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title: "संक्रियाओं की प्राथमिकता"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 45
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations
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# अध्याय 45 — संक्रियाओं की प्राथमिकता

$3 + 4 \times 5$ कितना है? बाएँ से दाएँ निकालो तो $35$ मिलता है; पहले गुणा करो तो $23$। गणित को एक ही उत्तर चाहिए, इसलिए गणनाओं के अपने यातायात-नियम हैं — प्राथमिकताएँ। यह अध्याय उन्हें बताता है और बीजगणित की पहली सर्वसमिका, वितरण नियम, सामने लाता है।

## 45.1 प्राथमिकता के नियम

**प्रमेय 45.1 (प्राथमिकता के नियम).**

कोष्ठक न हों तो किसी गणना में:

1. गुणा और भाग, जोड़ और घटाव से *पहले* किए जाते हैं;
2. एक ही स्तर की संक्रियाएँ बाएँ से दाएँ की जाती हैं।

कोष्ठक सब पर भारी हैं: कोष्ठकों के भीतर वाला पहले निकलता है, और सबसे भीतर वाले से शुरू करके।

**उदाहरण 45.2.**

हर पंक्ति में एक कदम, और (मन-ही-मन) जो निकाला जा रहा है उसे रेखांकित करते हुए:

$$
\begin{align*}
3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23
&&\text{(पहले गुणा)}\\
20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14
&&\text{(एक ही स्तर: बाएँ से दाएँ)}\\
18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12
&&\text{(एक ही स्तर: बाएँ से दाएँ)}\\
(3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35
&&\text{(पहले कोष्ठक)।}
\end{align*}
$$

जालों पर ध्यान दो: $20 - 8 + 2$, $20 - 10$ *नहीं* है, और $18 \div 3 \times 2$, $18 \div 6$ *नहीं* है।

**उदाहरण 45.3 (कोष्ठक के भीतर कोष्ठक).**

$$
\begin{align*}
50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr)
&= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(सबसे भीतरी कोष्ठक)}\\
&= 50 - 2 \times 9 && \text{(बचा हुआ कोष्ठक)}\\
&= 50 - 18 && \text{(गुणा)}\\
&= 32 .
\end{align*}
$$

**टिप्पणी 45.4 (भिन्न की रेखा में कोष्ठक छिपे होते हैं).**

[भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) की रेखा अपने [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) और हर को ऐसे बाँध देती है मानो हर एक के इर्द-गिर्द अनदेखे कोष्ठक हों:

$$
\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5,
\qquad\text{न कि}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .
$$

**विधि 45.5 (सुरक्षित गणना).**

1. पहले होने वाली संक्रिया पहचानो (सबसे भीतरी कोष्ठक, फिर $\times$ और $\div$ , फिर $+$ और $-$ );
2. *केवल वही* निकालो, और नतीजे को जगह पर रखकर पूरा व्यंजक दोबारा लिखो;
3. तब तक दोहराओ जब तक एक ही संख्या बचे — हर पंक्ति में एक संक्रिया, कोई छोटा रास्ता नहीं।

## 45.2 वितरण नियम

**प्रमेय 45.6 (वितरण नियम).**

सारी संख्याओं $k$, $a$, $b$ के लिए:

$$
k \times (a + b) = k \times a + k \times b,
\qquad
k \times (a - b) = k \times a - k \times b .
$$

**चित्र से उपपत्ति.** चौड़ाई $k$ के उस आयत का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) गिनो जो लंबाइयों $a$ और $b$ के दो छोटे आयतों में बँटा है: पूरा लेने पर वह $k \times (a+b)$ है; दो हिस्सों में $k \times a + k \times b$। वही आयत, वही [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)। ∎

![क्षेत्रफलों के रूप में वितरण नियम: बड़ा आयत k × (a + b) दोनों छोटे आयतों का योगफल है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-priorities/fig-20d5069e21cc.svg)

*क्षेत्रफलों के रूप में वितरण नियम: बड़ा आयत $k \times (a + b)$ दोनों छोटे आयतों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) है।*

**उदाहरण 45.7 (दोनों दिशाएँ).**

*फैलाना* (बाएँ से दाएँ) मानसिक गणित आसान कर देता है:

$$
7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721,
\qquad
6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .
$$

*गुणनखंडन* (दाएँ से बाएँ) साझा गुणनखंड बाहर निकाल लेता है:

$$
23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .
$$

**उदाहरण 45.8 (शब्दों को गणना में बदलना).**

“$8$ और $5$ तथा $3$ के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)” है $8 + 5 \times 3 =
23$। “$5$ का, $8$ और $3$ के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)” है $5 \times (8 + 3) = 55$: “… के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)” शब्द [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के इर्द-गिर्द कोष्ठक लगा देते हैं।

## 45.3 अभ्यास

**अभ्यास 45.1 ★.**

हर पंक्ति में एक संक्रिया लेकर निकालो:

$$
5 + 3 \times 6, \qquad
(5 + 3) \times 6, \qquad
30 - 12 \div 4, \qquad
(30 - 12) \div 4 .
$$

**हल — अभ्यास 45.1.**

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$।

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$।

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$।

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$।

**अभ्यास 45.2 ★.**

निकालो:

$$
24 - 6 + 2, \qquad
24 \div 6 \times 2, \qquad
24 - 6 \times 2, \qquad
24 \div (6 \times 2).
$$

**हल — अभ्यास 45.2.**

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (बाएँ से दाएँ)।

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (बाएँ से दाएँ)।

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (पहले गुणा)।

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$।

**अभ्यास 45.3 ★.**

कदम-दर-कदम निकालो:

$$
7 + 3 \times (10 - 6), \qquad
40 - (2 + 3) \times 4, \qquad
60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).
$$

**हल — अभ्यास 45.3.**

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$।

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$।

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3)
= 60 \div 6 = 10$।

**अभ्यास 45.4 ★.**

भिन्नें निकालो (अनदेखे कोष्ठक!):

$$
\frac{18 + 6}{8}, \qquad
\frac{30}{7 - 2}, \qquad
\frac{5 \times 8}{4 + 6} .
$$

**हल — अभ्यास 45.4.**

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$।

**अभ्यास 45.5 ★.**

वितरण नियम से मन-ही-मन निकालो:

$$
8 \times 102, \qquad
25 \times 99, \qquad
14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad
37 \times 45 - 37 \times 35 .
$$

**हल — अभ्यास 45.5.**

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$।

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$।

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$।

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 =
370$।

**अभ्यास 45.6 ★.**

गणना एक ही पंक्ति में लिखो, जहाँ ज़रूरी हो वहाँ कोष्ठक लगाकर, फिर निकालो: “$50$ का और $6$ तथा $7$ के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference)”; “$4$ और $5$ के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) का, $10$ और $8$ के [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)”।

**हल — अभ्यास 45.6.**

“$50$ का और $6$ तथा $7$ के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference)”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (कोष्ठक की ज़रूरत नहीं, प्राथमिकता ही काम कर देती है)।

“$4$ और $5$ के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) का, $10$ और $8$ के [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$।

**अभ्यास 45.7 ★.**

अमीर ने $2.50$-$2.50$ की $3$ कॉपियाँ और $1.20$-$1.20$ की $2$ क़लमें ख़रीदीं। उसका कुल एक ही व्यंजक में लिखो, फिर निकालो।

**हल — अभ्यास 45.7.**

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ यूरो।

**अभ्यास 45.8 ★★.**

$4 + 2 \times 5 - 1$ में कोष्ठक ऐसे लगाओ कि नतीजा हो: (a) $13$; (b) $29$; (c) $24$। (इनमें से एक को कोई कोष्ठक चाहिए ही नहीं — कौन-सा?)

**हल — अभ्यास 45.8.**

(a) कोष्ठक नहीं: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$।

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$।

(c) $(4 + 2) \times (5 - 1) = 6 \times 4 = 24$।

**अभ्यास 45.9 ★★.**

क्या $12 + 4 \times k$ और $16 \times k$ हर संख्या $k$ के लिए एक ही हैं? $k = 1$ और $k = 2$ पर आज़माओ, और निष्कर्ष निकालो। प्राथमिकता की कौन-सी ग़लती एक से दूसरे तक ले जाती है?

**हल — अभ्यास 45.9.**

$k = 1$: $12 + 4 \times 1 = 16$ और $16 \times 1 = 16$ — ये मिल जाते हैं (इसीलिए $k = 1$ बुरी जाँच है!)। $k = 2$: $12 + 4 \times 2 = 20$ पर $16 \times 2 = 32$: अलग। तो दोनों व्यंजक आम तौर पर बराबर *नहीं* हैं। ग़लती $12 + 4 \times k = 16 \times k$, $\times$ की प्राथमिकता अनदेखी करके पहले $12 + 4$ जोड़ने से आती है।

**अभ्यास 45.10 ★★.**

सिनेमा का एक टिकट $9$ यूरो का है, पर $n$ लोगों का समूह एकमुश्त $12$ यूरो और प्रति व्यक्ति $6$ यूरो देता है।

1. समूह के दाम का व्यंजक लिखो, और $n = 5$ के लिए निकालो।
2. कितने लोगों से समूह वाली दर $n$ अलग-अलग टिकटों से सस्ती पड़ने लगती है? ( $n$ के कुछ मान आज़माओ।)

**हल — अभ्यास 45.10.**

*1.* समूह का दाम: $12 + 6 \times n$। $n = 5$ के लिए: $12 + 30 = 42$ यूरो।

*2.* अलग-अलग दाम: $9n$। तुलना: $n = 3$: $30$ बनाम $27$ (अलग सस्ता); $n = 4$: $36$ बनाम $36$ (बराबर); $n = 5$: $42$ बनाम $45$ (समूह सस्ता)। $5$ लोगों से आगे समूह वाली दर जीतती है (हर अतिरिक्त व्यक्ति $9$ की जगह $6$ का पड़ता है, इसलिए फ़ासला बढ़ता ही जाता है)।

**अभ्यास 45.11 ★★★.**

अंकों $1$, $2$, $3$, $4$ में से हर एक को ठीक एक बार, चारों संक्रियाएँ और मनचाहे कोष्ठक लेकर, $24$, $10$ और $1$ के बराबर व्यंजक लिखो।

**हल — अभ्यास 45.11.**

संभव उत्तर (कई हैं):

$$
24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad
10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad
1 = (4 - 3) \times (2 - 1).
$$

## 45.4 समस्या: मिस्री लिपिक की तरह गुणा करना

**समस्या 45.1.**

सप्ताहांत समस्या — वितरण नियम से निकली मानसिक गणित की तरकीबें, और चार हज़ार साल से चली आ रही दुगुना-आधा वाली गुणा-विधि

कैलकुलेटरों से बहुत पहले — और विद्यालय में पहाड़े रटाए जाने से भी पहले — मिस्र के लिपिक और रूसी किसान किन्हीं दो संख्याओं का गुणा केवल *दुगुना करने, [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करने और जोड़ने* से कर लेते थे। उनका तरीक़ा जादू जैसा लगता है; असल में वह पूरी ताक़त से काम करता वितरण नियम ([प्रमेय 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)) है। यह समस्या पहले तुम्हारा मानसिक गणित तेज़ करती है, फिर वह पुरानी विधि सिखाती है, और फिर बोनट खोलकर दिखाती है कि वह चलती क्यों है।

**भाग I — न निकालने की कला।**

1. [उदाहरण 45.7](#ex-g7-priorities-distributivity) की तरह फैलाकर मन-ही-मन निकालो: $7 \times 102$ और $9 \times 98$ ।
2. गुणनखंडन से मन-ही-मन निकालो: $17 \times 13 + 17 \times 7$ और $45 \times 101 - 45$ ।
3. “ $5$ से गुणा” वाली तरकीब: $5$ से गुणा करने के लिए $10$ से गुणा करो और [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) कर दो। $5 \times 87$ इसी तरह निकालो, और समझाओ कि यह तरकीब जायज़ क्यों है।
4. दो और तरकीबें, जिन्हें पक्का करके इस्तेमाल करना है: $25$ से गुणा करने के लिए $100$ से गुणा करके $4$ का भाग दो ( $25 \times 32$ निकालो); $99$ से गुणा करने के लिए $100$ से गुणा करके एक बार घटा दो ( $99 \times 47$ निकालो)।
5. एक चेतावनी: वितरण नियम किसी गुणनखंड को *[योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)* पर फैलाता है, [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) पर कभी नहीं। $8 \times (5 + 3)$ की $8 \times 5 + 8 \times 3$ से तुलना करो, और फिर $8 \times (5 \times 3)$ की $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ से: कौन-सी जोड़ी मिलती है, कौन-सी नहीं?

**भाग II — दुगुना-आधा वाली विधि।** $13 \times 24$ के लिए विधि यह है। दो स्तंभ लिखो। बायाँ स्तंभ: $13$ से शुरू करो और *[आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)* करते जाओ, [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) छोड़ते हुए, $1$ तक: $13,\ 6,\ 3,\ 1$। दायाँ स्तंभ: $24$ से शुरू करो और उतनी ही बार *दुगुना* करो: $24,\ 48,\ 96,\ 192$। जिस पंक्ति की *बाईं* संख्या सम हो उसे काट दो, और बची हुई दाईं संख्याएँ जोड़ लो।

6. $13 \times 24$ के लिए विधि चलाओ: कौन-सी पंक्ति कटती है, क्या [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) बचता है, और क्या वह $13 \times 24$ के बराबर है?
7. इसी विधि से $21 \times 17$ निकालो ( $21$ को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करो, $17$ को दुगुना), और उत्तर आम गुणा से जाँचो।
8. इसी विधि से $16 \times 25$ निकालो। कितनी पंक्तियाँ बचती हैं, और $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ से शुरू होने वाले बाएँ स्तंभ में ख़ास क्या है?
9. अब *क्यों* चलती है, एक-एक कदम। हर बराबरी को वितरण नियम से पक्का करो: $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24  = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$ सार: बाएँ को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) और दाएँ को दुगुना करने से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) वही रहता है — पर बाईं संख्या *विषम* हो, तो दाईं संख्या की एक प्रति अलग हो जाती है और उसे जमा कर लेना पड़ता है। सारणी की पहली पंक्ति कौन-सी संख्या जमा करती है?
10. सारणी में नीचे तक हिसाब चलाते जाओ: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , फिर $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , फिर $1 \times 192 = 192$ । रास्ते में जमा हुआ सब इकट्ठा करो, और समझाओ कि जमा हुई संख्याएँ ठीक उन्हीं पंक्तियों की दाईं संख्याएँ क्यों हैं जिनकी बाईं संख्या विषम है — यानी वे पंक्तियाँ जिन्हें विधि रखती है।

**भाग III — बोनट के नीचे: दुगुनों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)।**

11. प्रश्न 6 में बची हुई पंक्तियाँ $24$ के $1$ , $4$ और $8$ दुगुनों के बराबर थीं: विधि ने चुपचाप $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ लिख दिया। जाँचो कि $1 + 4 + 8 = 13$ , और पता करो कि प्रश्न 7 में $21$ के लिए विधि ने कौन-से दुगुने ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) रखे।
12. $25$ और $42$ को दुगुनों की सूची $1, 2, 4, 8, 16, 32$ की संख्याओं के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के रूप में लिखो, हर एक को ज़्यादा से ज़्यादा एक बार लेकर।
13. समझाओ कि *हर* पूर्ण संख्या ऐसे क्यों लिखी जा सकती है: जो सबसे बड़ी दुगुनी संख्या समा जाए वह लो, घटाओ, दोहराओ — यह रुकना क्यों पड़ेगा? $100$ को ऐसे [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के रूप में लिखो।
14. मिस्र के लिपिक चार हज़ार साल पहले ठीक यही करते थे: $19 \times 35$ निकालने के लिए वे $35$ की दुगुनी सारणी बनाते ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), $19$ बनाने वाली पंक्तियाँ चुनते, और जोड़ लेते। उनके तरीक़े से गणना करो।
15. आख़िरी सवाल: आधुनिक संगणक, जो $0$ और $1$ से गिनते हैं, असल में लिपिकों जैसे ही गुणा करते हैं — दुगुनों और जोड़ों से। $13 \times 24$ के लिए संगणक कौन-से तीन जोड़ करेगा? (हर संख्या दुगुनों में क्यों बँट जाती है, और इसका $0$ तथा $1$ से क्या नाता है, यह घातों वाले अध्याय की सप्ताहांत समस्या है: [समस्या 56.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#pb-g8-powers-1) ।)

**हल — समस्या 45.1.**

**1.** $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 =
714$; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$।

**2.** $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) =
17 \times 20 = 340$; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101
- 1) = 45 \times 100 = 4\,500$।

**3.** $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$। जायज़ क्यों: $5 = 10 \div 2$, इसलिए $5$ से गुणा करना यानी $10$ से गुणा करके $2$ का भाग देना (एक ही स्तर पर $\times$ और $\div$ का बाएँ से दाएँ क्रम बाक़ी सँभाल लेता है)।

**4.** $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$, क्योंकि $25 = 100 \div 4$। और $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$: [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) पर वितरण नियम ([प्रमेय 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity))।

**5.** $8 \times (5 + 3) = 64$ और $8 \times 5 + 8 \times 3
= 40 + 24 = 64$: दोनों मिलते हैं — यही वितरण नियम है। पर $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$, जबकि $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$: नहीं मिलते। गुणनखंड *[योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के पदों* पर फैलता है, [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) के गुणनखंडों पर नहीं।

**6.**

| $13$ | $24$ | रखी ($13$ विषम) |
| --- | --- | --- |
| $6$ | $48$ | काटी ($6$ सम) |
| $3$ | $96$ | रखी |
| $1$ | $192$ | रखी |

बची हुई दाईं संख्याओं का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $24 + 96 + 192 = 312$, और सचमुच $13 \times 24 = 312$।

**7.** $21$ को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करना: $21, 10, 5, 2, 1$; $17$ को दुगुना: $17, 34, 68, 136, 272$। सम बाएँ $10$ और $2$ कट जाते हैं; बची हुई $17 + 68 + 272 = 357$। जाँच: $21 \times 17 = 357$।

**8.** $16$ को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करना: $16, 8, 4, 2, 1$; $25$ को दुगुना: $25, 50, 100, 200, 400$। आख़िरी $1$ को छोड़कर हर बाईं संख्या सम है: केवल एक पंक्ति बचती है, और उत्तर $400$ है। शुद्ध दुगुनों से बना बायाँ स्तंभ केवल अपनी आख़िरी पंक्ति रखता है — विधि सिमटकर केवल दुगुना करना रह जाती है।

**9.** $13 = 12 + 1$, इसलिए वितरण नियम से $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$; और $12 \times 24 = 6 \times 48$, क्योंकि एक गुणनखंड को [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) और दूसरे को दुगुना करने से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) नहीं बदलता ($12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$)। विषम बाईं संख्या $13$ ने दाईं संख्या की एक प्रति अलग कर दी: पहली पंक्ति $24$ जमा करती है।

**10.** $6 \times 48 = 3 \times 96$ (आधा-दुगुना, कुछ जमा नहीं: $6$ सम है)। $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 =
1 \times 192 + 96$: विषम $3$, $96$ जमा करता है। आख़िर में $1 \times 192 = 192$: विषम $1$, $192$ जमा करता है और सारणी ख़त्म। कुल जमा: $24 + 96 + 192 = 312$। कोई पंक्ति अपनी दाईं संख्या ठीक तभी जमा करती है जब उसकी बाईं संख्या विषम हो — यानी विधि “विषम बाईं वाली पंक्तियाँ रखो और जोड़ो” ठीक वितरण नियम का हिसाब-किताब है।

**11.** $1 + 4 + 8 = 13$। $21$ के लिए बची हुई पंक्तियाँ $17$, $68 = 4 \times 17$ और $272 = 16 \times 17$ वाली थीं: यानी दुगुने $1 + 4 + 16 = 21$।

**12.** $25 = 16 + 8 + 1$ और $42 = 32 + 8 + 2$।

**13.** लक्ष्य से बड़ी न होने वाली सबसे बड़ी दुगुनी संख्या लेकर घटा दो; जो बचता है वह छोटा है, और अभी-अभी इस्तेमाल की गई दुगुनी संख्या से भी छोटा (नहीं तो उससे बड़ी समा जाती)। दोहराने पर [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) लगातार सिकुड़ता है और $0$ तक पहुँचना ही पड़ता है: प्रक्रिया रुक जाती है, और इस्तेमाल हुए दुगुने सब अलग-अलग होते हैं। $100$ के लिए: $64$ समाता है ($36$ बचा), $32$ समाता है ($4$ बचा), $4$ समाता है ($0$ बचा): $100 = 64 + 32 + 4$।

**14.** $35$ की दुगुनी सारणी: $1 \to 35$, $2 \to 70$, $4 \to 140$, $8 \to 280$, $16 \to 560$। चूँकि $19 = 16 + 2 + 1$, वही पंक्तियाँ चुनो: $560 + 70 + 35 = 665$। जाँच: $19 \times 35 = 665$।

**15.** वही तीन जो लिपिक और किसान के थे: $24 + 96 + 192$ — $24$ के वे दुगुने जो $13 = 1 + 4 + 8$ ने चुने। संख्याओं को दुगुनों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के रूप में लिखना ठीक उन्हें $0$ और $1$ से लिखना है; पूरी कहानी [समस्या 56.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#pb-g8-powers-1) में है।