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title: "बड़ी संख्याओं का गुणा"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 22
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/22-multiplying-larger-numbers
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# अध्याय 22 — बड़ी संख्याओं का गुणा

पिछले साल हमने एक अंक से गुणा किया था ([अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/16-multiplication#ch-g3-mult)); यह अध्याय दो अंकों की संख्याओं से गुणा करता है — और खानों वाले तरीक़े की रहस्यमयी “खिसकी हुई पंक्ति” समझाता है, जो दहाई और इकाई में तोड़ने के सिवा कुछ नहीं है।

## 22.1 दहाइयों से गुणा

**प्रतिज्ञप्ति 22.1 (10, 20, 300 आदि से गुणा).**

$10$ से गुणा करने पर एक [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) जुड़ता है, $100$ से दो। $20$ से गुणा करने के लिए पहले $2$ से गुणा करो, फिर $10$ से:

$$
36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .
$$

इसी तरह $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

## 22.2 दो अंकों वाला खानों का तरीक़ा

**उदाहरण 22.2 (खिसकी हुई पंक्ति क्यों?).**

$23 \times 12$ निकालने के लिए $12$ को $10 + 2$ में तोड़ो:

$$
23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .
$$

खानों वाला तरीक़ा ठीक यही दो [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) एक के नीचे एक लिखता है — दूसरा बाईं ओर खिसका हुआ, क्योंकि वह *दहाइयों* की संख्या है:

$$
\begin{array}{r}
2\,3 \\
\times\ 1\,2 \\
\hline
4\,6 \\
2\,3\,\cdot \\
\hline
2\,7\,6
\end{array}
$$

(बिंदु खिसकी हुई पंक्ति का इकाई स्थान दिखाता है, जिसे अक्सर ख़ाली छोड़ दिया जाता है)।

![23 × 12 का आयत-चित्र: चार आसान गुणनफल, 200 + 40 + 30 + 6 = 276। खानों वाला तरीक़ा इन्हें दो पंक्तियों में समेट देता है: 46 (“× 2” वाली पंक्ति) और 230 (“× 10” वाली पंक्ति)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-mult/fig-cb4114601663.svg)

*$23 \times 12$ का आयत-चित्र: चार आसान [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def), $200 + 40 + 30 + 6 = 276$। खानों वाला तरीक़ा इन्हें दो पंक्तियों में समेट देता है: $46$ (“$\times 2$” वाली पंक्ति) और $230$ (“$\times 10$” वाली पंक्ति)।*

**विधि 22.3 (दो अंकों की संख्या से खानों में गुणा).**

$457 \times 36$ निकालने के लिए:

1. पहली पंक्ति: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
2. दूसरी पंक्ति: $457 \times 3$ *दहाई* $= 1\,371$ दहाई — $1\,371$ को एक स्थान बाईं ओर खिसकाकर लिखो;
3. दोनों पंक्तियाँ जोड़ो: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
4. जाँच के लिए अंदाज़ा: $457 \times 36 \approx 500 \times 36  = 18\,000$ ? इससे बेहतर: $450 \times 36$ लगभग $16\,000$ है — भरोसेमंद।

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
\times\ \ \,3\,6 \\
\hline
2\,7\,4\,2 \\
1\,3\,7\,1\,\cdot \\
\hline
1\,6\,4\,5\,2
\end{array}
$$

**उदाहरण 22.4 (मानसिक तरकीबें).**

- *मिलनसार ढंग से तोड़ो* : $18 \times 11 = 18 \times 10  + 18 = 198$ ।
- *सौ के पड़ोसी का उपयोग* : $25 \times 99 = 25 \times 100 -  25 = 2\,475$ ।
- *एक को दुगुना, दूसरे को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)* : $16 \times 35 = 8 \times 70 =  560$ (एक गुणक को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) और दूसरे को दुगुना करने से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) वही रहता है)।

## 22.3 समस्याओं में गुणा

**उदाहरण 22.5.**

एक विद्यालय $145$-$145$ काग़ज़ों के $28$ डिब्बे मँगाता है।

1. संक्रिया: $145 \times 28$ ।
2. अंदाज़ा: $150 \times 30 = 4\,500$ , दोनों ओर से थोड़ा ज़्यादा।
3. खाने: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ दहाई $= 2\,900$ ; कुल $4\,060$ ।
4. वाक्य: विद्यालय को $4\,060$ काग़ज़ मिलते हैं।

## 22.4 अभ्यास

**अभ्यास 22.1 ★.**

मन-ही-मन निकालो: $47 \times 10$; $23 \times 100$; $36 \times 20$; $15 \times 300$; $42 \times 50$।

**हल — अभ्यास 22.1.**

$470$; $2\,300$; $720$; $4\,500$; $2\,100$।

**अभ्यास 22.2 ★.**

$34 \times 21$ को [उदाहरण 22.2](#ex-g4-mult-why) की तरह तोड़कर निकालो ($34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$), फिर खानों में जाँचो।

**हल — अभ्यास 22.2.**

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$; खाने भी वही दो पंक्तियाँ देते हैं: $34$ और $680$।

**अभ्यास 22.3 ★.**

खानों में निकालो: $63 \times 24$; $85 \times 47$; $126 \times 53$।

**हल — अभ्यास 22.3.**

$63 \times 24 = 1\,512$; $85 \times 47 = 3\,995$; $126 \times 53 = 6\,678$।

**अभ्यास 22.4 ★.**

पहले अंदाज़ा लगाकर खानों में निकालो: $208 \times 34$; $517 \times 62$।

**हल — अभ्यास 22.4.**

$208 \times 34$: अंदाज़ा $200 \times 34 = 6\,800$; ठीक-ठीक $7\,072$।

$517 \times 62$: अंदाज़ा $500 \times 60 = 30\,000$; ठीक-ठीक $32\,054$।

**अभ्यास 22.5 ★.**

[उदाहरण 22.4](#ex-g4-mult-tricks) की किसी तरकीब से निकालो: $45 \times 11$; $32 \times 99$; $24 \times 45$ (दुगुना और [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) — चाहो तो दो बार)।

**हल — अभ्यास 22.5.**

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$।

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$।

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (या एक बार और: $6 \times 180 = 1\,080$)।

**अभ्यास 22.6 ★.**

एक सिनेमाघर में $18$-$18$ सीटों की $26$ पंक्तियाँ हैं। कुल कितनी सीटें?

**हल — अभ्यास 22.6.**

$26 \times 18 = 468$ सीटें।

**अभ्यास 22.7 ★.**

एक ट्रक $48$-$48$ पेटियों के $32$ फट्टे ढोता है। कुल कितनी पेटियाँ? पहले अंदाज़ा दो, फिर ठीक उत्तर।

**हल — अभ्यास 22.7.**

अंदाज़ा: $30 \times 50 = 1\,500$। ठीक-ठीक: $32 \times 48 = 1\,536$ पेटियाँ।

**अभ्यास 22.8 ★.**

ग़लती ढूँढ़ो: अना $57 \times 23$ ऐसे निकालती है: $57 \times 3 = 171$ और $57 \times 2 = 114$, फिर $171 + 114 = 285$। सही उत्तर $1\,311$ है। वह क्या भूल गई?

**हल — अभ्यास 22.8.**

वह भूल गई कि $23$ का $2$ *दहाई* गिनता है: दूसरी पंक्ति $57 \times 20 = 1\,140$ होनी चाहिए, $114$ नहीं। सही कुल: $171 + 1\,140 = 1\,311$।

**अभ्यास 22.9 ★★.**

एक माली $35$-$35$ ट्यूलिप की $14$ पंक्तियाँ और $28$-$28$ नरगिस की $12$ पंक्तियाँ लगाता है। कुल कितने फूल? (दो [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def), फिर एक [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)।)

**हल — अभ्यास 22.9.**

ट्यूलिप: $14 \times 35 = 490$। नरगिस: $12 \times 28 = 336$। कुल: $490 + 336 = 826$ फूल।

**अभ्यास 22.10 ★★.**

एक नानबाई रोज़ $67$ kg आटा इस्तेमाल करता है। $30$ दिनों के महीने में यह लगभग कितना आटा हुआ — गोल की हुई संख्याओं से अंदाज़ा लगाओ, फिर ठीक-ठीक निकालो।

**हल — अभ्यास 22.10.**

अंदाज़ा: $70 \times 30 = 2\,100$ kg। ठीक-ठीक: $67 \times 30 = 2\,010$ kg।

**अभ्यास 22.11 ★★.**

इस अध्याय जैसे आयत-चित्र से समझाओ कि $15 \times 12$ को $15 \times 10 + 15 \times 2$ के रूप में क्यों निकाला जा सकता है। फिर $15 \times 12$ को तोड़ने का एक और चलने वाला तरीक़ा सोचो।

**हल — अभ्यास 22.11.**

इकाई वर्गों के $15 \times 12$ आयत को एक खड़ी रेखा से $15 \times 10$ और $15 \times 2$ के हिस्सों में काटा जा सकता है: दोनों हिस्से गिनने पर $150 + 30 = 180$ मिलता है। दूसरी कटाई भी उतनी ही अच्छी चलती है, जैसे $15 = 10 + 5$: $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$। आयत को कैसे भी काटो, वर्गों की कुल संख्या नहीं बदलती।