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title: "Le théorème de Thalès"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 68
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales
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# Chapitre 68 — Le théorème de Thalès

Comment mesurer la hauteur d’une [pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) sans y grimper ? Thalès de Milet a comparé son ombre avec l’ombre d’un bâton. Son théorème — des [droites parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) découpent des [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) en parts [proportionnelles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/67-fonctions-lineaires-et-affines#def-g9-linfunc-linear) — est le cœur mathématique des maquettes, des cartes et des agrandissements, et l’un des plus anciens théorèmes portant un nom.

## 68.1 Le théorème

**Théorème 68.1 (Thalès).**

Soient deux droites se rencontrant en un point $A$. Prendre $M$ sur la première droite et $N$ sur la seconde, avec $B$ plus loin sur la première et $C$ plus loin sur la seconde. Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont *[parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp)*, alors les triangles $AMN$ et $ABC$ ont des côtés proportionnels :

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où M et N sont de l’autre côté de A (droite). Dans les deux, (MN) (BC) et les trois rapports sont égaux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-45201f71a40b.svg)

![Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où M et N sont de l’autre côté de A (droite). Dans les deux, (MN) (BC) et les trois rapports sont égaux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-9ab852c1ceba.svg)

*Les deux configurations de Thalès : triangles emboîtés (gauche) et le « papillon », où $M$ et $N$ sont de l’autre côté de $A$ (droite). Dans les deux, $(MN) \parallel (BC)$ et les trois rapports sont égaux.*

**Méthode 68.2 (Calculer une longueur avec Thalès).**

1. Identifier le point $A$ où les deux droites se croisent et les deux [droites parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ; nommer les deux triangles ;
2. écrire les trois rapports égaux, toujours « petit triangle sur grand triangle » ;
3. garder l’égalité des deux rapports impliquant les trois longueurs connues et l’inconnue ;
4. résoudre la proportion résultante par [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) en croix.

**Exemple 68.3.**

Dans la configuration de gauche ci-dessus, supposons $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 2.4$ et $MN = 3.3$, et calculons $AC$ et $BC$. Thalès donne

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC},
\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad
\frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.
$$

De $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$, en croisant les [produits](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) : $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$, donc $AC = 4$. De $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ : $3 \times BC = 16.5$, donc $BC = 5.5$.

**Exemple 68.4 (Thalès dans la vie réelle).**

Un bâton vertical de hauteur $1$ m projette une ombre de $1.5$ m, tandis qu’un arbre projette une ombre de $12$ m au même moment. Les [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) du Soleil sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), donc les triangles bâton-ombre et arbre-ombre sont en configuration de Thalès :

$$
\frac{\text{hauteur de l'arbre}}{1} = \frac{12}{1.5},
\qquad\text{donc l'arbre mesure } 8 \text{ m de haut.}
$$

## 68.2 La réciproque

**Théorème 68.5 (Réciproque de Thalès).**

Avec les points placés comme en [Théorème 68.1](#thm-g9-thales-direct) ($M$ sur $(AB)$, $N$ sur $(AC)$, dans le même ordre sur les deux droites) : si

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},
$$

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Méthode 68.6 (Prouver ou infirmer le parallélisme).**

1. Calculer séparément les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ (en [fractions](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) , pas en [arrondis](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/38-les-nombres-decimaux#def-g6-decimals-rounding) ) ;
2. s’ils sont égaux *et* que les points sont dans le même ordre sur les deux droites, les droites sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) (réciproque de Thalès) ;
3. s’ils diffèrent, les droites ne sont *pas* [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) — car si elles l’étaient, le théorème de Thalès forcerait les rapports à être égaux.

**Exemple 68.7.**

Sur la droite 1, $AM = 4$ et $AB = 10$ ; sur la droite 2, $AN = 6$ et $AC = 15$. Alors

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25,
\qquad
\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :
$$

rapports égaux, même ordre : $(MN) \parallel (BC)$.

Avec $AC = 14$ à la place : $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$, donc les droites ne sont pas [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp).

## 68.3 Agrandissement et réduction

**Définition 68.8 (Homothétie d’une figure).**

Agrandir ou réduire une figure par le *facteur d’échelle* $k > 0$ signifie multiplier *toutes* ses longueurs par $k$ : un *agrandissement* lorsque $k > 1$, une *réduction* lorsque $k < 1$. Dans la configuration de Thalès, le triangle $AMN$ est la réduction de $ABC$ par le facteur $k = \frac{AM}{AB}$.

**Proposition 68.9 (Effet sur les angles et les aires).**

L’homothétie de facteur $k$ conserve les angles et la forme des figures, multiplie chaque longueur par $k$, et multiplie chaque *[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area)* par $k^2$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Doubler les longueurs (k = 2) multiplie l’aire par k2 = 4 : quatre copies du petit rectangle pavent le grand.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-dbdf22cd1750.svg)

*Doubler les longueurs ($k = 2$) multiplie l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) par $k^2 = 4$ : quatre copies du petit rectangle pavent le grand.*

**Exemple 68.10.**

Une photo de $10 \times 15$ cm est agrandie avec le [facteur d’échelle](#def-g9-thales-scaling) $k = 3$ : le tirage mesure $30 \times 45$ cm. Son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) passe de $150$ cm$^2$ à $150 \times 9 = 1350$ cm$^2$ — $9$ fois plus grande, pas $3$.

## 68.4 Exercices

**Exercice 68.1 ★.**

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ ; $AM = 2$, $AB = 6$, $AN = 3$, $BC = 9$. Calculer $AC$ et $MN$.

**Solution de Exercice 68.1.**

Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, c’est-à-dire $\dfrac26 = \dfrac13$. Donc $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ donne $AC = 9$, et $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ donne $MN = 3$.

**Exercice 68.2 ★.**

Même configuration : $AM = 5$, $MB = 3$ (attention : $MB$, pas $AB$ !), $AN = 4$. Calculer $AC$.

**Solution de Exercice 68.2.**

D’abord trouver $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$. Puis $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ donne $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$, donc $5 \times AC = 32$ et $AC = 6.4$.

**Exercice 68.3 ★.**

En configuration papillon, $A$ est entre $M$ et $B$ et entre $N$ et $C$, avec $(MN) \parallel (BC)$ ; $AM = 3$, $AB = 7.5$, $AN = 2$, $MN = 2.6$. Calculer $AC$ et $BC$.

**Solution de Exercice 68.3.**

Le papillon fonctionne exactement comme la configuration emboîtée : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, c’est-à-dire $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$. Donc $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ donne $AC = 5$, et $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ donne $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$.

**Exercice 68.4 ★.**

$M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$, $AB = 8$ ; $N$ est sur $[AC]$ avec $AN = 9$, $AC = 12$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ?

**Solution de Exercice 68.4.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ : rapports égaux, points dans le même ordre, donc $(MN) \parallel (BC)$ par la réciproque de Thalès.

**Exercice 68.5 ★★.**

Comme ci-dessus avec $AM = 4$, $AB = 6$, $AN = 5$, $AC = 8$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) ? Justifier soigneusement.

**Solution de Exercice 68.5.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$. Contrôle croisé : $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ et $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ : les rapports diffèrent. Si les droites étaient [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp), le théorème de Thalès les forcerait à être égaux — donc $(MN)$ et $(BC)$ ne sont *pas* [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp).

**Exercice 68.6 ★★.**

Une personne de $1.8$ m de haut se tient à $2$ m de la base d’un lampadaire ; son ombre mesure $3$ m. Dessiner la configuration de Thalès formée par le lampadaire, la personne et le bout de l’ombre, et calculer la hauteur du lampadaire.

**Solution de Exercice 68.6.**

Soit $S$ le bout de l’ombre, $P$ le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de la tête de la personne, $L$ le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) du lampadaire. La personne ($1.8$ m à distance $3$ m de $S$) et le lampadaire (hauteur $h$ à distance $3 + 2 = 5$ m de $S$) sont deux [segments](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) verticaux [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) coupés par le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) lumineux $(SL)$ : Thalès depuis le point $S$ donne

$$
\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5},
\qquad\text{donc}\quad
h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.
$$

**Exercice 68.7 ★★.**

Une carte est à l’échelle $1 : 25\,000$ (les longueurs sur la carte sont les longueurs réelles multipliées par $k = \frac{1}{25000}$).

1. Deux villages sont distants de $6.8$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle, en km ?
2. Une forêt a une [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de $8$ cm $^2$ sur la carte. Quelle est son [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle, en km $^2$ ?

**Solution de Exercice 68.7.**

*1.* Distance réelle : $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $=
1.7$ km.

*2.* Les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) s’échelonnent par $k^2$ : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) réelle $= 8 \times
25\,000^2$ cm$^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm$^2$ $= 5 \times
10^9$ cm$^2$. Puisque $1$ km$^2 = 10^{10}$ cm$^2$, cela fait $0.5$ km$^2$.

**Exercice 68.8 ★★.**

Le triangle $ABC$ a $AB = 12$, $AC = 15$, $BC = 18$. Le point $M$ sur $[AB]$ satisfait $AM = 8$, et la droite passant par $M$ [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $N$.

1. Calculer $AN$ et $MN$ .
2. Quel est le [facteur d’échelle](#def-g9-thales-scaling) de $ABC$ vers $AMN$ ? Comparer les [périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) des deux triangles.

**Solution de Exercice 68.8.**

*1.* Le rapport est $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$. Thalès : $AN = \frac23 \times 15 = 10$ et $MN = \frac23 \times 18 = 12$.

*2.* Le [facteur d’échelle](#def-g9-thales-scaling) est $k = \frac23$. [Périmètres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) : $ABC$ a $12 + 15 + 18 = 45$, et $AMN$ a $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times
45$ : le [périmètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-perimeter) s’échelonne aussi par $k$, comme toute longueur.

**Exercice 68.9 ★★★.**

Soit $ABCD$ un trapèze avec $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$ et $CD = 6$, dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se rencontrent en $O$. En utilisant Thalès dans la configuration papillon autour de $O$, calculer le rapport $\dfrac{OA}{OC}$, et montrer que $O$ coupe les deux diagonales dans le même rapport.

**Solution de Exercice 68.9.**

Autour de $O$, les droites $(AC)$ et $(BD)$ se croisent, et $(AB) \parallel (CD)$ : configuration papillon avec les triangles $OAB$ et $OCD$. Thalès donne

$$
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .
$$

Donc $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$, et l’égalité $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ dit précisément que $O$ coupe les deux diagonales dans le même rapport.

## 68.5 Problème : la règle non graduée, le sténopé et les trois moyennes d’un trapèze

**Problème 68.1.**

Devoir maison — Thalès à l’œuvre : partager un segment quelconque en parts égales, mesurer le Soleil avec une boîte à chaussures, et un trapèze où les trois moyennes célèbres se rencontrent

Le théorème de Thalès est la mathématique des *[rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes)* : [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) du Soleil, [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) lumineux traversant un trou d’épingle, [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de crayon issus d’un [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def). Ce problème l’utilise de trois façons — comme outil de construction (partager un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de longueur *quelconque*, même $\sqrt2$, en parts parfaitement égales), comme instrument de mesure (le [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) du Soleil, avec une boîte à chaussures et une pièce de monnaie), et comme loupe braquée sur le trapèze de l’[Exercice 68.9](#exo-g9-thales-9), où les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de cette série se retrouvent toutes dans une même figure.

**Partie I — Partager à la règle non graduée.**

1. Tracer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ de $7$ cm. Pour le partager en trois parts égales au compas et à la règle non graduée : tracer une demi-droite quelconque issue de $A$ (ne passant pas par $B$ ) ; y reporter au compas trois longueurs égales, ce qui donne les points $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; joindre $P_3$ à $B$ ; tracer les [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(P_3 B)$ passant par $P_1$ et $P_2$ . Effectuer la construction et marquer les points où les [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) coupent $[AB]$ .
2. Justifier par [Théorème 68.1](#thm-g9-thales-direct) que les deux points marqués partagent $[AB]$ exactement en ses tiers.
3. Adapter la méthode pour partager un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) en $5$ parts égales, puis pour construire les $\frac35$ d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) donné.
4. Construire le point $M$ de $[AB]$ tel que $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (c’est-à-dire $M$ aux $\frac25$ du trajet depuis $A$ ). Combien de reports égaux sur la demi-droite, et quel point faut-il joindre à $B$ ?
5. Pourquoi cette construction vaut-elle mieux qu’une mesure à la règle graduée ? Considérer un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) de longueur $\sqrt2$ (la diagonale d’un carré unité, irrationnelle d’après [Problème 65.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/65-racines-carrees#pb-g9-sqrt-1) ) : que donnerait la mesure, et que donne Thalès ?

**Partie II — Le sténopé.** Percer une [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) d’une boîte fermée avec une épingle : sur la [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposée apparaît une image du monde, à l’envers. Un point de l’objet, le trou et le point image sont alignés — la lumière va en ligne droite — de sorte que l’objet (de hauteur $H$, à la distance $D$ devant le trou) et son image (de hauteur $h$, sur la paroi du fond, à la profondeur $d$ derrière le trou) forment la configuration papillon de Thalès.

6. Établir la formule du sténopé $h = H \times \frac dD$ à partir de Thalès dans le papillon autour du trou.
7. Un arbre de $12$ m se dresse à $30$ m d’une boîte à chaussures de $20$ cm de profondeur. Quelle est la hauteur de son image, et dans quel sens ?
8. Pointons la boîte vers le Soleil : à $d = 1$ m derrière le trou, l’image du Soleil est un disque d’environ $9$ mm de [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) . Sachant que la distance du Soleil vaut $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calculer son [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) en [notation scientifique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-scientific) (la notation du [Problème 63.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#pb-g9-fractions-1) à l’œuvre). Comparer avec la valeur réelle, $1.39 \times 10^9$ m.
9. La Lune : [diamètre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/26-droites-et-polygones#def-g4-geometry-circle) $3.5 \times 10^6$ m, distance $3.8 \times 10^8$ m. Calculer le rapport $\frac{\text{diamètre}}{\text{distance}}$ pour la Lune puis pour le Soleil. Quelle heureuse coïncidence les deux nombres révèlent-ils — et quel spectacle rendent-ils possible ?
10. En une ou deux phrases : pourquoi l’image du sténopé est-elle à l’envers, et pourquoi agrandir le trou rend-il l’image plus lumineuse mais plus floue ?

**Partie III — Le trapèze des trois moyennes.** $ABCD$ est le trapèze de l’[Exercice 68.9](#exo-g9-thales-9) : $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, les diagonales se coupant en $O$ avec $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} =
\frac23$.

11. Entraînement au papillon : deux droites se coupent en $O$ avec $(MN) \parallel (PQ)$ en position papillon ; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ et $OQ = 6$ . Calculer $PQ$ et $ON$ .
12. Expliquer comment Thalès, appliqué avec le rapport $\frac12$ , contient le théorème des milieux du [Théorème 59.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#thm-g8-midpoints-direct) comme cas particulier.
13. Tracer la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) aux bases passant par $O$ ; elle coupe $[AD]$ en $E$ . En travaillant dans le triangle $ACD$ (remarquer que $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), calculer $EO$ .
14. Par le calcul [symétrique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/52-symetrie-centrale-et-parallelogrammes#def-g7-central-def) dans le triangle $BDC$, le morceau $OF$ (avec $F$ sur $[BC]$) a la même longueur. En conclure que $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$ la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) passant par le point de croisement des diagonales mesure la *[moyenne harmonique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1)* des bases — la moyenne des aller-retours du [Problème 61.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1), qui réapparaît en géométrie pure.
15. Le grand final : calculer les trois moyennes classiques des bases $4$ et $6$ — arithmétique $\frac{4+6}{2}$ , géométrique $\sqrt{4 \times 6}$ , harmonique $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — et les ranger. Chacune habite le trapèze : la moyenne arithmétique est la ligne des milieux joignant les milieux des côtés obliques ( [Problème 53.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#pb-g7-areas-1) ), la [moyenne harmonique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1) est notre [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) $EF$ , et la [moyenne géométrique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus#pb-g8-cosine-1) est la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) qui découpe le trapèze en deux trapèzes *semblables* (vérifier sa valeur à la calculatrice ; la démonstration est un joli défi supplémentaire). Où l’inégalité entre les trois a-t-elle été démontrée dans ce livre ( [Problème 60.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus#pb-g8-cosine-1) , [Problème 61.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1) ) ?

**Solution de Problème 68.1.**

**1.** La construction [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) deux points sur $[AB]$ ; appelons-les $M_1$ (venant de $P_1$) et $M_2$ (venant de $P_2$).

**2.** Dans le triangle $A P_3 B$, les [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à $(P_3 B)$ passant par $P_1$ et $P_2$ coupent les côtés proportionnellement ([Théorème 68.1](#thm-g9-thales-direct)) :

$$
\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13,
\qquad
\frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .
$$

Le compas a rendu $A P_1$, $P_1 P_2$, $P_2 P_3$ égaux : les rapports sont donc exactement des tiers — quels que soient l’inclinaison de la demi-droite et l’écartement de compas choisis.

**3.** Pour des cinquièmes : reporter cinq longueurs égales, joindre le cinquième point à $B$, et tracer quatre [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp). Pour les $\frac35$ d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) : même figure, et prendre le point découpé par la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) issue de $P_3$ : il se trouve aux $\frac{3}{5}$ de $[AB]$ depuis $A$.

**4.** $\frac{AM}{MB} = \frac23$ signifie $AM = \frac25 AB$ : cinq reports égaux sur la demi-droite, joindre $P_5$ à $B$, et la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) issue de $P_2$ marque $M$.

**5.** Mesurer $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm ne mobilise jamais qu’un nombre fini de décimales : tout « tiers » mesuré n’est qu’une approximation. La construction de Thalès, elle, ne lit aucun nombre : elle livre le point exact situé à $\frac{\sqrt2}{3}$ — des parts égales d’un [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) qu’aucune règle ne sait même exprimer ([Problème 65.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/65-racines-carrees#pb-g9-sqrt-1)).

**6.** Le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de l’objet, le trou et le bas de l’image sont alignés, et de même pour le bas de l’objet et le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de l’image : deux droites se coupant au trou, avec l’objet et la paroi de l’image [parallèles](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp). Thalès dans le papillon :

$$
\frac{h}{H} = \frac{d}{D},
\qquad\text{donc}\qquad
h = H \times \frac dD .
$$

**7.** $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — à l’envers (les [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) se croisent au trou).

**8.** $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times
\frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Valeur réelle : $1.39 \times 10^9$ m : une boîte à chaussures mesure le Soleil à quelques pour cent près.

**9.** Lune : $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8}
\approx 0.0092$. Soleil : $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times
10^{11}} \approx 0.0093$. Les deux rapports — les tailles apparentes dans le ciel — sont presque identiques : la Lune peut recouvrir le Soleil *exactement*, bord à bord. Ce hasard cosmique, c’est l’éclipse totale de Soleil.

**10.** Tout [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) doit passer par l’unique trou : les [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) venant du haut de l’objet poursuivent donc *vers le bas* et ceux venant du bas poursuivent *vers le haut* : l’image est renversée. Agrandir le trou laisse passer tout un faisceau de copies légèrement décalées de l’image, qui se superposent : plus lumineuse, mais brouillée.

**11.** $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3}
= 2.5$, donc $PQ = 10$ ; et $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} =
\frac{1}{2.5}$, donc $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$.

**12.** Si la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) passe par le milieu d’un côté, le rapport de Thalès vaut $\frac12$ : elle coupe donc le second côté en *son* milieu, et le [segment](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-objects) [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) mesure la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la base — c’est précisément [Théorème 59.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/59-milieux-et-paralleles#thm-g8-midpoints-direct). Thalès est le théorème des milieux affranchi du rapport $\frac12$.

**13.** Dans le triangle $ACD$, la droite $(EO)$ est [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la base $(CD)$, avec $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} =
\frac{4}{4 + 6} = \frac25$. Thalès : $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$, donc $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$.

**14.** Dans le triangle $BDC$, de même, $\frac{BO}{BD} = \frac25$ et $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$. D’où

$$
EF = EO + OF = 4.8
= \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :
$$

la [moyenne harmonique](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1) des bases — la moyenne des aller-retours ([Problème 61.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1)), dessinée dans un trapèze.

**15.** Arithmétique : $5$ ; géométrique : $\sqrt{24} \approx 4.90$ ; harmonique : $4.8$. Rangement : $4.8 < 4.90\ldots < 5$, c’est-à-dire harmonique $<$ géométrique $<$ arithmétique — avec égalité seulement pour des bases égales. Dans la figure : la ligne des milieux mesure $5$, la [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) passant par le croisement des diagonales $4.8$, et la coupe de similitude $\sqrt{24}$, toutes empilées entre les bases dans cet ordre. Les inégalités ont été démontrées dans [Problème 60.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/60-le-triangle-rectangle-et-le-cosinus#pb-g8-cosine-1) (géométrique $\leq$ arithmétique, par le cercle et par une identité) et dans [Problème 61.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/61-proportionnalite-vitesse-et-moyennes#pb-g8-speed-1) (harmonique $\leq$ arithmétique) ; harmonique $\leq$ géométrique s’en déduit en les combinant ($H \times A = G^2$, démontré là aussi).