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title: "सममिति"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 27
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/27-symmetry
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# अध्याय 27 — सममिति

तितलियाँ, चेहरे, बर्फ़ के फाहे: प्रकृति को ऐसी आकृतियाँ पसंद हैं जिनके दोनों आधे मोड़ने पर आपस में मिल जाएँ। यह अध्याय मोड़ों और जाल वाले काग़ज़ से सममिति खोजता है — [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से रचनाएँ [अध्याय 42](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#ch-g6-symmetry) में आएँगी।

## 27.1 मोड़ना और मिलाना

**परिभाषा 27.1 (सममिति अक्ष).**

कोई रेखा किसी आकृति की *सममिति अक्ष* तब होती है जब उस रेखा पर आकृति को मोड़ने से दोनों आधे *बिलकुल* मिल जाएँ। किसी आकृति की कोई अक्ष न हो, एक हो, या कई हो सकती हैं।

![बिंदुदार रेखा पर मोड़ो: दोनों आधे मिल जाते हैं। आख़िरी त्रिभुज में कोई भी मोड़ काम नहीं करता — कोई सममिति अक्ष नहीं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-974485894b45.svg)

*बिंदुदार रेखा पर मोड़ो: दोनों आधे मिल जाते हैं। आख़िरी त्रिभुज में कोई भी मोड़ काम नहीं करता — कोई [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) नहीं।*

**उदाहरण 27.2 (अनुरेखण काग़ज़ से जाँच).**

आकृति को उतारो, अनुरेखण काग़ज़ को मानी हुई अक्ष पर पलटो, और वापस रख दो: अगर उतारी हुई आकृति मूल आकृति को ठीक ढक ले, तो अक्ष सचमुच की है। अकेली आँख अक्सर धोखा खाती है — आयत का विकर्ण अक्ष जैसा *दिखता* है, पर मोड़ की जाँच मना कर देती है (आज़माओ!)।

## 27.2 जाल पर आकृतियाँ पूरी करना

**विधि 27.3 (जाल की रेखा पर सममित आकृति).**

अक्ष जाल की कोई खड़ी (या आड़ी) रेखा है।

1. आकृति के हर [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) को बारी-बारी लो;
2. अक्ष से उसकी दूरी खानों में गिनो;
3. प्रतिबिंब [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) को दूसरी ओर *उतनी ही* दूरी पर, उसी पंक्ति (या स्तंभ) में रखो;
4. प्रतिबिंब शीर्षों को उसी क्रम में जोड़ो, और जाँचो: प्रतिबिंब आकृति का दर्पण-जुड़वाँ है।

![लाल अक्ष के दूसरी ओर पूरा करना: हर शीर्ष उतनी ही दूरी पर कूद जाता है। अक्ष को छूने वाले शीर्ष अपनी जगह ही रहते।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-7196aa6feb76.svg)

*लाल अक्ष के दूसरी ओर पूरा करना: हर [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) उतनी ही दूरी पर कूद जाता है। अक्ष को छूने वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) अपनी जगह ही रहते।*

**उदाहरण 27.4 (वही आकार, वही नाप, पर पलटा हुआ).**

प्रतिबिंब की लंबाइयाँ और कोण बिलकुल वही होते हैं जो मूल आकृति के: सममिति आकृति की नक़ल बनाती है — पर उसे पलट देती है, जैसे बायाँ हाथ और दायाँ हाथ। मूल अक्षर F हो, तो उसका दर्पण-प्रतिबिंब उलटा F होता है, दूसरा F नहीं।

## 27.3 आम आकारों की अक्ष

**उदाहरण 27.5 (अक्ष गिनना).**

मोड़कर देखने पर:

- वर्ग: $4$ अक्ष (दो आमने-सामने की भुजाओं के बीचों से होकर, दो विकर्णों पर);
- आयत: $2$ अक्ष (केवल आमने-सामने की भुजाओं के बीचों से!);
- समद्विबाहु त्रिभुज: $1$ ; समबाहु त्रिभुज: $3$ ;
- वृत्त: उसके केंद्र से होकर जाने वाली हर रेखा — गिनी न जा सकें उतनी अक्ष।

**उदाहरण 27.6 (वर्णमाला में सममिति).**

A, M, T, U, V में खड़ी अक्ष है; B, C, D, E में आड़ी; H, I, O, X में दोनों। सही अक्षरों से बने शब्द भी सममित हो सकते हैं: MUM में खड़ी अक्ष है; OXO दोनों तरह चलता है।

## 27.4 अभ्यास

**अभ्यास 27.1 ★.**

उतारो और मोड़ो: इनमें से किनमें [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) है — एक वर्ग; एक (वर्ग न होने वाला) आयत; एक विषमबाहु त्रिभुज (सारी भुजाएँ अलग); एक वृत्त?

**हल — अभ्यास 27.1.**

वर्ग: हाँ ($4$ अक्ष)। आयत: हाँ ($2$)। विषमबाहु त्रिभुज: कोई मोड़ काम नहीं करता। वृत्त: हाँ — केंद्र से होकर कोई भी रेखा।

**अभ्यास 27.2 ★.**

इनकी [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) खींचो: एक वर्ग; एक आयत; एक समबाहु त्रिभुज। हर एक की कितनी हैं?

**हल — अभ्यास 27.2.**

वर्ग: $4$ (दो बीच वाली रेखाएँ, दो विकर्ण)। आयत: $2$ (केवल बीच वाली रेखाएँ)। समबाहु त्रिभुज: $3$ (हर [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) से होकर एक)।

**अभ्यास 27.3 ★.**

[उदाहरण 27.2](#ex-g4-symmetry-trace) की अनुरेखण-काग़ज़ वाली जाँच से दिखाओ कि $6 \times 4$ के आयत का विकर्ण [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) *नहीं* है।

**हल — अभ्यास 27.3.**

विकर्ण पर मोड़ने पर दोनों त्रिभुजाकार आधों का आकार तो एक ही होता है, पर वे एक-दूसरे पर नहीं बैठते — एक “उलटी ओर घूमा हुआ” है: उतारी हुई आकृति मूल आकृति के बग़ल में गिरती है, उस पर नहीं। इसलिए विकर्ण अक्ष नहीं है।

**अभ्यास 27.4 ★.**

जाल वाले काग़ज़ पर एक खड़ी अक्ष बनाओ और अक्ष से $2$ खाने दूर अक्षर L (तीन खाने ऊँचा, दो चौड़ा) बनाओ। उसका दर्पण-प्रतिबिंब बनाओ।

**हल — अभ्यास 27.4.**

प्रतिबिंब वाला L अक्ष की *दूसरी* ओर $2$ खाने पर है, उलटा लिखा हुआ (दर्पण वाला L), नाप वही।

**अभ्यास 27.5 ★.**

जाल वाले काग़ज़ पर एक आड़ी अक्ष बनाओ और उसके ऊपर एक छोटा झंडा ($3$ खानों के डंडे पर $1 \times 1$ का त्रिभुज)। अक्ष के नीचे सममिति से आकृति पूरी करो।

**हल — अभ्यास 27.5.**

पूरी की गई आकृति में झंडा और अक्ष के नीचे उसका उलटा प्रतिबिंब दिखता है, डंडे के नीचे डंडा।

**अभ्यास 27.6 ★.**

कोई आकृति अपनी [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) को बिंदु $P$ पर छूती है। $P$ का प्रतिबिंब कहाँ है? मोड़ वाले चित्र से समझाओ।

**हल — अभ्यास 27.6.**

$P$ हिलता नहीं: अक्ष पर मोड़ने से अक्ष *पर* पड़ा हर बिंदु ठीक अपनी जगह रहता है — $P$ अपना ही प्रतिबिंब है।

**अभ्यास 27.7 ★.**

बड़े अक्षर A, B, E, F, H, N, O, T को छाँटो: खड़ी अक्ष? आड़ी अक्ष? दोनों? कोई नहीं?

**हल — अभ्यास 27.7.**

खड़ी अक्ष: A, H, O, T। आड़ी अक्ष: B, E, H, O। दोनों: H, O। कोई नहीं: F, N।

**अभ्यास 27.8 ★.**

एक त्रिभुज की भुजाएँ $5$ cm, $5$ cm और $3$ cm हैं। क्या उसकी [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) है? मोड़ किन भुजाओं की अदला-बदली करता है?

**हल — अभ्यास 27.8.**

हाँ: त्रिभुज समद्विबाहु है, और उसकी अक्ष दोनों $5$ cm भुजाओं के बीच वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) से होकर $3$ cm आधार के बीच तक जाती है। मोड़ दोनों बराबर भुजाओं की अदला-बदली करता है।

**अभ्यास 27.9 ★★.**

जाल वाले काग़ज़ पर अपनी एक ऐसी आकृति बनाओ जिसकी *ठीक दो* [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) हों, और दोनों अक्ष भी खींचो। (संकेत: आयत सोचो, या एक क्रॉस।)

**हल — अभ्यास 27.9.**

ठीक दो अक्ष वाली कोई भी आकृति चलेगी: एक (वर्ग न होने वाला) आयत, दो अलग-अलग लंबाई की भुजाओं वाला जोड़-चिह्न (लंबी आड़ी, छोटी खड़ी), एक अंडाकार। दोनों अक्ष हमेशा आकृति के केंद्र पर काटती हैं।

**अभ्यास 27.10 ★★.**

एक सममित चित्र का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) दिया है: घर का बायाँ [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) (एक वर्गाकार दीवार और त्रिभुजाकार छत का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)), जिसके दाएँ किनारे पर खड़ी अक्ष है। पूरे घर का वर्णन करो या उसे बनाओ। पूरा किया हुआ दायाँ [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) लंबाइयों में बाएँ आधे से कैसा है?

**हल — अभ्यास 27.10.**

पूरा घर बाएँ आधे और उसके दर्पण-जुड़वाँ से बनता है: आधी दीवार से दुगुनी चौड़ी दीवार, और ऊपर पूरी त्रिभुजाकार छत। दाईं ओर की हर लंबाई बाईं ओर की अपनी साथी लंबाई के बराबर है — सममिति लंबाइयाँ हूबहू उतार लेती है।

**अभ्यास 27.11 ★★.**

आया का दावा है: “दो बराबर भुजाओं वाले हर त्रिभुज की [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) होती है, और [सममिति अक्ष](#def-g4-symmetry-def) वाले हर त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं।” उसके दोहरे दावे को चित्रों पर आज़माओ: एक समद्विबाहु त्रिभुज, एक समबाहु, एक विषमबाहु। क्या मोड़ना उसका साथ देता है?

**हल — अभ्यास 27.11.**

चित्र दोनों दिशाओं का साथ देते हैं: समद्विबाहु त्रिभुज अपने [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) से होकर जाने वाली रेखा पर मुड़ जाता है (दो बराबर भुजाएँ $\to$ अक्ष); समबाहु तीन तरह मुड़ता है; विषमबाहु की कोई अक्ष नहीं (कोई बराबर भुजा नहीं $\to$ कोई अक्ष नहीं)। आया का दोहरा दावा सही है — इसे [अध्याय 42](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#ch-g6-symmetry) में सिद्ध किया जाएगा।