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title: "गुणा: पहले कदम"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 10
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps
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# अध्याय 10 — गुणा: पहले कदम

तीन-तीन केक के चार डिब्बे: $3 + 3 + 3 + 3$ लिखने के बजाय हम $4 \times 3$ लिखते हैं। एक ही संख्या को बार-बार जोड़ने का छोटा रास्ता ही गुणा है — और इसका सबसे अच्छा चित्र पंक्तियों और स्तंभों की सुथरी सरणी है।

## 10.1 एक ही संख्या को जोड़ना

**परिभाषा 10.1 (गुणा).**

$4 \times 3$ का मतलब है “चार गुना तीन”:

$$
4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 .
$$

चिह्न $\times$ है, जिसे “गुना” पढ़ते हैं। उत्तर को *गुणनफल* कहते हैं (गुणा [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/16-multiplication#ch-g3-mult) में बड़ा होता है)।

![एक सरणी: 3-3 की 4 पंक्तियाँ। पंक्तियों से गिनने पर 4 × 3 मिलता है; वही बिंदु स्तंभों से गिनने पर 3 × 4 — यानी क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g2-mult/fig-2dc0c0979500.svg)

*एक *सरणी*: $3$-$3$ की $4$ पंक्तियाँ। पंक्तियों से गिनने पर $4 \times 3$ मिलता है; वही बिंदु स्तंभों से गिनने पर $3 \times 4$ — यानी क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता।*

**उदाहरण 10.2 (क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता).**

$4 \times 3$ और $3 \times 4$ उन्हीं $12$ बिंदुओं को गिनते हैं, एक बार पंक्तियों से, एक बार स्तंभों से। सरणी को घुमाकर देख लो। इसलिए एक [गुणनफल](#def-g2-mult-def) याद करने पर उसका जुड़वाँ मुफ़्त में मिल जाता है।

## 10.2 छलाँग गिनती और आसान पहाड़े

**विधि 10.3 (छलाँग गिनकर पहाड़ा बनाना).**

$5 \times 4$ निकालने के लिए चार-चार करके पाँच बार गिनो: $4, 8, 12, 16, 20$। संख्या रेखा पर छलाँग गिनती *ही* पहाड़ा है।

- $2$ का पहाड़ा: $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ (दुगुने);
- $5$ का पहाड़ा: $5, 10, 15, 20, 25, \dots$ ( $5$ या $0$ पर ख़त्म);
- $10$ का पहाड़ा: $10, 20, 30, \dots$ (बस एक [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) लगा दो)।

![रेखा पर छलाँगों के रूप में 2 का पहाड़ा: 2, 4, 6, 8, 10। 2 की पाँच छलाँगें 10 तक पहुँचती हैं, इसलिए 5 × 2 = 10।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g2-mult/fig-bc3c4c8f6eb3.svg)

*रेखा पर छलाँगों के रूप में $2$ का पहाड़ा: $2, 4, 6, 8, 10$। $2$ की पाँच छलाँगें $10$ तक पहुँचती हैं, इसलिए $5 \times 2 = 10$।*

**उदाहरण 10.4 (दुगुना और आधा).**

$2$ से गुणा करना यानी दुगुना करना: $2 \times 7 = 14$। इसका उलटा, आधा करना, इसे मिटा देता है: $14$ का आधा $7$ है। दुगुने याद हों तो $2$ का पूरा पहाड़ा तुरंत आ जाता है — और भाग की तैयारी भी हो जाती है ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#ch-g3-division))।

## 10.3 समस्याओं में गुणा

**उदाहरण 10.5.**

“एक डिब्बे में $5$ अंडे आते हैं। $4$ डिब्बों में कितने अंडे?” पाँच-पाँच के चार समूह: $4 \times 5 = 20$ (छलाँग गिनती: $5, 10, 15, 20$)। कुल $20$ अंडे हैं।

## 10.4 अभ्यास

**अभ्यास 10.1 ★.**

गुणा के रूप में लिखो, फिर निकालो: $2 + 2 + 2$; $5 + 5 + 5 + 5$; $10 + 10 + 10$।

**हल — अभ्यास 10.1.**

$2 + 2 + 2 = 3 \times 2 = 6$; $5 + 5 + 5 + 5 = 4 \times 5 = 20$; $10 + 10 + 10 = 3 \times 10 = 30$।

**अभ्यास 10.2 ★.**

$5$-$5$ बिंदुओं की $3$ पंक्तियों वाली सरणी बनाओ। यह कौन-सा गुणा दिखाती है? और घुमाने पर?

**हल — अभ्यास 10.2.**

$5$-$5$ की $3$ पंक्तियाँ: $3 \times 5 = 15$। घुमाने पर $3$-$3$ की $5$ पंक्तियाँ: $5 \times 3 = 15$ — वही $15$।

**अभ्यास 10.3 ★.**

छलाँग गिनकर $2$ का पहाड़ा $2 \times 6$ तक भरो; $5$ का पहाड़ा $5 \times 6$ तक।

**हल — अभ्यास 10.3.**

$2$ का पहाड़ा: $2, 4, 6, 8, 10, 12$। $5$ का पहाड़ा: $5, 10, 15, 20, 25, 30$।

**अभ्यास 10.4 ★.**

निकालो: $2 \times 7$; $5 \times 3$; $10 \times 4$; $2 \times 9$; $5 \times 6$।

**हल — अभ्यास 10.4.**

$2 \times 7 = 14$; $5 \times 3 = 15$; $10 \times 4 = 40$; $2 \times 9 = 18$; $5 \times 6 = 30$।

**अभ्यास 10.5 ★.**

दुगुने निकालो: $6$ का दुगुना; $8$ का दुगुना; $10$ का दुगुना। फिर आधे: $12$ का आधा; $20$ का आधा।

**हल — अभ्यास 10.5.**

दुगुने: $12$; $16$; $20$। आधे: $12$ का आधा $6$; $20$ का आधा $10$।

**अभ्यास 10.6 ★.**

छलाँग गिनकर $3$ का पहाड़ा निकालो: $3, 6, 9, ?, ?, ?$। $3 \times 5$ कितना है?

**हल — अभ्यास 10.6.**

$3, 6, 9, 12, 15, 18$। तो $3 \times 5 = 15$।

**अभ्यास 10.7 ★.**

“$5$-$5$ कुर्सियों वाली $4$ मेज़ें हैं। कुल कितनी कुर्सियाँ?” गुणा और उत्तर लिखो।

**हल — अभ्यास 10.7.**

$4 \times 5 = 20$ कुर्सियाँ।

**अभ्यास 10.8 ★.**

एक मकड़ी के $8$ पैर होते हैं। $3$ मकड़ियों के कितने पैर? ($8$-$8$ करके गिनो: $8, 16, \dots$)

**हल — अभ्यास 10.8.**

$3 \times 8 = 24$ पैर ($8, 16, 24$)।

**अभ्यास 10.9 ★.**

$12$ बिंदुओं को बराबर पंक्तियों में सजाने के दो तरीक़े: $6$-$6$ की $2$ पंक्तियाँ बनाओ, और $4$-$4$ की $3$। हर एक के लिए गुणा लिखो।

**हल — अभ्यास 10.9.**

$6$-$6$ की $2$ पंक्तियाँ: $2 \times 6 = 12$। $4$-$4$ की $3$ पंक्तियाँ: $3 \times 4 = 12$।

**अभ्यास 10.10 ★★.**

केक $5$-$5$ के डिब्बों में आते हैं। मिया को दावत के लिए $18$ केक चाहिए। उसे कितने डिब्बे लेने होंगे? ($18$ पार होने तक $5$-$5$ गिनो।)

**हल — अभ्यास 10.10.**

$5$-$5$ गिनो: $5, 10, 15, 20$ — तीन डिब्बों से केवल $15$ मिलते हैं (कम पड़ेंगे), चार से $20$। मिया को $4$ डिब्बे लेने होंगे।