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title: "आकार और समकोण"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles
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# अध्याय 18 — आकार और समकोण

वर्ग, आयत, त्रिभुज, वृत्त: ये आकार पुराने दोस्त हैं। यह अध्याय उन्हें ज्यामिति की नज़र से देखता है — वर्ग को वर्ग ठीक-ठीक क्या बनाता है? — और वह औज़ार सामने लाता है जो फ़ैसला करता है: [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका और उसका [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle)।

## 18.1 समकोण

**परिभाषा 18.1 (समकोण).**

*समकोण* काग़ज़ की शीट का, या समकोण पट्टिका का, कोने वाला कोण है। जो दो रेखाएँ समकोण बनाती हैं वे *लंब* कहलाती हैं। आकृतियों में समकोण कोने में एक छोटे वर्ग से अंकित किया जाता है।

**विधि 18.2 (समकोण की जाँच).**

1. जिस कोने की जाँच करनी है, ठीक उस पर [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका का कोना रखो;
2. पट्टिका का एक किनारा कोण की एक भुजा के साथ-साथ सरकाओ;
3. अगर कोण की दूसरी भुजा ठीक दूसरे किनारे के साथ-साथ चले, तो कोण [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) है — अगर वह ज़्यादा या कम खुला हो, तो नहीं।

![केवल पहला कोण समकोण है — और उसे केवल वह छोटा वर्ग-चिह्न, या समकोण पट्टिका ही प्रमाणित कर सकती है: अकेली आँख आसानी से धोखा खा जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-1ad49c0ec0af.svg)

*केवल पहला कोण [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) है — और उसे केवल वह छोटा वर्ग-चिह्न, या [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका ही प्रमाणित कर सकती है: अकेली आँख आसानी से धोखा खा जाती है।*

## 18.2 आकार और उनके नियम

**परिभाषा 18.3 (वर्ग, आयत, त्रिभुज).**

- *आयत* की $4$ भुजाएँ और $4$ [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) होते हैं; उसकी आमने-सामने की भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।
- *वर्ग* वह आयत है जिसकी चारों भुजाओं की लंबाई बराबर हो।
- *त्रिभुज* की $3$ भुजाएँ होती हैं; *[समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) त्रिभुज* में एक [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) होता है।
- *वृत्त* परकार से खींचा जाता है: उसके सारे बिंदु *केंद्र* से एक ही दूरी पर होते हैं, और यह दूरी *त्रिज्या* कहलाती है।

![आकारों का संग्रह, अपने चिह्नों के साथ: समकोणों के लिए छोटे वर्ग, बराबर भुजाओं के लिए छोटी लकीरें।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-899e78a9f6c5.svg)

*आकारों का संग्रह, अपने चिह्नों के साथ: समकोणों के लिए छोटे वर्ग, बराबर भुजाओं के लिए छोटी लकीरें।*

**उदाहरण 18.4 (चिह्न क्यों ज़रूरी हैं).**

ज़रा-सा तिरछा बना आकार वर्ग जैसा *दिख* सकता है, पर हो न। सच चिह्न बताते हैं: $4$ समकोण-चिह्न $+$ $4$ लकीरें $=$ असली वर्ग। बनाते समय चिह्न लगाओ; आकृति पढ़ते समय केवल चिह्नों और दी गई मापों पर भरोसा करो।

## 18.3 जाल वाले काग़ज़ पर रचना

**विधि 18.5 (जाल पर रचनाएँ).**

जाल वाला काग़ज़ मुफ़्त में [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) देता है: उसकी रेखाएँ आपस में लंब हैं।

1. $5$ गुणा $3$ का आयत बनाने के लिए: एक कटान-बिंदु चुनो, $5$ खाने दाईं ओर, $3$ खाने ऊपर गिनो, और जाल की रेखाओं के साथ आकार बंद कर दो;
2. बराबर लंबाइयाँ जाँचने के लिए खाने गिनो;
3. तिरछे कदम तिरछी रेखाएँ बनाते हैं: बार-बार “ $1$ दाईं ओर, $1$ ऊपर” चलने पर $45^\circ$ की रेखा बनती है।

![जाल पर दो रचनाएँ: जाल की रेखाएँ समकोण पक्के कर देती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-b482d1009600.svg)

*जाल पर दो रचनाएँ: जाल की रेखाएँ [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पक्के कर देती हैं।*

**उदाहरण 18.6 (रचना का कार्यक्रम).**

किसी आकृति को निर्देशों से बताया जा सकता है: “1. $4$ cm भुजा वाला वर्ग $ABCD$ बनाओ। 2. $A$ को केंद्र मानकर $B$ से होकर जाने वाला वृत्त बनाओ।” कार्यक्रम की एक-एक पंक्ति का पालन करके कोई भी वही आकृति दोबारा बना सकता है — और ऐसा कार्यक्रम लिखने पर हर बिंदु का नाम रखना पड़ता ही है। किसी साथी के साथ आज़माओ: एक लिखे, दूसरा बनाए।

## 18.4 अभ्यास

**अभ्यास 18.1 ★.**

कक्षा में (बिना नापे) तीन [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) और एक ऐसा कोण ढूँढ़ो जो [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) न हो। हर एक की *जाँच* कैसे करोगे?

**हल — अभ्यास 18.1.**

आम [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle): बोर्ड के, काग़ज़ की शीट के, दरवाज़े के कोने। [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) न होने वाला कोण: कैंची का खुलना, $1$ बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण। हर एक की जाँच [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से होती है ([विधि 18.2](#met-g3-shapes-check)) — कभी सिर्फ़ आँख से नहीं।

**अभ्यास 18.2 ★.**

मापपट्टी और [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से $6$ cm गुणा $4$ cm का आयत बनाओ। उसके [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) और बराबर भुजाएँ अंकित करो।

**हल — अभ्यास 18.2.**

रचना: $6$ cm की एक भुजा, दोनों सिरों पर [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle), $4$ cm की भुजाएँ, फिर आकार बंद। चिह्न: कोनों में $4$ छोटे वर्ग, हर $6$ cm भुजा पर एक लकीर, हर $4$ cm भुजा पर दोहरी लकीर।

**अभ्यास 18.3 ★.**

$5$ cm भुजा वाला वर्ग बनाओ। उसमें कितने [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) हैं? कितनी बराबर भुजाएँ? सब कुछ अंकित करो।

**हल — अभ्यास 18.3.**

वर्ग में $4$ [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) और $4$ बराबर भुजाएँ होती हैं — सब अंकित।

**अभ्यास 18.4 ★.**

जाल वाले काग़ज़ पर बनाओ: $4 \times 4$ का वर्ग; $7 \times 2$ का आयत; $3$ और $5$ खानों की भुजाओं वाला [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) त्रिभुज।

**हल — अभ्यास 18.4.**

जाल पर रचनाएँ; जाल [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) पक्के करता है, और खाने गिनने से लंबाइयाँ पक्की होती हैं।

**अभ्यास 18.5 ★.**

सही या ग़लत? समझाओ। “हर वर्ग एक आयत है।” “हर आयत एक वर्ग है।” “त्रिभुज में दो [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) हो सकते हैं।” (बनाकर देखो!)

**हल — अभ्यास 18.5.**

“हर वर्ग एक आयत है”: *सही* — उसमें $4$ [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) हैं, आयत को इतना ही चाहिए।

“हर आयत एक वर्ग है”: *ग़लत* — $6 \times 4$ के आयत की भुजाएँ बराबर नहीं हैं।

“त्रिभुज में दो [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) हो सकते हैं”: *ग़लत* — दोनों समकोणों से खींची गई भुजाएँ एक ही आधार-रेखा पर लंब होंगी, इसलिए वे कभी मिलकर त्रिभुज बंद नहीं करेंगी।

**अभ्यास 18.6 ★.**

$4$ cm [त्रिज्या](#def-g3-shapes-shapes) का वृत्त बनाओ। उसका केंद्र $O$ अंकित करो, वृत्त पर एक बिंदु $A$ लो, और [त्रिज्या](#def-g3-shapes-shapes) $[OA]$ खींचो। $OA$ कितना लंबा है? और $B$ वृत्त का कोई दूसरा बिंदु हो, तो $OB$ कितना लंबा है?

**हल — अभ्यास 18.6.**

$OA = 4$ cm ([त्रिज्या](#def-g3-shapes-shapes))। $OB$ भी $4$ cm: वृत्त का *हर* बिंदु केंद्र से एक ही दूरी पर है।

**अभ्यास 18.7 ★.**

इस कार्यक्रम का पालन करो: “1. $AB = 6$ cm और $BC = 3$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। 2. $[AB]$ के बीच में बिंदु $M$ अंकित करो। 3. $M$ को $C$ और $D$ से जोड़ो।” आयत किन आकारों में कट गया?

**हल — अभ्यास 18.7.**

आयत तीन त्रिभुजों में कटता है: दो [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) त्रिभुज ($AMD$ और $MBC$, जिनके [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) $A$ और $B$ पर हैं) और बीच का त्रिभुज $MCD$।

**अभ्यास 18.8 ★.**

आकारों को छाँटो: इनमें से किनमें कम से कम एक [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) है? एक वर्ग; एक (वर्ग न होने वाला) आयत; एक [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) त्रिभुज; एक वृत्त; मोटी लकीरों से बना अक्षर L।

**हल — अभ्यास 18.8.**

कम से कम एक [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) वाले: वर्ग, आयत, [समकोण](#def-g3-shapes-rightangle) त्रिभुज, और अक्षर L (उसके भीतरी और बाहरी कोने)। वृत्त में कोई कोना ही नहीं।

**अभ्यास 18.9 ★★.**

जाल वाले काग़ज़ पर एक तिरछा वर्ग बनाओ जिसकी भुजाएँ “$2$ दाईं ओर, $1$ ऊपर” चलती हों (और उसी के मुड़े हुए रूप)। खाने गिनकर पक्का करो कि चारों भुजाएँ बराबर लंबी हैं।

**हल — अभ्यास 18.9.**

हर भुजा “$2$ दाईं ओर, $1$ ऊपर” चलती है (या उसके घुमे हुए रूप “$1$ दाईं ओर, $2$ नीचे” आदि): हर भुजा $2 \times 1$ खानों के गुटके का विकर्ण है, इसलिए चारों की लंबाई बराबर है।

**अभ्यास 18.10 ★★.**

एक रचना का कार्यक्रम लिखो (क्रम से निर्देश, नाम वाले बिंदु): $3$ cm $\times$ $2$ cm के आयत के ऊपर $3$ cm भुजा वाला वर्ग, जैसे भूतल पर बना घर। अपना कार्यक्रम किसी सहपाठी पर आज़माओ।

**हल — अभ्यास 18.10.**

एक सही कार्यक्रम: “1. $AB = 3$ cm (नीचे) और $BC = 2$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। 2. भुजा $[DC]$ के ऊपर, आयत के बाहर की ओर, $3$ cm भुजा वाला वर्ग $DCEF$ बनाओ।” कोई भी साफ़, क्रमबद्ध और पूरा कार्यक्रम सही है — शब्द-दर-शब्द उसका पालन करके जाँच लो।

**अभ्यास 18.11 ★★.**

छोटे वर्गों के $3 \times 3$ जाल में कुल कितने वर्ग ढूँढ़ सकते हो? ($1 \times 1$, $2 \times 2$ और $3 \times 3$ वाले गिनो।)

**हल — अभ्यास 18.11.**

$1 \times 1$ वर्ग: $9$। $2 \times 2$ वर्ग: $4$। $3 \times 3$: $1$। कुल: $9 + 4 + 1 = 14$ वर्ग।