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title: "दशमलव संख्याओं की गणना"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 30
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/30-computing-with-decimals
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# अध्याय 30 — दशमलव संख्याओं की गणना

दशमलव संख्याएँ लगभग पूर्ण संख्याओं की तरह ही जुड़ती, घटती और गुणा होती हैं — सारा हुनर यह जानने में है कि बिंदु कहाँ जाएगा। यह अध्याय खानों वाले तरीक़े और $10$, $100$, $1000$ से गुणा या भाग का जादू बताता है। (दो दशमलव संख्याओं का आपस में गुणा [अध्याय 38](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#ch-g6-decimals) में आएगा।)

## 30.1 जोड़ और घटाव

**विधि 30.1 (बिंदु के साथ खाने).**

1. संख्याएँ इस तरह लिखो कि *[दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) एक सीध में* हों (तब इकाई के नीचे इकाई, दसवें भाग के नीचे दसवाँ भाग);
2. छोटे दशमलव भाग में [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) भर दो;
3. पूर्ण संख्याओं की तरह जोड़ो या घटाओ;
4. नतीजे में बिंदु सीधे नीचे उतार दो।

**उदाहरण 30.2.**

$27.5 + 3.86$ ($27.5 = 27.50$ भरकर):

$$
\begin{array}{r}
2\,7.5\,0 \\
+\ \ \ 3.8\,6 \\
\hline
3\,1.3\,6
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
1\,2.4\,0 \\
-\ \ \ 5.6\,5 \\
\hline
\ \ \,6.7\,5
\end{array}
$$

घटाव के लिए ($12.4 - 5.65$): भरो, आम तरीक़े से उधार लो, और वापस जोड़कर जाँचो: $6.75 + 5.65 = 12.4$।

**उदाहरण 30.3 (मन-ही-मन पूरक).**

$10$ तक पहुँचने के लिए $7.6$ में क्या जोड़ना होगा? चढ़ो: $7.6 \to 8$ पर $0.4$, फिर $8 \to 10$ पर $2$: पूरक $2.4$ है। बाक़ी पैसों में काम आता है: $7.60$ की चीज़ के लिए $10$ दो, $2.40$ वापस मिलेंगे।

## 30.2 दस गुना बड़ा, दस गुना छोटा

**प्रतिज्ञप्ति 30.4 (10, 100, 1000 से गुणा और भाग).**

$10$ से गुणा करने पर हर अंक दस गुना क़ीमती हो जाता है: अंक एक स्थान बाईं ओर सरक जाते हैं — जो देखने में ऐसा लगता है मानो *बिंदु एक स्थान दाईं ओर* खिसक गया हो। भाग देने पर उलटा होता है:

$$
3.47 \times 10 = 34.7, \qquad
3.47 \times 100 = 347, \qquad
52.1 \div 10 = 5.21, \qquad
6 \div 100 = 0.06 .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![10 से गुणा: हर अंक एक स्थान बाईं ओर चढ़ जाता है। बिंदु असल में हिलता नहीं — अंक हिलते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-decimalops/fig-5a0e6b773e7b.svg)

*$10$ से गुणा: हर अंक एक स्थान बाईं ओर चढ़ जाता है। बिंदु असल में हिलता नहीं — अंक हिलते हैं।*

**उदाहरण 30.5 (फिर से मात्रक बदलना).**

माप के मात्रक दस की घातों के फ़ासले पर हैं, इसलिए मात्रक बदलना इन्हीं सरकनों का खेल है: $2.35$ m $= 235$ cm ($\times 100$); $470$ g $= 0.47$ kg ($\div 1000$); $1.5$ L $= 150$ cL।

## 30.3 दशमलव संख्या का पूर्ण संख्या से गुणा

**विधि 30.6 (दशमलव गुना पूर्ण).**

ऐसे निकालो मानो बिंदु है ही नहीं, फिर नतीजे में उतने ही दशमलव अंक रखो जितने दशमलव गुणक में थे:

$$
4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610
\ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .
$$

बिंदु भरोसे से रखने के लिए अंदाज़ा लगाओ: $4.35$, $4$ के पास है, और $4 \times 6 = 24$ — इसलिए $26.1$, न $2.61$, न $261$।

**उदाहरण 30.7 (बार-बार जोड़ना अब भी चलता है).**

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$: चार [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) मिलकर एक पूरा बनाते हैं, दशमलव के कपड़ों में। पूर्ण संख्या से गुणा अब भी “इतनी बार” ही है।

**उदाहरण 30.8 (ख़रीदारी).**

$2.45$-$2.45$ की तीन कॉपियाँ और $1.20$ की एक क़लम:

1. कॉपियाँ: $2.45 \times 3 = 7.35$ ;
2. कुल: $7.35 + 1.20 = 8.55$ ;
3. $10$ में से बाक़ी: $10 - 8.55 = 1.45$ ।

## 30.4 अभ्यास

**अभ्यास 30.1 ★.**

खानों में निकालो: $45.7 + 8.93$; $16.25 + 3.75$; $0.86 + 12.4$।

**हल — अभ्यास 30.1.**

$45.7 + 8.93 = 54.63$; $16.25 + 3.75 = 20$; $0.86 + 12.4 = 13.26$।

**अभ्यास 30.2 ★.**

खानों में निकालो और जाँचो: $9.4 - 2.72$; $20 - 13.45$; $6.03 - 5.9$।

**हल — अभ्यास 30.2.**

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (जाँच: $6.68 + 2.72 = 9.4$)।

$20 - 13.45 = 6.55$ (जाँच: $6.55 + 13.45 = 20$)।

$6.03 - 5.9 = 0.13$।

**अभ्यास 30.3 ★.**

$10$ तक के मन-ही-मन पूरक (जैसे [उदाहरण 30.3](#ex-g5-decimalops-complement) में): $6.2$; $3.75$; $9.99$।

**हल — अभ्यास 30.3.**

$6.2 \to 10$: $3.8$। $3.75 \to 10$: $6.25$। $9.99 \to 10$: $0.01$।

**अभ्यास 30.4 ★.**

खानों के बिना निकालो:

$$
7.24 \times 10, \qquad
0.58 \times 100, \qquad
34.5 \div 10, \qquad
7 \div 100, \qquad
0.3 \times 1000 .
$$

**हल — अभ्यास 30.4.**

$72.4$; $58$; $3.45$; $0.07$; $300$।

**अभ्यास 30.5 ★.**

बदलो: $4.05$ m को cm में; $325$ cm को m में; $0.6$ kg को g में; $85$ cL को L में।

**हल — अभ्यास 30.5.**

$4.05$ m $= 405$ cm; $325$ cm $= 3.25$ m; $0.6$ kg $= 600$ g; $85$ cL $= 0.85$ L।

**अभ्यास 30.6 ★.**

पहले अंदाज़ा लगाओ, फिर निकालो: $6.2 \times 4$; $3.45 \times 8$; $12.5 \times 6$।

**हल — अभ्यास 30.6.**

$6.2 \times 4$: अंदाज़ा $24$; ठीक-ठीक $24.8$।

$3.45 \times 8$: अंदाज़ा $28$ ($3.5 \times 8$); ठीक-ठीक $27.6$।

$12.5 \times 6$: अंदाज़ा $75$; ठीक-ठीक $75$।

**अभ्यास 30.7 ★.**

एक ट्रैक का एक चक्कर $0.4$ km का है। $7$ चक्कर कितने लंबे हैं? और $25$ चक्कर?

**हल — अभ्यास 30.7.**

$7$ चक्कर: $0.4 \times 7 = 2.8$ km। $25$ चक्कर: $0.4 \times 25 = 10$ km।

**अभ्यास 30.8 ★.**

लेआ $1.15$-$1.15$ की $2$ रोटियाँ और $12.60$ का एक केक ख़रीदती है। वह $20$ का नोट देती है। उसका कुल ख़र्च और बाक़ी पैसे निकालो।

**हल — अभ्यास 30.8.**

रोटियाँ: $1.15 \times 2 = 2.30$। कुल: $2.30 + 12.60 = 14.90$। बाक़ी: $20 - 14.90 = 5.10$।

**अभ्यास 30.9 ★.**

एक बोतल में $1.5$ L आता है। $6$ बोतलों के पैकेट में कितने लीटर? एक परिवार रोज़ $0.75$ L पीता है: एक पैकेट कितने दिन चलेगा? ($9$ में $0.75$ कितनी बार समाता है?)

**हल — अभ्यास 30.9.**

पैकेट: $1.5 \times 6 = 9$ L। दिन: $0.75 + 0.75 = 1.5$ L हर दो दिन में, इसलिए $9$ L, $12$ दिन चलते हैं ($0.75$ की बारह ख़ुराकें: $12 \times 0.75 = 9$)।

**अभ्यास 30.10 ★★.**

मिलो $5.6 \times 3 = 15.18$ निकालता है, यह सोचकर कि “$5 \times 3 = 15$ और $6 \times 3 = 18$”। अंदाज़े से दिखाओ कि उत्तर ग़लत ही होगा, फिर सही निकालो।

**हल — अभ्यास 30.10.**

अंदाज़ा: $5.6$, $5.5$ से ज़्यादा है, और $5.5 \times 3 = 16.5$ — इसलिए [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $16.5$ से *ज़्यादा* होना चाहिए, और $15.18$ बहुत कम है। सही ढंग से: $56 \times 3 = 168$, एक दशमलव अंक, इसलिए $5.6 \times 3 = 16.8$। मिलो ने अपने दोनों आंशिक [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ($15$ और $18$) उनके स्थानों के साथ जोड़ने के बजाय अगल-बगल चिपका दिए: $15 + 1.8 = 16.8$।

**अभ्यास 30.11 ★★.**

एक धावक के चार चक्करों में $65.4$ s, $64.9$ s, $65.0$ s और $66.1$ s लगे।

1. चारों चक्करों का कुल समय निकालो।
2. चार चक्करों का कीर्तिमान $260$ s है। क्या उसने उसे तोड़ा? कितने से?

**हल — अभ्यास 30.11.**

*1.* $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ s।

*2.* $261.4 > 260$: उसने कीर्तिमान नहीं तोड़ा; वह उससे $1.4$ s पीछे रही।