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title: "रेखाएँ और बहुभुज"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 26
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons
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# अध्याय 26 — रेखाएँ और बहुभुज

मापपट्टी, [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका और परकार के साथ ज्यामिति एक हुनर बन जाती है। यह अध्याय रेखाओं की दो ख़ास स्थितियाँ — [लंब](#def-g4-geometry-def) और [समांतर](#def-g4-geometry-def) — औज़ारों के स्तर पर सिखाता है, और बहुभुजों के परिवार की सैर कराता है। (इन धारणाओं का सिद्धांत [अध्याय 40](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#ch-g6-lines) में आता है।)

## 26.1 लंब और समांतर

**परिभाषा 26.1 (लंब, समांतर).**

दो रेखाएँ *लंब* तब होती हैं जब वे [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पर काटती हैं ([समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से जाँची जाती हैं, छोटे वर्ग से अंकित)। दो रेखाएँ *समांतर* तब होती हैं जब वे एक ही दिशा में चलती हैं और कभी नहीं काटतीं — पटरी की दो लीकों की तरह, जो हमेशा एक-दूसरे से एक ही दूरी पर हों।

**विधि 26.2 (समकोण पट्टिका से बनाना).**

*रेखा $d$ पर बिंदु $P$ से होकर [लंब](#def-g4-geometry-def)*: [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) का एक किनारा $d$ पर रखो, तब तक सरकाओ जब तक दूसरा किनारा $P$ तक न पहुँचे, फिर खींच दो।

*$P$ से होकर $d$ के [समांतर](#def-g4-geometry-def)*: पट्टिका का किनारा $d$ पर रखो, दूसरे किनारे से मापपट्टी को लीक की तरह सटा दो, पट्टिका को मापपट्टी के साथ $P$ तक सरकाओ, फिर खींच दो।

![दोनों रचनाएँ। समांतर रेखाओं के बीच की दूरी हमेशा एक-सी रहती है: दो जगह दूरी नापना अच्छी जाँच है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-40acff2a7036.svg)

*दोनों रचनाएँ। [समांतर](#def-g4-geometry-def) रेखाओं के बीच की दूरी हमेशा एक-सी रहती है: दो जगह दूरी नापना अच्छी जाँच है।*

**उदाहरण 26.3 (आकृतियों में इन्हें पहचानना).**

आयत में हर भुजा अपनी दोनों पड़ोसी भुजाओं पर [लंब](#def-g4-geometry-def) है और सामने वाली भुजा के [समांतर](#def-g4-geometry-def)। जाल वाला काग़ज़ [समांतर](#def-g4-geometry-def) और [लंब](#def-g4-geometry-def) रेखाओं का बना-बनाया जाल है — इसीलिए उस पर बनाना इतना आरामदेह लगता है।

## 26.2 बहुभुज

**परिभाषा 26.4 (बहुभुज).**

*बहुभुज* एक बंद आकृति है जिसकी सीमा सीधे रेखाखंडों से बनी होती है, ये उसकी *भुजाएँ* हैं; कोनों के बिंदु *शीर्ष* कहलाते हैं। बहुभुजों के नाम उनकी भुजाओं की संख्या से रखे जाते हैं: *त्रिभुज* ($3$), *चतुर्भुज* ($4$), *पंचभुज* ($5$), *षट्भुज* ($6$), *अष्टभुज* ($8$)।

![बहुभुजों का परिवार (यहाँ बना पंचभुज और षट्भुज सम हैं: बराबर भुजाएँ और बराबर कोने)। वृत्त बहुभुज नहीं है: उसकी सीमा रेखाखंडों से नहीं बनी।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-0f0c5beaceb8.svg)

*बहुभुजों का परिवार (यहाँ बना [पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon) और [षट्भुज](#def-g4-geometry-polygon) *सम* हैं: बराबर भुजाएँ और बराबर कोने)। वृत्त [बहुभुज](#def-g4-geometry-polygon) नहीं है: उसकी सीमा रेखाखंडों से नहीं बनी।*

**उदाहरण 26.5 (बहुभुज का वर्णन).**

एक काम का खेल: किसी आकृति का इतना ठीक-ठीक वर्णन करो कि सहपाठी उसे देखे बिना दोबारा बना सके। “एक [चतुर्भुज](#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ जिसमें $AB = 5$ cm, $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle), $AD = 3$ cm …” — संदेश शब्दावली के भरोसे ही चलता है।

## 26.3 वृत्त और परकार

**परिभाषा 26.6 (वृत्त).**

केंद्र $O$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm वाला *वृत्त* उन सारे बिंदुओं से बनता है जो $O$ से ठीक $3$ cm दूर हैं। परकार उसे खींचता है: नोक $O$ पर, खुलाव $3$ cm, और घुमा दो। *व्यास* वह रेखाखंड है जो केंद्र से होकर वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ता है; वह [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) से दुगुना नापता है।

**उदाहरण 26.7 (परकार, दूरी सँभालने वाला औज़ार).**

परकार वृत्त खींचने से कहीं ज़्यादा करता है: वह *दूरियाँ ढोता* है। किसी बिंदु $A$ से $4$ cm दूर के सारे बिंदु अंकित करने हों तो केंद्र $A$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm का वृत्त खींच दो; बिना मापपट्टी के दो रेखाखंडों की तुलना करनी हो तो परकार को एक पर खोलो और दूसरे पर आज़मा लो।

**विधि 26.8 (जाल पर आकृति दोबारा बनाना).**

1. शुरू का एक [शीर्ष](#def-g4-geometry-polygon) चुनो और ख़ाली जाल पर उसकी जगह तय करो;
2. आकृति पर शीर्ष-दर-शीर्ष चलो, जाल के कदम गिनते हुए (“ $3$ दाईं ओर, $2$ ऊपर”);
3. शीर्षों को उसी क्रम में जोड़ो, और नमूने से मिलाओ: वही लंबाइयाँ, वही दिशाएँ।

## 26.4 अभ्यास

**अभ्यास 26.1 ★.**

एक रेखा $d$ और उससे बाहर एक बिंदु $P$ बनाओ। $P$ से होकर $d$ पर [लंब](#def-g4-geometry-def) बनाओ, फिर $P$ से होकर $d$ के [समांतर](#def-g4-geometry-def) रेखा (मापपट्टी-लीक वाले तरीक़े से)। [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) अंकित करो।

**हल — अभ्यास 26.1.**

[विधि 26.2](#met-g4-geometry-draw) की रचनाएँ; छोटा वर्ग $d$ और [लंब](#def-g4-geometry-def) के बीच का [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) अंकित करता है।

**अभ्यास 26.2 ★.**

बड़े अक्षर E, H, N, T, Z देखो। हर एक में [समांतर](#def-g4-geometry-def) लकीरों का एक जोड़ा और [लंब](#def-g4-geometry-def) लकीरों का एक जोड़ा ढूँढ़ो, जहाँ वे हों।

**हल — अभ्यास 26.2.**

E: तीनों आड़ी लकीरें [समांतर](#def-g4-geometry-def) हैं; हर एक खड़ी लकीर पर [लंब](#def-g4-geometry-def) है। H: दोनों खड़ी लकीरें [समांतर](#def-g4-geometry-def) हैं, बीच की लकीर दोनों पर [लंब](#def-g4-geometry-def)। N: दोनों खड़ी लकीरें [समांतर](#def-g4-geometry-def) हैं; तिरछी लकीर न [समांतर](#def-g4-geometry-def) है न [लंब](#def-g4-geometry-def)। T: दोनों लकीरें [लंब](#def-g4-geometry-def) हैं। Z: ऊपर और नीचे की लकीरें [समांतर](#def-g4-geometry-def) हैं; तिरछी लकीर न [समांतर](#def-g4-geometry-def) है न [लंब](#def-g4-geometry-def)।

**अभ्यास 26.3 ★.**

हर [बहुभुज](#def-g4-geometry-polygon) का नाम बताओ: $6$ भुजाएँ; $4$ भुजाएँ; $3$ भुजाएँ; $8$ भुजाएँ; $5$ भुजाएँ। हर एक के कितने *[शीर्ष](#def-g4-geometry-polygon)* होते हैं?

**हल — अभ्यास 26.3.**

[षट्भुज](#def-g4-geometry-polygon); [चतुर्भुज](#def-g4-geometry-polygon); त्रिभुज; [अष्टभुज](#def-g4-geometry-polygon); [पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon)। [बहुभुज](#def-g4-geometry-polygon) के जितनी भुजाएँ, उतने ही [शीर्ष](#def-g4-geometry-polygon): $6$, $4$, $3$, $8$, $5$।

**अभ्यास 26.4 ★.**

कोई भी [पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon) बनाओ (ज़रूरी नहीं कि सम हो) और उसके शीर्षों के नाम $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ रखो। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? $A$ से उसके विकर्ण खींचो ($A$ को उन शीर्षों से जोड़ने वाले रेखाखंड जो पड़ोसी नहीं हैं): वे कितने हैं?

**हल — अभ्यास 26.4.**

[पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon) की $5$ भुजाएँ होती हैं। $A$ से पड़ोसी न होने वाले [शीर्ष](#def-g4-geometry-polygon) $C$ और $D$ हैं: दो विकर्ण, $[AC]$ और $[AD]$।

**अभ्यास 26.5 ★.**

केंद्र $O$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm का वृत्त बनाओ; एक [व्यास](#def-g4-geometry-circle) $[AB]$; और वृत्त का एक बिंदु $M$ जो $[AB]$ पर न हो। बिना नापे $OA$, $OM$ और $AB$ की लंबाइयाँ बताओ।

**हल — अभ्यास 26.5.**

$OA = 4$ cm ([त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes)); $OM = 4$ cm (वृत्त का हर बिंदु); $AB = 8$ cm ([व्यास](#def-g4-geometry-circle) [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) से दुगुना होता है)।

**अभ्यास 26.6 ★.**

परकार को दूरी सँभालने वाले औज़ार की तरह इस्तेमाल करके ([उदाहरण 26.7](#ex-g4-geometry-compass)) किसी सहपाठी के बनाए त्रिभुज की भुजाओं की तुलना करो और तय करो कि उसकी दो भुजाएँ बराबर हैं या नहीं।

**हल — अभ्यास 26.6.**

परकार को एक भुजा पर खोलो, फिर वही खुलाव बाक़ी दोनों भुजाओं पर ले जाओ: अगर नोक और पेंसिल के बीच की दूरी किसी दूसरी भुजा पर ठीक बैठ जाए, तो वे दोनों भुजाएँ बराबर हैं।

**अभ्यास 26.7 ★.**

जाल वाले काग़ज़ पर यह रास्ता दोबारा बनाओ और उसे बंद करके [बहुभुज](#def-g4-geometry-polygon) बनाओ: बिंदु $A$ से शुरू करो; $4$ दाईं ओर; $2$ ऊपर; $3$ बाईं ओर; $2$ ऊपर; फिर सीधी रेखा में $A$ पर वापस। जो [बहुभुज](#def-g4-geometry-polygon) बनता है उसका नाम क्या है (भुजाएँ गिनो)?

**हल — अभ्यास 26.7.**

रास्ता $5$ भुजाओं वाले [बहुभुज](#def-g4-geometry-polygon) में बंद होता है — एक [पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon) (सम नहीं!)।

**अभ्यास 26.8 ★.**

सही या ग़लत? चित्र से समझाओ। “दो [लंब रेखाएँ](#def-g4-geometry-def) हमेशा काटती हैं।” “दो [समांतर रेखाएँ](#def-g4-geometry-def) कभी नहीं काटतीं।” “कोई रेखा एक रेखा के [समांतर](#def-g4-geometry-def) और दूसरी पर [लंब](#def-g4-geometry-def) हो सकती है।”

**हल — अभ्यास 26.8.**

“[लंब रेखाएँ](#def-g4-geometry-def) हमेशा काटती हैं”: सही — वे उसी [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पर काटती हैं।

“[समांतर रेखाएँ](#def-g4-geometry-def) कभी नहीं काटतीं”: सही — यही उनकी परिभाषा है।

“कोई रेखा एक रेखा के [समांतर](#def-g4-geometry-def) और दूसरी पर [लंब](#def-g4-geometry-def) हो सकती है”: सही — जाल वाले काग़ज़ पर आड़ी रेखा हर आड़ी रेखा के [समांतर](#def-g4-geometry-def) और हर खड़ी रेखा पर [लंब](#def-g4-geometry-def) है।

**अभ्यास 26.9 ★★.**

एक रेखा $d$ बनाओ, फिर $d$ पर [लंब](#def-g4-geometry-def) रेखा $e$, फिर $e$ पर [लंब](#def-g4-geometry-def) रेखा $f$। $d$ और $f$ को देखो: क्या दिखाई देता है? (यह अवलोकन [अध्याय 40](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#ch-g6-lines) में प्रमेय बन जाता है।)

**हल — अभ्यास 26.9.**

रेखाएँ $d$ और $f$ [समांतर](#def-g4-geometry-def) दिखती हैं — और वे हमेशा होती भी हैं: एक ही रेखा पर [लंब](#def-g4-geometry-def) दो रेखाएँ [समांतर](#def-g4-geometry-def) होती हैं ([प्रतिज्ञप्ति 40.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#prop-g6-lines-facts) इसे पक्का करती है)।

**अभ्यास 26.10 ★★.**

नीचे बताई आकृति को दिखाए बिना सहपाठी के लिए शब्दों में बताओ: $4$ cm भुजा वाला वर्ग, और उसके बीच में केंद्रित $2$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) का वृत्त (जो चारों भुजाओं को छूता है)। वर्णन को क्रम से लिखे निर्देशों के रूप में लिखो।

**हल — अभ्यास 26.10.**

एक सही कार्यक्रम: “1. $4$ cm भुजा वाला वर्ग $ABCD$ बनाओ। 2. वह बिंदु $O$ अंकित करो जहाँ उसके विकर्ण काटते हैं। 3. केंद्र $O$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm का वृत्त बनाओ।” वृत्त हर भुजा को उसके बीच में छूता है।

**अभ्यास 26.11 ★★.**

[चतुर्भुज](#def-g4-geometry-polygon) के कितने विकर्ण होते हैं? [पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon) के? [षट्भुज](#def-g4-geometry-polygon) के? तीनों बनाओ, ध्यान से गिनो, और जो प्रतिरूप दिखे उसे बताओ।

**हल — अभ्यास 26.11.**

[चतुर्भुज](#def-g4-geometry-polygon): $2$ विकर्ण। [पंचभुज](#def-g4-geometry-polygon): $5$। [षट्भुज](#def-g4-geometry-polygon): $9$। हर नया [शीर्ष](#def-g4-geometry-polygon) और ज़्यादा विकर्ण जोड़ता है — गिनती तेज़ी से बढ़ती जाती है ($+3$, फिर $+4$, …)।