--- title: "Statistiques et probabilités" book: "Mathématiques du primaire et du collège" subject: math language: fr chapter: 71 exercises: 9 source: https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/71-statistiques-et-probabilites --- # Chapitre 71 — Statistiques et probabilités Données et hasard sont partout : résultats sportifs, prévisions météo, jeux. Ce chapitre enseigne à résumer une série de nombres par sa [moyenne](#def-g9-statproba-indicators), sa [médiane](#def-g9-statproba-indicators) et son [étendue](#def-g9-statproba-indicators), et à calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) d’expériences aléatoires simples — y compris des expériences à deux étapes, traitées avec des arbres. Les deux sujets sont développés bien plus loin dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant de cette série. ## 71.1 Résumer des données **Définition 71.1 (Moyenne, médiane, étendue).** Pour une série de $N$ nombres : - la *moyenne* est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de toutes les valeurs divisée par $N$ ; - la *médiane* est une valeur partageant la série triée en deux [moitiés](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) de même taille : pour $N$ [impair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , la valeur du milieu ; pour $N$ [pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , le milieu des deux valeurs centrales ; - l’ *étendue* est la plus grande valeur moins la plus petite. **Exemple 71.2.** Notes d’un élève : $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$. 1. [Moyenne](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ . 2. [Médiane](#def-g9-statproba-indicators) : trier la série : $8, 9, 11, 12, 15$ ; la valeur du milieu (3 e ) est $11$ . 3. [Étendue](#def-g9-statproba-indicators) : $15 - 8 = 7$ . Avec une sixième note de $17$ : triée $8, 9, 11, 12, 15, 17$, la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) devient le milieu de $11$ et $12$, c’est-à-dire $11.5$, et la [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) devient $\frac{72}{6} = 12$. **Exemple 71.3 (Moyenne pondérée).** Les pointures vendues en une journée : | pointure | $38$ | $39$ | $40$ | $41$ | $42$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | [effectif](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/50-organiser-des-donnees#def-g7-stats-frequency) | $3$ | $7$ | $6$ | $3$ | $1$ | La pointure [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) est $$ \frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42} {3 + 7 + 6 + 3 + 1} = \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20} = \frac{792}{20} = 39.6 . $$ **Remarque 71.4.** La [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) et la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) peuvent différer beaucoup. Dans la série $10, 10, 10, 10, 60$ la [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) est $20$ (tirée vers le haut par la valeur $60$) tandis que la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) est $10$. Toujours se demander quel indicateur représente mieux la situation. ## 71.2 Probabilité **Définition 71.5 (Probabilité).** Une expérience aléatoire a plusieurs *issues* possibles ; un *événement* est un ensemble d’issues. Chaque issue reçoit une *probabilité* : un nombre entre $0$ et $1$, avec toutes les probabilités des issues sommant à $1$ ; la probabilité $\P(A)$ d’un événement $A$ est la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) des probabilités de ses issues. Lorsque les $n$ issues sont équiprobables, $$ \P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{n}. $$ **Exemple 71.6.** Une roue est partagée en $8$ secteurs égaux : $3$ rouges, $3$ bleus, $2$ verts. Chaque secteur a pour [probabilité](#def-g9-statproba-probability) $\frac18$, donc $$ \P(\text{rouge}) = \frac38, \qquad \P(\text{vert}) = \frac28 = \frac14, \qquad \P(\text{pas vert}) = 1 - \frac14 = \frac34 . $$ **Proposition 71.7 (Complément).** Pour tout événement $A$, l’*événement contraire* $\bar A$ (« $A$ ne se [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) pas ») satisfait $$ \P(\bar A) = 1 - \P(A). $$ **Démonstration.** Toute issue est dans exactement l’un de $A$ et $\bar A$, donc $\P(A) + \P(\bar A)$ [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) de toutes les issues, qui valent $1$. ∎ ## 71.3 Expériences à deux étapes **Méthode 71.8 (Arbres de probabilités).** Pour une expérience en deux étapes : 1. tracer une branche par issue de la première étape, puis continuer chaque branche avec les issues de la seconde étape, en écrivant chaque [probabilité](#def-g9-statproba-probability) sur sa branche ; 2. multiplier les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) le long d’un chemin pour obtenir la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de ce chemin ; 3. additionner les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) de tous les chemins formant un événement. **Exemple 71.9.** Un sac contient $2$ jetons rouges et $3$ noirs. Tirer un jeton, noter sa couleur, le *remettre*, tirer à nouveau. Chaque tirage donne rouge avec [probabilité](#def-g9-statproba-probability) $\frac25$, noir avec [probabilité](#def-g9-statproba-probability) $\frac35$. ![L’arbre des deux tirages avec remise : multiplier le long des branches, et vérifier que les quatre chemins somment à 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-statproba/fig-fffdf43dac7b.svg) *L’arbre des deux tirages avec remise : multiplier le long des branches, et vérifier que les quatre chemins somment à $1$.* [Probabilité](#def-g9-statproba-probability) de deux jetons de la même couleur : $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$. [Probabilité](#def-g9-statproba-probability) d’au moins un rouge : $1 - \P(\text{BB}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. **Remarque 71.10 (Les fréquences approchent les probabilités).** Lancer un dé équilibré $6000$ fois donne *environ* $1000$ six — pas exactement. Lorsque le nombre de répétitions croît, les [fréquences](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/50-organiser-des-donnees#def-g7-stats-frequency) observées se rapprochent de plus en plus des [probabilités](#def-g9-statproba-probability) : c’est ce qui fait de la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) l’outil juste pour modéliser des expériences répétées (une histoire développée dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant de cette série). ## 71.4 Exercices **Exercice 71.1 ★.** Calculer la [moyenne](#def-g9-statproba-indicators), la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) et l’[étendue](#def-g9-statproba-indicators) de la série $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$. **Solution de Exercice 71.1.** [Moyenne](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$. [Médiane](#def-g9-statproba-indicators) : triée, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$ ; la valeur du milieu ($4$e) est $12$. [Étendue](#def-g9-statproba-indicators) : $17 - 9 = 8$. **Exercice 71.2 ★.** Les températures à midi sur une semaine étaient $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (degrés). Calculer la [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) (au dixième) et la [médiane](#def-g9-statproba-indicators). **Solution de Exercice 71.2.** [Moyenne](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7} \approx 21.1$ degrés. [Médiane](#def-g9-statproba-indicators) : triée, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$ ; la $4$e valeur est $21$ degrés. **Exercice 71.3 ★.** Le nombre de buts marqués par une équipe en $10$ matchs : | buts | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | matchs | $2$ | $4$ | $3$ | $1$ | Calculer le nombre moyen de buts par match, et la [médiane](#def-g9-statproba-indicators). **Solution de Exercice 71.3.** [Moyenne](#def-g9-statproba-indicators) : $$ \frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3 \text{ buts par match.} $$ [Médiane](#def-g9-statproba-indicators) : la série triée est $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ ; les $5$e et $6$e valeurs sont toutes deux $1$ : [médiane](#def-g9-statproba-indicators) $1$. **Exercice 71.4 ★.** On lance une fois un dé équilibré. Calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de : « obtenir un $3$ » ; « obtenir un [nombre pair](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/14-les-nombres-jusqua-10-000#def-g3-numbers-evenodd) » ; « obtenir au moins un $3$ » ; « ne pas obtenir un $6$ ». **Solution de Exercice 71.4.** $\P(3) = \frac16$. $\P(\text{pair}) = \frac36 = \frac12$. $\P(\text{au moins } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$. $\P(\text{pas } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$. **Exercice 71.5 ★.** Une boîte contient $12$ boules : $5$ blanches, $4$ rouges et $3$ vertes ; on tire une boule au hasard. Calculer $\P(\text{blanche})$, $\P(\text{rouge ou verte})$, et $\P(\text{pas blanche})$. Que remarque-t-on sur les deux dernières ? **Solution de Exercice 71.5.** $\P(\text{blanche}) = \frac{5}{12}$. $\P(\text{rouge ou verte}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$. $\P(\text{pas blanche}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$. Les deux dernières sont égales : « pas blanche » *est* l’événement « rouge ou verte ». **Exercice 71.6 ★★.** On lance une pièce, puis un dé équilibré. Dessiner l’arbre (ou compter les issues) et calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) d’obtenir pile *et* un $6$ ; puis d’obtenir pile *ou* un $6$ (ou les deux). **Solution de Exercice 71.6.** Les $12$ issues ([face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) de la pièce, valeur du dé) sont équiprobables. Pile et un $6$ : une issue sur $12$ : $\frac{1}{12}$. Pile ou un $6$ : les issues avec pile ($6$ d’entre elles) plus l’issue ([face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def), $6$) : $7$ issues, donc $\frac{7}{12}$. Compter chaque événement et soustraire le chevauchement donne la même chose : $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$. **Exercice 71.7 ★★.** Dans le sac de [Exemple 71.9](#ex-g9-statproba-tree) ($2$ rouges, $3$ noirs), les deux tirages se font maintenant *sans* remise. Dessiner le nouvel arbre (attention : les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) du second niveau changent) et calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de tirer deux jetons noirs, puis deux jetons de couleurs différentes. **Solution de Exercice 71.7.** Premier tirage : rouge $\frac25$, noir $\frac35$. Second tirage sans remise : après un rouge, $1$ rouge et $3$ noirs restent parmi $4$ ; après un noir, $2$ rouges et $2$ noirs parmi $4$. Deux noirs : $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. Couleurs différentes (RN ou NR) : $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$. **Exercice 71.8 ★★.** Après $9$ matchs, une basketteuse [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) $14$ points par match. 1. Combien de points a-t-elle marqués au total ? 2. Combien de points doit-elle marquer au $10$ e match pour [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) $15$ ? **Solution de Exercice 71.8.** *1.* $9 \times 14 = 126$ points. *2.* Une [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) de $15$ sur $10$ matchs signifie $150$ points au total : elle doit marquer $150 - 126 = 24$ points. **Exercice 71.9 ★★★.** Un jeu : lancer deux dés équilibrés ; on gagne si les deux résultats sont égaux (« un double »). 1. Calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de gagner. 2. On joue deux fois (parties indépendantes). À l’aide d’un arbre, calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de gagner au moins une fois. **Solution de Exercice 71.9.** *1.* Parmi les $36$ paires équiprobables, les doubles sont $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ : six d’entre eux, donc $\P(\text{double}) = \frac{6}{36} = \frac16$. *2.* Deux parties indépendantes : arbre avec gain ($\frac16$) / perte ($\frac56$) à chaque niveau. [Probabilité](#def-g9-statproba-probability) de ne jamais gagner : $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$. Donc $$ \P(\text{au moins un gain}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31 . $$ ## 71.5 Problème : les paris ruineux du Chevalier **Problème 71.1.** Devoir maison — la querelle de jeu de 1654 qui a créé la théorie des probabilités, et la coïncidence des anniversaires qui trompe toutes les classes En 1654, un gentilhomme français joueur acharné, le Chevalier de Méré, s’enrichissait grâce à un pari sur les dés et se mit à perdre sur un autre qu’il croyait équivalent. Déconcerté, il consulta le mathématicien Blaise Pascal ; Pascal écrivit à Pierre de Fermat ; et leur échange de lettres fonda la théorie des [probabilités](#def-g9-statproba-probability). Ce problème rejoue toute l’affaire avec les outils de ce chapitre — issues équiprobables, arbres et règle de l’événement contraire ([Proposition 71.7](#prop-g9-statproba-complement)) — et s’achève sur la plus contre-intuitive de toutes les coïncidences. **Partie I — Des dés, comptés honnêtement.** 1. Lancer deux fois un dé équilibré. À l’aide d’un arbre (ou d’un tableau $6 \times 6$ ), calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de n’obtenir *aucun* six sur les deux lancers, et en déduire la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) d’obtenir au moins un six. 2. Un camarade affirme : « une chance sur six par lancer, deux fois, donc $\frac16 + \frac16 = \frac13$ . » Comparer avec la question 1 et désigner les issues exactes que son addition compte deux fois. 3. En lançant deux dés et en additionnant : calculer la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) d’obtenir une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $7$ , puis une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $2$ . Pourquoi le $7$ est-il le favori des joueurs ? 4. Vieille querelle : avec deux dés, une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $9$ ou une [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) de $10$ , laquelle est la plus probable ? Compter les issues et trancher. 5. Généraliser la question 1 : expliquer pourquoi la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) d’obtenir au moins un six en $n$ lancers vaut $$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$$ les branches « pas de six » de l’arbre se multipliant d’un étage au suivant. **Partie II — Les deux paris du Chevalier.** 6. Premier pari, à [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) égale : *au moins un six en quatre lancers d’un dé* . Calculer $\left(\frac56\right)^4$ sous forme de [fraction](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/63-fractions-et-puissances#def-g9-fractions-fraction) puis de décimal, et la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de gain du Chevalier. Le pari était-il bon ? 7. Le raisonnement propre au Chevalier était : « quatre lancers à $\frac16$ chacun : $\frac46$ de chance ». Il donnait ici presque la bonne réponse — mais poussons-le à $7$ lancers : quelle absurdité produit-il, et quelle erreur de la question 2 répète-t-il ? 8. Second pari, qu’il croyait équivalent par [proportionnalité](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/67-fonctions-lineaires-et-affines#def-g9-linfunc-linear) (« $24$ lancers à $\frac1{36}$ chacun : encore $\frac{24}{36} = \frac46$ ») : *au moins un double-six en $24$ lancers de deux dés* . Calculer la véritable [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de gain $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (à la calculatrice). Pourquoi le Chevalier s’est-il lentement ruiné ? 9. Combien de lancers de deux dés lui auraient rendu son avantage ? Tester $n = 25$ à la calculatrice et conclure. 10. Énoncer la morale en deux phrases : qu’y a-t-il de faux, en général, à multiplier une [probabilité](#def-g9-statproba-probability) par le nombre d’essais — et quel outil correct remplace cette tentation ? **Partie III — [Moyennes](#def-g9-statproba-indicators), [médianes](#def-g9-statproba-indicators), anniversaires.** 11. Une petite entreprise verse $2\,000$ euros par mois à neuf salariés et $20\,000$ au directeur. Calculer le salaire moyen et le salaire médian ( [Définition 71.1](#def-g9-statproba-indicators) ). Quel nombre l’annonce d’embauche devrait-elle honnêtement citer ? 12. Construire une liste de cinq notes de [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) $12$ et de [médiane](#def-g9-statproba-indicators) $15$ . Que dit ce couple ( [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) inférieure à la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) ) sur l’allure des notes ? 13. Le problème des anniversaires : dans une classe de $23$ élèves, quelle est la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) qu’au moins deux d’entre eux partagent leur date d’anniversaire ? Poser l’événement contraire (les $23$ dates toutes différentes) : $$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$$ Calculer le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) des trois premiers facteurs, décrire comment les facteurs évoluent, et — sachant que le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) complet vaut environ $0.493$ — répondre à la question. La plupart des gens s’attendent à « très improbable » : que disent les mathématiques ? 14. L’intuition réparée : combien de *couples* d’élèves peuvent partager un anniversaire dans une classe de $23$ (le compte des poignées de main du [Problème 37.1](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/37-les-nombres-entiers#pb-g6-wholes-1) ) ? Expliquer en une phrase pourquoi c’est ce nombre, et non $23$ lui-même, qui [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) la surprise. 15. Bouquet final : décrire une expérience permettant de contrôler l’un ou l’autre résultat — le pari de Méré avec un vrai dé, ou le problème des anniversaires sur plusieurs classes — et énoncer soigneusement ce que l’on attend des [fréquences](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/50-organiser-des-donnees#def-g7-stats-frequency) observées à mesure que le nombre de répétitions croît. (Cette attente porte un nom, la loi des grands nombres ; sa démonstration nous attend dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant.) **Solution de Problème 71.1.** **1.** Chaque lancer offre $5$ issues sans six sur $6$ ; le tableau $6 \times 6$ montre $5 \times 5 = 25$ issues sans six sur $36$ : $\P(\text{aucun six}) = \frac{25}{36}$, donc $\P(\text{au moins un}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31$. **2.** $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$. L’addition compte l’issue « six puis six » une fois dans chaque $\frac16$ : une fois de trop. Les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) d’événements pouvant survenir *ensemble* ne s’additionnent pas simplement. **3.** [Somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $7$ : les six issues $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ : $\P = \frac{6}{36} = \frac16$. [Somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $2$ : seulement $(1,1)$ : $\frac{1}{36}$. Le sept a le plus de façons de se produire — c’est le ventre du tableau des [sommes](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def). **4.** [Somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $9$ : $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — quatre issues, $\frac{4}{36}$. [Somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4)$ — trois, $\frac{3}{36}$. Le neuf est plus probable : c’est le compte des issues qui tranche, et non le nombre de « façons d’écrire » la [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) avec des [faces](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) non ordonnées. **5.** Chaque étage de l’arbre multiplie la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) de n’avoir pas de six par $\frac56$, quoi qu’il se soit passé avant : après $n$ lancers, $\P(\text{aucun six}) = \left(\frac56\right)^n$, et la règle de l’événement contraire donne la formule. **6.** $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482$, donc le Chevalier gagnait avec la [probabilité](#def-g9-statproba-probability) $1 - 0.482 = 0.518$ — un avantage discret et régulier de près de $2\,\%$ par partie : un excellent pari, qui a payé ses carrosses. **7.** À $7$ lancers, sa règle donne $\frac76$ — une [probabilité](#def-g9-statproba-probability) supérieure à $1$, ce qui n’a aucun sens. C’est le double comptage de la question 2, aggravé : les réussites des lancers se recouvrent, et additionner leurs chances recompte les recouvrements encore et encore. **8.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0.5086 = 0.491$ : en dessous d’une chance sur deux. En pariant à [somme](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/2-addition-premiers-pas#def-g1-addition-def) égale sur un événement de [probabilité](#def-g9-statproba-probability) $49.1\,\%$, le Chevalier perdait environ $2$ parties sur $100$ en [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) — lentement, mystérieusement (pour lui), et inéluctablement. **9.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 1 - 0.494 = 0.506$ : avec $25$ lancers, le pari devient favorable. Un seul lancer séparait le Chevalier de la rentabilité. **10.** Multiplier une [probabilité](#def-g9-statproba-probability) par le nombre d’essais compte plusieurs fois les réussites qui se recouvrent, et finit par produire des réponses impossibles, supérieures à $1$. Le chemin correct passe toujours par l’événement contraire : enchaîner les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) d’échec par multiplication, puis retrancher de $1$. **11.** [Moyenne](#def-g9-statproba-indicators) : $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} = \frac{38\,000}{10} = 3\,800$ euros. [Médiane](#def-g9-statproba-indicators) : les salaires du milieu valent tous deux $2\,000$ : la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) vaut $2\,000$ euros. L’annonce devrait citer la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) — neuf des dix salariés ne verront jamais quoi que ce soit qui ressemble à $3\,800$ ; la [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) est tirée vers le haut par une seule valeur extrême ([Exemple 71.3](#ex-g9-statproba-weighted) mettait déjà en garde contre les poids). **12.** Par exemple $2, 8, 15, 17, 18$ : [médiane](#def-g9-statproba-indicators) $15$ (la valeur centrale), [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{60}{5} = 12$. Une [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) inférieure à la [médiane](#def-g9-statproba-indicators) trahit une traîne de notes *basses* qui tire la [moyenne](#def-g9-statproba-indicators) vers le bas, tandis que la [moitié](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-half) supérieure [reste](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/17-partage-et-division#def-g3-division-remainder) haute. **13.** Les trois premiers facteurs : $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.992$. Chaque nouvel élève doit éviter une date occupée de plus : les facteurs diminuent donc, jusqu’à $\frac{343}{365} \approx 0.94$ pour le $23^\text{e}$. Le [produit](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/10-multiplication-premiers-pas#def-g2-mult-def) complet tombe à environ $0.493$ — d’où $$ \P(\text{au moins un anniversaire partagé}) \approx 0.507 : $$ mieux qu’une chance sur deux, dans une classe de $23$ élèves seulement. L’intuition dit « $23$ personnes, $365$ jours, aucune chance » ; les mathématiques répondent « à pile ou [face](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/35-cubes-et-paves#def-g5-solids-def) ». **14.** $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ couples. Chaque couple est une occasion nouvelle de coïncidence, et $253$ occasions à $\frac{1}{365}$ chacune, ce n’est plus une petite affaire : la surprise se dissipe dès qu’on compte les couples, et non les personnes. **15.** Protocole possible : lancer un dé par blocs de quatre en notant si chaque bloc contient un six, pour $100$ blocs ; ou recueillir les listes d’anniversaires de nombreuses classes d’environ $23$ élèves et noter la proportion de celles qui présentent une coïncidence. La [fréquence](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/50-organiser-des-donnees#def-g7-stats-frequency) observée oscillera, mais à mesure que le nombre de répétitions croît, elle devrait se rapprocher de plus en plus des [probabilités](#def-g9-statproba-probability) calculées ($0.518$ ; $0.507$) — les [fréquences](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/50-organiser-des-donnees#def-g7-stats-frequency) convergent vers les [probabilités](#def-g9-statproba-probability) : c’est la loi des grands nombres, énoncée ici comme une attente et démontrée dans le [volume](https://one-course.com/books/math/1/fr/chapter/43-perimetre-aire-volume#def-g6-measure-volume) suivant.