---
title: "दशमलव संख्याएँ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 38
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers
---

# अध्याय 38 — दशमलव संख्याएँ

$2$ और $3$ के बीच ढेरों संख्याएँ हैं: $2.5$, $2.71$, $2.999$ … [दशमलव संख्याएँ](#def-g6-decimals-places) स्थानीय-मान की प्रणाली को इकाई के दाईं ओर बढ़ा देती हैं, और वे पूर्ण संख्याओं जैसे ही नियमों पर चलती हैं — कुछ जालों के साथ, जिनसे बचना यह अध्याय सिखाएगा।

## 38.1 दशमलव लेखन

**परिभाषा 38.1 (दशमलव स्थान).**

किसी *दशमलव संख्या* का एक पूर्ण भाग होता है और एक दशमलव भाग, जिन्हें [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) अलग करता है। बिंदु के दाईं ओर हर स्थान अपने से पहले वाले से दस गुना कम का होता है: दसवाँ, सौवाँ, हज़ारवाँ भाग। जैसे

$$
13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000}
= 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}.
$$

![13.407 की स्थानीय-मान सारणी: दशमलव बिंदु इकाई और दसवें भाग के बीच बैठता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-5be1469966be.svg)

*$13.407$ की स्थानीय-मान सारणी: [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) इकाई और दसवें भाग के बीच बैठता है।*

**टिप्पणी 38.2 (कुछ शून्य मायने रखते हैं, कुछ नहीं).**

दशमलव भाग के *अंत* में [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) जोड़ने से कुछ नहीं बदलता: $2.5 = 2.50 = 2.500$। पर अंकों के *बीच* के [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) ज़रूरी हैं: $13.407 \neq 13.47$। और $0.5$, $0.05$ से बहुत अलग है!

**विधि 38.3 (दशमलव संख्याओं की तुलना).**

1. पहले पूर्ण भागों की तुलना करो: $7.2 > 5.99$ , क्योंकि $7 > 5$ ।
2. पूर्ण भाग बराबर हों, तो दशमलव भागों की तुलना बाईं ओर से अंक-दर-अंक करो — अंत में [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) भरने से मदद मिलती है: $3.4$ और $3.15$ की तुलना के लिए $3.40$ और $3.15$ लिखो; चूँकि $40 > 15$ सौवें भाग, इसलिए $3.4 > 3.15$ ।

सावधान: *लंबा होने का मतलब बड़ा होना नहीं*। $3.15$ में $3.4$ से ज़्यादा अंक हैं, फिर भी वह छोटी है।

![3 और 4 के बीच संख्या रेखा पर ज़ूम: हर निशान एक दसवाँ भाग है। बिंदु 3.15, 3.1 और 3.2 के ठीक बीच बैठता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d3c0370768d1.svg)

*$3$ और $4$ के बीच संख्या रेखा पर ज़ूम: हर निशान एक दसवाँ भाग है। बिंदु $3.15$, $3.1$ और $3.2$ के ठीक बीच बैठता है।*

## 38.2 जोड़, घटाव, गुणा

**विधि 38.4 (दशमलव संख्याओं की खानों में गणना).**

[दशमलव संख्याएँ](#def-g6-decimals-places) जोड़ने या घटाने के लिए *[दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point)* एक सीध में रखो (ताकि इकाई के नीचे इकाई और दसवें भाग के नीचे दसवाँ भाग आए), ज़रूरत हो तो अंत में [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) भर दो; फिर पूर्ण संख्याओं की तरह गणना करो, और नतीजे का बिंदु बाक़ी बिंदुओं के नीचे रखो।

**उदाहरण 38.5.**

$13.7 + 2.85$ निकालो, बिंदु एक सीध में रखकर ($13.7 = 13.70$):

$$
\begin{array}{r}
1\,3.7\,0 \\
+\ \ \,2.8\,5 \\
\hline
1\,6.5\,5
\end{array}
$$

$6 - 2.35$ निकालो ($6 = 6.00$ लिखो): $6.00 - 2.35 = 3.65$। जाँच: $3.65 + 2.35 = 6$।

**उदाहरण 38.6 (दशमलव संख्याओं का गुणा).**

$2.3 \times 1.4$ निकालने के लिए: पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करो, $23 \times 14 = 322$; फिर गुणनखंडों के दशमलव अंक गिनो ($1 + 1 = 2$), और बिंदु ऐसे रखो कि नतीजे में उतने ही अंक हों: $2.3 \times 1.4 = 3.22$। आकार की मोटी जाँच: $2.3 \times 1.4$, $2.3 \times 1 = 2.3$ से थोड़ा ज़्यादा होना चाहिए — और $3.22$ है।

## 38.3 10, 100, 1000 से गुणा और भाग

**प्रतिज्ञप्ति 38.7 (बिंदु का खिसकना).**

किसी [दशमलव संख्या](#def-g6-decimals-places) को $10$, $100$, $1000$ से गुणा करने पर उसका [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) $1$, $2$, $3$ स्थान *दाईं* ओर खिसकता है; भाग देने पर *बाईं* ओर (ज़रूरत पड़ने पर [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) भरते हुए):

$$
3.75 \times 100 = 375, \qquad
42.1 \div 1000 = 0.0421 .
$$

**उपपत्ति.** $10$ से गुणा करने पर हर अंक दस गुना क़ीमती हो जाता है: दसवें भाग इकाई बन जाते हैं, इकाई दहाई, और ऐसे ही आगे — स्थानीय-मान सारणी में हर अंक एक खाना बाईं ओर सरक जाता है, जो बिंदु को एक स्थान दाईं ओर सरकाने के बराबर है। भाग देने पर यह उलट जाता है। ∎

**उदाहरण 38.8 (माप के मात्रक).**

मात्रक बदलना ठीक यही खेल है: चूँकि $1$ m $= 100$ cm,

$$
3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm},
\qquad
42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}.
$$

## 38.4 गोल करना

**परिभाषा 38.9 (गोलन).**

किसी संख्या का इकाई तक (या दसवें, सौवें भाग, … तक) *गोलन* उस परिशुद्धता वाली सबसे नज़दीकी संख्या है। अगला अंक देखो: वह $0,1,2,3,4$ हो तो नीचे गोल करो (जैसा है वैसा रखो); $5,6,7,8,9$ हो तो ऊपर।

**उदाहरण 38.10.**

$7.38$ इकाई तक गोल करने पर $7$ है (अगला अंक $3$: वैसा ही रखो); दसवें भाग तक $7.4$ (अगला अंक $8$: ऊपर गोल)। क़ीमत $4.996$ सौवें भाग तक गोल करने पर $5.00$ है — [गोलन](#def-g6-decimals-rounding) हर अंक बदल सकता है!

## 38.5 अभ्यास

**अभ्यास 38.1 ★.**

[दशमलव संख्या](#def-g6-decimals-places) के रूप में लिखो: $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$; $\dfrac{9}{10}$; $12 + \dfrac{4}{1000}$; “आठ इकाई और पाँच सौवें भाग”।

**हल — अभ्यास 38.1.**

$5.37$; $0.9$; $12.004$; $8.05$।

**अभ्यास 38.2 ★.**

$86.354$ में: दसवें भाग का अंक कौन-सा है? सौवें भाग का? अंक $8$ क्या गिनता है? इस संख्या को [परिभाषा 38.1](#def-g6-decimals-places) की तरह लिखो।

**हल — अभ्यास 38.2.**

दसवें भाग का अंक: $3$; सौवें भाग का: $5$; $8$ दहाई गिनता है।

$$
86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times
\frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}.
$$

**अभ्यास 38.3 ★.**

उतार कर $<$, $>$ या $=$ से पूरा करो:

$$
5.3 \;?\; 5.29, \qquad
0.7 \;?\; 0.70, \qquad
2.09 \;?\; 2.9, \qquad
14.5 \;?\; 14.49 .
$$

**हल — अभ्यास 38.3.**

$5.3 > 5.29$ ($5.30$ की $5.29$ से तुलना करो); $0.7 = 0.70$ (अंत के [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) कुछ नहीं बदलते); $2.09 < 2.9$ (दसवें भाग: $0 < 9$); $14.5 > 14.49$।

**अभ्यास 38.4 ★.**

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ: $4.2$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.5$।

**हल — अभ्यास 38.4.**

दो दशमलव अंकों तक भरो: $4.20$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.50$। क्रम:

$$
4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 .
$$

**अभ्यास 38.5 ★.**

दसवें भागों में अंकित संख्या रेखा पर बिंदु $A$, $B$, $C$ किन [दशमलव संख्याओं](#def-g6-decimals-places) के हैं, अगर $A$, $6$ से $3$ निशान बाद है, $B$, $6$ से $7$ निशान बाद, और $C$, $7$ से $2$ निशान बाद?

**हल — अभ्यास 38.5.**

हर निशान एक दसवाँ भाग है। $A$: $6.3$; $B$: $6.7$; $C$: $7.2$।

**अभ्यास 38.6 ★.**

खानों में निकालो: $45.8 + 7.65$; $23.4 - 8.72$; $5.6 \times 2.4$ (दशमलव अंक गिनो!)।

**हल — अभ्यास 38.6.**

$45.80 + 7.65 = 53.45$।

$23.40 - 8.72 = 14.68$ (जाँच: $14.68 + 8.72 = 23.4$)।

$56 \times 24 = 1344$, और गुणनखंडों में दो दशमलव अंक: $5.6 \times 2.4 = 13.44$।

**अभ्यास 38.7 ★.**

बिना कुछ लिखे निकालो:

$$
6.42 \times 10, \qquad
0.35 \times 1000, \qquad
78.1 \div 100, \qquad
5 \div 1000 .
$$

**हल — अभ्यास 38.7.**

$6.42 \times 10 = 64.2$; $0.35 \times 1000 = 350$; $78.1 \div 100 = 0.781$; $5 \div 1000 = 0.005$।

**अभ्यास 38.8 ★.**

बदलो: $2.4$ m को cm में; $370$ g को kg में; $0.85$ km को m में; $56$ mm को m में।

**हल — अभ्यास 38.8.**

$2.4$ m $= 240$ cm; $370$ g $= 0.37$ kg ($1000$ से भाग); $0.85$ km $= 850$ m; $56$ mm $= 0.056$ m।

**अभ्यास 38.9 ★.**

$23.867$ को गोल करो: इकाई तक; दसवें भाग तक; सौवें भाग तक। $9.97$ को दसवें भाग तक गोल करो।

**हल — अभ्यास 38.9.**

इकाई तक: $24$ (अगला अंक $8$: ऊपर गोल)। दसवें भाग तक: $23.9$। सौवें भाग तक: $23.87$। और $9.97$ दसवें भाग तक: अगला अंक $7$ है, इसलिए $9$ दसवें भाग ऊपर गोल — $10.0$।

**अभ्यास 38.10 ★★.**

एक रोटी $1.15$ की है। लेना तीन रोटियाँ ख़रीदती है और $5$ का नोट देती है। ज़रूरी दोनों गणनाएँ लिखो, और उसके बाक़ी पैसे बताओ।

**हल — अभ्यास 38.10.**

रोटियों का दाम: $3 \times 1.15 = 3.45$। बाक़ी: $5 - 3.45 = 1.55$।

**अभ्यास 38.11 ★★.**

$7.4$ और $7.5$ के ठीक बीच की कोई [दशमलव संख्या](#def-g6-decimals-places) ढूँढ़ो; फिर $3.99$ और $4$ के बीच की। हर हाल में ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?

**हल — अभ्यास 38.11.**

$7.4$ और $7.5$ के बीच: जैसे $7.45$ (या $7.41$, $7.499$, …)। $3.99$ और $4$ के बीच: जैसे $3.995$। दोनों हाल में ऐसी *अनगिनत* संख्याएँ हैं: दशमलव स्थान हमेशा और जोड़े जा सकते हैं।

**अभ्यास 38.12 ★★★.**

अंकों $2$, $5$, $8$ में से हर एक को ठीक एक बार और एक [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) लेकर सबसे बड़ी संभव संख्या लिखो, फिर सबसे छोटी संभव संख्या। ($.58$ जैसी संख्याएँ नहीं चलेंगी: पूर्ण भाग में कम से कम एक अंक होना चाहिए।)

**हल — अभ्यास 38.12.**

सबसे बड़ी: बड़े अंक पहले और बिंदु जितना बाद में हो सके: $85.2$। सबसे छोटी: छोटे अंक पहले और बिंदु जितना जल्दी हो सके: $2.58$।

## 38.6 समस्या: 3 के ठीक बाद वाली संख्या होती ही नहीं

**समस्या 38.1.**

सप्ताहांत समस्या — किन्हीं दो दशमलव संख्याओं के बीच हमेशा एक और होती है: संख्या रेखा पर ज़ूम

पूर्ण संख्याओं की सीढ़ी पर हर संख्या का एक पड़ोसी होता है: $7$ के ठीक बाद $8$ आता है, और बीच में कोई नहीं रहता। [दशमलव संख्याएँ](#def-g6-decimals-places) बिलकुल दूसरी दुनिया हैं। $3$ के ठीक बाद वाली संख्या कौन-सी है? $3.1$? $3.01$? $3.001$? यह समस्या संख्या रेखा पर *ज़ूम* करने की तकनीक बनाती है ([अभ्यास 38.11](#exo-g6-decimals-11) को आगे बढ़ाते हुए) और एक मशहूर निष्कर्ष तक पहुँचती है: $3$ के ठीक बाद वाली संख्या *होती ही नहीं* — किन्हीं दो [दशमलव संख्याओं](#def-g6-decimals-places) के बीच, वे कितनी भी पास क्यों न हों, और के लिए जगह हमेशा बची रहती है।

**भाग I — ज़ूम करना।**

1. कौन बड़ी है, $2.999$ या $3$ ? दोनों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) निकालो।
2. $7.4$ से $7.5$ तक की संख्या रेखा सौवें भागों में अंकित करके बनाओ, और उस पर $7.42$ , $7.45$ तथा $7.48$ रखो। $7.4$ और $7.5$ के ठीक बीच पड़ने वाली दो दशमलव अंकों वाली *सारी* संख्याएँ गिनाओ। वे कितनी हैं?
3. फिर ज़ूम करो: $7.44$ और $7.45$ के बीच तीन दशमलव अंकों वाली सारी संख्याएँ गिनाओ। इस बार वे कितनी हैं?
4. इसी विचार से समझाओ कि $7.4$ और $7.5$ के ठीक बीच पड़ने वाली, ठीक तीन दशमलव अंकों वाली संख्याएँ कैसे गिनी जाएँ, और वह गिनती बताओ।
5. प्रश्न 2–4 के पीछे छिपी विधि ( *ज़ूम* ) बताओ: पड़ोसी जैसी दिखने वाली दो संख्याएँ, जैसे $5.67$ और $5.68$ , दी हों, तो एक और दशमलव स्थान लिखने पर उनके ठीक बीच की कोई संख्या हमेशा कैसे मिल जाती है? अपनी विधि $5.67$ और $5.68$ पर लगाओ, फिर $0.1999$ और $0.2$ पर।

**भाग II — ग़ायब पड़ोसी।**

6. टॉम का दावा है: “ $3$ के ठीक बाद वाली संख्या $3.1$ है।” $3$ और $3.1$ के ठीक बीच की कोई संख्या बताकर उसे ग़लत साबित करो। टॉम $3.01$ पर, फिर $3.001$ पर हटता है। उसके हर उम्मीदवार को हराओ।
7. समझाओ कि इस खेल में तुमसे *कोई* क्यों नहीं जीत सकता: टॉम $3$ से बड़ी जो भी संख्या सुझाए, प्रश्न 5 की ज़ूम विधि $3$ और उसके सुझाव के ठीक बीच की एक संख्या बना देती है। यह “ $3$ के ठीक बाद वाली संख्या” के बारे में क्या सिद्ध करता है?
8. अब दूसरा पहलू: टॉम $3$ से ठीक *पहले* वाली संख्या खोजता है और $2.9$ , फिर $2.99$ , फिर $2.999$ आज़माता है। उसके तीनों उम्मीदवारों को हराओ। फिर $3 - 2.999$ निकालो, और (बिना खानों में गणना किए) बताओ कि $3$ और उस संख्या का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) क्या होगा जो एक $2$ , एक बिंदु और बीस अंक $9$ से लिखी गई हो।
9. *पूर्ण* संख्याओं के लिए यह सब क्यों नहीं चलता? एक-दो वाक्यों में समझाओ कि $7$ और $8$ के ठीक बीच कोई पूर्ण संख्या क्यों नहीं है, जबकि वहाँ ढेरों [दशमलव संख्याएँ](#def-g6-decimals-places) हैं।
10. कोई लंबाई “ $3.7$ cm, दसवें भाग तक गोल की हुई” बताई जाती है ( [परिभाषा 38.9](#def-g6-decimals-rounding) )। वह सबसे छोटी लंबाई बताओ जो गोल होकर $3.7$ cm बनती है, और समझाओ कि $3.75$ cm की लंबाई गोल होकर $3.7$ *नहीं* बनती — यानी असली लंबाई कम से कम $3.65$ cm है और $3.75$ cm से ठीक कम।

**भाग III — अंकों और बिंदुओं के खेल।**

11. सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ: $0.6$ ; $0.58$ ; $0.123$ ; $0.0999$ । फिर किसी सहपाठी को एक वाक्य में समझाओ कि $0.0999 < 0.6$ क्यों है, जबकि वह ज़्यादा अंकों से लिखी गई है ( [विधि 38.3](#met-g6-decimals-compare) )।
12. किसी दुकान में क़ीमतों के हमेशा ठीक दो दशमलव अंक होते हैं। क्या $4.99$ और $5$ के ठीक बीच कोई *क़ीमत* है? प्रश्न 9 से तुलना करो: क़ीमतों और पूर्ण संख्याओं में क्या समान है?
13. अंकों $2$ , $5$ , $8$ में से हर एक को ठीक एक बार और एक [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) लेकर (पूर्ण भाग ख़ाली नहीं, जैसे [अभ्यास 38.12](#exo-g6-decimals-12) में) $6$ के सबसे नज़दीक वाली संख्या ढूँढ़ो। अपने सबसे अच्छे उम्मीदवारों की $6$ से दूरी निकालकर उत्तर पक्का करो।
14. गणित की सबसे मशहूर संख्या $\pi$ के लिए $3.141 < \pi < 3.142$ है। $3.141$ और $3.142$ के ठीक बीच की कोई [दशमलव संख्या](#def-g6-decimals-places) बताओ; फिर $3.1415$ और $3.1416$ के ठीक बीच की एक। (गणितज्ञ $\pi$ को ठीक इसी तरह कसते हैं — हर नया दशमलव अंक एक और ज़ूम है। $\pi$ को काम करते हुए तुम [अध्याय 43](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure) में देखोगे।)
15. आख़िरी सवाल: समझाओ कि $0$ और $1$ के बीच *तुम्हारी बताई किसी भी संख्या से ज़्यादा [दशमलव संख्याएँ](#def-g6-decimals-places)* क्यों हैं। (एक ज़ूम कितनी बनाता है? क्या ज़ूम कभी रुक सकता है?)

**हल — समस्या 38.1.**

**1.** $3$ बड़ी है: [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) भरकर, $3.000 > 2.999$। [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $3.000 - 2.999 = 0.001$ है, यानी एक हज़ारवाँ भाग।

**2.** $7.4 = 7.40$ और $7.5 = 7.50$ के ठीक बीच पड़ती हैं

$$
7.41,\ 7.42,\ 7.43,\ 7.44,\ 7.45,\ 7.46,\ 7.47,\ 7.48,\ 7.49 :
$$

नौ संख्याएँ, हर नए निशान पर एक।

**3.** वही चित्र, दस गुना छोटा: $7.440$ और $7.450$ के बीच $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ पड़ती हैं — फिर नौ संख्याएँ।

**4.** $7.400$ और $7.500$ के बीच तीन दशमलव अंकों वाली संख्याएँ $7.401, 7.402, \dots, 7.499$ हैं: $401$ से $499$ तक के सारे हज़ारवें भाग, यानी $99$ संख्याएँ।

**5.** ज़ूम विधि: दोनों संख्याओं को एक ही संख्या में दशमलव स्थानों के साथ लिखो, फिर *एक और दशमलव स्थान जोड़ो* — छोटी संख्या के बाद $1$ से $9$ तक का कोई अंक लगाने पर वह ठीक दोनों के बीच आ जाती है। सचमुच $5.67 = 5.670$ और $5.68 = 5.680$, और

$$
5.670 < 5.675 < 5.680 ;
$$

इसी तरह $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$। दो पड़ोसी निशानों के बीच हमेशा नौ और महीन निशानों की एक पूरी नई परत होती है।

**6.** $3 < 3.05 < 3.1$; फिर $3 < 3.005 < 3.01$; फिर $3 < 3.0005 < 3.001$। हर उम्मीदवार एक और ज़ूम से हार जाता है।

**7.** टॉम जो भी संख्या सुझाए — मान लो उसका उम्मीदवार, जो $3$ से ठीक बड़ा है — प्रश्न 5, $3$ और उस उम्मीदवार के ठीक बीच की एक संख्या बना देता है। इसलिए वह उम्मीदवार $3$ के सबसे पास वाली संख्या था ही *नहीं*: उससे भी पास कोई और है। यह हर उम्मीदवार के साथ बिना अपवाद होता है, इसलिए कोई भी संख्या “$3$ के ठीक बाद वाली संख्या” नहीं हो सकती: वह होती ही नहीं।

**8.** $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$। और $3 - 2.999 = 0.001$। बीस नौ के साथ [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) एक [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point), उसके बाद उन्नीस [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) और एक $1$ होगा — बीसवें दशमलव स्थान पर एक इकाई: नन्हा-सा, पर [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) नहीं। टॉम जितने भी नौ लिखे, वह $3$ तक कभी नहीं पहुँचता।

**9.** पूर्ण संख्याएँ $1$-$1$ के कदमों से चढ़ती हैं: $7$ से ज़्यादा पर $8$ से कम होने का मतलब होता $7$ और $8$ इकाइयों के ठीक बीच इकाइयों की कोई पूर्ण संख्या, और ऐसी कोई है नहीं। ज़ूम इससे केवल *बिंदु के बाद* अंक लिखकर बचता है — और यही पूर्ण संख्याओं के पास नहीं होता।

**10.** गोल होकर $3.7$ बनने वाली सबसे छोटी लंबाई $3.65$ cm है: उसका अगला अंक $5$ है, जो *ऊपर* गोल होता है ([परिभाषा 38.9](#def-g6-decimals-rounding))। और $3.75$ इसी वजह से ऊपर गोल होकर $3.8$ बनती है। तो “दसवें भाग तक $3.7$ cm लंबाई” का मतलब है: कम से कम $3.65$ cm, और $3.75$ cm से ठीक कम — एक गोल किए हुए मान के पीछे संभव असली लंबाइयों का पूरा ज़ूम किया हुआ टुकड़ा छिपा होता है।

**11.** $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$। एक वाक्य में: बाईं ओर से अंक-दर-अंक तुलना करने पर $0.0999$ में $0$ दसवें भाग हैं जबकि $0.6$ में $6$, और तुलना वहीं तय हो जाती है — लिखे गए अंकों की संख्या आकार के बारे में कुछ नहीं बताती ([विधि 38.3](#met-g6-decimals-compare))।

**12.** नहीं: सेंट में $4.99$ यूरो यानी $499$ सेंट और $5$ यूरो यानी $500$ सेंट — लगातार आने वाली *पूर्ण* संख्याएँ, जिनके बीच कुछ नहीं। क़ीमतें, जिनके ठीक दो दशमलव स्थान होते हैं, असल में भेस बदले सेंटों की पूर्ण संख्याएँ हैं: प्रश्न 9 की पूर्ण संख्याओं की तरह उनके पड़ोसी होते हैं। न रुकने वाले ज़ूम को और-और दशमलव स्थान लिखने का हक़ चाहिए।

**13.** $6$ के पास वाले उम्मीदवार $5.82$ और $8.25$ हैं ($2$ से, या $58$, $25$, $82$, $85$ से शुरू होने वाली संख्या $6$ से दूर है)। दूरियाँ: $6 - 5.82 = 0.18$ और $8.25 - 6 = 2.25$। सबसे पास $5.82$ है।

**14.** जैसे $3.1415$, क्योंकि $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; फिर $3.14159$, क्योंकि $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$। (दोनों $\pi = 3.14159\dots$ की असली खोज के सच्चे कदम हैं।)

**15.** मान लो कोई कितनी भी बड़ी संख्या बताए। एक ज़ूम $0$ और $1$ के बीच पड़ोसी निशानों के हर जोड़े को नौ नई संख्याओं में बदल देता है, और ज़ूम हमेशा दोहराया जा सकता है — प्रश्न 2, 3 और 4 केवल पहली दो परतें थीं। उसे इतनी बार दोहराओ कि $0$ और $1$ के बीच बताई गई संख्या से ज़्यादा [दशमलव संख्याएँ](#def-g6-decimals-places) बन जाएँ। तो कोई भी संख्या उन्हें गिनने के लिए बड़ी नहीं: वे अनगिनत हैं।