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title: "गुणा"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/16-multiplication
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# अध्याय 16 — गुणा

सात-सात कंचों के तीन थैले: तुम $7 + 7 + 7$ जोड़ सकते हो, पर एक तेज़ रास्ता भी है — गुणा, यानी बार-बार जोड़ने की संक्रिया। यह अध्याय पहले चित्रों से पहाड़े बनाता है, फिर खानों वाला तरीक़ा सिखाता है।

## 16.1 गुणा का मतलब

**परिभाषा 16.1 (गुणा).**

[गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $3 \times 7$ का मतलब है “तीन गुना सात”:

$$
3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .
$$

चित्र में $3 \times 7$ बिंदुओं का एक आयत है: $7$-$7$ बिंदुओं की $3$ पंक्तियाँ।

![वही 21 बिंदु, पंक्तियों से गिनो या स्तंभों से: गुणनफल में क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता। 3 × 7 पता हो तो 7 × 3 मुफ़्त में मिल जाता है — आधे पहाड़े ही याद करने हैं!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-mult/fig-d15bdfe68813.svg)

*वही $21$ बिंदु, पंक्तियों से गिनो या स्तंभों से: [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) में क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता। $3 \times 7$ पता हो तो $7 \times 3$ मुफ़्त में मिल जाता है — आधे पहाड़े ही याद करने हैं!*

**प्रतिज्ञप्ति 16.2 (काम आने वाले नियम).**

1. क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता: $a \times b = b \times a$ ।
2. $1$ से गुणा करने पर कुछ नहीं बदलता; $0$ से गुणा करने पर $0$ मिलता है।
3. $10$ से गुणा करने पर एक [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) जुड़ जाता है: $34 \times 10 = 340$ ; $100$ से, दो [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) ।
4. किसी पहाड़े को उसके पड़ोसियों से दोबारा बनाया जा सकता है: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ ।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 16.3 (पहाड़ों का वर्ग).**

सारे पहाड़े एक ही वर्ग में समा जाते हैं। $6 \times 7$ पढ़ने के लिए: पंक्ति $6$, स्तंभ $7$।

| $\times$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $1$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| $2$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| $3$ | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| $4$ | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| $5$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| $6$ | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| $7$ | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| $8$ | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| $9$ | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |

यह वर्ग अपने विकर्ण के पार सममित है — यही नियम 1 का दिखाई देने वाला रूप है।

## 16.2 खानों में गुणा

**विधि 16.4 (एक अंक की संख्या से गुणा).**

$234 \times 6$ निकालने के लिए:

1. इकाई का गुणा: $4 \times 6 = 24$ : $4$ लिखो, $2$ हासिल;
2. दहाई का गुणा करके हासिल जोड़ो: $3 \times 6 + 2 = 20$ : $0$ लिखो, $2$ हासिल;
3. सैकड़े का गुणा करके हासिल जोड़ो: $2 \times 6 + 2 = 14$ : $14$ लिखो।

$$
\begin{array}{r}
2\,3\,4 \\
\times \quad 6 \\
\hline
1\,4\,0\,4
\end{array}
$$

जाँच के लिए अंदाज़ा: $234$, $200$ के पास है, और $200 \times 6 = 1\,200$: उत्तर $1\,404$ भरोसेमंद है।

**उदाहरण 16.5 (मन-ही-मन गुणा के लिए तोड़ना).**

खानों वाला तरीक़ा चुपके से संख्या को स्थानों के हिसाब से तोड़ता है। मन-ही-मन भी वही करो:

$$
23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4
= 80 + 12 = 92 .
$$

और मिलनसार पड़ोसी के साथ: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 =
495$।

![तोड़ना क्यों काम करता है: इकाई वर्गों का 23 × 4 आयत, 20 × 4 के हिस्से और 3 × 4 के हिस्से से बना है — 80 + 12 = 92 वर्ग।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-mult/fig-6ebeb59e65b5.svg)

*तोड़ना क्यों काम करता है: इकाई वर्गों का $23 \times 4$ आयत, $20 \times 4$ के हिस्से और $3 \times 4$ के हिस्से से बना है — $80 + 12 = 92$ वर्ग।*

## 16.3 समस्याओं में गुणा

**उदाहरण 16.6.**

एक मिनीबस में $9$ यात्री बैठते हैं। $27$ मिनीबसों में कितने यात्री बैठ सकते हैं?

1. यह गुणा है: $9$ - $9$ के $27$ समूह।
2. $27 \times 9 = 243$ (खानों में, या $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ )।
3. वाक्य: मिनीबसों में $243$ यात्री बैठ सकते हैं।

## 16.4 अभ्यास

**अभ्यास 16.1 ★.**

गुणा के रूप में लिखो, फिर निकालो: $8 + 8 + 8 + 8$; $5 + 5 + 5$; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$।

**हल — अभ्यास 16.1.**

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$; $20 \times 5 = 100$।

**अभ्यास 16.2 ★.**

बोलो और पूरा करो: $6 \times 7$; $8 \times 4$; $9 \times 9$; $7 \times 8$; $6 \times 6$।

**हल — अभ्यास 16.2.**

$42$; $32$; $81$; $56$; $36$।

**अभ्यास 16.3 ★.**

$4 \times 6$ के लिए बिंदुओं का आयत बनाओ, फिर $6 \times 4$ के लिए। दोनों गिनतियों में क्या दिखाई देता है?

**हल — अभ्यास 16.3.**

दोनों आयतों में वही $24$ बिंदु हैं — एक दूसरे को घुमाकर बना है: $4 \times 6 = 6 \times 4$।

**अभ्यास 16.4 ★.**

[प्रतिज्ञप्ति 16.2](#prop-g3-mult-rules) के नियमों से निकालो: $56 \times 10$; $8 \times 100$; $73 \times 0$; $45 \times 1$; $30 \times 10$।

**हल — अभ्यास 16.4.**

$560$; $800$; $0$; $45$; $300$।

**अभ्यास 16.5 ★.**

खानों में निकालो: $132 \times 3$; $217 \times 4$; $408 \times 7$।

**हल — अभ्यास 16.5.**

$132 \times 3 = 396$; $217 \times 4 = 868$; $408 \times 7 = 2\,856$।

**अभ्यास 16.6 ★.**

तोड़कर मन-ही-मन निकालो (जैसे [उदाहरण 16.5](#ex-g3-mult-split) में): $31 \times 5$; $42 \times 3$; $25 \times 6$।

**हल — अभ्यास 16.6.**

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$।

**अभ्यास 16.7 ★.**

मिलनसार पड़ोसी की मदद से निकालो: $99 \times 7$; $101 \times 6$; $98 \times 5$।

**हल — अभ्यास 16.7.**

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$।

**अभ्यास 16.8 ★.**

पहले अंदाज़ा लगाओ, फिर निकालो: $389 \times 5$ ($400$ से अंदाज़ा); $612 \times 8$ ($600$ से अंदाज़ा)।

**हल — अभ्यास 16.8.**

$389 \times 5$: अंदाज़ा $400 \times 5 = 2\,000$; ठीक-ठीक $1\,945$।

$612 \times 8$: अंदाज़ा $600 \times 8 = 4\,800$; ठीक-ठीक $4\,896$।

**अभ्यास 16.9 ★.**

अंडों के एक डिब्बे में $6$ अंडे आते हैं। $38$ डिब्बों में कितने अंडे हैं? संक्रिया लिखो, निकालो, एक वाक्य में उत्तर दो।

**हल — अभ्यास 16.9.**

$38 \times 6 = 228$। डिब्बों में $228$ अंडे हैं।

**अभ्यास 16.10 ★★.**

एक कक्षा में $4$-$4$ डेस्कों की $8$ पंक्तियाँ हैं; हर डेस्क पर $2$ विद्यार्थी बैठते हैं। कमरे में कितने बैठ सकते हैं? (दो गुणा।)

**हल — अभ्यास 16.10.**

डेस्क: $8 \times 4 = 32$। विद्यार्थी: $32 \times 2 = 64$। कमरे में $64$ विद्यार्थी बैठ सकते हैं।

**अभ्यास 16.11 ★★.**

$24$ कुर्सियों को बराबर पंक्तियों में लगाने के सारे तरीक़े ढूँढ़ो ($1$-$1$ की पंक्तियाँ, $2$-$2$ की, …)। कौन-कौन-सी सजावटें संभव हैं? (पहाड़ों के वर्ग में $24$ ढूँढ़ो।)

**हल — अभ्यास 16.11.**

पहाड़ों के वर्ग में $24$, $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$ के रूप में दिखता है — और यही जोड़े उलटे भी। संभव सजावटें: $24$ की $1$ पंक्ति, $12$-$12$ की $2$ पंक्तियाँ, $8$-$8$ की $3$, $6$-$6$ की $4$, $4$-$4$ की $6$, $3$-$3$ की $8$, $2$-$2$ की $12$, $1$-$1$ की $24$।

**अभ्यास 16.12 ★★.**

ज़ोई $47 \times 6$ ऐसे निकालती है: $40 \times 6 = 240$, $7 \times 6 = 42$, और फिर $240 + 42 = 282$। लेआ ऐसे निकालती है: $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$। दोनों तरीक़े समझाओ। $38 \times 4$ के लिए तुम्हें कौन-सा पसंद है? उसे दोनों तरीक़ों से निकालो।

**हल — अभ्यास 16.12.**

ज़ोई $47$ को $40 + 7$ में तोड़ती है (मन में वही खानों वाला तरीक़ा); लेआ $47$ की जगह मिलनसार $50$ रखती है और ज़्यादा गिने गए $3 \times 6$ को घटाकर सुधार लेती है। $38 \times 4$ के लिए: ज़ोई का तरीक़ा, $120 + 32 = 152$; लेआ का तरीक़ा, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$। दोनों काम करते हैं — यहाँ लेआ का तेज़ है, क्योंकि $38$, $40$ के पास है।