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title: "आकार और ठोस"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 11
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/11-shapes-and-solids
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# अध्याय 11 — आकार और ठोस

चपटे आकार काग़ज़ पर रहते हैं; ठोस हाथ में भर जाते हैं। यह अध्याय चपटे आकारों को भुजाएँ और कोने गिनकर छाँटता है, मुड़े हुए काग़ज़ के कोने से समकोण जाँचता है, और पहले ठोसों से मिलवाता है — जिनके [फलक](#def-g2-shapes-solids) वही चपटे आकार हैं जिन्हें हम पहले से जानते हैं।

## 11.1 चपटे आकार छाँटना

**परिभाषा 11.1 (सीधी भुजाओं वाले और गोल).**

जिस आकार की सीमा केवल सीधी भुजाओं से बनी हो, वह *बहुभुज* है: त्रिभुज ($3$ भुजाएँ), चतुर्भुज ($4$ भुजाएँ: वर्ग और आयत चतुर्भुज हैं), पंचभुज ($5$), षट्भुज ($6$)। जिस आकार की सीमा वक्र हो, जैसे वृत्त, वह बहुभुज *नहीं* है।

![भुजाओं की संख्या से छँटाई। कोनों की संख्या हमेशा भुजाओं की संख्या के बराबर होती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g2-shapes/fig-004e99e0a6b5.svg)

*भुजाओं की संख्या से छँटाई। कोनों की संख्या हमेशा भुजाओं की संख्या के बराबर होती है।*

**विधि 11.2 (समकोण की जाँच).**

काग़ज़ की एक शीट को दो बार मोड़कर तीखा कोना बनाओ — वही कोना समकोण है। उसे किसी आकार के कोने में रखो:

1. अगर आकार की दोनों भुजाएँ मुड़े हुए कोने के ठीक साथ-साथ चलें, तो कोण समकोण है;
2. अगर कोना उससे चौड़ा या सँकरा हो, तो समकोण नहीं है।

वर्ग और आयत में चार समकोण होते हैं।

## 11.2 जाल पर दोबारा बनाना

**विधि 11.3 (आकृति की नक़ल).**

जाल वाले काग़ज़ पर आकृति को शीर्ष-दर-शीर्ष उतारो:

1. एक कोना चुनो और उसे ख़ाली जाल पर अंकित करो;
2. अगले कोने तक के खाने गिनो (“ $3$ दाईं ओर, $2$ ऊपर”) और उसे अंकित करो;
3. कोनों को क्रम से जोड़ो; नमूने से मिलाकर देखो।

![एक आकृति और उसकी नक़ल, कोनों के बीच के खाने गिनकर बनाई गई।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g2-shapes/fig-231deed19c31.svg)

*एक आकृति और उसकी नक़ल, कोनों के बीच के खाने गिनकर बनाई गई।*

## 11.3 ठोस

**परिभाषा 11.4 (पहले ठोस).**

ठोस जगह घेरते हैं। उनकी चपटी सतहें *फलक* कहलाती हैं:

- *घन* : $6$ वर्गाकार फलक (पासा);
- *डिब्बा* (आयताकार ठोस): $6$ आयताकार फलक (अनाज का डिब्बा);
- *बेलन* : दो गोल फलक और एक लिपटी हुई सतह (सूप का टिन);
- *गेंद* : पूरी तरह गोल, कोई चपटा फलक नहीं।

ठोस और उनके फलक [अध्याय 35](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#ch-g5-solids) में लौटेंगे।

![पहले ठोस। घन पर उँगली फिराओ: 6 चपटे फलक और तीखे किनारे महसूस होते हैं; गेंद में इनमें से कुछ भी नहीं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g2-shapes/fig-a3942f560909.svg)

*पहले ठोस। [घन](#def-g2-shapes-solids) पर उँगली फिराओ: $6$ चपटे [फलक](#def-g2-shapes-solids) और तीखे किनारे महसूस होते हैं; गेंद में इनमें से कुछ भी नहीं।*

## 11.4 अभ्यास

**अभ्यास 11.1 ★.**

हर एक की भुजाएँ और कोने गिनकर नाम बताओ: $5$ भुजाओं वाला आकार; $3$ कोनों वाला आकार; एक गोल आकार।

**हल — अभ्यास 11.1.**

$5$ भुजाएँ, $5$ कोने: पंचभुज। $3$ कोने (और $3$ भुजाएँ): त्रिभुज। गोल: वृत्त।

**अभ्यास 11.2 ★.**

“[बहुभुज](#def-g2-shapes-sort)” या “[बहुभुज](#def-g2-shapes-sort) नहीं” में छाँटो: वर्ग; वृत्त; त्रिभुज; षट्भुज।

**हल — अभ्यास 11.2.**

[बहुभुज](#def-g2-shapes-sort): वर्ग, त्रिभुज, षट्भुज (सीधी भुजाएँ)। [बहुभुज](#def-g2-shapes-sort) नहीं: वृत्त (वक्र सीमा)।

**अभ्यास 11.3 ★.**

काग़ज़ मोड़कर समकोण जाँचने का औज़ार बनाओ। कमरे में तीन समकोण ढूँढ़ो, और एक ऐसा कोण जो समकोण न हो।

**हल — अभ्यास 11.3.**

समकोण, जैसे: बोर्ड, किताब या खिड़की के कोने; समकोण नहीं, जैसे: डिब्बे के खुले ढक्कन का कोण या $2$ बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण।

**अभ्यास 11.4 ★.**

वर्ग में कितने समकोण होते हैं? आयत में? त्रिभुज में ज़्यादा से ज़्यादा कितने? (दो समकोण वाला त्रिभुज बनाकर देखो।)

**हल — अभ्यास 11.4.**

वर्ग: $4$ समकोण। आयत: $4$। त्रिभुज में ज़्यादा से ज़्यादा $1$ समकोण — दो होते तो बाक़ी दोनों भुजाएँ कभी मिलतीं ही नहीं।

**अभ्यास 11.5 ★.**

जाल वाले काग़ज़ पर $4$ खाने चौड़ा और $2$ खाने ऊँचा आयत उतारो, फिर $3$ खानों के आधार वाला त्रिभुज।

**हल — अभ्यास 11.5.**

कोनों के बीच के खाने गिनकर बनी नक़लें; नमूने से मिलाने पर काम की जाँच हो जाती है।

**अभ्यास 11.6 ★.**

ठोस का नाम बताओ: एक पासा; सूप का टिन; एक फुटबॉल; जूतों का डिब्बा।

**हल — अभ्यास 11.6.**

पासा: [घन](#def-g2-shapes-solids)। सूप का टिन: [बेलन](#def-g2-shapes-solids)। फुटबॉल: गेंद। जूतों का डिब्बा: डिब्बा।

**अभ्यास 11.7 ★.**

[घन](#def-g2-shapes-solids) के कितने [फलक](#def-g2-shapes-solids) होते हैं? हर [फलक](#def-g2-shapes-solids) का आकार क्या है? डिब्बे के कितने [फलक](#def-g2-shapes-solids) होते हैं?

**हल — अभ्यास 11.7.**

[घन](#def-g2-shapes-solids) के $6$ [फलक](#def-g2-shapes-solids) होते हैं, हर एक वर्ग। डिब्बे के भी $6$ [फलक](#def-g2-shapes-solids) होते हैं (आयत)।

**अभ्यास 11.8 ★.**

कौन-से ठोस लुढ़क सकते हैं: [घन](#def-g2-shapes-solids), डिब्बा, गेंद, [बेलन](#def-g2-shapes-solids)? क्यों?

**हल — अभ्यास 11.8.**

गेंद लुढ़कती है (हर ओर से गोल) और [बेलन](#def-g2-shapes-solids) भी लुढ़कता है (अपनी वक्र सतह पर)। [घन](#def-g2-shapes-solids) और डिब्बा नहीं लुढ़कते: उनके सब [फलक](#def-g2-shapes-solids) चपटे हैं और वे उन्हीं पर रुक जाते हैं।

**अभ्यास 11.9 ★.**

एक आकार की $6$ भुजाएँ हैं। उसे क्या कहते हैं? उसके कितने कोने हैं?

**हल — अभ्यास 11.9.**

$6$ भुजाएँ: षट्भुज, जिसके $6$ कोने हैं।

**अभ्यास 11.10 ★★.**

जाल वाले काग़ज़ पर एक घर बनाओ: दीवार के लिए एक वर्ग ($4 \times 4$) और उसके ऊपर त्रिभुज वाली छत। पूरे घर की बाहरी रेखा में कितनी भुजाएँ और कितने कोने हैं?

**हल — अभ्यास 11.10.**

घर की बाहरी रेखा (वर्ग वाली दीवार और ऊपर त्रिभुज वाली छत, जिसका आधार वर्ग की ऊपरी भुजा पर बैठा है) में $5$ भुजाएँ और $5$ कोने हैं — यह पंचभुज है (नीचे की भुजा, दो दीवारें, छत की दो ढलानें; दीवार का ऊपरी सिरा छत के नीचे छिप जाता है)।