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title: "Solides et volumes"
book: "Mathématiques du primaire et du collège"
subject: math
language: fr
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/70-solides-et-volumes
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# Chapitre 70 — Solides et volumes

La géométrie de l’espace commence par une petite famille de [solides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) — [prismes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism), [cylindres](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism), [pyramides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def), [cônes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def), sphères — et deux questions : combien contiennent-ils ([volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume)), et que voit-on lorsqu’on les coupe ([sections](#prop-g9-solids-sections)) ? Le chapitre se clôt sur un fait d’une grande importance pratique : homothétier un [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) par $k$ multiplie son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) par $k^3$.

## 70.1 Les solides classiques et leurs volumes

**Théorème 70.1 (Formules de volume).**

Noter $B$ l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de la base et $h$ la hauteur (la distance entre la base et la [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ou le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) opposé).

| [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) | [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) |
| --- | --- |
| [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism), [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def), [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

Pour un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) et un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$, l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base est $B = \pi r^2$ ; l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de surface de la sphère est $4\pi r^2$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Les solides de ce chapitre. Pour chacun, le volume fait intervenir une aire de base et une hauteur — sauf la sphère, qui n’a besoin que de son rayon.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-9497861f6e43.svg)

*Les [solides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de ce chapitre. Pour chacun, le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) fait intervenir une [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base et une hauteur — sauf la sphère, qui n’a besoin que de son [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes).*

**Exemple 70.2.**

Une boîte de conserve cylindrique a pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm et pour hauteur $10$ cm :

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3
\approx 0.5 \text{ L}.
$$

Un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de même base et même hauteur contient le tiers de cela : $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm$^3$. Une sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm : $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm$^3$.

**Exemple 70.3 (Une pyramide étape par étape).**

Une [pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) a une base carrée de côté $6$ m et une hauteur de $5$ m.

1. [Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base : $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
2. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Attention aux unités : si le côté était donné en cm et la hauteur en m, il faudrait convertir l’un d’eux d’abord.

## 70.2 Sections par des plans

**Proposition 70.4 (Sections des solides classiques).**

Couper un [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) par un plan [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) une figure plane, sa *section* :

- un [prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) ou un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) coupé *parallèlement à sa base* donne une copie de la base, à toute hauteur ;
- une [pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) ou un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) coupé parallèlement à sa base donne une *réduction* de la base : à distance $d$ du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) , le [facteur d’échelle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#def-g9-thales-scaling) est $k = \frac{d}{h}$ ;
- une sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ coupée par un plan à distance $d < r$ du centre donne un cercle de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$ (par le théorème de Pythagore).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Gauche : couper un cône parallèlement à sa base à distance d du sommet donne un disque réduit par k = dh. Droite : un plan à distance d du centre d’une sphère la coupe en un cercle de rayon √r2 - d2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-39b9c566e8f4.svg)

*Gauche : couper un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) parallèlement à sa base à distance $d$ du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) donne un disque réduit par $k = \frac dh$. Droite : un plan à distance $d$ du centre d’une sphère la coupe en un cercle de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$.*

**Exemple 70.5.**

Un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) a pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de base $6$ et pour hauteur $9$. La [section](#prop-g9-solids-sections) par un plan [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la base, à distance $3$ du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), est un disque réduit par $k = \frac39 = \frac13$ : son [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) est $6 \times \frac13 = 2$.

Une sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ est coupée par un plan à distance $3$ de son centre : la [section](#prop-g9-solids-sections) est un cercle de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{25 - 9} = 4$.

## 70.3 Homothétie des solides

**Théorème 70.6 (Effet d’une homothétie sur longueurs, aires, volumes).**

Lorsqu’un [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) est agrandi ou réduit par le [facteur d’échelle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#def-g9-thales-scaling) $k > 0$ :

- toutes les longueurs sont multipliées par $k$ ;
- toutes les [aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) sont multipliées par $k^2$ ;
- tous les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) sont multipliés par $k^3$ .

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 70.7.**

Une voiture miniature à l’échelle $\frac{1}{18}$ : les longueurs sont celles de la voiture réelle multipliées par $k = \frac{1}{18}$, la surface peinte multipliée par $k^2 = \frac{1}{324}$, et le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) par $k^3 = \frac{1}{5832}$.

Doubler le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) d’une sphère ($k = 2$) multiplie son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) par $2^3 = 8$ : vérifier sur la formule, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$.

**Exemple 70.8 (Tronc de cône).**

Un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de hauteur $9$ et de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de base $6$ ([volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) est coupé à distance $3$ du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), et le petit [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) au-dessus de la coupe est enlevé. Le petit [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) est la réduction par $k = \frac13$, donc son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) est $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$. Le [solide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) restant (un *tronc de [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def)*) a pour [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$.

## 70.4 Exercices

**Exercice 70.1 ★.**

Calculer les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : un [pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ([prisme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) rectangulaire) de dimensions $4 \times 5 \times 12$ ; un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ et de hauteur $7$ (valeur exacte avec $\pi$, puis arrondie à l’unité).

**Solution de Exercice 70.1.**

[Pavé](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) : $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$.

[Cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) : $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$.

**Exercice 70.2 ★.**

Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) d’un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $5$ et de hauteur $12$, et d’une [pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de base rectangulaire $8 \times 3$ et de hauteur $10$.

**Solution de Exercice 70.2.**

[Cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 =
100\pi \approx 314$.

[Pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) : [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $B = 8 \times 3 = 24$, donc $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$.

**Exercice 70.3 ★.**

Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) et l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de surface d’une sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ (valeurs exactes avec $\pi$).

**Solution de Exercice 70.3.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$.

[Aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de surface : $4\pi \times 6^2 = 144\pi$.

**Exercice 70.4 ★.**

Une sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $10$ est coupée par un plan à distance $8$ de son centre. Quel est le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) du cercle de [section](#prop-g9-solids-sections) ?

**Solution de Exercice 70.4.**

[Rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de la [section](#prop-g9-solids-sections) : $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36}
= 6$.

**Exercice 70.5 ★★.**

Un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) a pour [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de base $8$ et pour hauteur $12$. Un plan [parallèle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/40-droites-cercles-et-angles#def-g6-lines-perp) à la base le coupe à distance $9$ du [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def). Calculer le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de la [section](#prop-g9-solids-sections), puis le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du petit [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) au-dessus de la coupe.

**Solution de Exercice 70.5.**

[Facteur d’échelle](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/68-le-theoreme-de-thales#def-g9-thales-scaling) du [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) entier vers le petit : $k = \frac{9}{12} = \frac34$. [Rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de [section](#prop-g9-solids-sections) : $8 \times \frac34 = 6$.

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) entier : $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du petit [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) : $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 =
256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$.

**Exercice 70.6 ★★.**

Un verre cylindrique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) intérieur $3$ cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de $10$ cm. Une bille de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm y est entièrement immergée. De combien le niveau d’eau monte-t-il ? (Le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ajouté se répartit sur l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base du verre ; donner la montée exacte, puis [arrondir](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/21-les-grands-nombres#def-g4-numbers-round) au millimètre.)

**Solution de Exercice 70.6.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de la bille : $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm$^3$. Ce [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) se répartit sur l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$, donc le niveau monte de

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}
$$

(environ $12$ mm).

**Exercice 70.7 ★★.**

Une recette remplit un moule sphérique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm. On ne dispose que d’un moule sphérique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Combien de petits moules peut-on remplir ? (Répondre sans calculer explicitement ni l’un ni l’autre [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume).)

**Solution de Exercice 70.7.**

Le petit moule est la réduction du grand par $k = \frac36 =
\frac12$, donc son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) est $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ du grand : la recette remplit $8$ petits moules.

**Exercice 70.8 ★★.**

La Grande [Pyramide](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de Gizeh a une base carrée de côté environ $230$ m et une hauteur d’environ $147$ m. Estimer son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume), et l’exprimer en millions de mètres cubes.

**Solution de Exercice 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147
= 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m$^3$ — environ $2.6$ millions de mètres cubes.

**Exercice 70.9 ★★★.**

Un entonnoir en forme de [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm et de hauteur $12$ cm, [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) en bas, est rempli d’eau jusqu’à la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de sa *hauteur* (mesurée depuis le [sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)).

1. Quelle [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de l’entonnoir est remplie ?
2. Si au contraire on le remplit de la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de son *[volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume)* d’eau, montrer que la hauteur d’eau $d$ satisfait $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , et donner $d$ au millimètre près ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

**Solution de Exercice 70.9.**

*1.* L’eau forme un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) réduit par $k = \frac12$ ([sommet](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) en bas, [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de la hauteur), donc son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) est $\left(\frac12\right)^3 =
\frac18$ de celui de l’entonnoir : un huitième, bien moins que la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) !

*2.* L’eau jusqu’à la hauteur $d$ forme un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) réduit par $k = \frac{d}{12}$, de [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) $k^3$ fois celui de l’entonnoir. La [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) signifie $k^3 = \frac12$, c’est-à-dire $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$. Puis $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$, donc $d \approx 9.5$ cm : la seconde [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) n’occupe que les $2.5$ cm du haut — la partie large du [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) contient la plupart de l’eau.

## 70.5 Problème : la pierre tombale d’Archimède

**Problème 70.1.**

Devoir maison — la sphère vaut les deux tiers de son cylindre (deux fois plutôt qu’une), l’empilement 1:2:3, et la loi du carré-cube qui interdit les géants

Archimède a démontré bien des théorèmes, mais l’un d’eux le rendit si fier qu’il demanda que sa *figure* fût gravée sur son tombeau : une sphère nichée dans son [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) le plus juste. Un siècle plus tard, l’écrivain romain Cicéron, fouillant les ronces près de Syracuse, reconnut la tombe « à la sphère et au [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) ». Ce problème retrouve ce que la gravure encode — un double miracle des deux tiers — puis suit [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) et surfaces ([Théorème 70.1](#thm-g9-solids-volumes), [Théorème 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) jusqu’à une loi qui gouverne les géants, les fourmis et le refroidissement des planètes.

**Partie I — La gravure décodée.** Une sphère de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ tient exactement dans un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) : même [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes), hauteur $2r$.

1. Calculer le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) en fonction de $r$ .
2. Calculer le rapport du [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de la sphère à celui du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) . Pourquoi Archimède a-t-il pu se réjouir que la réponse ne contienne ni $\pi$ ni $r$ ?
3. Passons aux surfaces : comparer l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de la sphère à l’ [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) *totale* du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) (partie latérale plus les deux disques). Quel rapport apparaît — encore une fois ?
4. L’espace vide entre la sphère et le [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) a pour [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Montrer que ce [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) vaut exactement le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) de *deux [cônes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def)* de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ et de hauteur $r$ .
5. Un ballon de basket de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $12$ cm est vendu dans la boîte cylindrique la plus juste. Calculer les deux [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) (à $100$ cm $^3$ près) et le pourcentage de la boîte qui reste vide.

**Partie II — Bols, moules et lunes.**

6. Un bol hémisphérique a un [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de $10$ cm. Calculer sa [contenance](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/12-argent-et-mesures#def-g2-measure-units) , en cm $^3$ puis en litres (au décilitre près).
7. L’empilement 1:2:3 : un [cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) , une demi-boule et un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) , tous de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm et de hauteur $10$ cm. Calculer les trois [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) et vérifier la légendaire proportion $1 : 2 : 3$ . (Archimède aurait apprécié celle-ci aussi.)
8. Une sphère de chocolat de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm est fondue dans un moule cylindrique de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Quelle hauteur le chocolat atteint-il ? ( [Fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) exacte, puis au millimètre près.)
9. Le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) de la Terre vaut environ $6\,371$ km, celui de la Lune environ $1\,737$ km. Calculer le rapport des [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) , puis — avec [Théorème 70.6](#thm-g9-solids-scaling) — le rapport des [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : combien de Lunes tiendraient dans une Terre creuse, en [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ?
10. D’après le même théorème : quel est le rapport Terre–Lune des *[aires](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area)* ? Et en général, lorsque le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) d’un ballon double, qu’arrive-t-il à son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) et à sa surface ? Énoncer la *loi du [carré-cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def)* : quand une forme grandit, les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) distancent les surfaces.

**Partie III — La loi du [carré-cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) gouverne le monde.**

11. L’argument de Galilée contre les géants : imaginer un être humain agrandi d’un facteur $10$ , toutes proportions conservées. Par quel facteur son poids est-il multiplié (le poids suit le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) ) ? Par quel facteur la [section](#prop-g9-solids-sections) de ses os est-elle multipliée (c’est une [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ) ? Par quel facteur, dès lors, la *pression* sur chaque centimètre carré d’os est-elle multipliée — et qu’advient-il du géant ?
12. La même loi, à l’envers, explique les exploits des fourmis : la force suit la [section](#prop-g9-solids-sections) des muscles (une [aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) ), le poids suit le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) . Pour un animal $100$ fois plus petit dans toutes les directions, par quels facteurs le poids et la force sont-ils divisés, et par quel facteur le rapport force sur poids s’améliore-t-il ?
13. La chaleur est produite par le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) du corps et perdue par sa surface. Montrer que, pour une sphère, le rapport surface sur [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) vaut $\frac{3}{r}$ , et le calculer pour $r = 1$ puis $r = 2$ . Qui refroidit le plus vite, une souris ou un ours — et pourquoi les bébés ont-ils besoin d’un bonnet en hiver ?
14. Deux oranges sphériques, de [rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm et $5$ cm, sont vendues au même prix. Calculer le rapport de leurs [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) : combien d’orange en plus la grosse donne-t-elle pour le même argent ?
15. Bouquet final : décrire précisément ce que la figure de la pierre tombale encode — les deux « deux tiers » des questions 2 et 3 — et répondre à Cicéron en une phrase : pourquoi un mathématicien choisirait-il, plutôt que toutes les conquêtes de son génie d’ingénieur, une sphère dans un [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) ?

**Solution de Problème 70.1.**

**1.** $V_{\text{cyl}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$.

**2.** $\dfrac{V_{\text{sphère}}}{V_{\text{cyl}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$. Le $\pi$ et le $r^3$ se simplifient : la proportion est *universelle* — vraie pour une bille comme pour une planète. Une relation entre formes, et non entre nombres : exactement le genre de vérité qui mérite d’être gravée dans la pierre.

**3.** Sphère : $4\pi r^2$. [Cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) : latérale $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, plus les deux disques $2 \times \pi r^2$ : total $6\pi r^2$. Rapport : $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — les mêmes deux tiers, pour les surfaces. (Et une prime : l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) de la sphère est exactement égale à l’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) latérale du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism).)

**4.** [Reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) : $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$. Deux [cônes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) de [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) $r$ et de hauteur $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$. Égalité.

**5.** Ballon : $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$ ; boîte : $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$. Vide : le tiers de la boîte, environ $33\,\%$ — garanti par la question 2, quelle que soit la taille du ballon.

**6.** Une demi-sphère : $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times
1\,000 \approx 2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L.

**7.** [Cône](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/62-pyramides-et-cones#def-g8-solids-def) : $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 =
\frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm$^3$. Demi-boule : $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$. [Cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) : $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$. Rapports : $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3}
= 1 : 2 : 3$ exactement.

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ donne $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm exactement.

**9.** [Rayons](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) : $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$. Les [volumes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivent le [cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ([Théorème 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) : $3.67^3 \approx 49$. Une cinquantaine de Lunes tiennent dans la Terre.

**10.** Les surfaces suivent le carré : $3.67^2 \approx 13.5$. Doubler le [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes) d’un ballon multiplie son [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) par $2^3 = 8$ mais sa surface par $2^2 = 4$ seulement : à mesure que les choses grandissent, le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) (le poids, le contenu, la chaleur produite) distance la surface (la peau, la matière, la chaleur perdue) — c’est la loi du [carré-cube](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def).

**11.** Poids : $\times 10^3 = 1\,000$. [Section](#prop-g9-solids-sections) des os : $\times 10^2 = 100$. Pression — le poids par unité d’[aire](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-area) d’os : $\times \frac{1000}{100} = 10$. Des os conçus pour une pression humaine en reçoivent dix fois plus : le squelette du géant cède sous son propre poids. Les géants sont géométriquement impossibles ; les grands animaux ont besoin d’os démesurément épais (comparer les pattes d’un éléphant à celles d’une gazelle).

**12.** Poids : $\div 100^3 = 10^6$. Force ([section](#prop-g9-solids-sections) musculaire) : $\div 100^2 = 10^4$. Rapport force sur poids : $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$. La fourmi qui soulève cinquante fois son poids n’est pas une super-athlète — elle est simplement petite ; un être humain réduit à la taille d’une fourmi en ferait autant.

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3}
= \dfrac{3}{r}$ : pour $r = 1$ le rapport vaut $3$, pour $r = 2$ il vaut $1.5$ — diviser la taille par deux double la surface disponible par unité de [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) producteur de chaleur. Les petits corps perdent leur chaleur : la souris doit manger sans cesse, l’ours peut hiberner, et le bébé — petite sphère, grand rapport $\frac Sr$ — a besoin de son bonnet.

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx
1.95$ : la grosse orange contient près de *deux fois* plus de fruit pour le même prix. Il faut acheter du [rayon](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/18-figures-et-angles-droits#def-g3-shapes-shapes).

**15.** La gravure dit ceci : la sphère vaut $\frac23$ du [cylindre](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/53-aires-et-volumes#def-g7-areas-prism) en [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume), *et* $\frac23$ de sa surface totale — deux proportions exactes et universelles reliant le plus rond des [solides](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) au plus simple. La réponse à Cicéron : parce qu’un théorème est le seul monument que ni les armées ni les siècles n’érodent — les machines d’Archimède ont brûlé avec Syracuse, mais les deux tiers valent toujours exactement deux tiers.