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title: "भाग और गुणज"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 32
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples
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# अध्याय 32 — भाग और गुणज

[अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/23-division#ch-g4-division) में सीखे लंबे भाग में दो सुधार आते हैं: दो अंकों के [भाजक](#def-g5-division-multiple), और ऐसे [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) जो बिंदु के आगे भी चलते रहते हैं — $3 \div 4$ को आख़िरकार उत्तर मिल जाता है, $0.75$। अध्याय के अंत में [गुणज](#def-g5-division-multiple), [भाजक](#def-g5-division-multiple) और विभाज्यता की पहली तरकीबें हैं।

## 32.1 दो अंकों की संख्या से भाग

**विधि 32.1 (दो अंकों के भाजक).**

तरीक़ा वही पुराना, बस एक हुनर और: यह ताड़ना कि [भाजक](#def-g5-division-multiple) कितनी बार समाता है। पहले [भाजक](#def-g5-division-multiple) के गुणजों की एक छोटी सूची लिख लो। $986 \div 23$ के लिए ($23$ के [गुणज](#def-g5-division-multiple): 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

1. $98$ दहाई: $23 \times 4 = 92$ समा जाता है, $23 \times 5 = 115$ नहीं: अंक $4$ , [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $6$ ;
2. $6$ नीचे उतारो: $66$ : $23 \times 2 = 46$ समा जाता है: अंक $2$ , [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $20$ ;
3. [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $42$ , [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $20$ । जाँच: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ ।

## 32.2 दशमलव भागफल

**उदाहरण 32.2 (वह भाग जो शेषफल पर रुकने से मना कर दे).**

$3$ पिज़्ज़े $4$ बच्चों में बाँटो: $3 \div 4$ का [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ है और [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $3$ — किसी काम का नहीं! भाग को बिंदु के आगे बढ़ाओ:

1. $3$ इकाई $= 30$ दसवें भाग; $30 \div 4$ : $7$ दसवें भाग, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $2$ दसवें भाग;
2. $2$ दसवें भाग $= 20$ सौवें भाग; $20 \div 4 = 5$ सौवें भाग, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ ।

तो $3 \div 4 = 0.75$: हर बच्चे को $0.75$ पिज़्ज़ा मिलता है — तीन [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half), जो भिन्नों की भाषा पहले से जानती थी ([प्रतिज्ञप्ति 31.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/31-fractions-as-numbers#prop-g5-fractions-decimal))।

**विधि 32.3 (भाग को बिंदु के आगे बढ़ाना).**

जब इकाइयाँ ख़त्म हो जाएँ और [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) बचा हो:

1. [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) में [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) लगाओ;
2. [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) में एक [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) जोड़ो (इकाई दसवें भाग बन जाती है, दसवाँ भाग सौवाँ …) और भाग देते रहो;
3. तब रुको जब [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ हो जाए — या जब अंक हमेशा के लिए दोहराने लगें, जैसे $1 \div 3 = 0.333\dots$ : तब गोल किया हुआ मान दे दो।

**उदाहरण 32.4.**

$27 \div 6$: [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $4$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $3$; बिंदु; $30$ दसवें भाग $\div\ 6 = 5$: तो $27 \div 6 = 4.5$। $22 \div 8$: $2$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $6$; फिर $60 \div 8 = 7$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $4$; फिर $40 \div 8 = 5$: तो $22 \div 8 = 2.75$।

## 32.3 गुणज और भाजक

**परिभाषा 32.5 (गुणज, भाजक).**

$6$ के *गुणज* उसके पहाड़े को हमेशा के लिए आगे बढ़ाने पर मिलते हैं: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ जब $24$, $6$ का गुणज है, तब यह भी कहते हैं कि $6$, $24$ का *भाजक* है, या कि $24$, $6$ से *विभाज्य* है: भाग $24 \div 6$ कोई [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) नहीं छोड़ता।

**प्रतिज्ञप्ति 32.6 (विभाज्यता की तरकीबें).**

बिना भाग दिए, कोई संख्या विभाज्य होती है:

- $2$ से, जब उसका आख़िरी अंक $0$ , $2$ , $4$ , $6$ या $8$ हो ( [सम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) );
- $5$ से, जब उसका आख़िरी अंक $0$ या $5$ हो;
- $10$ से, जब उसका आख़िरी अंक $0$ हो;
- $3$ से, जब उसके *अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)* $3$ से विभाज्य हो (जैसे $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , विभाज्य — और सचमुच $741 = 3 \times 247$ )।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![संख्याएँ 1 से 30 तक: 2 के और 3 के गुणज प्रतिरूप बनाते हैं — और जिन पर दोनों निशान हैं (6, 12, 18, 24, 30) वही ठीक-ठीक 6 के गुणज हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-division/fig-ff6b5b6000bf.svg)

*संख्याएँ $1$ से $30$ तक: $2$ के और $3$ के [गुणज](#def-g5-division-multiple) प्रतिरूप बनाते हैं — और जिन पर दोनों निशान हैं ($6$, $12$, $18$, $24$, $30$) वही ठीक-ठीक $6$ के [गुणज](#def-g5-division-multiple) हैं।*

**उदाहरण 32.7.**

क्या $534$, $2$ से विभाज्य है? आख़िर में $4$ है: हाँ। $5$ से? नहीं। $3$ से? $5 + 3 + 4 = 12$: हाँ। तो $534$, $6$ से भी विभाज्य है ($2$ *और* $3$ दोनों से) — जाँच: $534 = 6 \times 89$।

## 32.4 अभ्यास

**अभ्यास 32.1 ★.**

लंबे भाग करो (पहले गुणजों की सूची बनाओ): $851 \div 23$; $704 \div 32$।

**हल — अभ्यास 32.1.**

$851 \div 23$: $23$ के [गुणज](#def-g5-division-multiple): $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161,
184, 207$। फिर $85 \div 23$: $3$ बार ($69$), [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $16$; $1$ नीचे उतारो: $161 \div 23 = 7$ ठीक-ठीक। [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $37$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ ($23 \times 37 = 851$)।

$704 \div 32$: $70 \div 32$: $2$ बार ($64$), [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $6$; $4$ नीचे उतारो: $64 \div 32 = 2$। [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $22$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$।

**अभ्यास 32.2 ★.**

ठीक-ठीक दशमलव [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) निकालो: $9 \div 2$; $27 \div 4$; $33 \div 5$; $21 \div 8$।

**हल — अभ्यास 32.2.**

$9 \div 2 = 4.5$; $27 \div 4 = 6.75$; $33 \div 5 = 6.6$; $21 \div 8 = 2.625$।

**अभ्यास 32.3 ★.**

चार दोस्त $54$ का भोजनालय-बिल बराबर बाँटते हैं। हर एक कितना देता है? (बिंदु के आगे बढ़ो।)

**हल — अभ्यास 32.3.**

$54 \div 4 = 13.5$: हर एक $13.50$ देता है।

**अभ्यास 32.4 ★.**

$10 \div 3$ निकालो, बिंदु के आगे तीन अंक तक। क्या दिखता है? सौवें भाग तक गोल किया हुआ मान बताओ।

**हल — अभ्यास 32.4.**

$10 \div 3 = 3.333\dots$: अंक $3$ हमेशा दोहराता रहता है — भाग कभी रुकता ही नहीं। सौवें भाग तक गोल: $3.33$।

**अभ्यास 32.5 ★.**

सूची बनाओ: $70$ तक $7$ के [गुणज](#def-g5-division-multiple); $18$ के [भाजक](#def-g5-division-multiple); $24$ के [भाजक](#def-g5-division-multiple)।

**हल — अभ्यास 32.5.**

$70$ तक $7$ के [गुणज](#def-g5-division-multiple): $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63,
70$। $18$ के [भाजक](#def-g5-division-multiple): $1, 2, 3, 6, 9, 18$। $24$ के [भाजक](#def-g5-division-multiple): $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$।

**अभ्यास 32.6 ★.**

$2$ से विभाज्य? $5$ से? $10$ से? $3$ से? हर तरकीब इन पर आज़माओ: $470$; $735$; $8\,001$; $1\,314$।

**हल — अभ्यास 32.6.**

$470$: $2$ से (अंत में $0$), $5$ से, $10$ से; अंकों का योग $11$: $3$ से नहीं।

$735$: अंत में $5$: $5$ से, $2$ या $10$ से नहीं; अंकों का योग $15$: $3$ से।

$8\,001$: विषम; अंकों का योग $9$: केवल $3$ से।

$1\,314$: सम; अंकों का योग $9$: $2$ से और $3$ से (इसलिए $6$ से), $5$ से नहीं।

**अभ्यास 32.7 ★.**

$60$ और $80$ के बीच की वे सारी संख्याएँ ढूँढ़ो जो $3$ *और* $5$ दोनों से विभाज्य हैं। (यह किस एक विभाज्यता के बराबर है?)

**हल — अभ्यास 32.7.**

$3$ और $5$ दोनों से विभाज्य यानी $15$ से विभाज्य: $60$ और $80$ के बीच संख्याएँ $60$, $75$।

**अभ्यास 32.8 ★.**

$7.2$ m का रिबन $6$ बराबर टुकड़ों में काटा जाता है। हर टुकड़ा कितना लंबा है? (दशमलव में पूर्ण संख्या का भाग: पहले मीटर बाँटो, फिर दसवें भाग।)

**हल — अभ्यास 32.8.**

$7.2 \div 6 = 1.2$: हर टुकड़ा $1.2$ m का है (जाँच: $1.2 \times 6 = 7.2$)।

**अभ्यास 32.9 ★.**

$1\,000$ कंचे $24$-$24$ के थैलों में रखे जाते हैं। कितने थैले पूरे भरते हैं, और कितने कंचे बचते हैं? (दो अंकों का [भाजक](#def-g5-division-multiple)।)

**हल — अभ्यास 32.9.**

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$: इकतालीस थैले पूरे भरते हैं, $16$ कंचे बचते हैं।

**अभ्यास 32.10 ★★.**

क्या $5$ दोस्त $7$ चॉकलेट बराबर बाँट सकते हैं, कुछ बचाए बिना? हर हिस्सा दशमलव में बताओ। वही सवाल $7$ दोस्तों के $5$ चॉकलेट बाँटने का — वहाँ क्या फ़र्क़ पड़ता है?

**हल — अभ्यास 32.10.**

$7 \div 5 = 1.4$: पाँचों दोस्तों में हर एक को $1.4$ चॉकलेट मिलती है — चॉकलेट को दसवें भागों में काटकर यह हो सकता है। $5 \div 7$ के लिए: भाग $0.714285\dots$ देता है, जो कभी रुकता नहीं — कोई ठीक-ठीक दशमलव हिस्सा है ही नहीं; केवल [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $\frac57$ उसे ठीक-ठीक नाम देती है।

**अभ्यास 32.11 ★★.**

अंकों-के-योग वाली तरकीब से वह सबसे छोटा अंक $d$ ढूँढ़ो जिससे $52d$ (अंत में $d$ वाली तीन अंकों की संख्या) $3$ से विभाज्य हो। फिर ऐसे सारे अंक $d$ ढूँढ़ो।

**हल — अभ्यास 32.11.**

अंकों का योग: $5 + 2 + d = 7 + d$। $3$ से विभाज्य तब, जब $7 + d$, $9$, $12$ या $15$ हो: $d = 2$, $5$ या $8$। सबसे छोटा $d = 2$ है ($522 = 3 \times 174$)।