---
title: "आँकड़ों को सँवारना"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 50
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data
---

# अध्याय 50 — आँकड़ों को सँवारना

कुछ भी गिनने-निकालने से पहले आँकड़े जुटाने, गिनने और दिखाने पड़ते हैं। यह अध्याय बिखरी हुई देखी-सुनी बातों की सूची को एक साफ़ सारणी या चित्र में बदलना सिखाता है: [गिनती](#def-g7-stats-frequency), [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency), श्रेणियों में बँटे आँकड़े, पट्टी-आलेख और वृत्त-आलेख। आँकड़ों को एक ही संख्या (माध्य, माध्यिका) में समेटना [अध्याय 71](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/71-statistics-and-probability#ch-g9-statproba) का विषय है।

## 50.1 गिनती और आवृत्ति

**परिभाषा 50.1 (गिनती और आवृत्ति).**

किसी सर्वेक्षण के प्रत्येक संभव मान की *गिनती* यह है कि वह कितनी बार आया; और उसकी *आवृत्ति* गिनती को कुल अवलोकनों की संख्या से भाग देने पर मिलती है:

$$
\text{आवृत्ति} = \frac{\text{गिनती}}{\text{कुल}} .
$$

आवृत्तियाँ [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def), दशमलव या प्रतिशत में लिखी जा सकती हैं, और उनका योग हमेशा $1$ (यानी $100\,\%$) होता है।

**उदाहरण 50.2.**

एक कक्षा के $25$ विद्यार्थियों का मनपसंद खेल, कच्ची सूची से सारणी तक:

| खेल | फ़ुटबॉल | तैराकी | टेनिस | जूडो | कुल |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [गिनती](#def-g7-stats-frequency) | $10$ | $6$ | $5$ | $4$ | $25$ |
| [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) | $0.40$ | $0.24$ | $0.20$ | $0.16$ | $1$ |

फ़ुटबॉल के लिए: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$। [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) वाली पंक्ति का योग $1$ आना ही चाहिए — एक पक्की, मुफ़्त जाँच।

**टिप्पणी 50.3 (आवृत्ति क्यों?).**

अलग-अलग आकार के समूहों की गिनतियाँ आपस में नहीं तुलनी चाहिए: $25$ की कक्षा में $10$ फ़ुटबॉल-प्रेमी ($40\,\%$) उस साल के $120$ विद्यार्थियों में से $12$ ($10\,\%$) से ज़्यादा जोश दिखाते हैं। [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) सबको एक ही [मापनी](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) पर ले आती है।

## 50.2 आँकड़ों को श्रेणियों में बाँटना

**उदाहरण 50.4 (श्रेणियाँ).**

$20$ विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ (cm में) $148$ से $172$ तक फैली हैं। हर ऊँचाई अलग लिखने पर सारणी में लगभग उतने ही स्तंभ बन जाएँगे जितने विद्यार्थी; इसके बजाय उन्हें *श्रेणियों* में बाँटो:

| ऊँचाई (cm) | $\intco{145}{155}$ | $\intco{155}{165}$ | $\intco{165}{175}$ | कुल |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [गिनती](#def-g7-stats-frequency) | $5$ | $9$ | $6$ | $20$ |
| [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) | $0.25$ | $0.45$ | $0.30$ | $1$ |

प्रत्येक ऊँचाई ठीक एक ही श्रेणी में गिनी जाती है ($155$, $\intco{155}{165}$ में जाता है, दोनों में नहीं — इसीलिए अंतराल एक तरफ़ से खुले रखे गए हैं)। बाँटने से ब्योरा कुछ खोता है, पर पढ़ने में आसानी आ जाती है।

## 50.3 आलेख

**विधि 50.5 (आलेख चुनना और बनाना).**

1. *पट्टी-आलेख* : प्रत्येक मान या श्रेणी के लिए एक पट्टी, जिसकी ऊँचाई [गिनती](#def-g7-stats-frequency) (या [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) ) के [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/44-proportionality-and-data#def-g6-propdata-def) हो। मानों की आपसी तुलना के लिए अच्छा।
2. *वृत्त-आलेख*: प्रत्येक मान के लिए एक फाँक, जिसका कोण [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) के [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/44-proportionality-and-data#def-g6-propdata-def) हो — पूरा वृत्त ($360^\circ$) कुल को दिखाता है, इसलिए $$\text{कोण} = \text{आवृत्ति} \times 360^\circ .$$ पूरे में किसका कितना हिस्सा है, यह दिखाने के लिए अच्छा।
3. दोनों में: शीर्षक, नाम, और या तो अंकन या आलेख पर लिखे हुए प्रतिशत।

**उदाहरण 50.6.**

[उदाहरण 50.2](#ex-g7-stats-frequency) के खेलों के कोण: फ़ुटबॉल $0.40 \times 360 = 144^\circ$; तैराकी $0.24 \times 360 =
86.4^\circ$; टेनिस $72^\circ$; जूडो $57.6^\circ$। जाँच: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$।

![वही आँकड़े एक पट्टी-आलेख की तरह (ऊँचाइयाँ तुलो) और एक वृत्त-आलेख की तरह (कक्षा के हिस्से तुलो)। फ़ुटबॉल 144 लेता है, यानी वृत्त का 40\,\%।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-stats/fig-bd8ef59968de.svg)

![वही आँकड़े एक पट्टी-आलेख की तरह (ऊँचाइयाँ तुलो) और एक वृत्त-आलेख की तरह (कक्षा के हिस्से तुलो)। फ़ुटबॉल 144 लेता है, यानी वृत्त का 40\,\%।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-stats/fig-e0dd68d2d5fe.svg)

*वही आँकड़े एक पट्टी-आलेख की तरह (ऊँचाइयाँ तुलो) और एक वृत्त-आलेख की तरह (कक्षा के हिस्से तुलो)। फ़ुटबॉल $144^\circ$ लेता है, यानी वृत्त का $40\,\%$।*

**उदाहरण 50.7 (परखकर पढ़ना).**

जिस आलेख की खड़ी धुरी $0$ से नहीं, $9$ से शुरू होती है, उसमें $10$ वाली पट्टी $9.1$ वाली से दस गुना ऊँची लगती है — संख्याएँ ईमानदार हैं, फिर भी तस्वीर धोखा देती है। किसी भी आलेख के सामने पहला काम: देखो धुरी कहाँ से शुरू होती है और एक अंकन कितने का है ([विधि 44.8](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/44-proportionality-and-data#met-g6-propdata-read))।

## 50.4 अभ्यास

**अभ्यास 50.1 ★.**

$20$ विद्यार्थियों के अंक ये रहे: $12$, $15$, $9$, $12$, $14$, $9$, $12$, $15$, $11$, $12$, $9$, $14$, $12$, $11$, $15$, $9$, $12$, $14$, $11$, $12$। गिनतियों की सारणी बनाओ (प्रत्येक अंक का एक स्तंभ)।

**हल — अभ्यास 50.1.**

प्रत्येक अंक की [गिनती](#def-g7-stats-frequency):

| अंक | $9$ | $11$ | $12$ | $14$ | $15$ | कुल |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [गिनती](#def-g7-stats-frequency) | $4$ | $3$ | $7$ | $3$ | $3$ | $20$ |

**अभ्यास 50.2 ★.**

[अभ्यास 50.1](#exo-g7-stats-1) की सारणी में [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) वाली पंक्ति जोड़ो ($20$ की भिन्नों के रूप में, फिर प्रतिशत में)। योग जाँचो।

**हल — अभ्यास 50.2.**

आवृत्तियाँ: $\frac{4}{20} = 20\,\%$, $\frac{3}{20} = 15\,\%$, $\frac{7}{20} = 35\,\%$, $15\,\%$, $15\,\%$। योग: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$. ✓

**अभ्यास 50.3 ★.**

$50$ परिवारों के एक सर्वेक्षण में $30$ के पास एक कार है। “एक कार” की [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) दशमलव में और प्रतिशत में क्या है? एक दूसरे सर्वेक्षण में $90$ में से $45$ परिवारों के पास एक कार है: किस सर्वेक्षण में अनुपात ज़्यादा है?

**हल — अभ्यास 50.3.**

पहला सर्वेक्षण: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$। दूसरा: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$। अनुपात पहले सर्वेक्षण में ज़्यादा है, भले ही उसमें एक कार वाले परिवारों की [गिनती](#def-g7-stats-frequency) कम हो।

**अभ्यास 50.4 ★.**

$15$ कुत्तों के वज़न (kg): $8$, $23$, $31$, $12$, $9$, $27$, $35$, $14$, $22$, $18$, $29$, $11$, $25$, $33$, $16$। उन्हें $\intco{5}{15}$, $\intco{15}{25}$, $\intco{25}{35}$, $\intco{35}{45}$ श्रेणियों में बाँटो और गिनतियाँ बताओ।

**हल — अभ्यास 50.4.**

$\intco{5}{15}$: $8, 12, 9, 14, 11$ — [गिनती](#def-g7-stats-frequency) $5$. $\intco{15}{25}$: $23, 22, 18, 16$ — [गिनती](#def-g7-stats-frequency) $4$. $\intco{25}{35}$: $31, 27, 29, 25, 33$ — [गिनती](#def-g7-stats-frequency) $5$. $\intco{35}{45}$: $35$ — [गिनती](#def-g7-stats-frequency) $1$. कुल $15$. ✓

**अभ्यास 50.5 ★.**

इस सारणी का पट्टी-आलेख बनाओ:

| पालतू | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| परिवार | $8$ | $12$ | $6$ | $4$ |

**हल — अभ्यास 50.5.**

मानों $0$, $1$, $2$, $3$ के ऊपर $8$, $12$, $6$, $4$ ऊँचाई की चार पट्टियाँ (हर दो पर एक अंकन ठीक रहता है)।

**अभ्यास 50.6 ★.**

[अभ्यास 50.5](#exo-g7-stats-5) की सारणी के लिए प्रत्येक मान की [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) और वृत्त-आलेख का कोण निकालो (जाँच: कुल $360^\circ$)।

**हल — अभ्यास 50.6.**

कुल $30$ परिवार। आवृत्तियाँ: $\frac{8}{30}$, $\frac{12}{30}$, $\frac{6}{30}$, $\frac{4}{30}$। कोण ($\times 360^\circ$): $96^\circ$, $144^\circ$, $72^\circ$, $48^\circ$; योग $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$. ✓

**अभ्यास 50.7 ★.**

मनपसंद ऋतुओं का एक वृत्त-आलेख दिखाता है: गर्मी $162^\circ$, वसंत $90^\circ$, पतझड़ $54^\circ$, जाड़ा $54^\circ$। हर ऋतु को कितने प्रतिशत लोगों ने चुना? अगर $60$ लोगों ने जवाब दिया, तो गर्मी कितनों ने चुनी?

**हल — अभ्यास 50.7.**

प्रतिशत: गर्मी $\frac{162}{360} = 45\,\%$; वसंत $\frac{90}{360} = 25\,\%$; पतझड़ और जाड़ा $\frac{54}{360} = 15\,\%$ अलग-अलग। $60$ लोगों में से गर्मी $0.45 \times 60 = 27$ ने चुनी।

**अभ्यास 50.8 ★★.**

कक्षा A में $30$ में से $12$ विद्यार्थी पैदल स्कूल आते हैं; कक्षा B में $40$ में से $14$। किस कक्षा में पैदल आने वालों का अनुपात ज़्यादा है? गिनतियों से नहीं, आवृत्तियों से कारण बताओ।

**हल — अभ्यास 50.8.**

कक्षा A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$। कक्षा B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$। पैदल आने वालों का अनुपात कक्षा A में ज़्यादा है, भले ही [गिनती](#def-g7-stats-frequency) में कक्षा B के पैदल आने वाले ज़्यादा हों।

**अभ्यास 50.9 ★★.**

एक पत्रिका महीने की बिक्री का पट्टी-आलेख छापती है: $9\,800$, फिर $10\,000$, फिर $10\,100$, और खड़ी धुरी $9\,700$ से शुरू होती है। बताओ पाठक को क्या दिखता है, और $0$ से शुरू होने वाली ईमानदार धुरी इसकी जगह क्या दिखाती।

**हल — अभ्यास 50.9.**

धुरी $9\,700$ से शुरू होने पर तीनों पट्टियों की दिखने वाली ऊँचाइयाँ $100$, $300$ और $400$ इकाई हैं: आख़िरी पहली से चार गुनी लगती है, मानो बिक्री चौगुनी हो गई हो। $0$ से शुरू होने वाली धुरी पर पट्टियाँ लगभग बराबर हैं ($9\,800$ से $10\,100$ यानी क़रीब $3\,\%$ की बढ़त): ईमानदार तस्वीर में बिक्री लगभग सपाट है।

**अभ्यास 50.10 ★★.**

एक आवृत्ति-सारणी में तीन मान हैं, जिनकी आवृत्तियाँ $0.35$, $0.4$ और $f$ हैं। $f$ निकालो। अगर कुल [गिनती](#def-g7-stats-frequency) $80$ है तो तीनों गिनतियाँ बताओ।

**हल — अभ्यास 50.10.**

आवृत्तियों का योग $1$ होता है: $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$। गिनतियाँ (कुल $80$): $0.35 \times 80 = 28$; $0.4 \times 80 = 32$; $0.25 \times 80 = 20$। जाँच: $28 + 32 + 20 = 80$।

**अभ्यास 50.11 ★★★.**

एक स्कूल में $55\,\%$ विद्यार्थी लड़कियाँ हैं। लड़कियों में से $40\,\%$ भोजनालय में खाती हैं; लड़कों में से $60\,\%$। $400$ विद्यार्थियों में से कितने भोजनालय में खाते हैं? (चारों समूहों के आकार क़दम दर क़दम निकालो।) यह कुल मिलाकर कितने प्रतिशत हुआ?

**हल — अभ्यास 50.11.**

लड़कियाँ: $400$ का $55\,\% = 220$; लड़के: $180$। भोजनालय जाने वाली लड़कियाँ: $0.4 \times 220 = 88$; लड़के: $0.6 \times 180 = 108$। कुल: $88 + 108 = 196$ विद्यार्थी, यानी स्कूल का $\frac{196}{400} = 49\,\%$ — $40\,\%$ और $60\,\%$ के बीच, और लड़कियों वाली दर के ज़्यादा पास, क्योंकि लड़कियाँ ज़्यादा हैं।

## 50.5 समस्या: आँकड़े कैसे झूठ बोलते हैं — और उन्हें कैसे पकड़ें

**समस्या 50.1.**

सप्ताहांत समस्या — गिनती बनाम आवृत्ति, वह सर्वेक्षण जिसने पूरे देश को धोखा दिया, और दो अस्पतालों का विरोधाभास

संख्याएँ झूठ नहीं बोलतीं, पर उनसे भरमाया जा सकता है: एक बड़ी [गिनती](#def-g7-stats-frequency) छोटी [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) को छिपा सकती है, एक विशाल सर्वेक्षण बेकार हो सकता है, और — सबसे अजीब बात — कोई अस्पताल मरीज़ों की *हर* श्रेणी में अपने प्रतिद्वंद्वी से जीतकर भी कुल आँकड़ों में हार सकता है। इस समस्या में तीनों जाल खुलते हैं, और हथियार सिर्फ़ इसी अध्याय की गिनतियाँ और आवृत्तियाँ हैं ([परिभाषा 50.1](#def-g7-stats-frequency))।

**भाग I — [गिनती](#def-g7-stats-frequency) [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) नहीं होती।**

1. स्कूल A अपने $400$ रस-डिब्बों में से $120$ का पुनर्चक्रण करता है; स्कूल B अपने $250$ में से $90$ का। किस स्कूल की पुनर्चक्रित डिब्बों की *[गिनती](#def-g7-stats-frequency)* बड़ी है? किसकी *[आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency)* बड़ी है? पुनर्चक्रण का इनाम किस स्कूल को मिलना चाहिए?
2. एक नई समय-सारणी पर राय ली जाती है: $30$ में से $18$ शिक्षकों को वह पसंद है, और $600$ में से $210$ विद्यार्थियों को। दोनों आवृत्तियाँ निकालो, फिर पूरे $630$ लोगों में [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) । मिली-जुली [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) विद्यार्थियों वाली [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) के इतने पास क्यों बैठती है?
3. छपे हुए एक वृत्त-आलेख की फाँकों पर $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ और $10\,\%$ लिखा है। और कोई जानकारी लिए बिना तुम्हें कैसे पता चलता है कि कहीं ग़लती हुई है?
4. $40$ अवलोकनों की एक आवृत्ति-सारणी आधी मिट गई है: गिनतियाँ $14$ , $10$ , $?$ , $?$ और आवृत्तियाँ $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ । मिटी हुई प्रविष्टियाँ फिर से बनाओ।
5. एक सर्वेक्षण की आवृत्तियाँ $0.40$ , $0.35$ और $0.25$ निकलती हैं। वृत्त-आलेख के तीनों कोण निकालो ( [विधि 50.5](#met-g7-stats-charts) ) और जाँचो कि वे वृत्त पूरा कर देते हैं।

**भाग II — वह सर्वेक्षण जिसने पूरे देश को धोखा दिया।** सन 1936 में एक अमेरिकी पत्रिका ने टेलीफ़ोन-निर्देशिकाओं और गाड़ियों के पंजीकरण से लिए गए पतों पर एक करोड़ मतपत्र भेजे, $24$ लाख जवाब पाए, और लैंडन नाम के उम्मीदवार की भारी जीत की भविष्यवाणी की। जॉर्ज गैलप नाम के एक युवा सांख्यिकीविद् ने सिर्फ़ क़रीब पचास हज़ार लोगों से पूछा — ऐसे चुने हुए कि वे पूरी आबादी से मिलते-जुलते हों — और उलटी भविष्यवाणी की। चुनाव रूज़वेल्ट ने भारी [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) से जीता।

6. भेजे गए मतपत्रों में से कितनी [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) वापस आई?
7. सन 1936 में टेलीफ़ोन और गाड़ियाँ अमीरी की निशानी थीं। एक या दो वाक्यों में समझाओ कि पत्रिका का नमूना इतना विशाल होकर भी क्यों डूबना ही था — और यह सवाल 1 का कौन-सा सबक पूरे देश की [मापनी](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) पर दोहराता है।
8. एक खिलौना-नमूना। किसी शहर में $1\,000$ अमीर मतदाता हैं, जिनमें से $70\,\%$ L को चाहते हैं, और $9\,000$ साधारण मतदाता, जिनमें से $30\,\%$ L को। शहर में L का असली समर्थन निकालो। एक “टेलीफ़ोन-निर्देशिका सर्वेक्षण” $500$ अमीर और $500$ साधारण मतदाताओं तक पहुँचता है: वह कितने समर्थन की भविष्यवाणी करेगा?
9. चुपचाप बिछा जाल: किसी कंपनी के $200$ ग्राहक नाख़ुश हैं और $800$ ख़ुश। वह सबसे राय पूछती है; नाख़ुशों में से $40\,\%$ जवाब देते हैं, पर ख़ुशों में से सिर्फ़ $10\,\%$ । दोनों तरह के जवाबों की संख्या निकालो, और *जवाब देने वालों में* नाख़ुशी की [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) । उसे असली [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) से तुलो।
10. सवाल 8 वाले सर्वेक्षण को सुधारो: $1\,000$ बातचीत उतनी ही रखो, पर उन्हें शहर के असली अनुपात में बाँटो। सुधरा हुआ सर्वेक्षण अब क्या भविष्यवाणी करता है?

**भाग III — दो अस्पतालों का विरोधाभास।** दो अस्पताल अपने ठीक हुए मरीज़ों की गिनतियाँ, बीमारी की गंभीरता के हिसाब से बाँटकर, छापते हैं:

|  | हल्के मामले | गंभीर मामले |
| --- | --- | --- |
| अस्पताल A | $100$ में से $90$ ठीक | $400$ में से $280$ ठीक |
| अस्पताल B | $400$ में से $340$ ठीक | $100$ में से $65$ ठीक |

11. अस्पताल A के ठीक होने की [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) निकालो: हल्के मामलों में, गंभीर मामलों में, और कुल मिलाकर (पूरे $500$ मरीज़ों पर)।
12. वही तीनों गणनाएँ अस्पताल B के लिए। हल्के मामलों में कौन जीतता है? गंभीर मामलों में?
13. दोनों की कुल आवृत्तियाँ तुलो। जो अजीब बात हुई है उसे साफ़-साफ़ लिखो।
14. चाल समझाओ: दोनों अस्पतालों के मरीज़ों के *मिश्रण* तुलो, और बताओ कि कुल [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) दोनों श्रेणियों की आवृत्तियों से धोखा कैसे कर सकती है। अगर तुम्हारा मामला गंभीर हो तो किस अस्पताल को चुनना चाहिए?
15. एक अख़बार की सुर्खी है: “अस्पताल B ठीक करने में आगे: $81\,\%$ बनाम $74\,\%$ ।” संपादक के नाम वह दो वाक्यों की चिट्ठी लिखो जो यह पूरी समस्या तुम्हें सिखा चुकी है — एक वाक्य इस पर कि सुर्खी क्या छिपा रही है, और एक आम सीख पर (एक जैसी चीज़ों को ही तुलो, और भार का ध्यान रखो)।

**हल — समस्या 50.1.**

**1.** [गिनती](#def-g7-stats-frequency): $120 > 90$, स्कूल A जीता। [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency): $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ बनाम $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$: स्कूल B जीता। इनाम [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) के साथ जाना चाहिए — स्कूल B जितना इस्तेमाल करता है उसका बड़ा हिस्सा पुनर्चक्रित करता है; स्कूल A तो बस ज़्यादा रस पीता है।

**2.** शिक्षक: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$। विद्यार्थी: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$। दोनों मिलाकर: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$। विद्यार्थी बीस गुना ज़्यादा हैं, इसलिए मिली-जुली [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) लगभग पूरी तरह उन्हीं की तरफ़ खिंच जाती है — बड़े समूह का भार बड़ा होता है।

**3.** आवृत्तियों का योग $100\,\%$ होना ही चाहिए ([परिभाषा 50.1](#def-g7-stats-frequency)), पर $45 + 30 + 20 + 10 = 105$: कम से कम एक फाँक ग़लत है।

**4.** [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) $0.15$ की [गिनती](#def-g7-stats-frequency): $0.15 \times 40 = 6$। अब तक की गिनतियाँ: $14 + 10 + 6 = 30$, इसलिए आख़िरी [गिनती](#def-g7-stats-frequency) $40 - 30 = 10$ है, जिसकी [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) $\frac{10}{40} = 0.25$। (जाँच: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$।)

**5.** कोण: $0.40 \times 360 = 144^\circ$, $0.35 \times 360 = 126^\circ$, $0.25 \times 360 = 90^\circ$; और $144 + 126 + 90 = 360^\circ$: वृत्त पूरा हो जाता है।

**6.** भेजे गए मतपत्रों का $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ वापस आया।

**7.** टेलीफ़ोन-निर्देशिकाओं और गाड़ियों के पंजीकरण में ज़्यादातर अमीर घर दर्ज थे, जिनका वोट देश के वोट से अलग था; वे $24$ लाख जवाब ग़लत आबादी से खींची गई एक विशाल [गिनती](#def-g7-stats-frequency) भर थे। सवाल 1 की तरह: मायने यह नहीं रखता कि तुमने कितने गिने, बल्कि यह कि किन्हें — टेढ़े नमूने पर निकाली गई [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) उस नमूने का ब्योरा देती है, देश का नहीं।

**8.** असली समर्थन: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ समर्थक $10\,000$ में से: $34\,\%$। सर्वेक्षण: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$, $1\,000$ में से: $50\,\%$ — सोलह अंक ज़्यादा, क्योंकि अमीर नमूने के आधे हैं पर शहर के दसवें भाग।

**9.** जवाब: $0.4 \times 200 = 80$ नाख़ुश और $0.1 \times 800 = 80$ ख़ुश, यानी $160$ जवाब जिनमें $80$ नाख़ुश: नापी गई नाख़ुशी $\frac{80}{160} = 50\,\%$। असली नाख़ुशी: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$। झूठ किसी ने नहीं बोला — नाख़ुश लोग ज़्यादा जवाब देते हैं, और सर्वेक्षण उन्हीं की आवाज़ ऊँची सुनता है।

**10.** असली अनुपात: दसवाँ भाग अमीर, इसलिए $100$ अमीर और $900$ साधारण बातचीत: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$, $1\,000$ में से: सुधरा हुआ सर्वेक्षण $34\,\%$ बताता है — सवाल 8 वाला सच। सोच-समझकर चुनी गई पचास हज़ार बातचीत बीस लाख बेतरतीब बातचीत से बेहतर है।

**11.** अस्पताल A: हल्के $\frac{90}{100} = 90\,\%$; गंभीर $\frac{280}{400} = 70\,\%$; कुल $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$।

**12.** अस्पताल B: हल्के $\frac{340}{400} = 85\,\%$; गंभीर $\frac{65}{100} = 65\,\%$; कुल $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$। हल्के मामलों में ($90 > 85$) *और* गंभीर मामलों में ($70 > 65$) — दोनों में अस्पताल A जीतता है।

**13.** कुल मिलाकर B $81\,\%$ दिखाता है और A $74\,\%$: जो अस्पताल *प्रत्येक* श्रेणी में हारता है वही कुल में जीत जाता है। (इस उलटफेर का नाम है: सिंपसन का विरोधाभास।)

**14.** दोनों के मिश्रण उलटे हैं: A के मरीज़ ज़्यादातर गंभीर हैं ($500$ में से $400$), B के ज़्यादातर हल्के ($500$ में से $400$)। गंभीर मामले कहीं भी हों, कम ही ठीक होते हैं, इसलिए A का कुल आँकड़ा उन्हीं कठिन मामलों से नीचे खिंच जाता है जिन्हें वह भर्ती करता है — कुल [आवृत्ति](#def-g7-stats-frequency) एक भार-युक्त मिलावट है, और भार दोनों अस्पतालों में अलग-अलग हैं। गंभीर मरीज़ को अस्पताल A चुनना चाहिए: जिस अकेली पंक्ति से उसका वास्ता है, उसमें $70\,\%$, $65\,\%$ से बेहतर है।

**15.** जैसे: “आपकी तुलना हल्के और गंभीर मरीज़ों को घोल देती है, और दोनों अस्पतालों के मरीज़ों के मिश्रण उलटे हैं — गंभीरता से बाँटकर देखें तो अस्पताल A *दोनों* तरह के मरीज़ों का बड़ा हिस्सा ठीक करता है। कुल आँकड़े तभी तुले जा सकते हैं जब उनके पीछे के समूह एक जैसे हों; वरना जीत गुणवत्ता नहीं, भार तय करते हैं।”