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title: "ऋण संख्याएँ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 46
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers
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# अध्याय 46 — ऋण संख्याएँ

[शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से नीचे का तापमान, ज़मीन के नीचे की मंज़िलें, चुकाया जाने वाला क़र्ज़: कई राशियाँ $0$ से नीचे चली जाती हैं। ऋण संख्याएँ संख्या रेखा को [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) के बाईं ओर बढ़ा देती हैं। यह अध्याय उनकी तुलना करना और उन्हें जोड़ना-घटाना सिखाता है — उनका गुणा [अध्याय 54](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ch-g8-negprod) में आएगा।

## 46.1 सापेक्ष संख्याएँ

**परिभाषा 46.1 (सापेक्ष संख्याएँ).**

*सापेक्ष संख्या* एक चिह्न ($+$ या $-$) और *[शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से दूरी* से बनती है: $+3$ और $-3$ दोनों $0$ से $3$ की दूरी पर हैं, पर उलटी ओर। धन संख्याएँ आम तौर पर बिना चिह्न के लिखी जाती हैं: $+3 = 3$। संख्याएँ $+3$ और $-3$ एक-दूसरे की *विपरीत* हैं।

![संख्या रेखा बाईं ओर बढ़ी हुई: -3 और +3 विपरीत संख्याएँ हैं, 0 से एक ही दूरी पर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-d11f9c05fe48.svg)

*संख्या रेखा बाईं ओर बढ़ी हुई: $-3$ और $+3$ [विपरीत संख्याएँ](#def-g7-negatives-def) हैं, $0$ से एक ही दूरी पर।*

**विधि 46.2 (सापेक्ष संख्याओं की तुलना).**

संख्या रेखा पर जितना बाईं ओर, उतनी छोटी। व्यवहार में:

1. ऋण संख्या हमेशा किसी भी धन संख्या से छोटी होती है: $-7 < 2$ ;
2. दो धन संख्याओं में वही पुराना क्रम;
3. दो ऋण संख्याओं में जिसकी [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से दूरी *ज़्यादा* हो वही *छोटी* है: $-7 < -2$ ।

**उदाहरण 46.3.**

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ: $3$; $-5$; $0$; $-1.5$; $2.8$। पहले ऋण संख्याएँ, सबसे अधिक ऋण वाली आगे:

$$
-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .
$$

## 46.2 सापेक्ष संख्याएँ जोड़ना

किसी [सापेक्ष संख्या](#def-g7-negatives-def) को रेखा पर चाल की तरह सोचो: $+5$ यानी “दाईं ओर $5$ कदम चलो”, $-3$ यानी “बाईं ओर $3$ कदम चलो”। संख्याएँ जोड़ना यानी चालों को एक के बाद एक जोड़ना।

**विधि 46.4 (दो सापेक्ष संख्याएँ जोड़ना).**

1. *एक ही चिह्न* : दूरियाँ जोड़ो, साझा चिह्न रखो: $(-3) + (-4) = -7$ ।
2. *उलटे चिह्न* : बड़ी दूरी में से छोटी घटाओ, और बड़ी वाली का चिह्न लो: $(-7) + (+2) = -5$ और $(+7) + (-2) = +5$ ।
3. [विपरीत संख्याएँ](#def-g7-negatives-def) कट जाती हैं: $(+4) + (-4) = 0$ ।

![चलने के रूप में जोड़: 0 से शुरू करके पहले चाल -3.5 और फिर चाल +2, (-3.5) + 2 = -1.5 पर पहुँचा देती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-c6e3d0f5b921.svg)

*चलने के रूप में जोड़: $0$ से शुरू करके पहले चाल $-3.5$ और फिर चाल $+2$, $(-3.5) + 2 = -1.5$ पर पहुँचा देती है।*

**उदाहरण 46.5.**

कदम-दर-कदम, जहाँ सुविधा हो वहाँ समूह बनाकर:

$$
\begin{align*}
(-8) + (+3) &= -5 && \text{(उलटे चिह्न: } 8 - 3 = 5,
\text{ चिह्न } 8 \text{ वाला)}\\
(-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(एक ही चिह्न: दूरियाँ जोड़ो)}\\
(+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 .
\end{align*}
$$

## 46.3 सापेक्ष संख्याएँ घटाना

**प्रमेय 46.6 (घटाव का नियम).**

किसी [सापेक्ष संख्या](#def-g7-negatives-def) को घटाना उसकी *[विपरीत संख्या](#def-g7-negatives-def) जोड़ने* के बराबर है:

$$
a - b = a + (-b) .
$$

**यह चलता क्यों है.** $a - b$ वह संख्या है जिसे $b$ में जोड़ने पर $a$ मिले। जाँचो कि $a + (-b)$ यह काम कर देती है: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$। ∎

**उदाहरण 46.7.**

हर घटाव जोड़ बन जाता है, और फिर [विधि 46.4](#met-g7-negatives-add) लागू होती है:

$$
\begin{align*}
5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\
(-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\
(-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 .
\end{align*}
$$

आख़िरी पंक्ति मशहूर है: *ऋण संख्या घटाना यानी जोड़ना*। क़र्ज़ हट जाए तो तुम अमीर हो जाते हो!

**उदाहरण 46.8 (तापमान के अंतर).**

एक दिन में तापमान $-6$ डिग्री से $+9$ डिग्री तक गया। बढ़त यह [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) है

$$
9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ डिग्री}.
$$

संख्या रेखा पर: $-6$ से $0$ तक $6$ डिग्री, और $0$ से $9$ तक $9$ डिग्री और।

## 46.4 पूरे समतल में निर्देशांक

**परिभाषा 46.9 (चिह्नों वाले निर्देशांक).**

मूल बिंदु $O$ पर काटती हुई दो [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) अंकित अक्षों के साथ समतल के हर बिंदु को दो सापेक्ष निर्देशांक $(x, y)$ मिल जाते हैं: ऋण $x$ यानी खड़ी अक्ष के बाईं ओर, ऋण $y$ यानी आड़ी अक्ष के नीचे।

![समतल की हर चौथाई में एक बिंदु। आड़ा निर्देशांक हमेशा पहले पढ़ो।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-e9a527c0178e.svg)

*समतल की हर [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) में एक बिंदु। आड़ा निर्देशांक हमेशा पहले पढ़ो।*

## 46.5 अभ्यास

**अभ्यास 46.1 ★.**

इनकी [विपरीत संख्या](#def-g7-negatives-def) बताओ: $7$; $-3.5$; $0$; $+12$। फिर पूरा करो: “दो संख्याएँ विपरीत तब होती हैं जब उनका [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ? हो”।

**हल — अभ्यास 46.1.**

[विपरीत संख्याएँ](#def-g7-negatives-def): $-7$; $+3.5$; $0$ (अपनी ही विपरीत); $-12$। दो संख्याएँ विपरीत तब होती हैं जब उनका [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $0$ हो।

**अभ्यास 46.2 ★.**

उतार कर $<$ या $>$ से पूरा करो:

$$
-4 \;?\; 1, \qquad
-4 \;?\; -7, \qquad
-2.5 \;?\; -2.4, \qquad
0 \;?\; -0.1 .
$$

**हल — अभ्यास 46.2.**

$-4 < 1$; $-4 > -7$; $-2.5 < -2.4$; $0 > -0.1$।

**अभ्यास 46.3 ★.**

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ: $-3$; $2.5$; $-0.5$; $-3.1$; $0$; $1$।

**हल — अभ्यास 46.3.**

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$।

**अभ्यास 46.4 ★.**

निकालो:

$$
(-5) + (-9), \qquad
(-12) + (+7), \qquad
(+3.5) + (-1.5), \qquad
(-6) + (+6).
$$

**हल — अभ्यास 46.4.**

$(-5) + (-9) = -14$; $(-12) + (+7) = -5$; $(+3.5) + (-1.5) = +2$; $(-6) + (+6) = 0$।

**अभ्यास 46.5 ★.**

जोड़ों में बदलो, फिर निकालो:

$$
4 - 11, \qquad
(-5) - (+3), \qquad
(-7) - (-10), \qquad
0 - (-8).
$$

**हल — अभ्यास 46.5.**

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$।

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$।

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$।

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$।

**अभ्यास 46.6 ★.**

चतुराई से समूह बनाकर निकालो (पहले [विपरीत संख्याएँ](#def-g7-negatives-def)):

$$
(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad
(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).
$$

**हल — अभ्यास 46.6.**

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (धन संख्याएँ साथ, ऋण संख्याएँ साथ)।

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$।

**अभ्यास 46.7 ★.**

आज सुबह तापमान $-3$ डिग्री था; दिन में वह $8$ डिग्री बढ़ा, फिर रात में $12$ डिग्री गिर गया। आख़िरी तापमान देने वाली एक ही गणना लिखो, और उसे निकालो।

**हल — अभ्यास 46.7.**

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$: रात में $-7$ डिग्री है।

**अभ्यास 46.8 ★.**

निर्देशांक-तंत्र में रखो: $A(2, 3)$; $B(-3, 1)$; $C(-2, -2)$; $D(3, -1)$; $E(0, -3)$। कौन-सा बिंदु किसी अक्ष पर पड़ता है?

**हल — अभ्यास 46.8.**

मुक्त रचना; $E(0, -3)$ खड़ी अक्ष पर पड़ता है (उसका पहला निर्देशांक $0$ है)।

**अभ्यास 46.9 ★★.**

सबसे ऊँचे और सबसे नीचे तापमान का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) निकालो: जनवरी में मास्को, अधिकतम $-4$ डिग्री, न्यूनतम $-13$ डिग्री; हेलसिंकी, अधिकतम $2$, न्यूनतम $-9$।

**हल — अभ्यास 46.9.**

मास्को: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ डिग्री का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference)। हेलसिंकी: $2 - (-9) = 11$ डिग्री।

**अभ्यास 46.10 ★★.**

एक गोताख़ोर $-12$ m की ऊँचाई पर है (सतह से बारह मीटर नीचे)। वह $7$ m ऊपर उठती है, फिर $4$ m नीचे जाती है। वह किस ऊँचाई पर है? सतह तक पहुँचने के लिए उसे अभी कितना ऊपर उठना होगा?

**हल — अभ्यास 46.10.**

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$: वह $-9$ m पर है। सतह (ऊँचाई $0$) तक पहुँचने के लिए उसे $0 - (-9) = 9$ m ऊपर उठना होगा।

**अभ्यास 46.11 ★★.**

$A(-2, 1)$, $B(2, 1)$, $C(2, -2)$ रखो। बिंदु $D$ के निर्देशांक ढूँढ़ो ताकि $ABCD$ एक आयत बने, और उसका [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) निकालो (भुजाओं की लंबाई के लिए जाल के खाने गिनो)।

**हल — अभ्यास 46.11.**

$D(-2, -2)$: पहला निर्देशांक $A$ वाला, दूसरा $C$ वाला। भुजाएँ: $AB = 4$ ($-2$ से $2$ तक) और $BC = 3$ ($1$ से नीचे $-2$ तक), इसलिए [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (4 + 3) = 14$ है।

**अभ्यास 46.12 ★★★.**

नीचे के जादुई वर्ग में हर पंक्ति, हर स्तंभ और हर विकर्ण का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) एक ही होना चाहिए। उसे उतारकर पूरा करो:

| $?$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $?$ |
| $-4$ | $?$ | $?$ |

(जो विकर्ण लगभग पूरा है उससे जादुई [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) निकालकर शुरू करो।)

**हल — अभ्यास 46.12.**

पूरा विकर्ण $0, -2, -4$ जादुई [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $0 + (-2) + (-4) = -6$ देता है। फिर, ख़ाना-दर-ख़ाना: ऊपर-बाएँ $= -6 - (-7) - 0 = 1$; बीच-दाएँ $= -6 - (-3) - (-2) =
-1$; नीचे-दाएँ $= -6 - 0 - (-1) = -5$; नीचे-बीच $= -6 - (-7) - (-2) = 3$।

| $1$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $-4$ | $3$ | $-5$ |

हर पंक्ति, हर स्तंभ और हर विकर्ण का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $-6$ है।

## 46.6 समस्या: वह शून्यवाँ वर्ष जो कभी था ही नहीं

**समस्या 46.1.**

सप्ताहांत समस्या — इतिहास की समय-रेखा पर सापेक्ष संख्याएँ: युग-सीमा के पार अवधियाँ, खगोलविदों की तरकीब, और शुद्ध-परिवर्तन का सिद्धांत

इस अध्याय की संख्या रेखा का असली दुनिया में एक मशहूर जुड़वाँ है: इतिहास की समय-रेखा, जिसमें ईसा-पूर्व के वर्ष बाईं ओर और उसके बाद के वर्ष दाईं ओर फैले हैं। पर इतिहासकारों की रेखा में एक जाल छिपा है जिसने कई गणनाएँ बिगाड़ी हैं: *कोई शून्यवाँ वर्ष है ही नहीं* — ईसा-पूर्व $1$ के तुरंत बाद ईसा के बाद का $1$ आ जाता है। यह समस्या तापमान, लिफ़्ट और बैंक-खातों की गणना करती है, फिर इतिहास के टूटे [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) की मरम्मत वैसे ही करती है जैसे खगोलविद करते हैं: [सापेक्ष संख्याओं](#def-g7-negatives-def) से।

**भाग I — शुरुआती अभ्यास, और पहला जाल।**

1. मों ब्लां की चोटी $+4\,808$ m की ऊँचाई पर है; मृत सागर का [किनारा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $-430$ m पर। दोनों की ऊँचाई का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) निकालो।
2. किसी बैंक-खाते में $-45$ यूरो हैं (ओवरड्राफ़्ट)। उसका मालिक $120$ यूरो जमा करता है, $60$ यूरो का बिल चुकाता है, फिर $15$ यूरो जमा करता है। शेष को जोड़ों की एक ही कड़ी के रूप में लिखो और निकालो। शुरू के $-45$ को ठीक $0$ पर लाने के लिए एक ही बार में कितना जमा करना पड़ता?
3. जूलियस सीज़र का जन्म ईसा-पूर्व $100$ में हुआ और मृत्यु ईसा-पूर्व $44$ में। ईसा-पूर्व के वर्षों को ऋण संख्याएँ मानकर (ईसा-पूर्व $100$ को $-100$ , ईसा-पूर्व $44$ को $-44$ ), $(-44) - (-100)$ निकालो: सीज़र कितने साल जिया?
4. सम्राट ऑगस्टस का जन्म ईसा-पूर्व $63$ में हुआ और मृत्यु ईसा के बाद $14$ में। वही विधि $14 - (-63) = 77$ साल देती है — पर इतिहासकार कहते हैं कि उसकी मृत्यु $76$ की उम्र में हुई। उनकी आपत्ति: गिनती $77$ ऐसे वर्ष से होकर चलती है जो कभी था ही नहीं। कौन-सा?
5. खगोलविद समय-रेखा की मरम्मत नाम बदलकर करते हैं: ईसा के बाद के वर्ष अपनी संख्या रखते हैं ( $+14$ , $+14$ ही रहता है), पर ईसा-पूर्व $1$ को $0$ , ईसा-पूर्व $2$ को $-1$ , और आम तौर पर ईसा-पूर्व $n$ को $-(n - 1)$ बना दिया जाता है। ईसा-पूर्व $63$ को बदलो, और प्रश्न 4 की गणना खगोलविदों की संख्याओं से दोबारा करो। क्या अब उत्तर इतिहासकारों को सही लगता है?

**भाग II — युगों के पार गणना।** अब से हर गणना में खगोलविदों वाला नामकरण इस्तेमाल करो, और अंत में ईसा-पूर्व/ईसा के बाद में वापस बदल लो ($0$ या ऋण $-m$ नाम वाला वर्ष इतिहासकारों का ईसा-पूर्व $m + 1$ है)।

6. खगोलविदों की संख्याओं में बदलो: ईसा-पूर्व $1$ ; ईसा-पूर्व $10$ ; ईसा के बाद $476$ ; और ईसा-पूर्व $753$ , जब कहा जाता है कि रोम बसा था।
7. रोम के बसने (ईसा-पूर्व $753$ ) से पश्चिमी साम्राज्य के पतन (ईसा के बाद $476$ ) तक कितने साल बीते?
8. कोई पुच्छल तारा हर $76$ साल बाद लौटता है और ईसा-पूर्व $12$ में दिखा था। उसके अगले तीन दर्शनों के, और ईसा-पूर्व $12$ से ठीक पहले वाले दर्शन के, इतिहासकारों वाले वर्ष बताओ।
9. ईसा-पूर्व $5$ से ईसा के बाद $5$ तक कितने साल बीते? (लुभावना उत्तर $10$ है; समय-रेखा कुछ और कहती है।)
10. ईसा-पूर्व $3$ में जन्मा बच्चा किस वर्ष (ईसा-पूर्व या ईसा के बाद) दस साल का हुआ?

**भाग III — शुद्ध-परिवर्तन का सिद्धांत।**

11. रेखा पर दो संख्याओं के बीच की *दूरी* बड़ी में से छोटी घटाने पर मिलती है — और हमेशा धन होती है। $-7$ और $-2$ के बीच की दूरी निकालो, फिर $-3.5$ और $4.5$ के बीच की।
12. एक लिफ़्ट मंज़िल $0$ से शुरू होकर $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ चालें करती है। चतुराई से समूह बनाकर आख़िरी मंज़िल निकालो ( [विधि 46.4](#met-g7-negatives-add) , जहाँ हो सके वहाँ पहले [विपरीत संख्याएँ](#def-g7-negatives-def) )। चालें दूसरे क्रम में करने से मंज़िल बदल जाती? क्यों?
13. एक हफ़्ते में दिन-दर-दिन तापमान $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ डिग्री बदलता है। *शुद्ध परिवर्तन* निकालो। हफ़्ता $-2$ डिग्री से शुरू हुआ हो, तो कहाँ ख़त्म हुआ? सिद्धांत लिखो: आख़िरी मान $=$ शुरुआती मान $+$ (सारे परिवर्तनों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) )।
14. किसी पैदल यात्री की चाल उसे ठीक उसी ऊँचाई पर वापस ले आती है जहाँ से वह चली थी। उसकी ऊँचाई के सारे परिवर्तनों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) क्या होना चाहिए, और क्यों? उसके छह दर्ज परिवर्तनों में से पाँच हैं $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (सैकड़ों मीटर में): छठा निकालो।
15. आख़िरी सवाल, फिर रोम में। एक इतिहासकार गिनता है: “गणतंत्र ईसा-पूर्व $509$ से ईसा-पूर्व $27$ तक चला, फिर साम्राज्य ईसा के बाद $476$ तक; कुल मिलाकर ईसा-पूर्व $509$ से ईसा के बाद $476$ तक, यानी $509 + 476 = 985$ साल का रोमन राज्य।” गणना खगोलविदों की संख्याओं से दोबारा करो। सही कुल क्या है — और इस बार भी किस वर्ष ने ग़लती करवाई?

**हल — समस्या 46.1.**

**1.** $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m ([प्रमेय 46.6](#thm-g7-negatives-sub): ऋण संख्या घटाना यानी जोड़ना)।

**2.** शेष:

$$
(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30
\text{ यूरो}.
$$

शुरू के $-45$ को $0$ पर लाने के लिए उसकी [विपरीत संख्या](#def-g7-negatives-def) जमा करो: $45$ यूरो।

**3.** $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$: सीज़र $56$ साल जिया। (यहाँ कोई जाल नहीं: दोनों वर्ष युग-सीमा की एक ही ओर हैं।)

**4.** वर्ष $0$: $-63$ से $+14$ तक गिनने पर बीच में $0$ आता है, पर इतिहासकारों का पंचांग ईसा-पूर्व $1$ से सीधे ईसा के बाद $1$ पर कूद जाता है — वर्ष $0$ कभी था ही नहीं, इसलिए सीधी गिनती एक साल ज़्यादा निकलती है।

**5.** ईसा-पूर्व $63$, $-(63 - 1) = -62$ बन जाता है। फिर $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ साल: ठीक इतिहासकारों वाला आँकड़ा। खगोलविदों की नई नामवाली रेखा में कोई ख़ाली जगह नहीं, इसलिए साधारण घटाव सही अवधि दे देता है।

**6.** ईसा-पूर्व $1 \to 0$; ईसा-पूर्व $10 \to -9$; ईसा के बाद $476 \to +476$; ईसा-पूर्व $753 \to -752$।

**7.** $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ साल।

**8.** ईसा-पूर्व $12$ यानी $-11$। अगले दर्शन: $-11 + 76 = 65$, फिर $141$, फिर $217$: यानी ईसा के बाद $65$, $141$ और $217$। उससे पहले: $-11 - 76 = -87$, जो इतिहासकारों का ईसा-पूर्व $87 + 1 = 88$ है।

**9.** ईसा-पूर्व $5$ यानी $-4$, इसलिए $5 - (-4) = 9$ साल — $10$ नहीं। जब भी कोई अवधि युग-सीमा पार करती है, ग़ायब शून्यवाँ वर्ष वार कर देता है।

**10.** ईसा-पूर्व $3$ यानी $-2$; दस साल बाद $-2 + 10 = +8$: बच्चा ईसा के बाद $8$ में दस साल का हुआ।

**11.** $-7$ और $-2$ के बीच: $(-2) - (-7) = 5$। $-3.5$ और $4.5$ के बीच: $4.5 - (-3.5) = 8$।

**12.** विपरीत और मिलनसार संख्याओं के समूह बनाकर:

$$
3 + (-5) + 2 + (-1) + 4
= \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4
= 0 + (-1) + 4 = +3 :
$$

लिफ़्ट मंज़िल $3$ पर रुकती है। क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता: [सापेक्ष संख्याओं](#def-g7-negatives-def) का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) जैसे चाहे फिर से जमाया जा सकता है (हर चाल उसी रेखा पर चली जाती है, और कुल चाल वही रहती है)।

**13.** शुद्ध परिवर्तन: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ डिग्री। $-2$ से शुरू करने पर आख़िरी तापमान $-2 + (-1) = -3$ डिग्री। आम तौर पर, आख़िरी मान शुरुआती मान और सारे परिवर्तनों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) के बराबर होता है — उतार-चढ़ाव एक-एक करके देखने की ज़रूरत नहीं।

**14.** शुरू पर लौटने का मतलब है शुद्ध परिवर्तन $0$: चढ़ाव और उतार ठीक-ठीक कट जाने चाहिए। पाँचों ज्ञात परिवर्तनों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ है, इसलिए छठा परिवर्तन उसकी [विपरीत संख्या](#def-g7-negatives-def) है: $+3$ (तीन सौ मीटर ऊपर)।

**15.** खगोलविदों के अनुसार: ईसा-पूर्व $509 \to -508$, और $476 - (-508) = 984$ साल। इतिहासकार का $509 + 476 = 985$ एक साल ज़्यादा गिनता है — फिर वही भूतिया शून्यवाँ वर्ष, जो जोड़ में चुपचाप शामिल है पर इतिहास में है ही नहीं। (जाँच के लिए दोनों युग: गणतंत्र $-508$ से $-26$, $482$ साल; साम्राज्य $-26$ से $+476$, $502$ साल; $482 + 502 = 984$।)