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title: "ज्यामितीय रचनाएँ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 33
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/33-geometric-constructions
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# अध्याय 33 — ज्यामितीय रचनाएँ

मापपट्टी, [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका, परकार: इन तीन औज़ारों और थोड़े-से तरीक़े से शब्दों में बताई गई कोई भी आकृति ठीक-ठीक बनाई जा सकती है। यह अध्याय [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def), [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def), त्रिभुज और ख़ास [चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) बनाता है — पहले हुनर, सिद्धांत बाद में (अध्याय [40](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#ch-g6-lines) और [41](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#ch-g6-shapes))।

## 33.1 किसी बिंदु से होकर लंब और समांतर

**विधि 33.1 (दो बुनियादी रचनाएँ).**

*$A$ से होकर $d$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def)*: [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका को $d$ के साथ तब तक सरकाओ जब तक उसका दूसरा समकोण-किनारा $A$ तक न पहुँचे; खींच दो; [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) अंकित करो।

*$A$ से होकर $d$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def)*: $d$ पर रखी [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से मापपट्टी को लीक की तरह सटा दो; पट्टिका को $A$ तक सरकाओ; खींच दो। (जाँच: दोनों रेखाओं के बीच की दूरी हर जगह एक-सी है।)

**उदाहरण 33.2 (रचनाओं की कड़ी).**

कई आकृतियाँ इन्हीं दो चालों की कड़ियाँ हैं। $AB = 5$ cm और $BC = 3$ cm वाला आयत $ABCD$: $[AB]$ खींचो; $A$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def); $B$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def); एक ही ओर $3$ cm पर $D$ और $C$ अंकित करो; जोड़ दो। हर कदम एक बुनियादी रचना है।

## 33.2 परकार से त्रिभुज

**विधि 33.3 (तीन भुजाओं से त्रिभुज).**

$6$ cm, $5$ cm, $4$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाने के लिए:

1. सबसे लंबी भुजा खींचो, $[AB]$ जिसमें $AB = 6$ cm;
2. केंद्र $A$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm का चाप;
3. केंद्र $B$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm का चाप;
4. उनका कटान-बिंदु तीसरा [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $C$ है; जोड़ दो।

परकार लंबाइयों की गारंटी देता है: पहले चाप का हर बिंदु $A$ से ठीक $5$ cm दूर है।

![दो चाप, एक कटान: परकार से बना 6–5–4 का त्रिभुज। (अगर दोनों छोटी भुजाएँ मिलकर आधार से भी छोटी होतीं, तो चाप मिलते ही नहीं — इस पर और बात में।)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-geometry/fig-b167d3504da4.svg)

*दो चाप, एक कटान: परकार से बना $6$–$5$–$4$ का त्रिभुज। (अगर दोनों छोटी भुजाएँ मिलकर आधार से भी छोटी होतीं, तो चाप मिलते ही नहीं — इस पर और बात [अध्याय 51](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/51-triangles-and-angles#ch-g7-triangles) में।)*

**उदाहरण 33.4 (समद्विबाहु और समबाहु मुफ़्त में).**

दोनों चापों के लिए परकार का एक ही खुलाव $\Rightarrow$ समद्विबाहु त्रिभुज। खुलाव आधार के बराबर $\Rightarrow$ समबाहु। परकार नापता नहीं: वह लंबाइयाँ *उतारता* है, जो और भी अच्छा है।

## 33.3 ख़ास चतुर्भुज, रचना से

**विधि 33.5 (परिवार बनाना).**

1. *आयत* : [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) रेखाओं के दो जोड़े जो [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पर काटें — या [उदाहरण 33.2](#ex-g5-geometry-chain) वाली कड़ी;
2. *वर्ग* : वह आयत जिसकी चारों भुजाएँ एक ही लंबाई की हों — उसे परकार से उतार लो;
3. *समचतुर्भुज* : चारों भुजाएँ बराबर — एक भुजा खींचो, फिर उसके दोनों सिरों से एक ही खुलाव के दो चाप बाक़ी दोनों [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) तय कर देते हैं (समचतुर्भुज एक विकर्ण पर जुड़े दो समद्विबाहु त्रिभुज ही है)।

बनाने के बाद हमेशा औज़ारों से *जाँचो*: कोनों पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका, भुजाओं पर परकार।

**उदाहरण 33.6 (वर्णन से पहचानना).**

“चार-चार cm की चारों भुजाओं और एक [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) वाला [चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon)” — इसे बनाओ: चारों बराबर भुजाएँ आकार को समचतुर्भुज बना देती हैं, और एक कोने को [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) बनाते ही बाक़ी सब सीधे हो जाते हैं: नतीजा एक वर्ग है। कुछ वर्णन चुपके से उससे भी ख़ास आकार बता देते हैं जितना वे बोलते हैं। ([समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) चारों कोनों तक क्यों फैल जाता है, यह [अध्याय 52](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#ch-g7-central) में समझाया गया है।)

## 33.4 रचनाओं में वृत्त

**उदाहरण 33.7 (औज़ार के रूप में वृत्त).**

“$A$ से $3$ cm दूर के सारे बिंदु ढूँढ़ो”: केंद्र $A$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm का वृत्त। “$A$ से $3$ cm *और* $B$ से $4$ cm दूर के सारे बिंदु ढूँढ़ो”: दोनों वृत्त बनाओ; उनके कटान (दो, एक या [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) बिंदु) ही उत्तर हैं। ख़ज़ाने के नक़्शे और त्रिभुजों की रचनाएँ ठीक इसी विचार पर चलती हैं।

## 33.5 अभ्यास

**अभ्यास 33.1 ★.**

एक रेखा $d$ और उससे लगभग $3$ cm दूर एक बिंदु $A$ बनाओ। $A$ से होकर $d$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) बनाओ, फिर $A$ से होकर $d$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) रेखा। [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) अंकित करो।

**हल — अभ्यास 33.1.**

दोनों रचनाएँ [विधि 33.1](#met-g5-geometry-basic) के अनुसार हैं; $A$ से होकर बनी [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) और [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) ख़ुद भी एक-दूसरे पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) हैं।

**अभ्यास 33.2 ★.**

$AB = 7$ cm और $BC = 4$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ, [उदाहरण 33.2](#ex-g5-geometry-chain) के अनुसार। चौथे कोण को [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका से जाँचो: रचना ठीक हो तो वह अपने-आप [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) निकलेगा।

**हल — अभ्यास 33.2.**

[उदाहरण 33.2](#ex-g5-geometry-chain) की तरह लंबों की कड़ी। बनाए गए तीनों कोण ठीक [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) हों और लंबाइयाँ ठीक हों, तो चौथे कोण के पास [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) होने के सिवा कोई चारा नहीं — ठीक बना आयत अपनी जाँच ख़ुद कर लेता है।

**अभ्यास 33.3 ★.**

$7$ cm, $6$ cm और $3$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाओ ([विधि 33.3](#met-g5-geometry-triangle))।

**हल — अभ्यास 33.3.**

$7$ cm का आधार $[AB]$; $6$ cm ($A$ से) और $3$ cm ($B$ से) [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) के चाप; कटान-बिंदु $C$ है।

**अभ्यास 33.4 ★.**

$5$ cm आधार और $7$-$7$ cm बराबर भुजाओं वाला समद्विबाहु त्रिभुज बनाओ; फिर $6$ cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज।

**हल — अभ्यास 33.4.**

समद्विबाहु: आधार $5$ cm, दोनों चाप एक ही $7$ cm खुलाव के। समबाहु: आधार $6$ cm, दोनों चाप $6$ cm खुलाव के।

**अभ्यास 33.5 ★.**

$5$ cm भुजा वाला वर्ग बनाओ। कौन-से औज़ार समकोणों की गारंटी देते हैं? कौन-से बराबर भुजाओं की?

**हल — अभ्यास 33.5.**

[समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पट्टिका समकोणों की गारंटी देती है; परकार (या मापपट्टी) $5$ cm की भुजा चारों भुजाओं तक पहुँचा देता है।

**अभ्यास 33.6 ★.**

$4$ cm भुजा वाला ऐसा समचतुर्भुज बनाओ जो वर्ग न हो (पहले कोने के लिए अपनी पसंद का खुलाव चुनो)। परकार से चारों भुजाएँ जाँचो।

**हल — अभ्यास 33.6.**

$4$ cm की एक भुजा $[AB]$ खींचो, $[AD]$ के लिए कोई दिशा चुनो ([लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) नहीं, ताकि वर्ग न बने), $AD = 4$ cm; फिर $B$ और $D$ से $4$ cm के चाप $C$ पर काटते हैं। परकार चारों बराबर भुजाओं की पुष्टि कर देता है।

**अभ्यास 33.7 ★.**

$AB = 5$ cm वाले दो बिंदु $A$ और $B$ बनाओ। वे सारे बिंदु बनाओ जो $A$ से $4$ cm और $B$ से $3$ cm दूर हों। वे कितने हैं?

**हल — अभ्यास 33.7.**

केंद्र $A$, [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm वाला वृत्त और केंद्र $B$, [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm वाला वृत्त *दो* बिंदुओं पर काटते हैं (एक ऊपर, एक रेखा $(AB)$ के नीचे), क्योंकि $4 + 3 > 5$ और वृत्त एक-दूसरे में घुसते हैं।

**अभ्यास 33.8 ★.**

एक रचना का कार्यक्रम लिखो (क्रम से कदम, नाम वाले बिंदु): $6$ cm $\times$ $2$ cm के आयत के ऊपर $4$-$4$ cm बराबर भुजाओं वाला समद्विबाहु त्रिभुज (पेंसिल जैसी आकृति)। किसी सहपाठी से उसे करवाओ।

**हल — अभ्यास 33.8.**

एक सही कार्यक्रम: “1. $AB = 6$ cm (नीचे) और $BC = 2$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। 2. $D$ और $C$ (ऊपर के कोने) को केंद्र मानकर $4$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) के दो चाप खींचो; आयत के ऊपर उनके कटान का नाम $S$ रखो। 3. $[DS]$ और $[CS]$ खींचो।” (पेंसिल की नोक समद्विबाहु त्रिभुज $DSC$ है।)

**अभ्यास 33.9 ★★.**

$8$ cm, $3$ cm और $4$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाने की कोशिश करो। चापों के साथ क्या होता है? एक वाक्य में समझाओ कि यह त्रिभुज क्यों नहीं हो सकता।

**हल — अभ्यास 33.9.**

$8$ cm आधार के दोनों सिरों से खींचे गए $3$ cm और $4$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) के चाप कभी नहीं मिलते: सिरे से सिरे तक भी $3 + 4 = 7$ cm, $8$ cm में नहीं फैल सकते। दो भुजाएँ मिलकर हमेशा तीसरी से लंबी होनी चाहिए — नहीं तो त्रिभुज बंद ही नहीं होगा।

**अभ्यास 33.10 ★★.**

ऐसा समचतुर्भुज बनाओ जिसके विकर्ण $6$ cm और $4$ cm के हों, यह जानते हुए कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को उनके बीचों-बीच [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) पर काटते हैं: *पहले* विकर्ण खींचो, फिर उनके चारों सिरे जोड़ दो।

**हल — अभ्यास 33.10.**

$6$ cm का एक रेखाखंड और उसका मध्यबिंदु $O$ खींचो; $O$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-def) खींचो; उस पर $O$ से $2$ cm दूर दो बिंदु अंकित करो (हर ओर एक); चारों सिरों को क्रम से जोड़ दो। परकार चारों बराबर भुजाओं की पुष्टि कर देता है।

**अभ्यास 33.11 ★★.**

एक बकरी $4$ m की रस्सी से खूँटे $A$ से बँधी है, और समतल मैदान में $A$ से $3$ m दूर एक सीधी बाड़ है। नक़्शा बनाओ (हर मीटर के लिए 1 cm): बकरी किस इलाक़े तक पहुँच सकती है? बाड़ उसे कहाँ रोकती है?

**हल — अभ्यास 33.11.**

नक़्शे पर बकरी केंद्र $A$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm वाले वृत्तखंड तक पहुँचती है, जिसे $A$ से $3$ cm दूर की बाड़-रेखा काट देती है: उसका इलाक़ा वह वृत्तखंड है, बाड़ के पार वाली फाँक घटाकर। बाड़ के साथ-साथ वह एक टुकड़े पर चर सकती है (जहाँ वृत्त बाड़-रेखा को काटता है); उसके पार कुछ नहीं।