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title: "पूर्ण संख्याएँ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 37
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers
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# अध्याय 37 — पूर्ण संख्याएँ

गणित में सब कुछ गिनने से शुरू होता है। यह अध्याय दोहराता है कि पूर्ण संख्याएँ कैसे लिखी, तुलना की और जोड़ी-गुणा की जाती हैं — और भाग पर ध्यान से नज़र डालता है, वह संक्रिया जो [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) *और* [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder), दोनों देती है।

## 37.1 पूर्ण संख्याएँ लिखना और उनकी तुलना

**परिभाषा 37.1 (स्थानीय मान).**

संख्याएँ लिखने का हमारा ढंग दस अंकों ($0$ से $9$) का उपयोग करता है, और *किसी अंक का मान उसके स्थान पर निर्भर करता है*: $5\,208$ में अंक $5$ हज़ार गिनता है, $2$ सैकड़ा, $0$ दहाई (जो है ही नहीं) और $8$ इकाई:

$$
5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .
$$

![5\,208 की स्थानीय-मान सारणी। 0 मायने रखता है: उसके बिना 5 और 2 ग़लत खानों में खिसक जाते और संख्या 528 पढ़ी जाती।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-f633c03b90e3.svg)

*$5\,208$ की स्थानीय-मान सारणी। $0$ मायने रखता है: उसके बिना $5$ और $2$ ग़लत खानों में खिसक जाते और संख्या $528$ पढ़ी जाती।*

**विधि 37.2 (दो पूर्ण संख्याओं की तुलना).**

1. जिसमें ज़्यादा अंक हों, वही बड़ी है ( $1\,203 > 989$ )।
2. अंकों की संख्या बराबर हो, तो *बाईं* ओर से अंक-दर-अंक तुलना करो; पहला [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) ही फ़ैसला करता है: $6\,742 > 6\,715$ , क्योंकि दहाई के स्थान पर $4 > 1$ ।

चिह्न हैं $<$ (“से छोटी”) और $>$ (“से बड़ी”); चिह्न का छोटा सिरा छोटी संख्या की ओर रहता है।

**उदाहरण 37.3.**

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ: $908$; $89$; $1\,001$; $980$। पहले अंकों की संख्या से: $89$ (दो अंक) सबसे पहले, $1\,001$ (चार अंक) सबसे बाद। $908$ और $980$ में: सैकड़े का अंक वही $9$, फिर दहाई $0 < 8$, इसलिए $908 < 980$। अंतिम उत्तर:

$$
89 < 908 < 980 < 1\,001 .
$$

![संख्याएँ एक रेखा पर रहती हैं: जितनी बाईं ओर, उतनी छोटी। यहाँ हर निशान 100 का है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-9fc3a4fd334b.svg)

*संख्याएँ एक रेखा पर रहती हैं: जितनी बाईं ओर, उतनी छोटी। यहाँ हर निशान $100$ का है।*

## 37.2 जोड़, घटाव, गुणा

**उदाहरण 37.4 (खानों में गणना).**

जोड़ने या घटाने के लिए इकाई के नीचे इकाई और दहाई के नीचे दहाई मिलाओ, और दाएँ से बाएँ चलो, ज़रूरत पड़ने पर हासिल ले जाते हुए:

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
+\ 2\,8\,6 \\
\hline
7\,4\,3
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
6\,0\,3 \\
-\ 1\,4\,7 \\
\hline
4\,5\,6
\end{array}
$$

जोड़ में: $7 + 6 = 13$, $3$ लिखो, $1$ हासिल; फिर $5 + 8 + 1 = 14$, $4$ लिखो, $1$ हासिल; फिर $4 + 2 + 1 = 7$। घटाव की जाँच वापस जोड़कर करो: $456 + 147 = 603$।

**टिप्पणी 37.5 (शब्दावली).**

जोड़ का नतीजा *योगफल* है; घटाव का *अंतर*; गुणा का *गुणनफल*; भाग का *भागफल*। जिन संख्याओं को मिलाया जाता है वे *पद* ($+$, $-$ के लिए) या *गुणनखंड* ($\times$ के लिए) कहलाती हैं।

**उदाहरण 37.6 (चतुराई से गणना).**

पदों या गुणनखंडों का क्रम बदल देने से अक्सर मेहनत बच जाती है:

$$
17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,
$$

$$
25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .
$$

## 37.3 भाग

**प्रमेय 37.7 (यूक्लिडीय भाग).**

दो पूर्ण संख्याएँ $a$ (*भाज्य*) और $b \neq 0$ (*[भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple)*) दी हों, तो इन्हें ठीक एक ही तरह लिखा जा सकता है

$$
a = b \times q + r
\qquad\text{जहाँ}\qquad
0 \leq r < b .
$$

संख्या $q$ भाग का *भागफल* है और $r$ उसका *शेषफल*, जब $a$ में $b$ का भाग दिया जाए।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 37.8.**

$137$ में $4$ का भाग दो, कदम-दर-कदम।

1. $13$ में $4$ कितनी बार जाता है? तीन बार ( $4 \times 3 = 12$ ), [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $13 - 12 = 1$ ।
2. $7$ नीचे उतारो: $17$ में $4$ कितनी बार जाता है? चार बार ( $4 \times 4 = 16$ ), [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$ ।

तो $q = 34$ और $r = 1$:

$$
137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{और सचमुच } 0 \leq 1 < 4 .
$$

जाँच: $4 \times 34 = 136$, और $136 + 1 = 137$।

![137 में 4 का भाग: 4 के 34 पूरे समूह समाते हैं (136 तक पहुँचते हुए), और 1 बच जाता है — शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-182d822edd08.svg)

*$137$ में $4$ का भाग: $4$ के $34$ पूरे समूह समाते हैं ($136$ तक पहुँचते हुए), और $1$ बच जाता है — [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) हमेशा [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) से छोटा होता है।*

**परिभाषा 37.9 (विभाज्य).**

[शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ हो, तो हम कहते हैं कि $a$, $b$ से *विभाज्य* है: जैसे $135$, $5$ से विभाज्य है, क्योंकि $135 = 5 \times 27 + 0$।

**विधि 37.10 (भाग वाली शब्द-समस्याएँ).**

$a = bq + r$ निकालने के बाद हमेशा सवाल पर लौटो:

1. “कितने पूरे डिब्बे/दल/पन्ने?” — उत्तर है [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $q$ ;
2. “कितने बच गए?” — उत्तर है [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $r$ ;
3. “सबके लिए कितने डिब्बे चाहिए?” — $r > 0$ हो, तो [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) से *एक ज़्यादा* : $q + 1$ ।

**उदाहरण 37.11.**

$137$ विद्यार्थी $40$-$40$ सीटों वाली बसों से सैर पर जाते हैं। भाग: $137 = 40 \times 3 + 17$। तीन बसें $120$ विद्यार्थियों को ले जाती हैं, और $17$ विद्यार्थी बचते हैं — उन्हें भी बस चाहिए! तो $4$ बसें चाहिए, चाहे [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $3$ ही हो।

## 37.4 अभ्यास

**अभ्यास 37.1 ★.**

अंकों में लिखो: “तीन हज़ार सैंतालीस”; “बीस हज़ार पाँच सौ”; “एक सौ चार”। फिर $60\,013$ को शब्दों में लिखो।

**हल — अभ्यास 37.1.**

$3\,047$; $20\,500$; $104$। $60\,013$: “साठ हज़ार तेरह”।

**अभ्यास 37.2 ★.**

संख्या $47\,209$ में: सैकड़े का अंक कौन-सा है? इकाई का अंक? अंक $4$ क्या गिनता है? [परिभाषा 37.1](#def-g6-wholes-place) की तरह संख्या को $1$, $10$, $100$, … के गुणजों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के रूप में लिखो।

**हल — अभ्यास 37.2.**

सैकड़े का अंक: $2$; इकाई का अंक: $9$; $4$ दस-हज़ार गिनता है। हिस्सों में बाँटना:

$$
47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10
+ 9 .
$$

**अभ्यास 37.3 ★.**

उतार कर $<$ या $>$ से पूरा करो:

$$
507 \;?\; 570, \qquad
1\,099 \;?\; 989, \qquad
23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad
9\,999 \;?\; 10\,000 .
$$

**हल — अभ्यास 37.3.**

$507 < 570$ (दहाई: $0 < 7$); $1\,099 > 989$ (चार अंक तीन पर भारी); $23\,456 < 23\,465$ (दहाई: $5 < 6$); $9\,999 < 10\,000$ (चार अंक बनाम पाँच)।

**अभ्यास 37.4 ★.**

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ: $2\,043$; $978$; $2\,304$; $2\,034$; $1\,001$।

**हल — अभ्यास 37.4.**

अंकों की संख्या से, $978$ और $1\,001$, $2$ से शुरू होने वाली तीनों चार-अंकी संख्याओं से पहले आते हैं; उनमें दहाई और इकाई की तुलना करो: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$। अंतिम क्रम:

$$
978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .
$$

**अभ्यास 37.5 ★.**

खानों में निकालो: $348 + 576$; $805 - 268$; $307 \times 26$। घटाव की जाँच जोड़ से करो।

**हल — अभ्यास 37.5.**

$348 + 576 = 924$; $805 - 268 = 537$ (जाँच: $537 + 268 = 805$); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6
= 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$।

**अभ्यास 37.6 ★.**

पदों या गुणनखंडों को समूहबद्ध करके चतुराई से निकालो:

$$
38 + 45 + 12 + 5, \qquad
2 \times 83 \times 50, \qquad
4 \times 78 \times 25 .
$$

**हल — अभ्यास 37.6.**

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$।

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 =
8\,300$।

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 =
7\,800$।

**अभ्यास 37.7 ★.**

हर भाग के लिए [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) और [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) बताओ, और संबंध $a = b \times q + r$ लिखो:

$$
95 \div 7, \qquad
230 \div 6, \qquad
504 \div 8 .
$$

**हल — अभ्यास 37.7.**

$95 = 7 \times 13 + 4$ ([भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $13$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $4$)।

$230 = 6 \times 38 + 2$ ([भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $38$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $2$)।

$504 = 8 \times 63 + 0$ ([भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $63$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$: $504$, $8$ से [विभाज्य](#def-g6-wholes-divisible) है)।

**अभ्यास 37.8 ★.**

बिना भाग दिए समझाओ कि संबंध $173 = 8 \times 20 + 13$ क्यों $173$ में $8$ का यूक्लिडीय भाग *नहीं* है, और सही [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) तथा [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) निकालो।

**हल — अभ्यास 37.8.**

संबंध तो सही है, पर [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $13$ [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $8$ से छोटा *नहीं* है, इसलिए यह यूक्लिडीय भाग नहीं है। [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) में से एक $8$ और निकालो: $173 = 8 \times 21 + 5$, जिसमें $0 \leq 5 < 8$: [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $21$, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $5$।

**अभ्यास 37.9 ★★.**

अंडे $12$-$12$ के डिब्बों में रखे जाते हैं।

1. एक खेत में $2\,000$ अंडे हैं। कितने डिब्बे पूरे भर सकते हैं, और कितने अंडे बच जाते हैं?
2. एक नानबाई को $150$ अंडे चाहिए। उसे कितने डिब्बे ख़रीदने होंगे?

**हल — अभ्यास 37.9.**

*1.* $2\,000 = 12 \times 166 + 8$: खेत $166$ डिब्बे पूरे भरता है और $8$ अंडे बच जाते हैं।

*2.* $150 = 12 \times 12 + 6$: बारह डिब्बों में केवल $144$ अंडे आते हैं, जो कम पड़ेंगे। नानबाई को $13$ डिब्बे ख़रीदने होंगे।

**अभ्यास 37.10 ★★.**

आज मंगलवार है। $100$ दिन बाद हफ़्ते का कौन-सा दिन होगा? (हफ़्ते में $7$ दिन होते हैं: भाग दो और [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) पर सोचो।)

**हल — अभ्यास 37.10.**

$100 = 7 \times 14 + 2$: सौ दिन यानी $14$ पूरे हफ़्ते और $2$ दिन और। चौदह हफ़्ते बाद फिर मंगलवार होगा; मंगलवार के दो दिन बाद *गुरुवार* है।

**अभ्यास 37.11 ★★.**

$9$ से भाग देने पर [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $56$ है और [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) जितना बड़ा हो सकता है उतना बड़ा। भाज्य क्या है?

**हल — अभ्यास 37.11.**

$9$ से भाग देने पर सबसे बड़ा संभव [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $8$ है ([शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) से छोटा होना चाहिए)। इसलिए भाज्य है

$$
9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .
$$

**अभ्यास 37.12 ★★★.**

मैं तीन अंकों की संख्या हूँ। मेरा सैकड़े का अंक इकाई के अंक से दुगुना है, दहाई का अंक $0$ है, और मेरे अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $9$ है। मैं कौन हूँ? (कदम-दर-कदम सोचो, फिर जाँचो।)

**हल — अभ्यास 37.12.**

अंक मान लो $h$ (सैकड़ा), $0$ (दहाई), $u$ (इकाई)। हमें पता है $h = 2 \times u$ और $h + 0 + u = 9$, इसलिए $2u + u = 9$, यानी $3u = 9$, $u = 3$, और $h = 6$। संख्या $603$ है। जाँच: $6$, $3$ का दुगुना है, दहाई का अंक $0$ है, और $6 + 0 + 3 = 9$।

## 37.5 समस्या: नन्हा गाउस और पहली सौ संख्याओं का योगफल

**समस्या 37.1.**

सप्ताहांत समस्या — दस सेकंड में $1 + 2 + 3 + \dots +
100$ जोड़ना, और त्रिभुजाकार संख्याएँ

एक मशहूर क़िस्सा: अपनी कक्षा को व्यस्त रखने के लिए एक मास्टर ने विद्यार्थियों से $1$ से $100$ तक की सारी संख्याएँ जोड़ने को कहा। एक लड़के ने लगभग तुरंत अपनी पट्टी पर $5\,050$ लिख दिया — कार्ल फ़्रीड्रिख़ गाउस, नौ साल का, जो आगे चलकर अब तक के सबसे बड़े गणितज्ञों में गिना गया। उसका राज़ *चतुराई से गणना* के सिवा कुछ न था ([उदाहरण 37.6](#ex-g6-wholes-smart)): पदों को ऐसे समूहों में बाँटना कि हर समूह आसान हो जाए। यह समस्या उसकी तरकीब फिर से खोजती है, उसे हर हाल में चलाने लायक़ बनाती है, और दिखाती है कि ऐसे [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) रोज़मर्रा में कितनी बार आते हैं।

**भाग I — गाउस के जोड़े।**

1. $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ को पदों के चतुर समूह बनाकर निकालो।
2. $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ के लिए: पहले पद को आख़िरी से जोड़ो ( $1 + 10$ ), दूसरे को अंत से दूसरे के साथ ( $2 + 9$ ), और ऐसे ही आगे। हर जोड़ा कितने का है? जोड़े कितने हैं? गणना पूरी करो।
3. $1 + 2 + \dots + 20$ के लिए वही तरीक़ा: हर जोड़ा कितने का, जोड़े कितने, कुल कितना?
4. अब मास्टर वाला [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) , $1 + 2 + \dots + 100$ : समझाओ कि जोड़े $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ सब एक ही मान के क्यों हैं, और वे ठीक $50$ ही क्यों हैं, जिनमें आख़िरी $50 + 51$ है।
5. गाउस का उत्तर एक ही गुणा के रूप में लिखो, और उसे निकालो।

**भाग II — वह तरकीब जो कभी नहीं चूकती।**

6. $1 + 2 + \dots + 9$ पर जोड़े बनाकर देखो: इस बार एक संख्या बिना जोड़ीदार रह जाती है। कौन-सी? उसके इर्द-गिर्द जोड़े बनाकर [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) निकालो।
7. यहाँ उस तरकीब का एक रूप है जो पदों की संख्या सम हो या विषम, दोनों में चलता है: [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) को दो बार लिखो, एक बार आगे से और एक बार पीछे से, एक पंक्ति के नीचे दूसरी, $$\begin{array}{ccccccc}  1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\  9 & + & 8 & + & \dots & + & 1  \end{array}$$ और *स्तंभ-दर-स्तंभ* जोड़ो। हर स्तंभ कितने का है? स्तंभ कितने हैं? समझाओ कि दोनों पंक्तियों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $9 \times 10 = 90$ क्यों है, और निष्कर्ष निकालो कि $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — वही उत्तर जो प्रश्न 6 में था।
8. दो पंक्तियों वाली तरकीब से $1 + 2 + \dots + 50$ निकालो, फिर $1 + 2 + \dots + 200$ ।
9. पहली सौ *सम* संख्याओं का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) निकालो, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ । (हर पद की तुलना गाउस के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के पद से करो: नए जोड़े बनाने की ज़रूरत नहीं।)
10. $101 + 102 + \dots + 200$ निकालो, दो जाने-पहचाने योगफलों और एक घटाव की मदद से।

**भाग III — [त्रिभुजाकार संख्याएँ](#pb-g6-wholes-1) हर जगह।** योगफलों $1 + 2 + \dots + n$ के कुल $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ *त्रिभुजाकार संख्याएँ* कहलाते हैं, क्योंकि वे त्रिभुज में जमी हुई वस्तुएँ गिनते हैं।

11. आठ दोस्त मिलते हैं, और हर एक बाक़ी हर एक से ठीक एक बार हाथ मिलाता है। समझाओ कि हाथ मिलाने की संख्या $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ क्यों है, और उसे निकालो।
12. एक दुकानदार टिनों का त्रिभुजाकार [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) बनाती है: सबसे नीचे की पंक्ति में $12$ टिन, अगली में $11$ , और ऐसे ही ऊपर एक अकेले टिन तक। उसे कितने टिन चाहिए? (प्रश्न 7 की तरकीब लगाओ।)
13. [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 3 + 4$ को वर्गों की सीढ़ी की तरह बनाओ: पहले स्तंभ में एक वर्ग, दूसरे में दो, तीसरे में तीन, चौथे में चार। अपने चित्र पर दिखाओ कि ऐसी *दो* सीढ़ियाँ, जिनमें एक उलटी रखी हो, ठीक-ठीक $5$ - $5$ वर्गों की $4$ पंक्तियों वाले आयत में बैठ जाती हैं — और समझाओ कि यह प्रश्न 7 वाली दो पंक्तियों की तरकीब ही है, लिखी हुई नहीं, बनी हुई।
14. एक घड़ी एक बजे $1$ बार, दो बजे $2$ बार, …, बारह बजे $12$ बार टनटनाती है। बारह घंटों में कुल कितनी बार? और पूरे दिन में?
15. गाउस के लिए एक आख़िरी सवाल: $5\,050$ सेकंड — यह डेढ़ घंटे से ज़्यादा है या कम? उसे घंटों, मिनटों और सेकंडों में बदलो, यूक्लिडीय भाग ( [प्रमेय 37.7](#thm-g6-wholes-division) ) दो बार लगाकर।

**हल — समस्या 37.1.**

**1.** जैसे $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 =
15$।

**2.** हर जोड़ा $11$ का है: $1 + 10$, $2 + 9$, $3 + 8$, $4 + 7$, $5 + 6$। यानी $5$ जोड़े (दस संख्याएँ, हर जोड़े में दो), इसलिए [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $5 \times 11 = 55$ है।

**3.** जोड़े $21$ के ($1 + 20$, $2 + 19, \dots$), और वे $10$ हैं: $10 \times 21 = 210$।

**4.** हर जोड़े में पहली संख्या $1$ बढ़ती है तो दूसरी $1$ घटती है, इसलिए कुल कभी नहीं बदलता: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$। सौ संख्याएँ $50$ जोड़े बनाती हैं (हर जोड़े में दो), जिनमें सबसे भीतरी $50 + 51 = 101$ है।

**5.** $101$ के $50$ जोड़े:

$$
1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .
$$

**6.** नौ संख्याओं में बीच वाली, $5$, बिना जोड़ीदार रह जाती है। उसके इर्द-गिर्द: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$, चार जोड़े। कुल: $4 \times 10 + 5 = 45$।

**7.** हर स्तंभ $1 + 9 = 2 + 8 = \dots =
9 + 1 = 10$ का है, और स्तंभ $9$ हैं: दोनों पंक्तियाँ मिलकर $9 \times 10 = 90$ की हैं। पर दोनों पंक्तियाँ *वही* [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) दो बार लिखा हुआ हैं, इसलिए एक प्रति उसकी आधी है: $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$। कोई संख्या कभी बिना जोड़ीदार नहीं रहती — उसका जोड़ीदार ठीक उसके नीचे होता है।

**8.** $1$ से $50$ तक: $51$ के $50$ स्तंभ, दुगुना [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $50 \times 51 = 2\,550$, इसलिए [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2\,550 \div 2 = 1\,275$। $1$ से $200$ तक: $201$ के $200$ स्तंभ, दुगुना [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $40\,200$, [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $20\,100$।

**9.** हर [सम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) गाउस के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) की किसी संख्या की दुगुनी है: $2 = 2 \times 1$, $4 = 2 \times 2$, …, $200 = 2 \times 100$। इसलिए पूरा [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) गाउस के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) का दुगुना है:

$$
2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .
$$

**10.** $101$ से $200$ तक की संख्याएँ, $1$ से $200$ तक की संख्याओं में से $1$ से $100$ तक की संख्याएँ हटाने पर मिलती हैं:

$$
101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .
$$

**11.** दोस्तों को पंक्ति में खड़ा करो। पहला $7$ हाथ मिलाता है (बाक़ी हर एक से एक)। दूसरा पहले से पहले ही मिल चुका है, इसलिए वह $6$ *नए* हाथ मिलाता है; तीसरा $5$; और ऐसे ही, सातवाँ $1$ और आठवाँ कोई नया नहीं। हर मिलाना ठीक एक बार गिना जाता है:

$$
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ बार हाथ मिलाना}
$$

(बीच के इर्द-गिर्द जोड़े बनाओ: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 =
8 + 8 + 8 + 4 = 28$)।

**12.** $1 + 2 + \dots + 12$: $13$ के बारह स्तंभ, दुगुना [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $12 \times 13 = 156$, इसलिए $156 \div 2 = 78$ टिन।

**13.** $1 + 2 + 3 + 4$ वर्गों की सीढ़ी, और उसके साथ वही सीढ़ी उलटी रखी हुई, ठीक-ठीक $4$ पंक्तियों और $5$ स्तंभों का आयत भर देती हैं: आयत की हर पंक्ति दो पंक्तियों वाली तरकीब का एक स्तंभ है (चढ़ती सीढ़ी का एक कदम, उतरती सीढ़ी के एक कदम से पूरा हुआ, $1 + 4$, $2 + 3$, $3 + 2$, $4 + 1$ — हमेशा $5$)। तो [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) का दुगुना $4 \times 5 = 20$ वर्ग है, और $1 + 2 + 3 + 4 = 10$: चित्र *ही* प्रश्न 7 है।

**14.** बारह घंटों में $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ बार टनटनाहट (प्रश्न 12), इसलिए पूरे दिन में $78 \times 2 = 156$ बार।

**15.** $60$ से भाग दो: $5\,050 = 60 \times 84 + 10$, यानी $5\,050$ सेकंड $84$ मिनट और $10$ सेकंड हैं। मिनटों में $60$ का भाग दो: $84 = 60 \times 1 + 24$, यानी $84$ मिनट $1$ घंटा $24$ मिनट हैं। कुल मिलाकर: $1$ घंटा $24$ मिनट $10$ सेकंड — डेढ़ घंटे ($1$ घंटा $30$ मिनट) से कुछ *कम*।