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title: "संख्या के रूप में भिन्नें"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 31
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/31-fractions-as-numbers
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# अध्याय 31 — संख्या के रूप में भिन्नें

[भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) सिर्फ़ किसी पाई का चित्र नहीं है: वह सचमुच की एक *संख्या* है, जिसका संख्या रेखा पर अपना स्थान है — कभी-कभी ठीक वही स्थान जो किसी दशमलव संख्या का है। यह अध्याय दोनों दुनियाएँ जोड़ता है। (भिन्नों की गणित के पूरे नियम [अध्याय 39](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#ch-g6-fractions) और उसके आगे आते हैं।)

## 31.1 रेखा पर भिन्नें, फिर से

**उदाहरण 31.1 (रखना और पढ़ना).**

पाँचवें भागों में कटी रेखा पर $\frac{7}{5}$, $0$ से $7$ कदम पर है: $1$ के आगे (जो $\frac55$ है), $1 + \frac25$ पर। हर [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) रेखा पर कहीं न कहीं रहती है; हर वही हो तो बड़ा [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) यानी और दाईं ओर।

**प्रतिज्ञप्ति 31.2 (एक ही बिंदु, कई नाम).**

हर हिस्से को दो में (या तीन में …) काट देने से बिंदु नहीं हिलता:

$$
\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10},
\qquad
\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.
$$

[अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा (या भाग) करने पर उसी [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) का दूसरा नाम मिल जाता है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![तीन पट्टियाँ, तीन नाम, एक ही मात्रा: 1/2 = 2/4 = 5/10।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-fractions/fig-4f3e64597041.svg)

*तीन पट्टियाँ, तीन नाम, एक ही मात्रा: $\frac12 = \frac24 =
\frac{5}{10}$।*

## 31.2 भिन्नें और दशमलव संख्याएँ

**प्रतिज्ञप्ति 31.3 (दशमलव नाम वाली भिन्नें).**

दसवें, सौवें और हज़ारवें भागों की भिन्नें दशमलव संख्याएँ *हैं ही*:

$$
\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .
$$

कुछ और भिन्नों के भी दशमलव नाम होते हैं, जो दसवें या सौवें भागों में बदलकर मिल जाते हैं:

$$
\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad
\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad
\frac{3}{4} = 0.75, \qquad
\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .
$$

पर सबके नहीं: $\frac13 = 0.333\dots$ कभी ख़त्म नहीं होता — [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) ही उसका इकलौता ठीक नाम है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![एक रेखा, दो भाषाएँ: हर बिंदु का एक भिन्न-नाम और एक दशमलव नाम हो सकता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-fractions/fig-b13d61484ddb.svg)

*एक रेखा, दो भाषाएँ: हर बिंदु का एक भिन्न-नाम और एक दशमलव नाम हो सकता है।*

**उदाहरण 31.4 (जो नाम आसान पड़े, वही चुनो).**

$12$ के तीन [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) देने हों: [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) वाला नाम आसान है, $12$ का $\frac34$, $9$ है। $\frac34$ और $0.8$ की तुलना करनी हो: दशमलव नाम आसान है, $0.75 < 0.8$। दोनों भाषाएँ आने का यही फ़ायदा है।

## 31.3 भिन्नों की तुलना

**विधि 31.5 (तुलना के तीन औज़ार).**

1. *हर एक जैसा* : जिसमें ज़्यादा हिस्से, वही बड़ी, $\frac57 > \frac37$ ;
2. *[अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) एक जैसा* : जिसके हिस्से बड़े, वही बड़ी, यानी *छोटा* हर जीतता है: $\frac35 > \frac38$ (पाँचवें भाग आठवें भागों से बड़े होते हैं);
3. *ठिकाने* : हर एक की तुलना $\frac12$ या $1$ से करो: $\frac38 < \frac12 < \frac59$ , इसलिए $\frac38 < \frac59$ ।

**उदाहरण 31.6.**

पिज़्ज़ा किसने ज़्यादा खाया: अली ने $\frac58$ या बिया ने $\frac54$? बिया की [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $1$ से बड़ी है (पाँच [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) एक पूरे पिज़्ज़े से ज़्यादा हैं), अली की $1$ से छोटी: बिया ने ज़्यादा खाया — असल में एक पूरे पिज़्ज़े से भी ज़्यादा।

## 31.4 अभ्यास

**अभ्यास 31.1 ★.**

$0$ से $2$ तक पाँचवें भागों में कटी संख्या रेखा बनाओ, और रखो: $\frac25$; $\frac55$; $\frac85$; $\frac{10}{5}$।

**हल — अभ्यास 31.1.**

$\frac25$: $0$ से दो कदम; $\frac55$: $1$ पर; $\frac85$: $1$ से तीन कदम आगे; $\frac{10}{5}$: $2$ पर।

**अभ्यास 31.2 ★.**

बराबर नाम पूरे करो: $\frac12 = \frac{?}{8}$; $\frac34 = \frac{?}{8}$; $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$; $\frac{6}{9} = \frac{2}{?}$।

**हल — अभ्यास 31.2.**

$\frac12 = \frac48$; $\frac34 = \frac68$; $\frac25 = \frac{4}{10}$; $\frac69 = \frac23$।

**अभ्यास 31.3 ★.**

कौन-सी भिन्नें पूर्ण संख्याओं के नाम हैं? जहाँ हों, वह पूर्ण संख्या बताओ: $\frac82$; $\frac{9}{4}$; $\frac{15}{3}$; $\frac{20}{5}$।

**हल — अभ्यास 31.3.**

$\frac82 = 4$; $\frac94$ पूर्ण नहीं है ($9$, $4$ का गुणज नहीं); $\frac{15}{3} = 5$; $\frac{20}{5} = 4$।

**अभ्यास 31.4 ★.**

दशमलव के रूप में लिखो: $\frac{7}{10}$; $\frac{41}{100}$; $\frac12$; $\frac34$; $\frac15$।

**हल — अभ्यास 31.4.**

$0.7$; $0.41$; $0.5$; $0.75$; $0.2$।

**अभ्यास 31.5 ★.**

[भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) के रूप में लिखो (दसवें या सौवें भाग): $0.9$; $0.13$; $2.5$; $0.75$ (फिर उसका [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) वाला नाम बताओ)।

**हल — अभ्यास 31.5.**

$0.9 = \frac{9}{10}$; $0.13 = \frac{13}{100}$; $2.5 = \frac{25}{10}$; $0.75 = \frac{75}{100} = \frac34$।

**अभ्यास 31.6 ★.**

तुलना करो, और बताओ कौन-सा औज़ार लगाया ([विधि 31.5](#met-g5-fractions-compare)):

$$
\frac47 \;?\; \frac67, \qquad
\frac35 \;?\; \frac37, \qquad
\frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad
\frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
$$

**हल — अभ्यास 31.6.**

$\frac47 < \frac67$ (हर एक जैसा)। $\frac35 > \frac37$ ([अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) एक जैसा: पाँचवें भाग बड़े होते हैं)। $\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}$, इसलिए $\frac25 < \frac{7}{12}$ (ठिकाना $\frac12$)। $\frac98 > 1 > \frac{11}{12}$ (ठिकाना $1$)।

**अभ्यास 31.7 ★.**

दशमलव नामों से क्रम में लगाओ: $\frac12$; $0.4$; $\frac34$; $0.6$; $\frac15$।

**हल — अभ्यास 31.7.**

दशमलव: $0.5$; $0.4$; $0.75$; $0.6$; $0.2$। क्रम:

$$
\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .
$$

**अभ्यास 31.8 ★.**

$28$ विद्यार्थियों की कक्षा में एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) कोई वाद्य बजाते हैं, और आधे कोई खेल खेलते हैं। हर समूह में कितने विद्यार्थी हैं? कौन-सा समूह बड़ा है?

**हल — अभ्यास 31.8.**

वाद्य: $28$ का $\frac14 = 7$। खेल: $28$ का $\frac12 = 14$। खेल वाला समूह बड़ा है।

**अभ्यास 31.9 ★.**

हर [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) को एक समय से मिलाओ: $\frac14$ घंटा, $\frac12$ घंटा, $\frac34$ घंटा, $\frac{1}{60}$ घंटा — और $30$ मिनट, $45$ मिनट, $1$ मिनट, $15$ मिनट।

**हल — अभ्यास 31.9.**

$\frac14$ घंटा $= 15$ मिनट; $\frac12$ घंटा $= 30$ मिनट; $\frac34$ घंटा $= 45$ मिनट; $\frac{1}{60}$ घंटा $= 1$ मिनट।

**अभ्यास 31.10 ★★.**

टॉम ने अपनी $50$ cL की बोतल का $\frac35$ पिया; अना ने अपनी $60$ cL की बोतल का $\frac12$। किसने ज़्यादा पिया? (दोनों मात्राएँ cL में निकालो — यहाँ केवल भिन्नों की तुलना काफ़ी नहीं, और बताओ क्यों।)

**हल — अभ्यास 31.10.**

टॉम: $50$ का $\frac35 = 30$ cL। अना: $60$ का $\frac12 = 30$ cL। दोनों ने बराबर पिया! सिर्फ़ भिन्नें ($\frac35 > \frac12$) *अलग-अलग* बोतलों के हिस्सों की तुलना करती हैं — तुलना तो असली मात्राओं की ही हो सकती है।

**अभ्यास 31.11 ★★.**

$\frac12$ और $1$ के ठीक बीच की कोई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) बताओ; फिर $\frac12$ और $\frac34$ के ठीक बीच की एक। (दशमलव नाम मदद कर सकते हैं।)

**हल — अभ्यास 31.11.**

$\frac12$ और $1$ के बीच: जैसे $\frac34$ (यानी $0.75$)। $\frac12 = 0.5$ और $\frac34 = 0.75$ के बीच: जैसे $0.6 =
\frac35$।