---
title: "अक्षर-व्यंजक"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 48
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/48-literal-expressions
---

# अध्याय 48 — अक्षर-व्यंजक

गणना में लिखा कोई अक्षर या तो ऐसी संख्या के लिए खड़ा होता है जो अभी पता नहीं है, या फिर एक साथ *सारी* संख्याओं के लिए: $P = 4c$ लिखते ही हर वर्ग का [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) एक ही सूत्र में आ जाता है। यह अध्याय लिखने के तौर-तरीक़े, अक्षरों की जगह मान रखना, और आसान व्यंजकों को सरल करना सिखाता है — यहीं से बीजगणित शुरू होता है, जो [अध्याय 57](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#ch-g8-equations) में आगे बढ़ता है।

## 48.1 अक्षरों से लिखना

**परिभाषा 48.1 (अक्षर-व्यंजक).**

*अक्षर-व्यंजक* ऐसी गणना है जिसमें एक या अधिक अक्षर हों और हर अक्षर किसी संख्या के लिए खड़ा हो। लिखने के तौर-तरीक़े:

- अक्षर या कोष्ठक से पहले $\times$ का चिह्न छोड़ दिया जाता है: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
- पर दो संख्याओं के बीच वह रहता है: $3 \times 5$ को $35$ नहीं लिखा जा सकता!
- $a \times a$ को $a^2$ लिखते हैं (“ $a$ का वर्ग”), और $a \times a \times a = a^3$ ;
- $1a$ को $a$ लिखते हैं, और $0a$ को $0$ ।

**उदाहरण 48.2.**

लिखावट सरल करो:

$$
5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y,
\qquad
a \times 7 = 7a \ \text{(संख्या पहले)},
\qquad
x \times x \times 4 = 4x^2 .
$$

**उदाहरण 48.3 (सूत्र भी अक्षर-व्यंजक हैं).**

लंबाई $L$ और चौड़ाई $w$ वाले आयत के लिए: [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(L + w)$, [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $A = Lw$। एक ही सूत्र अनगिनत आयतों को एक साथ समेट लेता है — अक्षरों का पूरा मतलब यही है।

![हर आयत के लिए सही दो सूत्र: L और w के मान रखते ही संख्याएँ मिल जाती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-6b29894197b6.svg)

*हर आयत के लिए सही दो सूत्र: $L$ और $w$ के मान रखते ही संख्याएँ मिल जाती हैं।*

## 48.2 मान रखना

**विधि 48.4 (व्यंजक का मान निकालना).**

अक्षरों के दिए हुए मानों पर किसी व्यंजक का मान निकालने के लिए:

1. व्यंजक को छिपे हुए $\times$ चिह्न वापस डालकर फिर से लिखो: $3a + a^2$ यानी $3 \times a + a \times a$ ;
2. हर अक्षर की जगह उसका मान रखो, ज़रूरत हो तो उसके चारों ओर कोष्ठक लगाकर;
3. [अध्याय 45](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#ch-g7-priorities) की प्राथमिकताओं का ध्यान रखते हुए गणना करो।

**उदाहरण 48.5.**

$x = 5$ पर $E = 3x + x^2$ का मान निकालो:

$$
E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .
$$

$a = 4$ और $b = 0.5$ पर $F = 2(a + 3b)$ का मान निकालो:

$$
F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5
= 11 .
$$

## 48.3 व्यंजकों को सरल करना

**प्रतिज्ञप्ति 48.6 (समान पदों को मिलाना).**

जिन पदों का अक्षर वाला हिस्सा एक जैसा हो, उन्हें उनके संख्या वाले हिस्से जोड़कर मिलाया जा सकता है (यह उल्टा पढ़ा हुआ वितरण नियम है, [प्रमेय 45.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity)):

$$
5x + 3x = (5 + 3)x = 8x,
\qquad
7a - 2a = 5a .
$$

अलग-अलग अक्षर वाले पदों को (जैसे $3x$ और $5y$, या $x$ और $x^2$) आपस में नहीं मिलाया जा सकता।

**उदाहरण 48.7.**

पदों को छाँटते हुए $E = 4x + 7 + 3x + 2$ को सरल करो:

$$
E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .
$$

ध्यान दो: $7x + 9$, $16x$ *नहीं* है! $x = 1$ पर जाँचो: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ और $7 \times 1 + 9 = 16$ मिल जाते हैं, पर $16x$ भी तब $16$ ही होता — $x = 2$ पर जाँचो: असली व्यंजक से $8 + 7 + 6 + 2 = 23$, और $7 \times 2 + 9 = 23$, जबकि $16 \times 2 = 32$। सरल रूप $7x + 9$ सही है, $16x$ ग़लत।

**विधि 48.8 (किसी समानता की जाँच).**

यह देखने के लिए कि दो व्यंजक हर मान पर बराबर हो सकते हैं या नहीं:

1. दोनों में एक ही मान रखो, कम से कम दो बार (जैसे $x = 2$ और $x = 10$ ; $0$ और $1$ से बचो, वे बहुत सारे [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) छिपा लेते हैं);
2. अगर एक बार भी उत्तर अलग निकले तो व्यंजक बराबर *नहीं* हैं — एक प्रति-उदाहरण किसी भी आम दावे को गिरा देता है;
3. अगर उत्तर मिल जाएँ तो समानता सिर्फ़ *संभव* लगती है: प्रमाण के लिए बीजगणित चाहिए (फैलाना, सरल करना)।

**उदाहरण 48.9.**

क्या $2(x + 3)$ हर $x$ के लिए $2x + 6$ के बराबर है? फैलाने से यह सिद्ध हो जाता है: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$। क्या $(x + 1)^2$, $x^2 + 1$ के बराबर है? $x = 2$ पर जाँचो: $(2+1)^2 = 9$ पर $2^2 + 1 = 5$। नहीं — और एक प्रति-उदाहरण “नहीं” का पूरा प्रमाण है।

## 48.4 व्यंजक बनाना

**उदाहरण 48.10 (स्थिति से व्यंजक तक).**

एक टैक्सी $4$ यूरो और उसके ऊपर हर किलोमीटर के $2$ यूरो लेती है। $k$ किलोमीटर की सवारी का दाम है

$$
p = 4 + 2k \quad\text{यूरो}.
$$

$k = 7$ पर: $p = 4 + 14 = 18$ यूरो। व्यंजक *ही* आम उत्तर है; मान रखते ही हर ख़ास उत्तर निकल आता है।

**उदाहरण 48.11 (संख्या के खेल).**

“कोई संख्या सोचो, उसे दुगुना करो, $10$ जोड़ो, $2$ से भाग दो, अपनी संख्या घटा दो।” उस संख्या को $n$ कहो और क़दमों पर चलो:

$$
n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\
n + 5 - n = 5 .
$$

$n$ चाहे जो रहा हो, हर किसी को $5$ मिलता है — अक्षर इस जादू का राज़ खोल देते हैं।

## 48.5 अभ्यास

**अभ्यास 48.1 ★.**

लिखावट सरल करो:

$$
7 \times x, \qquad
y \times 3, \qquad
a \times b \times 5, \qquad
x \times x, \qquad
2 \times (a + 4).
$$

**हल — अभ्यास 48.1.**

$7x$; $3y$; $5ab$; $x^2$; $2(a + 4)$.

**अभ्यास 48.2 ★.**

$\times$ के चिह्न वापस डालो:

$$
5ab, \qquad
3(x + 2), \qquad
x^2 + 4x, \qquad
2a^3 .
$$

**हल — अभ्यास 48.2.**

$5ab = 5 \times a \times b$; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$.

**अभ्यास 48.3 ★.**

$x = 3$ पर मान निकालो: $5x + 1$; $x^2$; $2x^2 - x$; $10 - 2x$।

**हल — अभ्यास 48.3.**

$x = 3$ पर: $5 \times 3 + 1 = 16$; $3 \times 3 = 9$; $2 \times 9 - 3 = 15$; $10 - 6 = 4$.

**अभ्यास 48.4 ★.**

$a = 4$, $b = 1.5$ पर $3a + 2b$ और $a b + 5$ के मान निकालो।

**हल — अभ्यास 48.4.**

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$.

**अभ्यास 48.5 ★.**

सरल करो:

$$
8x + 5x, \qquad
9a - 4a + a, \qquad
6y + 2 + 3y + 7, \qquad
5t + 3 - 2t - 3 .
$$

**हल — अभ्यास 48.5.**

$8x + 5x = 13x$; $9a - 4a + a = 6a$; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$.

**अभ्यास 48.6 ★.**

इनके सूत्र लिखो: भुजा $c$ वाले वर्ग का [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter); आधार $b$ और बराबर भुजाओं $s$ वाले [समद्विबाहु त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) का [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter); $1.20$ यूरो प्रति रोटी के हिसाब से $n$ रोटियों का दाम।

**हल — अभ्यास 48.6.**

वर्ग: $P = 4c$। [समद्विबाहु त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles): $P = b + 2s$। रोटियाँ: $p = 1.20\,n$ यूरो।

**अभ्यास 48.7 ★.**

हर व्यंजक को उसके विवरण से मिलाओ: $2n$; $n + 2$; $n^2$; $\frac n2$। विवरण: “$n$ का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)”; “$n$ का दुगुना”; “$n$ का वर्ग”; “$n$ से दो ज़्यादा”।

**हल — अभ्यास 48.7.**

$2n$: दुगुना; $n + 2$: $n$ से दो ज़्यादा; $n^2$: वर्ग; $\frac n2$: [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)।

**अभ्यास 48.8 ★★.**

[विधि 48.8](#met-g7-literal-test) की मदद से (प्रमाण या प्रति-उदाहरण के साथ) तय करो कि क्या ये समानताएँ हर $x$ के लिए सही हैं:

$$
3(x + 4) = 3x + 12; \qquad
2x + 5 = 7x; \qquad
x + x = x^2 .
$$

**हल — अभ्यास 48.8.**

$3(x+4) = 3x + 12$: हर $x$ के लिए *सही* (वितरण नियम — यह प्रमाण है, जाँच की ज़रूरत नहीं)।

$2x + 5 = 7x$: $x = 2$ पर जाँच: बाएँ $9$, दाएँ $14$ — आम तौर पर *ग़लत* (यह सिर्फ़ $x = 1$ पर सही है)।

$x + x = x^2$: $x = 3$ पर जाँच: बाएँ $6$, दाएँ $9$ — आम तौर पर *ग़लत* ($x + x = 2x$)।

**अभ्यास 48.9 ★★.**

एक आयत की चौड़ाई $w$ है और उसकी लंबाई चौड़ाई से $3$ cm ज़्यादा है।

1. लंबाई, और फिर [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) , को $w$ के रूप में लिखो और सरल करो।
2. $w = 5$ cm पर [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) निकालो — सीधे भी, और अपने सरल किए सूत्र से भी। क्या उत्तर एक ही है?

**हल — अभ्यास 48.9.**

*1.* लंबाई: $w + 3$। [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter):

$$
P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .
$$

*2.* $w = 5$ पर: सीधे, भुजाएँ $5$ और $8$ हैं, इसलिए $P = 2 \times 13 = 26$ cm; सूत्र से, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm। दोनों मिलते हैं।

**अभ्यास 48.10 ★★.**

[उदाहरण 48.11](#ex-g7-literal-trick) वाला खेल अक्षरों के साथ करो: “कोई संख्या सोचो, $6$ जोड़ो, $3$ से गुणा करो, $18$ घटाओ, अपनी शुरुआती संख्या से भाग दो” (मान लो वह [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) नहीं है)। हर किसी को क्या मिलता है?

**हल — अभ्यास 48.10.**

अक्षर $n$ के साथ क़दमों पर चलने से:

$$
n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n
\ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .
$$

हर किसी को $3$ मिलता है।

**अभ्यास 48.11 ★★★.**

नीचे की आकृति भुजा $a$ के एक वर्ग में से भुजा $b$ का एक कोना-वर्ग काटकर बनी है ($b$, $a$ से छोटा)। उसके [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) के लिए दो अलग-अलग व्यंजक लिखो (एक [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) के रूप में, और एक L-आकृति को दो आयतों में काटकर), और जाँचो कि $a = 5$, $b = 2$ पर दोनों मिलते हैं।

**हल — अभ्यास 48.11.**

[अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) के रूप में: $A = a^2 - b^2$। L को दो आयतों में काटकर: पूरी चौड़ाई वाली $a - b$ ऊँचाई की एक पट्टी और उसके ऊपर एक पतला आयत:

$$
A = a(a - b) + b(a - b)
$$

(नीचे वाला आयत $a$ चौड़ा और $a - b$ ऊँचा, ऊपर वाला $a - b$ चौड़ा और $b$ ऊँचा — इससे $a(a-b) + (a-b)b$ वाला रूप मिलता है, जो वही है)। $a = 5$, $b = 2$ पर: $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$, और $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$। दोनों व्यंजक मिलते हैं — वे हमेशा मिलते हैं: यह [अध्याय 66](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/66-algebra-and-equations#ch-g9-algebra) वाली सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ ही भेस बदलकर बैठी है।

## 48.6 समस्या: तीलियों की भविष्यवाणी

**समस्या 48.1.**

सप्ताहांत समस्या — बढ़ते ढर्रे और उनका $n$-वाँ पद: एक ही ढर्रे के तीन सूत्र, और वह मशहूर ढर्रा जो छठे क़दम पर टूट जाता है

तीलियों को वर्गों की एक क़तार में सजाओ: पहले एक वर्ग, फिर दो, फिर तीन … सौवीं आकृति में कितनी तीलियाँ लगेंगी? एक-एक करके गिनने में पूरा सप्ताहांत निकल जाएगा; *$n$ वाला सूत्र* हर आकृति का जवाब एक साथ पल भर में दे देता है — अक्षर ठीक इसीलिए हैं ([उदाहरण 48.3](#ex-g7-literal-formulas))। पर सावधान: यह समस्या एक ऐसे नामी ढर्रे पर ख़त्म होती है जो पाँच क़दम तक ईमानदारी से चलता है और फिर उस पर भरोसा करने वाले हर किसी को धोखा दे जाता है।

**भाग I — वर्गों की एक क़तार।** आकृति $1$ तीलियों का एक वर्ग है ($4$ तीलियाँ); उसके बाद हर आकृति एक और वर्ग जोड़ती है, जो पिछले वर्ग के साथ एक भुजा बाँटता है।

1. आकृति $1$ से $4$ तक बनाओ और उनकी तीलियाँ गिनो।
2. समझाओ कि हर नया वर्ग ठीक $3$ ज़्यादा तीलियाँ माँगता है, और इसी से बिना किसी सूत्र के आकृति $10$ की गिनती बताओ।
3. सूत्र का कारण बताओ: आकृति $n$ को $3n + 1$ तीलियाँ चाहिए। (वह अकेला “ $+1$ ” कहाँ से आता है?) सवाल 1 से उसे जाँचो।
4. आमिर दूसरी तरह सोचता है: “पहले वर्ग के लिए $4$ तीलियाँ, फिर बाक़ी $n - 1$ वर्गों में हर एक के लिए $3$ ”, यानी $4 + 3(n - 1)$ । उसके व्यंजक को फैलाकर सरल करो ( [प्रतिज्ञप्ति 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ): क्या वह सवाल 3 से सहमत है?
5. लेना तीसरी तरह गिनती है: “ $2n$ आड़ी तीलियाँ, और $n + 1$ खड़ी।” उसका सूत्र लिखो, उसे सरल करो, और नतीजा निकालो। फिर शुरू वाले सवाल का जवाब दो: आकृति $100$ के लिए कितनी तीलियाँ?

**भाग II — त्रिभुज, मेज़ें, और उल्टी दिशा में चलना।**

6. तीलियों के त्रिभुजों की एक क़तार (हर नया त्रिभुज पिछले पर टिका हुआ): $1$ , $2$ , $3$ त्रिभुजों की तीलियाँ गिनो, फिर $n$ त्रिभुजों के लिए सूत्र $2n + 1$ का कारण बताओ।
7. उल्टी दिशा में: ठीक $49$ तीलियों से क़तार में कितने त्रिभुज बन सकते हैं? (सूत्र को क़दम दर क़दम उलटो।)
8. दावत की वर्गाकार मेज़ों की हर ख़ाली भुजा पर एक मेहमान बैठता है। जब $n$ मेज़ें एक लंबी क़तार में सटा दी जाती हैं, तो समझाओ कि बैठने का सूत्र $2n + 2$ क्यों है, और उसे $1$ , $2$ , $3$ मेज़ों पर जाँचो।
9. एक दावत में $30$ मेहमान आने हैं। एक क़तार के लिए कितनी मेज़ें चाहिए? खानसामा उन्हीं मेज़ों को सात-सात की *दो* क़तारों में बाँट देता है: अब कितने मेहमान बैठ पाएँगे? सूत्र से यह फ़ायदा समझाओ।
10. बिंदुओं का ढर्रा: आकृति $n$ बिंदुओं की एक L है, $n$ बिंदु ऊँची और $n$ बिंदु चौड़ी (कोना एक ही बार गिना हुआ)। आकृति $1$ , $2$ , $3$ के बिंदु गिनो, सूत्र निकालो, और जो संख्याएँ मिलें उनका नाम बताओ। (एक के भीतर एक रखकर ये L मिलकर एक वर्ग ढक देती हैं — यह कहानी [समस्या 57.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1) में आगे चलती है।)

**भाग III — भरोसा, जाँच, प्रमाण।**

11. एक सहपाठी का दावा है कि भाग I की आकृति $n$ को $3(n + 2) - 5$ तीलियाँ चाहिए। फैलाकर और सरल करके इस दावे का फ़ैसला करो — जाँचने की ज़रूरत नहीं।
12. “वर्ग करने से संख्याएँ बड़ी होती हैं, इसलिए हर संख्या $n$ के लिए $n^2 \geq n$ ।” इस दावे को $n = 2$ , $3$ , $10$ पर जाँचो; फिर ऐसी संख्या ढूँढ़ो जिस पर यह टूट जाए। तीन सफल जाँचों ने क्या सिद्ध किया, और अकेली नाकामी क्या सिद्ध करती है ( [विधि 48.8](#met-g7-literal-test) )?
13. एक वृत्त पर बिंदु लगाओ और उनके बीच *हर* [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) खींचो, फिर वृत्त के भीतर बने क्षेत्र गिनो। यह $2$ , $3$ , $4$ और $5$ बिंदुओं के लिए करो (बिंदु असमान दूरी पर रखो, ताकि कोई तीन [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) भीतर एक ही बिंदु पर न कटें)। गिनतियाँ लिख लो। यह ढर्रा किस सूत्र की ओर इशारा करता है?
14. अब $6$ बिंदु लो, बड़े और असमान दूरी पर बनाकर, और बहुत ध्यान से गिनो (छोटे-छोटे क्षेत्र बहुत हैं)। तुम्हें कितने क्षेत्र मिले — और उस अटकल का क्या हुआ?
15. दो वाक्यों में सीख: दुगुना होने वाली अटकल को *सिद्ध* करने के लिए क्या चाहिए था, और भाग I तथा II के तीली-सूत्र कभी ऐसे ख़तरे में क्यों नहीं थे? एक सिद्ध भविष्यवाणी के साथ जश्न मनाओ: $2\,026$ वर्गों की क़तार के लिए कितनी तीलियाँ?

**हल — समस्या 48.1.**

**1.** आकृति $1$ से $4$ तक को $4$, $7$, $10$, $13$ तीलियाँ चाहिए।

**2.** हर नया वर्ग पिछली आकृति के साथ एक भुजा बाँटता है, इसलिए उसकी $4$ भुजाओं में से सिर्फ़ $3$ नई तीलियाँ हैं। आकृति $4$ ($13$ तीलियाँ) से आगे छह और वर्गों का ख़र्च $6 \times 3 = 18$: आकृति $10$ को $13 + 18 = 31$ तीलियाँ चाहिए।

**3.** क़तार को बाएँ से पढ़ो: वह एक खड़ी तीली से शुरू होती है, और उसके बाद $n$ वर्गों में से हर एक ऊपर, नीचे और दाईं ओर की भुजा देता है — हर वर्ग के $3$ तीलियाँ। कुल: $3n + 1$; वह “$+1$” सबसे पहली खड़ी तीली है। जाँच: $n = 1, 2, 3, 4$ से $4$, $7$, $10$, $13$ मिलते हैं।

**4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: आमिर का सूत्र फैलाने पर ठीक वही सरल रूप बनता है। पूरी सहमति।

**5.** लेना: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — फिर वही। देखने के तीन तरीक़े, सरल रूप एक। आकृति $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ तीलियाँ।

**6.** गिनतियाँ: $3$, $5$, $7$ तीलियाँ। हर नया त्रिभुज पहले से मौजूद एक भुजा पर टिकता है और सिर्फ़ $2$ तीलियाँ जोड़ता है, $3$ से शुरू करके: आकृति $n$ को $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ तीलियाँ चाहिए।

**7.** $2n + 1 = 49$ को उलटो: पहली तीली हटाने पर $48$ बचती हैं, और फिर हर त्रिभुज के हिस्से $2$ आती हैं: $48 \div 2 = 24$ त्रिभुज।

**8.** $n$ मेज़ों की क़तार में हर मेज़ अपनी ऊपर और नीचे वाली भुजा देती है ($2n$ जगहें), और दोनों सिरों की मेज़ें एक-एक भुजा और देती हैं ($+2$): $2n + 2$ जगहें। जाँच: $n = 1, 2, 3$ पर $4$, $6$, $8$।

**9.** एक क़तार: $2n + 2 \geq 30$ के लिए $2n \geq 28$ चाहिए, यानी $14$ मेज़ें। उन्हीं $14$ मेज़ों को सात-सात की दो क़तारों में बाँटो: हर क़तार में $2 \times 7 + 2 = 16$, दोनों मिलाकर $32$ — एक क़तार से दो ज़्यादा, क्योंकि हर नई क़तार दो नए *सिरे* लाती है। (हर बँटवारे से $2$ जगहें बढ़ती हैं; खानसामे यह जानते हैं।)

**10.** आकार $n$ की L में $n$ बिंदु ऊपर की ओर और $n$ बिंदु अगल-बग़ल जाते हैं, कोने वाला बिंदु दोनों में साझा: $n + n - 1 = 2n - 1$ बिंदु। आकृति $1$, $2$, $3$: $1$, $3$, $5$ बिंदु — यानी *[विषम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*। एक के चारों ओर एक रखने पर ये L बिंदुओं का $n \times n$ वर्ग भर देती हैं: यही कहानी [समस्या 57.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1) में है।

**11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: दावा सिद्ध सूत्र पर ही आ जाता है, इसलिए वह हर $n$ के लिए सही है — यह बीजगणित से तय हुआ, उदाहरणों से नहीं।

**12.** जाँच: $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$: सब सही निकलते हैं। पर $n = 0.5$ पर $n^2 = 0.25 < 0.5$: दावा टूट जाता है। तीन जाँचों ने *सारी* संख्याओं के बारे में कुछ भी सिद्ध नहीं किया (उन्हें बस कोई गड़बड़ी नहीं मिली); अकेला प्रति-उदाहरण उस आम दावे को ग़लत *सिद्ध* कर देता है ([विधि 48.8](#met-g7-literal-test))। अक्षर हर संख्या के लिए खड़ा होता है — [दशमलव संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) भी उसमें शामिल हैं।

**13.** क्षेत्र: $2$ बिंदु $\to 2$; $3$ बिंदु $\to 4$; $4$ बिंदु $\to 8$; $5$ बिंदु $\to 16$। ढर्रा कान में कहता है “हर बिंदु गिनती दुगुनी कर देता है”: $6$ बिंदुओं के लिए $32$ क्षेत्र की उम्मीद।

**14.** ध्यान से गिनने पर $31$ क्षेत्र मिलते हैं — $32$ नहीं। दुगुना होने वाली अटकल मर गई: वह चार जाँचों में बची और पाँचवीं में गिर पड़ी। (यह प्रति-उदाहरण इतना मशहूर है कि उसका नाम है, “वृत्त-क्षेत्रों का धोखा”; बराबर दूरी पर बिंदु रखकर छोटा रास्ता मत लो — एक ही बिंदु पर मिलने वाली तीन जीवाएँ क्षेत्रों को मिला देंगी और गिनती बिगाड़ देंगी।)

**15.** प्रमाण के लिए ऐसा कोई *रचनात्मक* कारण चाहिए था जो बताता कि एक बिंदु जोड़ने से क्षेत्र दुगुने क्यों होते हैं — और ऐसा कोई कारण है ही नहीं: दुगुना होना छोटी स्थितियों का संयोग भर था। तीली वाले सूत्र इसलिए सुरक्षित थे कि हर सूत्र रचना में से ही पढ़ा गया था (हर वर्ग साफ़-साफ़ $3$ तीलियाँ माँगता है, हर मेज़ साफ़-साफ़ $2$ जगहें देती है): रचना, जाँच नहीं। सिद्ध भविष्यवाणी: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ तीलियाँ।