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title: "घन और घनाभ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 35
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes
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# अध्याय 35 — घन और घनाभ

चपटे पन्ने से बाहर: [ठोस](#def-g5-solids-def) असली दुनिया के आकार हैं — पासे, अनाज के डिब्बे, टिन, गेंदें। यह अध्याय उन्हें नाम देना, उनके [फलक](#def-g5-solids-def) और [किनारे](#def-g5-solids-def) गिनना, उन्हें खोलकर [जाल](#def-g5-solids-net) बनाना, और छोटे [घन](#def-g5-solids-def) गिनकर उनका [आयतन](#def-g5-solids-volume) नापना सिखाता है। ([आयतन](#def-g5-solids-volume) के सूत्र [अध्याय 43](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure) में आते हैं।)

## 35.1 ठोसों का परिवार

**परिभाषा 35.1 (ठोस और उनकी शब्दावली).**

*ठोस* जगह घेरता है। उसकी चपटी सतहें *फलक* हैं; फलक *किनारों* पर मिलते हैं; किनारे *शीर्षों* पर मिलते हैं। परिवार के चित्र:

- *घन* : $6$ वर्गाकार फलक, $12$ किनारे, $8$ शीर्ष;
- *घनाभ* (आयताकार ठोस): $6$ आयताकार फलक, $12$ किनारे, $8$ शीर्ष;
- *बेलन* : दो वृत्ताकार फलक और एक लिपटा हुआ फलक (टिन का डिब्बा);
- *पिरामिड* : एक [बहुभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) आधार और शिखर पर मिलने वाले त्रिभुज;
- *गोला* : पूरी तरह गोल एक ही सतह, न फलक, न किनारा।

![ठोसों का संग्रह। बिंदुदार रेखाएँ छिपे हुए किनारे दिखाती हैं — ठोस का पिछला भाग, उसके भीतर से देखा हुआ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-6df3dbb961d5.svg)

*[ठोसों](#def-g5-solids-def) का संग्रह। बिंदुदार रेखाएँ छिपे हुए [किनारे](#def-g5-solids-def) दिखाती हैं — [ठोस](#def-g5-solids-def) का पिछला भाग, उसके भीतर से देखा हुआ।*

**उदाहरण 35.2 (घन पर गिनती).**

किसी पासे पर जाँचो: $6$ [फलक](#def-g5-solids-def) (संख्याएँ $1$ से $6$), $8$ [शीर्ष](#def-g5-solids-def) (कोने), $12$ [किनारे](#def-g5-solids-def) (उन पर उँगली फिराओ: $4$ ऊपर, $4$ नीचे, $4$ खड़े)। और $6 + 8 = 12 + 2$ — यही अनोखा प्रतिरूप [घनाभ](#def-g5-solids-def) और [पिरामिड](#def-g5-solids-def) पर भी चलता है ([उदाहरण 62.2](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#ex-g8-solids-count) उस पर लौटता है)।

## 35.2 जाल

**परिभाषा 35.3 (जाल).**

किसी [ठोस](#def-g5-solids-def) का *जाल* उसके सारे फलकों का ऐसा चपटा चित्र है, जिसमें [फलक](#def-g5-solids-def) [किनारों](#def-g5-solids-def) पर जुड़े हों और जिसे मोड़ने पर वही [ठोस](#def-g5-solids-def) बन जाए — मानो [ठोस](#def-g5-solids-def) को खोल दिया गया हो, जैसे गत्ते का डिब्बा चपटा कर दिया जाता है।

![छह वर्गों की तीन सजावटें। पहली दो मुड़कर घन बनाती हैं; तीसरी नहीं — मोड़ने पर दो वर्ग एक ही फलक पर आ जाते हैं और घन खुला रह जाता है। इन्हें काटकर आज़माओ!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-0784bf7c5cb7.svg)

*छह वर्गों की तीन सजावटें। पहली दो मुड़कर [घन](#def-g5-solids-def) बनाती हैं; तीसरी नहीं — मोड़ने पर दो वर्ग एक ही [फलक](#def-g5-solids-def) पर आ जाते हैं और [घन](#def-g5-solids-def) खुला रह जाता है। इन्हें काटकर आज़माओ!*

**उदाहरण 35.4 (जाल पढ़ना).**

पासे पर आमने-सामने के फलकों का योग $7$ होता है। जाल पर आमने-सामने के [फलक](#def-g5-solids-def) वे होते हैं जिनके बीच पंक्ति में ठीक एक वर्ग हो (या जो कोने से घूमकर मिलें) — पड़ोसी नहीं! मोड़ने से पहले जाल पर जोड़े अंकित करना अंतरिक्ष को चपटा देखने का बढ़िया अभ्यास है।

## 35.3 आयतन: घन गिनना

**परिभाषा 35.5 (गिनकर आयतन).**

इकाई घनों से बने किसी [ठोस](#def-g5-solids-def) का *आयतन* उसमें समाए घनों की संख्या है। मात्रक सेंटीमीटर [घन](#def-g5-solids-def) (cm$^3$) या मीटर [घन](#def-g5-solids-def) (m$^3$) हो सकता है।

**उदाहरण 35.6 (घनाभ को परत-दर-परत गिनना).**

एक [घनाभ](#def-g5-solids-def) $4$ [घन](#def-g5-solids-def) लंबा, $3$ चौड़ा, $2$ ऊँचा: सबसे नीचे की परत में $4 \times 3 = 12$ [घन](#def-g5-solids-def) आते हैं, और परतें $2$ हैं:

$$
12 \times 2 = 24 \text{ घन} .
$$

परतों से गिनना हमेशा चलता है — और यह चुपचाप [अध्याय 43](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure) के सूत्र $V = L \times w \times h$ को सिद्ध कर देता है।

![इकाई घनों का 4 × 3 × 2 घनाभ, परत-दर-परत गिना हुआ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-faa34c7d4076.svg)

*इकाई घनों का $4 \times 3 \times 2$ [घनाभ](#def-g5-solids-def), परत-दर-परत गिना हुआ।*

**उदाहरण 35.7 (वही घन, अलग आकार).**

आठ इकाई घनों से $2 \times 2 \times 2$ का [घन](#def-g5-solids-def), $8 \times 1 \times 1$ की छड़ या $4 \times 2 \times 1$ का पटरा बनाया जा सकता है: तीन अलग [ठोस](#def-g5-solids-def), एक ही [आयतन](#def-g5-solids-volume) ($8$ [घन](#def-g5-solids-def))। [आयतन](#def-g5-solids-volume) सामान गिनता है, आकार नहीं।

## 35.4 अभ्यास

**अभ्यास 35.1 ★.**

इन आकारों की कोई असली चीज़ बताओ: [घन](#def-g5-solids-def); [घनाभ](#def-g5-solids-def); [बेलन](#def-g5-solids-def); गोला; [पिरामिड](#def-g5-solids-def)।

**हल — अभ्यास 35.1.**

जैसे: एक पासा ([घन](#def-g5-solids-def)); अनाज का डिब्बा ([घनाभ](#def-g5-solids-def)); एक टिन ([बेलन](#def-g5-solids-def)); एक फुटबॉल (गोला); कुछ छतें या पुराने मक़बरे ([पिरामिड](#def-g5-solids-def))।

**अभ्यास 35.2 ★.**

[घनाभ](#def-g5-solids-def) के कितने [फलक](#def-g5-solids-def), [किनारे](#def-g5-solids-def) और [शीर्ष](#def-g5-solids-def) होते हैं? प्रतिरूप [फलक](#def-g5-solids-def) $+$ [शीर्ष](#def-g5-solids-def) $=$ [किनारे](#def-g5-solids-def) $+ 2$ जाँचो।

**हल — अभ्यास 35.2.**

[घनाभ](#def-g5-solids-def) के $6$ [फलक](#def-g5-solids-def), $12$ [किनारे](#def-g5-solids-def), $8$ [शीर्ष](#def-g5-solids-def) होते हैं — और $6 + 8 = 12 + 2$। ✓

**अभ्यास 35.3 ★.**

[घनाभ](#def-g5-solids-def) के कौन-से [फलक](#def-g5-solids-def) एक जैसे होते हैं? (छहों फलकों को जोड़ों में बाँटो।) [घन](#def-g5-solids-def) के फलकों में ख़ास क्या है?

**हल — अभ्यास 35.3.**

छहों [फलक](#def-g5-solids-def) आमने-सामने के एक जैसे फलकों के तीन जोड़ों में आते हैं (ऊपर–नीचे, आगे–पीछे, बाएँ–दाएँ)। [घन](#def-g5-solids-def) पर छहों [फलक](#def-g5-solids-def) एक जैसे वर्ग होते हैं।

**अभ्यास 35.4 ★.**

$2$ cm भुजा वाले [घन](#def-g5-solids-def) का [जाल](#def-g5-solids-net) बनाओ (इस अध्याय वाला क्रॉस-नमूना लो), उसे काटो और मोड़ो।

**हल — अभ्यास 35.4.**

क्रॉस-जाल: पंक्ति में $2$ cm के चार वर्ग, दूसरे वर्ग के ऊपर एक और नीचे एक। चारों की अँगूठी मोड़ने पर बग़लें बनती हैं; बाक़ी दो वर्ग ऊपर और नीचे बंद कर देते हैं।

**अभ्यास 35.5 ★.**

पासे के क्रॉस-जाल पर $1$ से $6$ तक संख्याएँ ऐसे रखो कि आमने-सामने के फलकों का योग $7$ हो। (पहले [उदाहरण 35.4](#ex-g5-solids-read) से आमने-सामने के जोड़े ढूँढ़ो।)

**हल — अभ्यास 35.5.**

क्रॉस-जाल पर (पंक्ति में चार वर्ग, दूसरे के ऊपर एक, नीचे एक) आमने-सामने के जोड़े हैं: पंक्ति के वर्ग $1$ और $3$; पंक्ति के वर्ग $2$ और $4$; ऊपर वाला और नीचे वाला वर्ग। एक सही नामांकन: पंक्ति $= 1, 2, 6, 5$; ऊपर $= 3$; नीचे $= 4$ — तब $1{+}6$, $2{+}5$, $3{+}4$ सबका योग $7$ है।

**अभ्यास 35.6 ★.**

इकाई [घन](#def-g5-solids-def) गिनो: $5$ लंबा, $2$ चौड़ा, $3$ ऊँचा [घनाभ](#def-g5-solids-def); $3$ भुजा वाला [घन](#def-g5-solids-def); $3 \times 2 \times 1$ के पटरे पर $1 \times 2 \times 1$ का पटरा रखकर बनी L-आकार की ढेरी।

**हल — अभ्यास 35.6.**

[घनाभ](#def-g5-solids-def): हर परत में $5 \times 2 = 10$, $3$ परतें: $30$ [घन](#def-g5-solids-def)। [घन](#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$। L-ढेरी: $3 \times 2 \times 1 = 6$ और $1 \times 2 \times 1 = 2$: $8$ [घन](#def-g5-solids-def)।

**अभ्यास 35.7 ★.**

एक [घनाभ](#def-g5-solids-def) की एक परत में ठीक $12$ इकाई [घन](#def-g5-solids-def) आते हैं। परत के दो संभव आकार ($L \times w$) बताओ, और हर एक के लिए [घनाभ](#def-g5-solids-def) का [आयतन](#def-g5-solids-volume) बताओ अगर उसमें ऐसी $3$ परतें हों।

**हल — अभ्यास 35.7.**

$12$ की परतें: जैसे $4 \times 3$ या $6 \times 2$ (या $12 \times 1$)। $3$ परतों के साथ हर हाल में [आयतन](#def-g5-solids-volume) $12 \times 3 = 36$ [घन](#def-g5-solids-def) है।

**अभ्यास 35.8 ★.**

$27$ इकाई घनों से कौन-सा [घन](#def-g5-solids-def) बना सकते हो? $64$ से? (परतों की गिनती उलटी करके सोचो।)

**हल — अभ्यास 35.8.**

$27 = 3 \times 3 \times 3$: $3$ भुजा वाला [घन](#def-g5-solids-def)। $64 = 4 \times 4 \times 4$: $4$ भुजा वाला [घन](#def-g5-solids-def)।

**अभ्यास 35.9 ★★.**

$1$ cm भुजा वाले चीनी के [घन](#def-g5-solids-def) ऐसे [घनाभ](#def-g5-solids-def) में आते हैं जो भीतर से $10$ cm लंबा, $5$ cm चौड़ा और $4$ cm ऊँचा है। कितने चीनी के [घन](#def-g5-solids-def) समाएँगे? कोई परिवार रोज़ $6$ [घन](#def-g5-solids-def) इस्तेमाल करे, तो एक डिब्बा कितने दिन चलेगा (समझदारी से गोल करो)?

**हल — अभ्यास 35.9.**

[घनाभ](#def-g5-solids-def) में $10 \times 5 \times 4 = 200$ चीनी के [घन](#def-g5-solids-def) आते हैं। रोज़ $6$ के हिसाब से: $200 = 6 \times 33 + 2$, इसलिए डिब्बा $33$ पूरे दिन चलता है (और $34$वें दिन की सुबह के लिए $2$ [घन](#def-g5-solids-def) बचते हैं)।

**अभ्यास 35.10 ★★.**

$3 \times 3 \times 3$ के एक [घन](#def-g5-solids-def) को बाहर से लाल रँगकर $27$ इकाई घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों पर ठीक $3$ फलकों पर रंग है? $2$ पर? $1$ पर? किसी पर नहीं? (जाँच: चारों गिनतियाँ मिलकर $27$ होनी चाहिए।)

**हल — अभ्यास 35.10.**

$3$ फलकों पर रंग: कोनों वाले $8$ [घन](#def-g5-solids-def)। $2$ फलकों पर: $12$ [किनारों](#def-g5-solids-def) के बीच वाले: $12$ [घन](#def-g5-solids-def)। $1$ [फलक](#def-g5-solids-def) पर: $6$ फलकों के केंद्र वाले: $6$ [घन](#def-g5-solids-def)। किसी पर नहीं: बीच में छिपा इकलौता [घन](#def-g5-solids-def): $1$। जाँच: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$। ✓