870763528.svg)

*La diagonale d’un carré unité a pour longueur $\sqrt{1^2 + 1^2}
= \sqrt2 \approx 1.414$, par le théorème de Pythagore ([Chapitre 69](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/69-trigonometrie-dans-le-triangle-rectangle#ch-g9-trig) le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais.*

**Proposition 65.3 (Racine carrée d’un carré).**

Pour tout nombre réel $x$ (positif ou non) :

$$
\sqrt{x^2} = \abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{si } x \geq 0,\\
-x & \text{si } x < 0 .
\end{cases}
$$

**Démonstration.** Le nombre $\abs{x}$ est positif ou nul et son carré est $x^2$ (un nombre et son opposé ont le même carré). Étant l’unique nombre positif ou nul de carré $x^2$, il est $\sqrt{x^2}$. ∎

**Exemple 65.4.**

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : la [racine carrée](#def-g9-sqrt-def) « oublie » le signe, elle ne le restaure pas. En particulier $\sqrt{x^2} = x$ est *faux* pour $x$ négatif.

## 65.2 Produits et quotients de racines carrées

**Théorème 65.5 (Règles de multiplication et de division).**

Pour tous $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

$$
\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b,
\qquad\text{et pour } b > 0:\quad
\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .
$$

**Démonstration.** Le nombre $\sqrt a \times \sqrt b$ est positif ou nul ([produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de nombres positifs ou nuls), et son carré est

$$
\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2
= \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2
= a b .
$$

Par unicité du nombre positif ou nul dont le carré est $ab$, il égale $\sqrt{ab}$. La règle du [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) se prouve de la même façon. ∎

**Remarque 65.6 (Pas de telle règle pour les sommes !).**

$\sqrt{a + b}$ n’est *pas* $\sqrt a + \sqrt b$ en général :

$$
\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\qquad\text{mais}\qquad
\sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .
$$

**Méthode 65.7 (Simplifier n\sqrt nn​).**

Pour simplifier la [racine carrée](#def-g9-sqrt-def) d’un entier :

1. trouver le plus grand carré parfait divisant $n$ (décomposer $n$ si besoin) ;
2. scinder avec la règle du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) et extraire le carré : $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
3. vérifier qu’aucun carré parfait ne [divise](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) ce qui reste sous la racine.

**Exemple 65.8.**

Simplifier $\sqrt{75}$ : puisque $75 = 25 \times 3$,

$$
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .
$$

Simplifier $\sqrt{72}$ : puisque $72 = 36 \times 2$, $\sqrt{72} = 6\sqrt2$. Et un [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$.

**Exemple 65.9 (Additionner des racines carrées).**

Les [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de [racines carrées](#def-g9-sqrt-def) ne se simplifient que lorsque les racines sont *semblables*. Calculer $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$, en simplifiant d’abord chaque terme :

$$
\begin{align*}
\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\
\sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\
\sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3,
\end{align*}
$$

donc la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) est $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 =
\sqrt3$.

**Exemple 65.10 (Développer avec des racines carrées).**

Les identités de l’algèbre s’appliquent aux [racines carrées](#def-g9-sqrt-def). Développer $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ avec $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

$$
\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .
$$

Et avec la troisième identité, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

$$
\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :
$$

le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) de deux nombres irrationnels peut être un entier.

## 65.3 L’équation $x^2 = a$

**Théorème 65.11 (Résoudre x2=ax^2 = ax2=a).**

1. Si $a > 0$ , l’ [équation](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#def-g8-equations-def) $x^2 = a$ a exactement deux solutions : $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ ;
2. si $a = 0$ , la seule solution est $0$ ;
3. si $a < 0$ , il n’y a pas de solution.

**Démonstration.** Réécrire $x^2 = a$ comme $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ lorsque $a \geq 0$, et factoriser en [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de carrés :

$$
\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,
$$

donc $x = \sqrt a$ ou $x = -\sqrt a$ (ils coïncident lorsque $a = 0$). Lorsque $a < 0$ il n’y a pas de solution, car $x^2 \geq 0 > a$ pour tout $x$. ∎

![Résoudre x2 = 3 sur la parabole y = x2 : la droite horizontale y = 3 la coupe aux deux abscisses ±√3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-57ab6201daa2.svg)

*Résoudre $x^2 = 3$ sur la parabole $y = x^2$ : la droite horizontale $y = 3$ la coupe aux deux abscisses $\pm\sqrt3$.*

**Exemple 65.12.**

$x^2 = 16$ : solutions $4$ et $-4$. $x^2 = 5$ : solutions $\sqrt5$ et $-\sqrt5$ (valeurs exactes ; $\sqrt5
\approx 2.236$). $x^2 = -9$ : pas de solution. $3x^2 = 21$ : diviser d’abord par 3, $x^2 = 7$, solutions $\pm\sqrt7$.

## 65.4 Exercices

**Exercice 65.1 ★.**

Calculer sans calculatrice :

$$
\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad
\sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad
\sqrt{(-4)^2} .
$$

**Solution de Exercice 65.1.**

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (car $0.3^2 = 0.09$) ; $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$.

**Exercice 65.2 ★.**

Simplifier :

$$
\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .
$$

**Solution de Exercice 65.2.**

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$.

**Exercice 65.3 ★.**

Calculer et simplifier :

$$
\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad
\sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .
$$

**Solution de Exercice 65.3.**

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}}
= \dfrac25$.

**Exercice 65.4 ★.**

Résoudre : $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$.

**Solution de Exercice 65.4.**

$x^2 = 36$ : $x = 6$ ou $x = -6$.

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ ou $x = -\sqrt{11}$.

$x^2 + 4 = 0$ signifie $x^2 = -4 < 0$ : pas de solution.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$, donc $x = 5$ ou $x = -5$.

**Exercice 65.5 ★.**

Réduire en un seul terme : $\sqrt{20} + \sqrt{45}$, puis $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$.

**Solution de Exercice 65.5.**

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$.

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2
= (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$.

**Exercice 65.6 ★★.**

Développer et simplifier :

$$
\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad
\left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad
\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).
$$

**Solution de Exercice 65.6.**

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9
= 29 - 12\sqrt5$.

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$.

**Exercice 65.7 ★★.**

Un champ carré a pour [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $6400$ m$^2$. Quelle est la longueur de son côté ? De sa diagonale (valeur exacte, puis arrondie au mètre le plus proche) ?

**Solution de Exercice 65.7.**

Côté : $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonale (Pythagore) : $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

**Exercice 65.8 ★★.**

Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplier [numérateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) et [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def) par $\sqrt2$). Utiliser le même truc pour écrire $\dfrac{6}{\sqrt3}$ et $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sans [racine carrée](#def-g9-sqrt-def) au [dénominateur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/24-premieres-fractions#def-g4-fractions-def).

**Solution de Exercice 65.8.**

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2}
= \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$.

**Exercice 65.9 ★★.**

Vrai ou faux ? Justifier par une preuve ou un contre-exemple.

1. Pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
2. Pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
3. Pour tout $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
4. $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

**Solution de Exercice 65.9.**

*1. Vrai* : c’est la règle du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) ([Théorème 65.5](#thm-g9-sqrt-rules)).

*2. Faux* : $\sqrt{9 + 16} = 5$ mais $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$.

*3. Faux* pour $x$ négatif : $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$. L’énoncé correct est $\sqrt{x^2} = \abs{x}$.

*4. Vrai* : $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$.

**Exercice 65.10 ★★★.**

Soit $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$. Calculer $\left(2 + \sqrt3\right)^2$, et en déduire une expression plus simple de $x$. Même question pour $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (viser un carré de la forme $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$, et faire attention au signe).

**Solution de Exercice 65.10.**

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$. Donc $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (un nombre positif ou nul, donc la racine enlève juste le carré).

De même $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$, et $\sqrt5 - 2 > 0$, donc $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (pas $2 - \sqrt5$, qui est négatif !).

## 65.5 Problème : le nombre qui n’est pas une fraction

**Problème 65.1.**

Devoir maison — la démonstration légendaire de l’irrationalité de $\sqrt2$, ses nombreux cousins, et la recette étonnamment efficace de Héron pour l’approcher

La diagonale du carré unité est une longueur parfaitement réelle — on l’a tracée dans [Exemple 58.9](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#ex-g8-pythagoras-diagonal) — et pourtant, comme les pythagoriciens l’ont découvert avec horreur il y a quelque vingt-cinq siècles, *aucune [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction)* ne la mesure. La légende prétend que la découverte fut punie par noyade. Ce problème parcourt pas à pas la démonstration immortelle (quatre questions, et elle est à nous pour la vie), multiplie les victimes, et s’achève sur la recette qu’ont employée les ingénieurs pendant deux mille ans pour apprivoiser l’inapprivoisable.

**Partie I — La démonstration.**

1. Traquons-le d’abord : vérifier que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ , puis que $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , en élevant les bornes au carré. Une décimale de plus : entre quels nombres à trois décimales $\sqrt2$ se situe-t-il ?
2. Supposons maintenant — pour aboutir à une absurdité — que $\sqrt2 = \frac ab$ pour une certaine [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) *irréductible* ( [Méthode 64.16](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#met-g9-arith-simplify) ). Élever les deux membres au carré et montrer que $a^2 = 2 b^2$ . Quelle est la parité de $a^2$ ?
3. Les faits de parité du [Problème 58.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#pb-g8-pythagoras-1) disent que les [nombres impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ont des carrés [impairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . En déduire que $a$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , écrire $a = 2k$ , substituer — et montrer que $b$ doit être [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) lui aussi.
4. Où est la contradiction ? Conclure, et énoncer le théorème en entier : *$\sqrt2$ est irrationnel — ce n’est le [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) d’aucun couple d’entiers* .
5. La démonstration s’est appuyée une fois, discrètement, sur le mot « irréductible ». Désigner l’étape exacte qui s’effondrerait sans lui, et expliquer pourquoi il était légitime de supposer la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) irréductible dès le départ.

**Partie II — Les victimes se multiplient.**

6. Un second style de démonstration, par les décompositions en facteurs premiers ( [Théorème 64.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#thm-g9-arith-factorization) ) : dans $a^2 = 3b^2$ , comparer la parité de l’ *[exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) de $3$* de chaque côté ( [Problème 64.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#pb-g9-arith-1) : les carrés portent des [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ). En conclure que $\sqrt3$ est irrationnel.
7. Reprendre le même argument d’ [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) sur $a^2 = n b^2$ pour un entier $n$ quelconque : pour quels $n$ produit-il une contradiction, et pour lesquels échoue-t-il ? Énoncer le résultat complet : $\sqrt n$ est irrationnel exactement lorsque …
8. Démontrer le lemme protecteur : un rationnel non nul multiplié par un irrationnel donne un irrationnel. (Supposer $r x = q$ avec $r, q$ rationnels, $r \neq 0$ , et isoler $x$ .) En déduire que $2\sqrt2$ et $\frac{\sqrt2}{2}$ sont irrationnels.
9. Démontrer que $1 + \sqrt2$ est irrationnel. Puis la jolie : en supposant $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rationnel, calculer $s^2$ , isoler $\sqrt6$ , et trouver la contradiction.
10. Tempérons l’enthousiasme : donner deux nombres irrationnels dont la *[somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def)* est rationnelle, et deux dont le *[produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def)* est rationnel. (L’irrationalité ne se conserve pas par les opérations — chaque cas réclame sa propre démonstration.)

**Partie III — La recette de Héron.** Deux mille ans avant les calculatrices, Héron d’Alexandrie approchait $\sqrt2$ ainsi : *deviner $x$ ; remplacer la devinette par la moyenne de $x$ et de $\frac2x$ ; recommencer.*

11. Partir de la devinette $x = 1$ et calculer les deux devinettes suivantes sous forme de [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) exactes.
12. Calculer la troisième devinette, encore sous forme de [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) exacte, puis sa valeur décimale. Comparer avec la question 1 : combien de décimales de $\sqrt2$ sont déjà exactes ?
13. L’idée derrière la recette : un rectangle d’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $2$ dont un côté vaut $x$ a l’autre côté égal à $\frac2x$ . Montrer que $\sqrt2$ se situe toujours *entre* $x$ et $\frac2x$ (examiner les deux cas $x^2 > 2$ et $x^2 < 2$ ) : faire la moyenne des deux côtés resserre donc le rectangle vers le carré.
14. Les devinettes $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ cachent une pépite : calculer $3^2 - 2 \times 2^2$ , puis $17^2 - 2 \times 12^2$ , puis $577^2 - 2 \times 408^2$ . La partie I a démontré que $a^2 - 2b^2 = 0$ est impossible — de combien les [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) de Héron s’approchent-elles de l’impossible ?
15. Bouquet final, en deux phrases : la diagonale du carré unité existe sur le papier, aucune [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) ne la mesure, et son écriture décimale ne peut jamais être périodique ( [Problème 63.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#pb-g9-fractions-1) ). Quelle sorte de « nouveaux nombres » la droite graduée doit-elle donc contenir — et où, dans cette série, leur histoire complète est-elle racontée ?

**Solution de Problème 65.1.**

**1.** $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$. Trois décimales : $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$, donc $1.414 < \sqrt2 < 1.415$.

**2.** En élevant $\sqrt2 = \frac ab$ au carré, on obtient $2 = \frac{a^2}{b^2}$, d’où $a^2 = 2b^2$ : le nombre $a^2$ est le double d’un entier — il est *[pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*.

**3.** Si $a$ était [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $a^2$ serait [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ([Problème 58.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/58-le-theoreme-de-pythagore#pb-g8-pythagoras-1)) ; comme $a^2$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $a$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : $a = 2k$. En substituant : $4k^2 = 2b^2$, donc $b^2 = 2k^2$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), et par le même fait de parité, $b$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**4.** $a$ et $b$ tous deux [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) signifie qu’ils sont tous deux [divisibles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $2$ — mais $\frac ab$ était irréductible, sans aucun [diviseur](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) commun. Contradiction : la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) supposée ne peut pas exister. *Théorème : $\sqrt2$ est irrationnel.*

**5.** La contradiction tient tout entière au mot « irréductible » : sans lui, « $a$ et $b$ tous deux [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) » ne contredit rien. Supposer la [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) irréductible est légitime parce que toute [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) *possède* une forme irréductible ([Méthode 64.16](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#met-g9-arith-simplify) : diviser par le [PGCD](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-gcd)) — si $\sqrt2$ était une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) quelconque, il serait aussi une [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) irréductible, et celle-là est impossible.

**6.** Dans les décompositions en facteurs premiers, les carrés portent des [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ([Problème 64.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#pb-g9-arith-1)). Dans $a^2 = 3b^2$, l’[exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) de $3$ est [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) à gauche, mais [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) à droite ([pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) venant de $b^2$, plus un). Or aucun nombre n’a deux décompositions ([Théorème 64.6](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#thm-g9-arith-factorization)) : contradiction, et $\sqrt3$ est irrationnel.

**7.** Dans $a^2 = n b^2$, l’argument trouve un [nombre premier](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-prime) dont la parité de l’[exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) se contredit exactement lorsqu’un [nombre premier](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-prime) apparaît dans $n$ avec un [exposant](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) *[impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Si tous les [exposants](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/56-puissances#def-g8-powers-def) de $n$ sont [pairs](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $n$ est un carré parfait ($n = m^2$, et $\sqrt n = m$ est entier). Résultat complet : $\sqrt n$ est irrationnel pour tout entier $n$ qui n’est pas un carré parfait — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8,
\sqrt{10}, \dots$

**8.** De $r x = q$ avec $r \neq 0$ on tire $x = \frac qr$, un [quotient](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) de rationnels, donc rationnel. Ainsi, si $x$ est irrationnel, $r x$ ne peut pas être rationnel : $2\sqrt2$ et $\frac{\sqrt2}{2}$ sont irrationnels (multiplicateurs $2$ et $\frac12$).

**9.** Si $1 + \sqrt2 = q$ était rationnel, alors $\sqrt2 = q - 1$ le serait aussi : contradiction. Si $s = \sqrt2 + \sqrt3$ était rationnel, alors $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ le serait aussi, ce qui rendrait $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ rationnel — or $\sqrt6$ est irrationnel (question 7). Donc $\sqrt2 + \sqrt3$ est irrationnel.

**10.** [Sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) : $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ (ou $\sqrt2$ et $1 - \sqrt2$) sont chacun irrationnels, de [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) rationnelles $0$ et $1$. [Produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) : $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. L’irrationalité peut s’évaporer au fil des opérations — d’où les démonstrations au cas par cas.

**11.** À partir de $x = 1$ : moyenne de $1$ et de $\frac21 = 2$ : $x_1 = \frac32$. Puis moyenne de $\frac32$ et de $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right)
= \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$.

**12.** $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} +
\frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot
\frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ [Face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) à $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : cinq décimales exactes après trois étapes — la recette double à peu près le nombre de décimales exactes à chaque tour.

**13.** Si $x^2 > 2$ (devinette trop grande), alors $x > \sqrt2$, et $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : le côté compagnon est trop petit. Si $x^2 < 2$, les inégalités s’inversent. Dans les deux cas, $\sqrt2$ se situe entre $x$ et $\frac2x$, donc leur moyenne — la devinette suivante — est plus proche que le pire des deux côtés : le rectangle d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) $2$ devient plus carré à chaque étape.

**14.** $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$. Chaque devinette $\frac ab$ de Héron vérifie $a^2 - 2b^2 = 1$ : la partie I a démontré qu’atteindre $0$ est impossible, et ces [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) manquent l’impossible d’exactement une unité — au plus près que des entiers puissent jamais aller.

**15.** La droite graduée doit contenir des nombres au-delà des [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) — des longueurs comme $\sqrt2$, dont les écritures décimales courent indéfiniment sans jamais se répéter : les *nombres réels*. Leur construction honnête est une histoire pour le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant et, en toute rigueur, pour les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) universitaires.