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title: "परिमाप, क्षेत्रफल, आयतन"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 43
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume
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# अध्याय 43 — परिमाप, क्षेत्रफल, आयतन

बाड़ कितनी लंबी है, खेत कितना बड़ा है, टंकी में कितना पानी समाता है? तीन अलग सवाल, तीन अलग राशियाँ — [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter), [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area), [आयतन](#def-g6-measure-volume) — और हर एक के अपने मात्रक। इन्हें आपस में गड्डमड्ड कर देना ज्यामिति की सबसे आम ग़लती है; यह अध्याय उन्हें हमेशा के लिए अलग-अलग कर देता है।

## 43.1 लंबाइयाँ और परिमाप

**परिभाषा 43.1 (परिमाप).**

किसी आकृति का *परिमाप* उसकी सीमा की कुल लंबाई है। वह लंबाई के मात्रकों में नापा जाता है: मिलीमीटर (mm), सेंटीमीटर (cm), मीटर (m), किलोमीटर (km), जहाँ

$$
1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad
1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad
1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.
$$

**उदाहरण 43.2.**

लंबाई $L$ और चौड़ाई $w$ वाले आयत का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) है

$$
P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).
$$

$7$ cm गुणा $4$ cm के आयत के लिए: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 =
22$ cm। भुजा $c$ वाले वर्ग का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $4c$ है।

**प्रतिज्ञप्ति 43.3 (वृत्त की परिधि).**

[त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $r$ वाले वृत्त का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) (या *परिधि*) है

$$
P = 2 \pi r ,
$$

जहाँ $\pi \approx 3.14$ हर वृत्त के लिए वही संख्या है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 43.4.**

एक गोल तालाब की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $5$ m है। उसकी सीमा $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m नापती है। ठीक मान $10\pi$ जितनी देर हो सके बनाए रखो; गोल केवल अंत में करो।

## 43.2 क्षेत्रफल

**परिभाषा 43.5 (क्षेत्रफल).**

किसी आकृति का *क्षेत्रफल* बताता है कि वह कितनी सतह ढकती है: उसके भीतर कितने इकाई वर्ग समाते हैं। मात्रक: cm$^2$ ($1$ cm भुजा वाला वर्ग), m$^2$, km$^2$, … सावधान:

$$
1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2
$$

— एक वर्ग मीटर $100$ cm गुणा $100$ cm का वर्ग है, इसलिए मात्रक की सीढ़ी का हर कदम $100$ का है, $10$ का नहीं।

![आयत का क्षेत्रफल: 4-4 इकाई वर्गों के 7 स्तंभ, यानी कुल 7 × 4 = 28 वर्ग। इसीलिए क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-14af5055761a.svg)

*आयत का [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area): $4$-$4$ इकाई वर्गों के $7$ स्तंभ, यानी कुल $7 \times 4 = 28$ वर्ग। इसीलिए [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई।*

**प्रतिज्ञप्ति 43.6 (क्षेत्रफल के बुनियादी सूत्र).**

| आकृति | [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) |
| --- | --- |
| आयत ($L \times w$) | $A = L \times w$ |
| वर्ग (भुजा $c$) | $A = c^2$ |
| [4pt] [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) (भुजाएँ $a$, $b$) | $A = \dfrac{a \times b}{2}$ |
| [4pt] चक्र ([त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $r$) | $A = \pi r^2$ |

**समकोण त्रिभुज की उपपत्ति.** $a$ और $b$ भुजाओं वाले [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) की दो प्रतियाँ कर्ण के साथ जोड़ने पर $a \times b$ का आयत बन जाता है। इसलिए त्रिभुज का [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) आयत का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है: $\frac{ab}{2}$। (आयत का सूत्र ऊपर की इकाई-वर्ग गिनती है; चक्र का सूत्र स्वीकृत है, देखो [अध्याय 53](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#ch-g7-areas)।) ∎

![समकोण त्रिभुज आयत का आधा है: इसीलिए सूत्र a× b/2।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-a4a30dcc245c.svg)

*[समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) आयत का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है: इसीलिए सूत्र $\frac{a\times b}{2}$।*

**उदाहरण 43.7 (जोड़-तोड़ वाली आकृतियाँ).**

L-आकार का कमरा $6$ m $\times$ $4$ m का आयत है जिसमें से $2$ m $\times$ $2$ m का वर्गाकार कोना हटा दिया गया है। उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area), कदम-दर-कदम:

1. पूरा आयत: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
2. हटाया गया वर्ग: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
3. बचा [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) : $24 - 4 = 20$ m $^2$ ।

उसका *[परिमाप](#def-g6-measure-perimeter)* $20$ किसी चीज़ का नहीं है: L के चारों ओर चलने पर सीमा फिर भी $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m नापती है — कोने की दोनों कटाइयाँ दीवार के दो बराबर टुकड़ों की जगह ले लेती हैं। संख्या संयोग से वही है, पर एक के लिए वर्ग मीटर और दूसरे के लिए मीटर!

**टिप्पणी 43.8 (वही परिमाप, अलग क्षेत्रफल).**

दो आकृतियों का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) एक हो सकता है और [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) बहुत अलग: $5 \times 5$ के वर्ग और $9 \times 1$ के आयत, दोनों का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $20$ है, पर [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $25$ और $9$। [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) और [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) सचमुच स्वतंत्र राशियाँ हैं।

## 43.3 आयतन

**परिभाषा 43.9 (आयतन).**

किसी [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का *आयतन* बताता है कि वह कितनी जगह भरता है: उसके भीतर कितने इकाई [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) समाते हैं। मात्रक: cm$^3$, m$^3$, … जहाँ $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$ (सीढ़ी का हर कदम $1000$ का है)। तरल पदार्थों के लिए *लीटर* भी चलता है:

$$
1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3,
\qquad
1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.
$$

**प्रतिज्ञप्ति 43.10 (घनाभ का आयतन).**

लंबाई $L$, चौड़ाई $w$ और ऊँचाई $h$ वाले आयताकार [घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) (*आयताकार [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)*) का [आयतन](#def-g6-measure-volume) है

$$
V = L \times w \times h .
$$

**उपपत्ति.** सबसे नीचे की परत में $L \times w$ इकाई [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) आते हैं ([परिभाषा 43.5](#def-g6-measure-area) वाला चित्र, वर्गों की जगह घनों के साथ), और ऐसी $h$ परतें हैं। ∎

![इकाई घनों से भरा घनाभ: हर परत में 4 × 2 घन, दो परतें।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-497f2a4f31dd.svg)

*इकाई घनों से भरा [घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def): हर परत में $4 \times 2$ [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), दो परतें।*

**उदाहरण 43.11.**

एक जलजीवशाला $60$ cm गुणा $30$ cm गुणा $40$ cm (ऊँचाई) की है। [आयतन](#def-g6-measure-volume):

$$
V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3
= 72 \text{ L}.
$$

बदलने का कदम: $1000$ cm$^3$ मिलकर एक लीटर बनते हैं, और $72\,000 \div 1000 = 72$।

## 43.4 अभ्यास

**अभ्यास 43.1 ★.**

बदलो: $3.5$ m को cm में; $420$ mm को cm में; $0.8$ km को m में; $25\,000$ m को km में।

**हल — अभ्यास 43.1.**

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km।

**अभ्यास 43.2 ★.**

[परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) निकालो: $8$ cm $\times$ $3.5$ cm का आयत; $6.2$ cm भुजा वाला वर्ग; $5$ cm, $7$ cm और $9$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज।

**हल — अभ्यास 43.2.**

आयत: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm। वर्ग: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm। त्रिभुज: $5 + 7 + 9 = 21$ cm।

**अभ्यास 43.3 ★.**

एक गोल दौड़-पथ की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $50$ m है। एक चक्कर कितना लंबा है ($\pi$ के साथ ठीक मान, फिर मीटर तक गोल)? कम से कम $2$ km के लिए कितने चक्कर चाहिए?

**हल — अभ्यास 43.3.**

एक चक्कर: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m। $2$ km $= 2000$ m के लिए: $2000 \div 314 \approx 6.4$, इसलिए $7$ पूरे चक्कर चाहिए ($6$ चक्कर केवल लगभग $1\,885$ m बनाते हैं)।

**अभ्यास 43.4 ★.**

[क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) निकालो: $9$ cm $\times$ $4$ cm का आयत; $7$ m भुजा वाला वर्ग; $6$ cm और $10$ cm भुजाओं वाला [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles); $3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) का चक्र (ठीक मान, फिर cm$^2$ तक गोल)।

**हल — अभ्यास 43.4.**

आयत: $9 \times 4 = 36$ cm$^2$। वर्ग: $7^2 = 49$ m$^2$। [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles): $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm$^2$। चक्र: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm$^2$।

**अभ्यास 43.5 ★.**

बदलो: $3$ m$^2$ को cm$^2$ में; $45\,000$ cm$^2$ को m$^2$ में; $2.5$ L को cm$^3$ में; $4\,500$ L को m$^3$ में।

**हल — अभ्यास 43.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$; $45\,000$ cm$^2 = 4.5$ m$^2$; $2.5$ L $= 2\,500$ cm$^3$; $4\,500$ L $= 4.5$ m$^3$।

**अभ्यास 43.6 ★.**

एक आयताकार खेत $120$ m लंबा और $85$ m चौड़ा है। उसे घेरने के लिए कितने मीटर बाड़ चाहिए? उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) क्या है?

**हल — अभ्यास 43.6.**

बाड़ ([परिमाप](#def-g6-measure-perimeter)): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m। [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area): $120 \times 85 = 10\,200$ m$^2$।

**अभ्यास 43.7 ★.**

$5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm के [घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का और $3$ cm [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) वाले [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का [आयतन](#def-g6-measure-volume) निकालो।

**हल — अभ्यास 43.7.**

[घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def): $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm$^3$। [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm$^3$।

**अभ्यास 43.8 ★.**

$16$ cm [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) वाले दो अलग-अलग आयत बनाओ, और उनके [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) निकालो। तुम्हारे किस आयत का [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) बड़ा है?

**हल — अभ्यास 43.8.**

[परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm का मतलब लंबाई $+$ चौड़ाई $= 8$ cm। जैसे $6 \times 2$ ([क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $12$ cm$^2$) और $5 \times 3$ ([क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $15$ cm$^2$) — या वर्ग $4 \times 4$ ([क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $16$ cm$^2$)। आकृति वर्ग के जितनी पास, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) उतना बड़ा।

**अभ्यास 43.9 ★★.**

T-आकार की एक आकृति $2 \times 6$ की खड़ी पट्टी के ऊपर रखी $10 \times 2$ की आड़ी पट्टी से बनी है (नाप cm में)। उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) निकालो, फिर उसका [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) (सीमा पर ध्यान से चलो, हर [किनारा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) जोड़ते हुए)।

**हल — अभ्यास 43.9.**

[क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area): $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm$^2$।

[परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) (डंडी पट्टी के ठीक बीच में): सीमा पर चलते हुए,

$$
10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}
$$

(ऊपर; पट्टी का दायाँ सिरा; नीचे दाईं ओर; डंडी की दाईं भुजा; डंडी का निचला सिरा; डंडी की बाईं भुजा; नीचे बाईं ओर; पट्टी का बायाँ सिरा)।

**अभ्यास 43.10 ★★.**

एक तरणताल $25$ m लंबा, $10$ m चौड़ा और $2$ m गहरा आयताकार [घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) है।

1. पूरा भरने पर उसमें कितने [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) मीटर पानी आता है?
2. वह कितने लीटर हुए?
3. ताल $50\,000$ L प्रति घंटे की दर से भरा जाता है। भरने में कितना समय लगेगा?

**हल — अभ्यास 43.10.**

*1.* $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m$^3$।

*2.* $500$ m$^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L।

*3.* $500\,000 \div 50\,000 = 10$ घंटे।

**अभ्यास 43.11 ★★.**

एक बग़ीचा $20$ m भुजा का वर्ग है जिसमें $3$ m [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) का गोल तालाब है। घास का [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) कितना है (ठीक मान, फिर m$^2$ तक गोल)?

**हल — अभ्यास 43.11.**

बग़ीचा: $20^2 = 400$ m$^2$। तालाब: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m$^2$। घास: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m$^2$।

**अभ्यास 43.12 ★★★.**

एक चॉकलेट $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm की है। बनाने वाला *तीनों* नाप दुगुने कर देता है।

1. [आयतन](#def-g6-measure-volume) कितने गुना हो जाता है? दोनों [आयतन](#def-g6-measure-volume) निकालकर पक्का करो।
2. दाम $4$ गुना कर दिया जाता है। क्या बड़ी चॉकलेट छोटी से ज़्यादा फ़ायदे का सौदा है?

**हल — अभ्यास 43.12.**

*1.* छोटी चॉकलेट: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm$^3$। बड़ी: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm$^3$। [आयतन](#def-g6-measure-volume) $720 \div 90 = 8$ गुना हो जाता है — तीनों नाप दुगुने करने पर [आयतन](#def-g6-measure-volume) $2 \times 2 \times 2 = 8$ गुना हो जाता है।

*2.* चार गुने दाम में आठ गुनी चॉकलेट: हाँ, प्रति ग्राम बड़ी चॉकलेट दुगुने फ़ायदे की है।

## 43.5 समस्या: रानी दीदो की बाड़

**समस्या 43.1.**

सप्ताहांत समस्या — बाड़ की तय लंबाई के साथ कौन-सा आकार सबसे ज़्यादा ज़मीन घेरता है? वर्ग हर आयत को हराता है, वृत्त वर्ग को हराता है, और खलिहान की दीवार सब कुछ बदल देती है

कथा कहती है कि रानी दीदो को समुद्र-तट पर उतरने पर “उतनी ज़मीन” दी गई “जितनी एक बैल की खाल घेर सके” — तो उसने खाल को एक बेहद लंबी पतली पट्टी में काटा और इतनी ज़मीन घेर ली कि कार्थेज नगर बस गया। अब उसकी समस्या तुम्हारी है: एक किसान के पास ठीक $20$ m बाड़ है। [अभ्यास 43.8](#exo-g6-measure-8) ने दिखाया था कि एक ही [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) वाले दो बाड़ों के [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) अलग हो सकते हैं; यह समस्या *सबसे अच्छा* बाड़ा खोजती है — और पता चलता है कि खलिहान की दीवार एक भुजा मुफ़्त दे दे, तो उत्तर पूरी तरह बदल जाता है।

**भाग I — बीस मीटर बाड़।**

1. बाड़ा आयत होना चाहिए और पूरी $20$ m बाड़ इस्तेमाल होनी चाहिए। जाँचो कि $1 \times 9$ और $2 \times 8$ के बाड़े दोनों शर्त पूरी करते हैं, और उनके [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) निकालो।
2. समझाओ कि हर योग्य बाड़े की लंबाई और चौड़ाई मिलकर $10$ m क्यों बनती हैं। फिर पूर्ण संख्याओं वाले बाड़ों ( $1 \times 9$ से $5 \times 5$ तक) की उनके क्षेत्रफलों समेत पूरी सारणी बनाओ। सबसे अच्छा कौन-सा है?
3. क्या दशमलव भुजाएँ आज़माने लायक़ हैं? $4.5 \times 5.5$ और $4.9 \times 5.1$ के बाड़ों के [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) निकालो, और $5 \times 5$ के वर्ग से तुलना करो। तुम्हारा अनुमान क्या है?
4. प्रश्न 2 ने बाड़ की समस्या को शुद्ध संख्या के सवाल में बदल दिया: *$10$ योग वाली संख्याओं की सारी जोड़ियों में किस जोड़ी का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) सबसे बड़ा है?* अपनी सारणी से उत्तर दो, और जो सामान्य नियम दिखे उसे लिखो।
5. यहाँ बीजगणित के बजाय क़ैंची से समझो कि वर्ग से हटना हमेशा घाटे का सौदा क्यों है: $5 \times 5$ के बाड़े से शुरू करो और एक पट्टी हटाकर दूसरी चिपकाकर उसे $6 \times 4$ का बाड़ा बना दो। कौन-सी पट्टी हटती है, कौन-सी जुड़ती है, और अदला-बदली में ठीक एक वर्ग मीटर का घाटा क्यों होता है? समझाओ कि अगला कदम ( $7 \times 3$ तक) और ज़्यादा घाटा क्यों देता है।

**भाग II — खलिहान, और वृत्त।**

6. अब बाड़ा खलिहान की एक लंबी दीवार से सटाकर बनता है: दीवार बाड़े की एक लंबाई की जगह ले लेती है, और $20$ m बाड़ केवल बाक़ी तीन भुजाओं पर लगती है। पूर्ण संख्याओं वाले बाड़ों (चौड़ाई $w$ , दीवार के साथ लंबाई $L$ , $w + L + w = 20$ ) और उनके क्षेत्रफलों की सारणी बनाओ। अब कौन-सा बाड़ा जीतता है — और क्या वह वर्ग है?
7. जीतने वाले को दर्पण से समझाओ ( [अध्याय 42](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#ch-g6-symmetry) ): बाड़े को खलिहान की दीवार पर परावर्तित करो और दुगुने बाड़े को देखो। दुगुना बाड़ा कितनी बाड़ इस्तेमाल करता है, भाग I के अनुसार कौन-सा दुगुना बाड़ा सबसे अच्छा है, और उससे असली बाड़ा क्या बनता है?
8. दीदो ने आयत नहीं बनाया था। $20$ m बाड़ को मोड़कर वृत्त बनाओ: $\pi \approx 3.14$ लेकर उसकी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) (cm तक), फिर उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) (m $^2$ तक) निकालो ( [प्रतिज्ञप्ति 43.3](#prop-g6-measure-circle) , [प्रतिज्ञप्ति 43.6](#prop-g6-measure-formulas) )। $5 \times 5$ के वर्ग से तुलना करो।
9. उलटी समस्या: ठीक $36$ m $^2$ [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) वाला बाड़ा चाहिए, और बाड़ जितनी कम लगे उतना अच्छा। आयतों $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ और $6 \times 6$ की तुलना करो: [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) ? कौन-सा आकार सबसे सस्ता है, और यह सवाल भाग I का दर्पण-प्रतिबिंब कैसे है?
10. एक वाक्य में: टिन, पाइप और पानी की टंकियाँ इतनी बार *गोल* क्यों होती हैं?

**भाग III — [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) और [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) अजनबी हैं।**

11. ऐसा आयत ढूँढ़ो जिसका [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $100$ m से ज़्यादा हो पर [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $1$ m $^2$ से कम। (बहुत लंबा और बहुत पतला। दशमलव चलेंगे।)
12. सही या ग़लत: “दो आकृतियों में जिसका [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) बड़ा हो उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) भी बड़ा होता है।” इसी समस्या से एक प्रति-उदाहरण दो।
13. $6 \times 4$ का आयत लो और उसकी किसी लंबी भुजा के बीच में $1 \times 1$ का वर्गाकार खाँचा काट दो (खाँचा बाहर की ओर खुलता है, जैसे कोई दाँत ग़ायब हो)। खाँचे वाली आकृति का [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) और [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) निकालो, और दोनों की तुलना मूल आयत से करो। हर एक का क्या हुआ?
14. नक़्शा बनाने वाले एक अजीब बात जानते हैं: नक़्शा जितना बारीक़ हो, समुद्र-तट उतना ही *लंबा* नापता है — हर ज़ूम नए छोटे-छोटे खाँचे दिखा देता है, और प्रश्न 13 बताता है कि हर खाँचा क्या करता है। एक-दो वाक्यों में समझाओ कि “किसी तट की लंबाई” फिसलनी संख्या क्यों है, जबकि “उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) ” नहीं।
15. किसान की परीक्षा। $36$ m बाड़ और खलिहान की दीवार उपलब्ध हो, तो सबसे अच्छा आयताकार बाड़ा ढूँढ़ो (प्रश्न 7 वाला दर्पण लगाओ), उसका [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) बताओ, और खुले मैदान में $36$ m से बने सबसे अच्छे बाड़े से तुलना करो। खलिहान की दीवार किसान को कितना कमा कर देती है?

**हल — समस्या 43.1.**

**1.** $1 \times 9$: [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (1 + 9) = 20$ m, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $9$ m$^2$। $2 \times 8$: [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times 10 = 20$ m, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $16$ m$^2$।

**2.** [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) (लंबाई $+$ चौड़ाई) का दुगुना है ([उदाहरण 43.2](#ex-g6-measure-perimeter)), इसलिए लंबाई $+$ चौड़ाई $= 20 \div 2 = 10$ m। सारणी:

| बाड़ा | $1 \times 9$ | $2 \times 8$ | $3 \times 7$ | $4 \times 6$ | $5 \times 5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) (m$^2$) | $9$ | $16$ | $21$ | $24$ | $25$ |

वर्ग $5 \times 5$ सबसे अच्छा है।

**3.** $4.5 \times 5.5 = 24.75$ और $4.9 \times 5.1 =
24.99$: $25$ के और-और पास, पर फिर भी उससे नीचे। अनुमान: वर्ग [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $20$ वाले *हर* आयत को हरा देता है, दशमलव भुजाओं वाले भी।

**4.** सारणी से: योग $10$ वाली दो संख्याओं का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) तब सबसे बड़ा होता है जब दोनों संख्याएँ *बराबर* हों ($5$ और $5$)। सामान्य नियम: तय योग के लिए [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) बराबर हिस्सों पर सबसे बड़ा होता है — जोड़ी जितनी असमान, [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) उतना ही छोटा।

**5.** $5 \times 5$ के वर्ग से ऊपर वाली पंक्ति हटाओ — $5$ इकाई वर्गों की पट्टी — तो $5 \times 4$ का बाड़ा बचता है; फिर एक सिरे पर $4$ इकाई वर्गों का स्तंभ चिपका दो, जिससे बाड़ा $6 \times 4$ बन जाता है। पाँच वर्ग निकले और केवल चार लौटे: जुड़ी हुई पट्टी $4$ वाली भुजा पर लगी है, जो उस $5$ वाली भुजा से छोटी है जिस पर हटाई गई पट्टी थी। शुद्ध घाटा: एक वर्ग मीटर ($25 \to 24$)। अगला कदम, $6 \times 4$ से $7 \times 3$, $6$ की पंक्ति देकर $3$ का स्तंभ लेता है और तीन और गँवाता है ($24 \to 21$): बाड़ा वर्ग से जितना दूर, उतनी ही लंबी पट्टी वह देता है और उतनी ही छोटी वापस पाता है।

**6.** $w + L + w = 20$ के साथ, यानी $L = 20 - 2w$:

| $w$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $L$ | $18$ | $16$ | $14$ | $12$ | $10$ | $8$ | $6$ |
| [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) | $18$ | $32$ | $42$ | $48$ | $50$ | $48$ | $42$ |

जीतने वाला $5 \times 10$ है, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — दीवार के साथ की लंबाई चौड़ाई की दुगुनी: वर्ग *नहीं*।

**7.** बाड़े को दीवार पर परावर्तित करो: बाड़ा और उसका दर्पण-प्रतिबिंब मिलकर ऐसा दुगुना बाड़ा बनाते हैं जो बाड़ दो बार इस्तेमाल करता है, चारों ओर $40$ m बाड़ (दीवार वाली भुजा अब भीतर है)। भाग I के अनुसार [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $40$ वाला सबसे अच्छा आयत वर्ग $10 \times 10$ है, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $100$ m$^2$। सबसे अच्छा असली बाड़ा उसी सबसे अच्छे दुगुने बाड़े का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है: दीवार के साथ $10$ m, गहराई $5$ m, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — ठीक सारणी वाला विजेता, अब समझाया हुआ।

**8.** परिधि $20 = 2 \times \pi \times r$, इसलिए $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m। [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area): $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx
31.8$ m$^2$ — वर्ग के $25$ m$^2$ से आराम से ज़्यादा। दीदो जानती थी कि वह क्या कर रही है: सीमा की दी हुई लंबाई के लिए वृत्त सबसे ज़्यादा घेरता है।

**9.** [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter): $1 \times 36$: $74$ m; $2 \times 18$: $40$ m; $3 \times 12$: $30$ m; $4 \times 9$: $26$ m; $6 \times 6$: $24$ m। फिर वर्ग — दिए हुए [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) के लिए सबसे कम बाड़। यह भाग I उलटा है: तय [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter), सबसे बड़ा [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area), या तय [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area), सबसे छोटा [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter): दोनों वर्ग को ही ताज पहनाते हैं (और सारे आयतों से आगे, वृत्त को)।

**10.** गोल दीवार अपने घेरे हुए स्थान के लिए सबसे छोटी सीमा है (प्रश्न 8), इसलिए गोल टिन, पाइप या टंकी सबसे कम धातु में सबसे ज़्यादा सामान रखती है — सामग्री ही पैसा है।

**11.** जैसे $50$ m $\times$ $0.01$ m: [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $50 \times 0.01 = 0.5$ m$^2$। लंबा और पतला: किलोमीटरों की सीमा, ज़मीन नाम भर की।

**12.** ग़लत। प्रश्न 11 वाले बाड़े का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $100.02$ m और [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $0.5$ m$^2$ है, जबकि $5 \times 5$ के बाड़े का [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $20$ m और [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $25$ m$^2$: बड़ा [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter), कहीं छोटा [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area)।

**13.** [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area): एक इकाई वर्ग कम हो गया, $24 - 1 = 23$ cm$^2$। [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter): सीमा पर चलते हुए, खाँचा $1$ cm सीधी दीवार की जगह छोटे वर्ग की तीन भुजाएँ रख देता है, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $20$ cm से बढ़कर $20 - 1 + 3 = 22$ cm हो जाता है। सामान हटाने से सीमा *लंबी* हो गई।

**14.** असली तट पर हर ज़ूम नई खाड़ियाँ, चट्टानें और नाले दिखा देता है — खाँचों पर खाँचे, और प्रश्न 13 बताता है कि हर खाँचा सीमा की लंबाई बढ़ाता है पर [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) में मुश्किल से कुछ बदलता है। इसलिए नापी गई लंबाई बारीक़ी के साथ बढ़ती जाती है (“तटरेखा का विरोधाभास”), जबकि नापा गया [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) ठहर जाता है: [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) और [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) सचमुच स्वतंत्र राशियाँ हैं।

**15.** दर्पण वाली दलील: दुगुना बाड़ा $2 \times 36 = 72$ m बाड़ इस्तेमाल करता, और [परिमाप](#def-g6-measure-perimeter) $72$ वाला सबसे अच्छा आयत $18 \times 18$ का वर्ग है। तो सबसे अच्छा बाड़ा दीवार के साथ $18$ m और गहराई $9$ m का है: बाड़ की जाँच $9 + 18 + 9 = 36$ m, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $18 \times 9 = 162$ m$^2$। खुले मैदान में सबसे अच्छा $9 \times 9$ का वर्ग है, [क्षेत्रफल](#def-g6-measure-area) $81$ m$^2$। खलिहान की दीवार किसान की ज़मीन ठीक *दुगुनी* कर देती है।