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title: "भिन्नें: पहले कदम"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 39
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps
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# अध्याय 39 — भिन्नें: पहले कदम

तीन पिज़्ज़े चार लोगों में बराबर बाँटो तो हर एक को … पूरी संख्या में पिज़्ज़े नहीं मिलते। भिन्नें बाँटने के लिए ही गढ़ी गई संख्याएँ हैं। यह अध्याय पूरा चित्र बनाता है: [भिन्न](#def-g6-fractions-def) किसी पूरे के हिस्से के रूप में, संख्या रेखा पर एक बिंदु के रूप में, और किसी भाग के ठीक-ठीक नतीजे के रूप में।

## 39.1 भिन्न का मतलब

**परिभाषा 39.1 (भिन्न).**

किसी इकाई को $b$ बराबर हिस्सों में काटो और उनमें से $a$ हिस्से लो: जो राशि मिलती है वही *भिन्न* है

$$
\frac{a}{b}
\qquad
\begin{array}{l}
a \text{: \emph{अंश} --- हम कितने हिस्से लेते हैं;}\\
b \text{: \emph{हर} --- इकाई कितने हिस्सों में काटी गई है।}
\end{array}
$$

![एक ही पट्टी की दो भिन्नें। हर बताता है कि कटाई कितनी महीन है, अंश बताता है कि हम कितना लेते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-fcf0f9253cc8.svg)

*एक ही पट्टी की दो भिन्नें। हर बताता है कि कटाई कितनी महीन है, [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) बताता है कि हम कितना लेते हैं।*

**उदाहरण 39.2.**

[भिन्न](#def-g6-fractions-def) $1$ से बड़ी भी हो सकती है: $\frac74$ का मतलब है सात [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) — एक पूरी इकाई (चार [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)) और तीन [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) और:

$$
\frac74 = 1 + \frac34 .
$$

**प्रतिज्ञप्ति 39.3 (संख्या रेखा पर भिन्नें).**

संख्या रेखा पर $\frac ab$ रखने के लिए हर इकाई अंतराल को $b$ बराबर हिस्सों में काटो और $0$ से $a$ हिस्से गिनो।

![चौथाइयों में अंकित रेखा: 3/4, 1 से पहले है, 7/4, 1 और 2 के बीच, और 22/4 = 5 + 2/4, 5 और 6 के ठीक बीच।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-b24e42c46fdc.svg)

*चौथाइयों में अंकित रेखा: $\frac34$, $1$ से पहले है, $\frac74$, $1$ और $2$ के बीच, और $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$, $5$ और $6$ के ठीक बीच।*

**प्रमेय 39.4 (भिन्न एक भाग है).**

[भिन्न](#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ वह संख्या है जिसे $b$ से गुणा करने पर $a$ मिलता है:

$$
\frac ab \times b = a .
$$

दूसरे शब्दों में, $\frac ab$, $a$ में $b$ का ठीक-ठीक [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) है — तब भी, जब भाग “पूरा नहीं बँटता”।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 39.5.**

तीन पिज़्ज़े चार लोगों के लिए: हर एक को पिज़्ज़े का $\frac34$ मिलता है। प्रमेय से जाँचो: $\frac34$ के $4$ हिस्से मिलकर $\frac34 \times 4 = 3$ पिज़्ज़े बनाते हैं। कुछ भिन्नें [दशमलव संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) होती हैं ($\frac34 = 0.75$), कुछ नहीं: $\frac13 = 0.333\dots$ कभी नहीं रुकता। [भिन्न](#def-g6-fractions-def) ही *ठीक* मान है; $0.33$ केवल एक सन्निकटन है।

## 39.2 बराबर भिन्नें

**प्रतिज्ञप्ति 39.6 (तुल्य भिन्नें).**

किसी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) के [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) और हर, दोनों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा (या भाग) करने पर [भिन्न](#def-g6-fractions-def) नहीं बदलती:

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**उपपत्ति का विचार.** बँटवारे के हर हिस्से को $k$ छोटे टुकड़ों में काटने से लिए गए टुकड़ों की संख्या और कुल टुकड़ों की संख्या, दोनों $k$ गुनी हो जाती हैं, पर ली गई राशि वही रहती है। चित्र सबसे अच्छा कहता है: ∎

![2/3 = 4/6: हर तिहाई को दो में काटने से ऊपर और नीचे, दोनों गिनतियाँ दुगुनी हो जाती हैं, पर रँगी हुई राशि वही रहती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-1cfba25eec39.svg)

*$\frac23 = \frac46$: हर तिहाई को दो में काटने से ऊपर और नीचे, दोनों गिनतियाँ दुगुनी हो जाती हैं, पर रँगी हुई राशि वही रहती है।*

**विधि 39.7 (भिन्न को सरल बनाना).**

कोई ऐसी संख्या ढूँढ़ो जो [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) *और* हर, दोनों में भाग दे, और दोनों में भाग दे दो। तब तक दोहराओ जब तक कोई साझा [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) न बचे:

$$
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}
= \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.
$$

## 39.3 किसी राशि की भिन्न लेना

**विधि 39.8 (राशि की भिन्न).**

किसी राशि का $\frac ab$ निकालने के लिए राशि में $b$ का भाग दो (एक हिस्सा), फिर $a$ से गुणा करो (हिस्सों की संख्या):

$$
\frac ab \text{ का } Q = (Q \div b) \times a .
$$

(पहले $a$ से गुणा करके फिर $b$ का भाग देने पर भी वही नतीजा मिलता है — वही क्रम चुनो जिसमें संख्याएँ आसान पड़ें।)

**उदाहरण 39.9.**

$40$ यूरो का $\frac35$ निकालो, कदम-दर-कदम:

1. $40$ का एक पाँचवाँ भाग: $40 \div 5 = 8$ ;
2. तीन पाँचवें भाग: $8 \times 3 = 24$ ।

तो $40$ यूरो का $\frac35$, $24$ यूरो है। जाँच: बचा हुआ $\frac25$, $16$ यूरो है, और $24 + 16 = 40$।

## 39.4 अभ्यास

**अभ्यास 39.1 ★.**

हर चित्र के वर्णन के लिए [भिन्न](#def-g6-fractions-def) लिखो: $8$ टुकड़ों में कटा केक, $3$ खाए गए; $12$ ख़ानों की चॉकलेट, $7$ खाए गए; $6$ में कटी एक पाई, छहों खाए गए।

**हल — अभ्यास 39.1.**

केक: $\frac38$ खाया गया। चॉकलेट: $\frac{7}{12}$। पाई: $\frac66 = 1$ (पूरी पाई)।

**अभ्यास 39.2 ★.**

$5$ बराबर हिस्सों में कटी एक पट्टी बनाओ और उसका $\frac45$ रँगो। $\frac45$, $1$ से छोटी है या बड़ी? और $\frac65$?

**हल — अभ्यास 39.2.**

पाँच में से चार हिस्से रँगे जाते हैं। $\frac45 < 1$ (पाँच में से चार हिस्से पूरी पट्टी से कम हैं); $\frac65 > 1$ (छह पाँचवें भाग एक पूरी पट्टी और एक पाँचवाँ भाग हैं)।

**अभ्यास 39.3 ★.**

तिहाइयों में अंकित संख्या रेखा पर रखो: $\frac13$; $\frac53$; $2$; $\frac73$। इनमें से कौन-सी दो संख्याएँ $2$ से बराबर दूरी पर हैं?

**हल — अभ्यास 39.3.**

तिहाइयों में अंकित रेखा पर: $\frac13$, $0$ के एक निशान बाद है; $\frac53$, $2$ से एक निशान पहले (क्योंकि $2 = \frac63$); $\frac73$, $2$ के एक निशान बाद। तो $\frac53$ और $\frac73$ दोनों $2$ से $\frac13$ की दूरी पर हैं।

**अभ्यास 39.4 ★.**

हर [भिन्न](#def-g6-fractions-def) को एक पूर्ण संख्या और $1$ से छोटी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) के जोड़ के रूप में लिखो (जैसे $\frac74 = 1 + \frac34$):

$$
\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad
\frac{25}{8} .
$$

**हल — अभ्यास 39.4.**

$\frac94 = 2 + \frac14$; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$; $\frac{12}{6} = 2$ (ठीक-ठीक); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$।

**अभ्यास 39.5 ★.**

भिन्नें बराबर हो जाएँ, ऐसे पूरा करो:

$$
\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad
\frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad
\frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad
\frac{?}{6} = \frac{10}{12}.
$$

**हल — अभ्यास 39.5.**

$\frac23 = \frac{8}{12}$ ($4$ से गुणा); $\frac{15}{20} = \frac34$ ($5$ का भाग); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ ($3$ से गुणा); $\frac56 = \frac{10}{12}$ ($2$ का भाग)।

**अभ्यास 39.6 ★.**

जितना हो सके सरल बनाओ: $\dfrac{6}{8}$; $\dfrac{15}{25}$; $\dfrac{18}{24}$; $\dfrac{35}{7}$।

**हल — अभ्यास 39.6.**

$\frac68 = \frac34$; $\frac{15}{25} = \frac35$; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$; $\frac{35}{7} = 5$ (एक पूर्ण संख्या)।

**अभ्यास 39.7 ★.**

निकालो: $86$ का $\frac12$; $60$ का $\frac34$; $35$ का $\frac25$; $250$ का $\frac{7}{10}$।

**हल — अभ्यास 39.7.**

$86$ का $\frac12$: $86 \div 2 = 43$।

$60$ का $\frac34$: $60 \div 4 = 15$, फिर $15 \times 3 = 45$।

$35$ का $\frac25$: $35 \div 5 = 7$, फिर $7 \times 2 = 14$।

$250$ का $\frac{7}{10}$: $250 \div 10 = 25$, फिर $25 \times 7 = 175$।

**अभ्यास 39.8 ★.**

कौन बड़ी है: $\frac12$ या $\frac13$ (एक ही केक की)? $\frac25$ या $\frac35$? $\frac34$ या $\frac78$ (दोनों को हर $8$ के साथ लिखो)?

**हल — अभ्यास 39.8.**

$\frac12 > \frac13$: आधे, तिहाइयों से बड़े हिस्से होते हैं। $\frac35 > \frac25$: वही हिस्से, पर ज़्यादा। $\frac34 = \frac68 < \frac78$: सात आठवें भाग, छह आठवें भागों पर भारी।

**अभ्यास 39.9 ★★.**

जिन भिन्नों का दशमलव मान है, वह बताओ, और यह भी कि किस [भिन्न](#def-g6-fractions-def) का नहीं है: $\frac12$; $\frac34$; $\frac13$; $\frac{7}{10}$; $\frac{9}{4}$।

**हल — अभ्यास 39.9.**

$\frac12 = 0.5$; $\frac34 = 0.75$; $\frac{7}{10} = 0.7$; $\frac94 = 2.25$। अलग पड़ती है $\frac13 = 0.333\dots$, जिसका दशमलव लेखन कभी ख़त्म नहीं होता: वह [दशमलव संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) नहीं है।

**अभ्यास 39.10 ★★.**

एक कक्षा में $28$ विद्यार्थी हैं। उनमें से तीन [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) बस से विद्यालय आते हैं, बाक़ी पैदल। कितने विद्यार्थी पैदल आते हैं? कदम-दर-कदम हल करो, और जाँचो कि दोनों समूह मिलकर $28$ बनते हैं।

**हल — अभ्यास 39.10.**

बस से आने वाले: $28$ का $\frac34$: $28 \div 4 = 7$, फिर $7 \times 3 = 21$ विद्यार्थी। पैदल आने वाले: $28 - 21 = 7$ विद्यार्थी (यही बची हुई [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है: $28 \div 4 = 7$)। जाँच: $21 + 7 = 28$।

**अभ्यास 39.11 ★★.**

लियो ने अपनी बचत का $\frac23$ एक खेल पर ख़र्च किया, जो $18$ यूरो का था। लियो के पास पहले कितने पैसे थे? (उसकी बचत की एक तिहाई, $18$ की आधी है … सोचो क्यों, या पहले एक हिस्से का नाप निकालो।)

**हल — अभ्यास 39.11.**

बचत के दो तिहाई $18$ यूरो हैं, इसलिए *एक* तिहाई $18 \div 2 = 9$ यूरो है, और पूरी बचत (तीन तिहाई) $9 \times 3 = 27$ यूरो थी। जाँच: $27$ का $\frac23$, $18$ है।

**अभ्यास 39.12 ★★★.**

एक टंकी अपनी [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) के $\frac58$ तक भरी है। $10$ लीटर इस्तेमाल करने के बाद वह आधी भरी रह जाती है। टंकी की [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) क्या है? ($10$ लीटर टंकी की कौन-सी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) हैं?)

**हल — अभ्यास 39.12.**

इस्तेमाल किया गया पानी टंकी के $\frac58$ से $\frac48$ तक ले आया ([आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) यानी चार आठवें भाग): $10$ लीटर [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) के $\frac58 - \frac48 = \frac18$ हैं। तो पूरी टंकी में $10 \times 8 = 80$ लीटर आते हैं। जाँच: $80$ का $\frac58$, $50$ है; $10$ घटाने पर $40$ बचता है, जो सचमुच $80$ का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है।

## 39.5 समस्या: वह चॉकलेट जो कभी ख़त्म ही नहीं होती

**समस्या 39.1.**

सप्ताहांत समस्या — आधों के आधे: योगफल $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ बिना छुए $1$ की ओर सरकता रहता है

एक चॉकलेट लो। उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) खा जाओ। फिर *जो बचा है* उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) खाओ। फिर जो बचा उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half), और ऐसे ही आगे। दो बातें एक साथ सच लगती हैं: चॉकलेट कभी ख़त्म नहीं होती (कुछ न कुछ हमेशा बचा रहता है), और फिर भी लगभग सारी खा ली जाती है। यह समस्या दोनों अहसासों को भिन्नों के ठीक-ठीक कथनों में बदल देती है — और रास्ते में प्राचीन यूनान के एक धावक तथा ऐसी बाँट-पहेली से मिलाती है जो केवल आधे-आधे काटने वाले चाक़ू से हल हो जाती है।

**भाग I — आधों के आधे।** चॉकलेट $16$ बराबर ख़ानों का एक आयत है।

1. पहला कौर: तुम चॉकलेट का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) खाते हो। वह कितने ख़ाने हुए? इस कौर को चॉकलेट की [भिन्न](#def-g6-fractions-def) के रूप में दो तरह से लिखो, हर $2$ के साथ और हर $16$ के साथ ( [प्रतिज्ञप्ति 39.6](#prop-g6-fractions-equal) )।
2. दूसरा कौर: जो बचा उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) । कितने ख़ाने? चित्र से या तुल्य भिन्नों से दिखाओ कि यह कौर पूरी चॉकलेट का $\frac14$ है: *आधे का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) होता है* ।
3. तीसरा और चौथा कौर, वही नियम: हर एक को ख़ानों में और चॉकलेट की [भिन्न](#def-g6-fractions-def) के रूप में बताओ। एक कौर से अगले कौर तक हर का क्या होता है?
4. चारों कौरों के बाद कुल कितने ख़ाने खाए गए? वह चॉकलेट की कौन-सी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) है, और कौन-सी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) बची है?
5. प्रश्न 4 सोलहवें भागों में लिखने पर कहता है: $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16},  \qquad\text{यानी}\qquad  \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16} .$$ चारों रूपांतरणों की जाँच करो ($\frac12 = \frac{8}{16}$, वग़ैरह)।

**भाग II — $1$ की ओर जाती सीढ़ी।** कौर लेते रहने के लिए $64$ ख़ानों वाली महीन चॉकलेट सोचो।

6. पहले छह कौरों के नाप ख़ानों में गिनाओ ( $32$ , फिर …), और जाँचो कि छठे कौर के बाद ठीक एक ख़ाना बचता है। चॉकलेट की कौन-सी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) बची रहती है?
7. हर कौर के बाद चॉकलेट की कौन-सी [भिन्न](#def-g6-fractions-def) बची रहती है? छठे कौर तक की सूची लिखो ( $\frac12$ , $\frac14$ , …), और प्रतिरूप बताओ। कोई काल्पनिक चाक़ू आख़िरी ख़ाने को भी [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) कर सके, तो सातवें कौर के बाद क्या बचेगा?
8. समझाओ कि खाया हुआ कुल $1$ तक *कभी* क्यों नहीं पहुँच सकता, चाहे कितने भी कौर लिए जाएँ। ( [समस्या 38.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#pb-g6-decimals-1) के बीस नौ से तुलना करो: वही कहानी?)
9. फिर भी कुल $1$ से नीचे के हर लक्ष्य को पार कर जाता है। एक दोस्त तुम्हें चुनौती देता है कि चॉकलेट का $\frac{99}{100}$ से ज़्यादा खा जाओ। कौन छोटी है, $\frac{1}{128}$ या $\frac{1}{100}$ — और किस कौर के बाद चुनौती जीत ली जाती है?
10. $0$ से $1$ तक सोलहवें भागों में अंकित संख्या रेखा पर पहले चार कौरों के बाद के कुल रखो: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ । हर नया कुल पिछले कुल और $1$ की तुलना में कहाँ गिरता है?

**भाग III — ज़ेनो का धावक, और केवल [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करने वाला चाक़ू।**

11. चौबीस सदी पहले यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने यह कहानी सुनाई: दीवार तक पहुँचने के लिए धावक को पहले आधी दूरी तय करनी होगी, फिर बची हुई दूरी की आधी, फिर उसकी भी आधी … “तो धावक दीवार तक कभी पहुँचेगा ही नहीं!” प्रश्न 8 और 9 की मदद से बताओ कि ज़ेनो की कहानी में *सही* क्या है, और जाल कहाँ है। (क्या धावक को वे सब कदम उठाने में सचमुच अनंत समय चाहिए?)
12. बाँट-पहेली: $15$ एक जैसी चॉकलेटें $16$ बच्चों में बराबर बाँटो, केवल आधे-आधे काटकर (पूरी चॉकलेट के, आधी चॉकलेट के, [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) चॉकलेट के …)। बताओ कि कैसे काटना है: कितनी चॉकलेटें आधों में कटेंगी, कितनी चौथाइयों में, कितनी आठवें भागों में, कितनी सोलहवें भागों में, ताकि हर बच्चे को हर नाप का एक-एक टुकड़ा मिले।
13. अपनी बाँट जाँचो: हर बच्चे का हिस्सा भिन्नों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के रूप में लिखो, उसे सोलहवें भागों में निकालो, और पक्का करो कि $16$ हिस्से मिलकर ठीक $15$ चॉकलेटें ख़र्च करते हैं।
14. बग़ल की कक्षा में $7$ चॉकलेटें $8$ बच्चों में बराबर बाँटी जाती हैं। किस बच्चे को ज़्यादा चॉकलेट मिलती है — $16$ में से किसी को, या $8$ में से किसी को? (दोनों हिस्से हर $16$ के साथ लिखो, [अभ्यास 39.8](#exo-g6-fractions-8) ।)
15. आख़िरी सवाल: एक दोस्त का दावा है कि *अनगिनत* कौरों से पूरी चॉकलेट *ठीक-ठीक* खा ली जाएगी। एक वर्ग बनाओ और उसके भीतर कौर रँगो: वर्ग का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) , फिर एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) , फिर एक आठवाँ भाग … बिना रँगे कोने के बारे में क्या दिखता है? इस पूरी समस्या के दोनों सच्चे तथ्य ध्यान से लिखो: सीमित संख्या में कौरों के बाद क्या बचता है, और वह [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) कितना छोटा हो जाता है। (“अनंत [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ” का ठीक-ठीक मतलब क्या है, यह अगले खंड की कहानी है।)

**हल — समस्या 39.1.**

**1.** $16$ ख़ानों का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) $8$ ख़ाने है। [भिन्न](#def-g6-fractions-def) के रूप में: चॉकलेट का $\frac12$, और चूँकि हर [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) $16$ में से $8$ ख़ाने है, इसलिए $\frac{8}{16}$ भी — वही [भिन्न](#def-g6-fractions-def) दो तरह लिखी हुई ([प्रतिज्ञप्ति 39.6](#prop-g6-fractions-equal))।

**2.** बचे हुए $8$ ख़ानों का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) $4$ ख़ाने है, जो चॉकलेट का $\frac{4}{16}$ है। $4$ से सरल करने पर: $\frac{4}{16} = \frac14$। चित्र पर: बचे हुए आधे को दो में काटने से मूल चॉकलेट की दो चौथाइयाँ बनती हैं — आधे का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है।

**3.** तीसरा कौर: $4$ ख़ानों का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) $2$ ख़ाने है, यानी चॉकलेट का $\frac{2}{16} = \frac18$। चौथा कौर: $1$ ख़ाना, यानी $\frac{1}{16}$। एक कौर से अगले तक हर *दुगुना* होता जाता है: $2$, $4$, $8$, $16$।

**4.** खाए गए: $16$ में से $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ ख़ाने, यानी चॉकलेट का $\frac{15}{16}$। बचा: $1$ ख़ाना, $\frac{1}{16}$।

**5.** $\frac12 = \frac{8}{16}$ (ऊपर और नीचे $8$ से गुणा), $\frac14 = \frac{4}{16}$ ($4$ से), $\frac18 = \frac{2}{16}$ ($2$ से), और $\frac{1}{16}$ वैसी ही रहती है। सोलहवें भाग गिनो: वे $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ हैं, इसलिए कुल $\frac{15}{16}$ है।

**6.** कौर: $32$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$ ख़ाने। कुल खाया गया: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ ख़ाने, इसलिए $1$ ख़ाना बचता है: चॉकलेट का $\frac{1}{64}$।

**7.** हर कौर के बाद बचता है

$$
\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad
\frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :
$$

[शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) हर बार [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) हो जाता है — उसका हर दुगुना होता जाता है। सातवाँ, काल्पनिक कौर $\frac{1}{128}$ छोड़ेगा।

**8.** हर कौर बचे हुए का केवल *[आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)* खाता है, इसलिए [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) का दूसरा [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) वहीं रह जाता है: कितने भी कौरों के बाद कुछ न कुछ हमेशा बचा रहता है। इसलिए खाया हुआ कुल हमेशा $1$ से नीचे रहता है — ठीक [समस्या 38.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#pb-g6-decimals-1) के बीस नौ की तरह, जो $3$ के और-और पास आते हैं पर उस तक पहुँचते नहीं।

**9.** दोनों भिन्नों का [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $1$ है, और $128$ हिस्सों में काटने से $100$ हिस्सों में काटने की तुलना में छोटे हिस्से बनते हैं: इसलिए $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$। सातवें कौर के बाद [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $\frac{1}{128}$ है, इसलिए खाया हुआ भाग $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ से आगे निकल जाता है: चुनौती सातवें कौर पर जीत ली जाती है।

**10.** सोलहवें भागों में कुल हैं $\frac{8}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{14}{16}$, $\frac{15}{16}$। हर नया कुल ठीक पिछले कुल और $1$ के *बीचों-बीच* गिरता है: सीढ़ी $1$ तक बची अपनी दूरी को हर बार [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करती जाती है, पर उस पर कभी पैर नहीं रखती।

**11.** सही क्या है: ज़ेनो के वर्णन के हर चरण पर सचमुच कुछ दूरी बची रहती है (प्रश्न 8) — चरणों की सूची कभी ख़त्म नहीं होती। जाल यह है: चरण बेहद छोटे होते जाते हैं, दूरी में *और* दौड़ने के समय में भी; धावक हर चरण पर बराबर समय नहीं लगाता। दौड़ को अनगिनत सिकुड़ते टुकड़ों में बताने से दौड़ ख़ुद अनंत नहीं हो जाती: धावक दीवार तक पहुँच जाता है, और प्रश्न 9 दिखाता है कि वर्णन दीवार से पहले के हर बिंदु को पार कर जाता है।

**12.** $8$ चॉकलेटें आधों में काटो: $16$ आधे टुकड़े। $4$ चॉकलेटें चौथाइयों में: $16$ [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) टुकड़े। $2$ चॉकलेटें आठवें भागों में: $16$ टुकड़े। आख़िरी चॉकलेट सोलहवें भागों में: $16$ छोटे टुकड़े। इसमें $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ चॉकलेटें लगती हैं, और हर बच्चे को हर नाप का एक-एक टुकड़ा मिलता है।

**13.** हर बच्चे का हिस्सा है

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$

चॉकलेट का (प्रश्न 5)। ऐसे सोलह हिस्से मिलकर $16 \times \frac{15}{16} = 15$ चॉकलेटें बनाते हैं ([प्रमेय 39.4](#thm-g6-fractions-quotient)): ठीक उतनी ही जितनी काटी गई थीं, कुछ बचे बिना — केवल आधा-आधा करके $15$ चॉकलेटों का $16$ बच्चों में सही बँटवारा।

**14.** पड़ोसियों को हर एक को चॉकलेट का $\frac78$ मिलता है। हर $16$ के साथ: $\frac78 = \frac{14}{16}$, जबकि हमारे बच्चों को $\frac{15}{16}$ मिलता है। तो $16$ वाले बच्चे को ज़्यादा मिलता है: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$, चॉकलेट के एक सोलहवें भाग से।

**15.** वर्ग वाले चित्र में हर रँगा हुआ कौर अब तक बिना रँगे कोने का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) भर देता है, और बिना रँगा कोना सिकुड़ता जाता है: हर कौर के बाद वह पहले से [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) रह जाता है, और कभी ग़ायब नहीं होता। दोनों सच्चे तथ्य: (i) सीमित संख्या में कौरों के बाद हमेशा एक [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) बचता है — खाया हुआ कुल हमेशा $1$ से ठीक नीचे रहता है; (ii) पर्याप्त कौर लेने पर वह [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) किसी भी बताई गई [भिन्न](#def-g6-fractions-def) ($\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$, …) से छोटा हो जाता है। “अनंत [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $1$ के बराबर है” — इन शब्दों को ठीक-ठीक अर्थ देना *सीमाओं* का काम है, जो अगले खंड में आता है।