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title: "Algèbre et équations"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/66-algebre-et-equations
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# Chapitre 66 — Algèbre et équations

Les lettres désignent des nombres, et calculer avec des lettres prouve des faits sur *tous* les nombres à la fois. Ce chapitre pratique le développement et la factorisation — y compris les trois identités qui vous accompagneront à travers toutes les mathématiques — et résout des [équations](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#def-g8-equations-def) du premier degré, des [équations-produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) et des inégalités simples, toujours une étape justifiée à la fois.

## 66.1 Développer

**Définition 66.1 (Développer).**

*Développer* signifie transformer un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) en une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def), en utilisant la distributivité :

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Exemple 66.2.**

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

Les signes voyagent avec les termes :

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**Théorème 66.3 (Les trois identités).**

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Démonstration.** [Développer](#def-g9-algebra-expand) chaque membre de gauche. Pour la première : $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Pour la seconde, remplacer $b$ par $-b$ dans la première. Pour la troisième : $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (les termes croisés s’annulent). ∎

![L’identité (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, vue comme aires : le grand carré de côté a+b est fait de deux carrés et de deux rectangles égaux. Oublier le « 2ab », c’est oublier les deux rectangles !](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*L’identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, vue comme [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) : le grand carré de côté $a+b$ est fait de deux carrés et de deux rectangles égaux. Oublier le « $2ab$ », c’est oublier les deux rectangles !*

**Exemple 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

Calcul mental : $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$, et $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

## 66.2 Factoriser

**Méthode 66.5 (Factoriser).**

Pour factoriser une expression, essayer dans l’ordre :

1. *facteur commun* : $ka + kb = k(a + b)$ , où $k$ peut lui-même être une parenthèse ;
2. *[différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de carrés* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
3. *carré parfait* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (et avec $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Toujours vérifier en développant le résultat.

**Exemple 66.6.**

*Facteur commun :* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$.

*Parenthèse commune :*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*[Différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de carrés :* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$, et

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

Chaque facteur a encore un facteur commun : $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times
2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$.

## 66.3 Équations

**Méthode 66.7 (Équations du premier degré).**

Pour résoudre une [équation](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#def-g8-equations-def) comme $5x - 3 = 2x + 9$ :

1. rassembler les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre, en ajoutant la même quantité aux deux membres ;
2. réduire chaque membre ;
3. diviser les deux membres par le coefficient de $x$ ;
4. vérifier la solution dans l’ [équation](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#def-g8-equations-def) originale.

**Exemple 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(ajouter $3 - 2x$ aux deux membres)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{(diviser par 3).}
\end{align*}
$$

Vérification : $5 \times 4 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$. La solution est $4$.

Avec des parenthèses, [développer](#def-g9-algebra-expand) d’abord : $3(x - 2) = x + 8$ devient $3x - 6 = x + 8$, donc $2x = 14$ et $x = 7$.

**Théorème 66.9 (Règle du produit nul).**

Un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est nul si et seulement si au moins un facteur est nul :

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .
$$

**Démonstration.** Si un facteur est nul le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) l’est clairement. Réciproquement si $A B = 0$ avec $A \neq 0$, diviser les deux membres par $A$ donne $B = 0$. ∎

**Exemple 66.10.**

Résoudre $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : soit $x - 3 = 0$ soit $2x + 10 = 0$, donc les solutions sont $3$ et $-5$.

Résoudre $x^2 - 49 = 0$ : factoriser d’abord, $(x-7)(x+7) = 0$, solutions $7$ et $-7$.

Résoudre $x^2 = 3x$ : ne jamais diviser par $x$ ! Déplacer et factoriser : $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$, solutions $0$ et $3$.

## 66.4 Inégalités

**Proposition 66.11 (Règles pour les inégalités).**

Une inégalité est conservée lorsqu’on ajoute le même nombre aux deux membres, et lorsqu’on multiplie les deux membres par le même nombre *positif*. Multiplier les deux membres par un nombre *négatif* renverse le signe de l’inégalité.

**Démonstration.** Si $a \leq b$ alors $b - a \geq 0$. En ajoutant $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$, donc $a + c \leq b + c$. En multipliant par $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$, donc $ac \leq bc$. En multipliant par $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$, donc $ac \geq bc$ : l’ordre est renversé. ∎

**Exemple 66.12.**

Résoudre $7 - 2x < 15$ :

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{(soustraire 7)} \\
x &> -4 && \text{(diviser par $-2$~: renverser le signe).}
\end{align*}
$$

Les solutions sont tous les nombres strictement plus grands que $-4$ : sur une droite numérique, un point creux en $-4$ et un hachurage vers la droite.

![Les solutions de 7 - 2x < 15 : tous les x > -4 (point creux : -4 lui-même n’est pas solution).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*Les solutions de $7 - 2x < 15$ : tous les $x > -4$ (point creux : $-4$ lui-même n’est pas solution).*

## 66.5 Exercices

**Exercice 66.1 ★.**

[Développer](#def-g9-algebra-expand) et réduire :

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**Solution de Exercice 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**Exercice 66.2 ★.**

[Développer](#def-g9-algebra-expand) à l’aide des identités :

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**Solution de Exercice 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**Exercice 66.3 ★.**

Calculer mentalement, à l’aide d’une identité : $101^2$ ; $59^2$ (écrire $59 = 60 - 1$) ; $53 \times 47$.

**Solution de Exercice 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**Exercice 66.4 ★.**

Factoriser :

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**Solution de Exercice 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**Exercice 66.5 ★.**

Résoudre, en écrivant chaque étape :

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**Solution de Exercice 66.5.**

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$, donc $x = 3$.

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$, donc $x = 4$.

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$, donc $2x = 16$ et $x = 8$.

**Exercice 66.6 ★★.**

Résoudre en utilisant la règle du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) nul :

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**Solution de Exercice 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ ou $x = 4$.

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ ou $x = -11$.

$(2x-1)^2 = 0$ : la solution unique $x = \frac12$.

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 8$.

**Exercice 66.7 ★★.**

Factoriser $E = (3x + 2)^2 - 25$, puis résoudre $E = 0$.

**Solution de Exercice 66.7.**

[Différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) de carrés avec $a = 3x + 2$ et $b = 5$ :

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

Règle du [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) nul : $3x + 7 = 0$ donne $x = -\frac73$, et $3x - 3 = 0$ donne $x = 1$.

**Exercice 66.8 ★★.**

Résoudre les inégalités et représenter les solutions sur une droite numérique :

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**Solution de Exercice 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$, donc $x \geq 4$ (point plein en $4$, hachurer à droite).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$, diviser par $-2$ renverse le signe : $x < 2$ (point creux en $2$, hachurer à gauche).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$, donc $3x \leq -9$, donc $x \leq -3$ (point plein en $-3$, hachurer à gauche).

**Exercice 66.9 ★★.**

Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$, j’ajoute $7$, et j’obtiens le même résultat que si je l’avais multiplié par $5$ et soustrait $9$. Quel est mon nombre ? (Mettre en place une [équation](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/57-calcul-litteral-et-equations#def-g8-equations-def) et la résoudre.)

**Solution de Exercice 66.9.**

Soit $x$ le nombre : $3x + 7 = 5x - 9$. Alors $16 = 2x$, donc $x = 8$. Vérification : $3 \times 8 + 7 = 31$ et $5 \times 8 - 9 = 31$.

**Exercice 66.10 ★★★.**

Soit $n$ un nombre entier.

1. [Développer](#def-g9-algebra-expand) $(n + 1)(n - 1)$ et en déduire que le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) des deux voisins de $n$ est toujours $n^2 - 1$ (par ex. $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
2. Montrer que la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de trois entiers consécutifs est toujours un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $3$ .

**Solution de Exercice 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (troisième identité). Les voisins de $n$ sont $n - 1$ et $n + 1$, donc leur [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) est $n^2 - 1$ : par ex. $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$.

*2.* Trois entiers consécutifs s’écrivent $n - 1$, $n$, $n + 1$. Leur [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) est

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $3$ (trois fois le milieu).

## 66.6 Problème : l’algèbre des chiffres

**Problème 66.1.**

Devoir maison — pourquoi les critères de divisibilité fonctionnent, le tour du 1089 démasqué, et du calcul mental qui ressemble à de la sorcellerie

L’école primaire a enseigné des *règles* (un nombre est [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $9$ lorsque la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres l’est) ; les magiciens font des *tours* (tout le monde termine sur $1089$) ; les marchés connaissent des *raccourcis* ($35^2 = 1225$, instantanément). Tout cela n’est qu’un seul et même secret : un nombre de chiffres $a$, $b$, $c$ est l’expression $100a + 10b + c$, et l’algèbre de ce chapitre ([Théorème 66.3](#thm-g9-algebra-identities), [développer](#def-g9-algebra-expand), factoriser) sait la démonter. À la fin de ce problème, on aura démontré les règles, démasqué le tour, et appris la sorcellerie.

**Partie I — Les chiffres au microscope.**

1. Un nombre à deux chiffres, de chiffre des dizaines $a$ et de chiffre des unités $b$ , s’écrit $10a + b$ . [Développer](#def-g9-algebra-expand) et factoriser la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) entre le nombre et son retourné, $(10a + b) - (10b + a)$ , et énoncer la découverte. La vérifier sur $72 - 27$ .
2. Démontrer le critère de divisibilité par $9$ pour les nombres à trois chiffres : vérifier l’identité $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$$ et expliquer pourquoi elle montre qu’un nombre et la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres laissent le *même [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder)* dans la division par $9$ — l’un est donc [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $9$ exactement quand l’autre l’est ([Proposition 64.3](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#prop-g9-arith-rules), désormais démontré).
3. En déduire le critère de divisibilité par $3$ à partir de la même identité, en une phrase.
4. « La preuve par neuf », le contrôle des comptables : pour tester $47 \times 86 = 4\,042$ , on remplace chaque nombre par la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des chiffres de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres : $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , et $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; puis $4\,042 \to 10 \to 1$ : cohérent. Expliquer pourquoi un [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) correct doit forcément passer le test (écrire $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ et [développer](#def-g9-algebra-expand) ), et trouver un résultat faux que le test ne détecte pas (pourquoi des chiffres intervertis lui sont-ils invisibles ?).
5. Démontrer le critère de divisibilité par $11$ pour les nombres à quatre chiffres : vérifier $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$ et s’en servir pour décider si $2\,926$ est [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $11$.

**Partie II — Le tour du 1089.** Le tour : penser à un nombre de trois chiffres dont le premier et le dernier diffèrent d’au moins $2$ ; le retourner ; soustraire le plus petit du plus grand ; retourner le résultat ; additionner les deux derniers nombres. Le magicien annonce : *1089*.

6. Exécuter le tour sur $742$ , puis sur un nombre de son choix.
7. Notons $a$ , $b$ , $c$ les chiffres du nombre, avec $a > c$ . Factoriser la première soustraction, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , et énumérer toutes les valeurs qu’elle peut prendre lorsque $a - c$ parcourt $2$ à $9$ .
8. Chacun de ces [multiples](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/32-division-et-multiples#def-g5-division-multiple) de $99$ a une allure frappante. En posant $m = a - c$, vérifier l’identité $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$$ et y lire les trois chiffres de $99m$.
9. Additionner $99m$ et son propre retourné, à l’aide des chiffres de la question 8, et démontrer que le total vaut $1089$ — quel que soit $m$ . Le tour est mort ; vive l’algèbre.
10. Pourquoi le magicien a-t-il exigé que le premier et le dernier chiffres diffèrent d’au moins $2$ ? Examiner les cas $a = c$ et $a - c = 1$ (où la soustraction donne $99$ , qu’il faut écrire $099$ pour que le retournement fonctionne), et énoncer les petites lignes qui gardent le tour honnête.

**Partie III — Sorcellerie d’usage courant.**

11. Le tour de la date de naissance : « multiplier son mois de naissance par $5$ , ajouter $7$ , doubler, ajouter son jour de naissance, retrancher $14$ . » Montrer que le résultat vaut toujours $10m + d$ — le mois et le jour, lisibles d’un coup d’œil. (L’essayer sur quelqu’un.)
12. On redessine le tour ainsi : « multiplier le mois par $5$ , ajouter $9$ , doubler, ajouter le jour. » Quel nombre le spectateur doit-il désormais retrancher à la fin pour obtenir la même lecture mois–jour ?
13. Le tour du chiffre manquant : le spectateur choisit un nombre quelconque, en retranche la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres (la question 2 dit que le résultat est toujours un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$ — expliquer pourquoi pour un nombre à trois chiffres), puis barre un chiffre *non nul* et nous lit les chiffres restants. Expliquer comment retrouver le chiffre barré, et pourquoi il fallait exclure le $0$ .
14. Sorcellerie de marché : démontrer l’identité $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , énoncer la règle qui élève au carré n’importe quel nombre terminé par $5$ , et calculer de tête $45^2$ , $85^2$ et $105^2$ .
15. Bouquet final, dans le prolongement de l’ [Exercice 66.10](#exo-g9-algebra-10) : démontrer que la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de cinq entiers consécutifs est toujours un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $5$ , mais que la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de *quatre* entiers consécutifs n’est *jamais* un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $4$ . (Deux courts calculs — et une morale sur ce que l’algèbre fait des mots « toujours » et « jamais ».)

**Solution de Problème 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : la [différence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/3-soustraction-premiers-pas#ex-g1-subtraction-difference) entre un nombre à deux chiffres et son retourné est toujours un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$. Vérification : $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$, et $a - b = 7 - 2 = 5$.

**2.** En développant le membre de droite : $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c
= 100a + 10b + c$. Le nombre est donc égal à un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$ augmenté de la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres : dans la division par $9$, les deux laissent le même [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder). En particulier, un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ pour l’un signifie un [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $0$ pour l’autre : le critère de divisibilité par $9$ est démontré.

**3.** $9(11a + b)$ est aussi un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $3$ : la même identité montre donc que le nombre et la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de ses chiffres laissent le même reste dans la division par $3$, d’où le critère de divisibilité par $3$.

**4.** Écrivons $47 = 9k + 2$ et $86 = 9l + 5$. Alors

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) laisse le même [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) que $2 \times 5 = 10$, à savoir $1$. Un résultat correct doit donc lui aussi laisser le [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $1$ — ce que fait $4\,042$. Mais le test ne voit que les [restes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : $4\,042$ et $4\,402$ (chiffres intervertis) le passent de façon identique ; réussir ne prouve donc rien — c’est l’échec qui condamne.

**5.** En développant : $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d
= 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d
= 1000a + 100b + 10c + d$. Le nombre est donc [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $11$ exactement lorsque sa [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) alternée $-a + b - c + d$ l’est. Pour $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$, [divisible](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#def-g6-wholes-divisible) par $11$ : oui, $2\,926 = 11 \times 266$.

**6.** $742 - 247 = 495$ ; $495 + 594 = 1\,089$. Tout autre exemple valable aboutit aussi à $1\,089$.

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$. Pour $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10
- m = 99m$. Les trois chiffres de $99m$ sont donc $m - 1$, puis $9$, puis $10 - m$ (vérification sur $495$ : $m = 5$ donne $4$, $9$, $5$).

**9.** Le retourné de $99m$ a pour chiffres $10 - m$, $9$, $m - 1$ : il vaut donc $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$. En additionnant :

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

indépendamment de $m$. Quel que soit le nombre de départ, le magicien ne risque rien.

**10.** Si $a = c$, la soustraction donne $0$ et le tour meurt aussitôt. Si $a - c = 1$, elle donne $99$, qu’il faut traiter comme la chaîne de trois chiffres $099$ (retourné $990$, $99 + 990 = 1\,089$ : sauvé !). Les petites lignes : un écart de $1$ ne fonctionne que si le spectateur écrit le résultat de la soustraction sur trois chiffres, [zéro](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/1-compter-jusqua-20#def-g1-counting-zero) initial compris — exiger un écart d’au moins $2$ évite la discussion.

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : les dizaines (et les centaines, d’octobre à décembre) donnent le mois, les unités (et les dizaines) le jour.

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : il faut retrancher $18$.

**13.** D’après la question 2, $n - (\text{somme des chiffres de } n) = 9(11a + b)$ pour un $n$ à trois chiffres : c’est toujours un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$ (des identités analogues valent pour n’importe quelle longueur). Or un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$ a une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de chiffres [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$ (question 2 encore) : les chiffres énoncés par le spectateur doivent donc être complétés jusqu’au [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$ suivant, et le chiffre manquant est ce complément. Ambiguïté : si les chiffres lus totalisent déjà un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $9$, le chiffre barré pourrait être $0$ ou $9$ — exclure le $0$ lève le doute.

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 =
100\,t(t + 1) + 25$ : écrire $t(t+1)$, puis coller $25$ derrière. $45^2$ : $4 \times 5 = 20$, donc $2\,025$. $85^2$ : $8 \times 9 = 72$, donc $7\,225$. $105^2$ : $10 \times 11 = 110$, donc $11\,025$.

**15.** Cinq entiers consécutifs : $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) +
(n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor) de $5$, toujours. Quatre entiers consécutifs : $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 =
4(n + 1) + 2$ : [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) $2$ dans la division par $4$, donc jamais un [multiple](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/64-arithmetique-diviseurs-et-nombres-premiers#def-g9-arith-divisor). L’algèbre transforme « ça a l’air de marcher » en *toujours*, et « je n’ai pas trouvé d’exemple » en *jamais* — deux mots qu’aucune quantité de tests ne peut atteindre ([Méthode 48.8](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/48-expressions-litterales#met-g7-literal-test)).