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title: "क्षेत्रफल और आयतन"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 53
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes
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# अध्याय 53 — क्षेत्रफल और आयतन

पिछले साल हमने आयत, [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) और डिब्बे नापे थे ([अध्याय 43](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure))। अब एक कैंची से — यहाँ से एक टुकड़ा काटो, वहाँ चिपका दो — वही सोच [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram), *सारे* त्रिभुजों और चक्र का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) दे देती है, और [प्रिज़्म](#def-g7-areas-prism) तथा [बेलन](#def-g7-areas-prism) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) भी।

## 53.1 समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

**प्रमेय 53.1 (समांतर चतुर्भुज).**

जिस [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) की एक भुजा $b$ लंबी हो (उसका *आधार*) और उस भुजा तथा सामने वाली भुजा के बीच की दूरी $h$ हो (उसकी *ऊँचाई*), उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) है

$$
A = b \times h .
$$

**कैंची से प्रमाण.** एक तरफ़ बाहर निकलता [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) काटकर दूसरी तरफ़ चिपका दो: [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) उतने ही [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाला $b \times h$ का आयत बन जाता है। ∎

![कैंची वाला प्रमाण: लाल त्रिभुज को बाएँ सिरे से दाएँ सिरे पर सरका देने से समांतर चतुर्भुज आयत बन जाता है — क्षेत्रफल वही, b × h।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-ff97504b430f.svg)

*कैंची वाला प्रमाण: लाल त्रिभुज को बाएँ सिरे से दाएँ सिरे पर सरका देने से [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) आयत बन जाता है — [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वही, $b \times h$।*

**टिप्पणी 53.2.**

ऊँचाई दोनों आधारों के बीच की *[लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* दूरी होती है, तिरछी भुजा की लंबाई नहीं! बहुत तिरछे [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) की भुजाएँ लंबी और [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) छोटा हो सकता है।

## 53.2 त्रिभुज का क्षेत्रफल

**प्रमेय 53.3 (त्रिभुज).**

जिस त्रिभुज का आधार $b$ और उससे जुड़ी ऊँचाई $h$ हो (सामने वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से आधार-रेखा तक की [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) दूरी), उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) है

$$
A = \frac{b \times h}{2} .
$$

**उपपत्ति.** त्रिभुज की दो नक़लें, जिनमें से एक किसी भुजा के मध्यबिंदु के चारों ओर [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) चक्कर घुमा दी गई हो, मिलकर आधार $b$ और ऊँचाई $h$ वाला [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) बना देती हैं (यह [केंद्रीय सममिति](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-def) ही काम कर रही है, [प्रतिज्ञप्ति 52.4](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#prop-g7-central-preserved))। त्रिभुज उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है: $\frac{bh}{2}$। ∎

![एक त्रिभुज और उसकी आधे चक्कर वाली नक़ल (बिंदुदार) मिलकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं: त्रिभुज का क्षेत्रफल b× h/2 है। तीनों भुजाओं में से कोई भी आधार बन सकती है — अपनी अपनी ऊँचाई के साथ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-c7863134f268.svg)

*एक त्रिभुज और उसकी आधे चक्कर वाली नक़ल (बिंदुदार) मिलकर एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) बनाते हैं: त्रिभुज का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac{b\times h}{2}$ है। तीनों भुजाओं में से कोई भी आधार बन सकती है — अपनी *अपनी* ऊँचाई के साथ।*

**उदाहरण 53.4.**

किसी त्रिभुज का आधार $9$ cm है और उससे जुड़ी ऊँचाई $4$ cm नापती है:

$$
A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .
$$

*[समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)* त्रिभुज में [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) बनाती दोनों भुजाएँ ही आधार और ऊँचाई हैं: इससे [प्रतिज्ञप्ति 43.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#prop-g6-measure-formulas) वाला सूत्र वापस मिल जाता है।

## 53.3 चक्र का क्षेत्रफल

**प्रमेय 53.5 (चक्र).**

$r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले चक्र का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) है

$$
A = \pi r^2 .
$$

**प्रमाण का विचार.** चक्र को बहुत सारी पतली, बराबर फाँकों में काटो और उन्हें एक के बाद एक सिर-से-पूँछ रख दो: वे लगभग $r$ ऊँचाई का एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) बना देती हैं, जिसका आधार आधी परिधि यानी $\pi r$ है ([प्रतिज्ञप्ति 43.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#prop-g6-measure-circle))। उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\pi r \times r = \pi r^2$ के पास होता है, और फाँकें जितनी पतली होती जाएँ, यह उतना ही ठीक होता जाता है। पूरा प्रमाण समाकलन गणित माँगता है, जो हाई-स्कूल खंड में है। ∎

![चक्र को फाँकों में काटकर उन्हें खोल देना: लगभग π r आधार (आधी सीमा) और r ऊँचाई वाला एक समांतर चतुर्भुज।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-b0db054fd742.svg)

*चक्र को फाँकों में काटकर उन्हें खोल देना: लगभग $\pi r$ आधार (आधी सीमा) और $r$ ऊँचाई वाला एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram)।*

**उदाहरण 53.6.**

एक गोल मेज़ की सतह की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $60$ cm है। उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm$^2$ है, यानी $1.1$ m$^2$ से थोड़ा ज़्यादा। [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) पर ध्यान दो: *[परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter)* $2\pi r$ में $r$ आता है, और *[क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)* $\pi r^2$ में $r^2$।

## 53.4 प्रिज़्म और बेलन

**परिभाषा 53.7 (प्रिज़्म, बेलन).**

*प्रिज़्म* वह [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) है जिसके दो एक जैसे [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) बहुभुजाकार [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) (*आधार*) आयतों से जुड़े हों; और *बेलन* वही है, बस आधार चक्र होते हैं। *ऊँचाई* दोनों आधारों के बीच की दूरी है।

**प्रमेय 53.8 (आयतन).**

आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $B$ और ऊँचाई $h$ वाले [प्रिज़्म](#def-g7-areas-prism) या [बेलन](#def-g7-areas-prism) के लिए:

$$
V = B \times h .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 53.9.**

एक तंबू करवट लेटा हुआ [प्रिज़्म](#def-g7-areas-prism) है: उसके आधार ऐसे त्रिभुज हैं जिनका आधार $2$ m और ऊँचाई $1.5$ m है, और तंबू $3$ m लंबा है।

1. आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) : $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ ।
2. [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ ।

$4$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $11$ cm ऊँचाई वाला एक डिब्बा: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm$^3$, यानी मोटे तौर पर [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) लीटर।

## 53.5 अभ्यास

**अभ्यास 53.1 ★.**

$8$ cm आधार और $5$ cm ऊँचाई वाले [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो; और $6.5$ m आधार तथा $4$ m ऊँचाई वाले दूसरे का भी।

**हल — अभ्यास 53.1.**

$8 \times 5 = 40$ cm$^2$; $6.5 \times 4 = 26$ m$^2$.

**अभ्यास 53.2 ★.**

किसी [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) की भुजाएँ $10$ cm और $6$ cm हैं, और $10$ cm वाले आधार से जुड़ी ऊँचाई $4$ cm नापती है। उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो। उत्तर $60$ cm$^2$ क्यों नहीं है?

**हल — अभ्यास 53.2.**

$A = 10 \times 4 = 40$ cm$^2$। उत्तर $10 \times 6 = 60$ नहीं है, क्योंकि $6$ cm वाली भुजा तिरछी है: सूत्र *ऊँचाई* ([लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) दूरी) माँगता है, जो $4$ cm है।

**अभ्यास 53.3 ★.**

$12$ cm आधार और $7$ cm ऊँचाई वाले त्रिभुज का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो; $9$ और $6$ की समकोण-भुजाओं वाले [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) का; और $5.5$ m आधार तथा $2$ m ऊँचाई वाले त्रिभुज का।

**हल — अभ्यास 53.3.**

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm$^2$; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m$^2$.

**अभ्यास 53.4 ★.**

$5$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले चक्र का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो, फिर $10$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले आधे चक्र का ($\pi$ के साथ ठीक मान, फिर इकाई तक गोल)।

**हल — अभ्यास 53.4.**

चक्र: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm$^2$। $10$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) चक्र: $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm$^2$।

**अभ्यास 53.5 ★.**

$3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले चक्र का [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) *और* [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो। दोनों उत्तरों में से कौन cm में है और कौन cm$^2$ में?

**हल — अभ्यास 53.5.**

[परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter): $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (एक लंबाई, cm में)। [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area): $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm$^2$ (एक सतह, cm$^2$ में)।

**अभ्यास 53.6 ★.**

$24$ cm$^2$ आधार-क्षेत्रफल और $10$ cm ऊँचाई वाले [प्रिज़्म](#def-g7-areas-prism) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो; और $3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) तथा $8$ cm ऊँचाई वाले [बेलन](#def-g7-areas-prism) का (ठीक मान, फिर गोल किया हुआ)।

**हल — अभ्यास 53.6.**

[प्रिज़्म](#def-g7-areas-prism): $24 \times 10 = 240$ cm$^3$। [बेलन](#def-g7-areas-prism): $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm$^3$।

**अभ्यास 53.7 ★.**

किसी त्रिभुज का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $28$ cm$^2$ और आधार $8$ cm है। उससे जुड़ी ऊँचाई निकालो, पहले समीकरण लिखकर।

**हल — अभ्यास 53.7.**

$\frac{8 \times h}{2} = 28$, इसलिए $4h = 28$ और $h = 7$ cm।

**अभ्यास 53.8 ★★.**

कोई भी त्रिभुज बनाओ और आधार-ऊँचाई के तीनों जोड़े ध्यान से नापो। प्रत्येक जोड़े के लिए $\frac{b \times h}{2}$ निकालो: तीनों उत्तर मिलने चाहिए (नापने की ग़लती छोड़कर)। ऐसा क्यों?

**हल — अभ्यास 53.8.**

तीनों [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) इसलिए मिलते हैं कि हर एक *वही* राशि निकालता है — त्रिभुज का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)। इससे रचनाओं की एक काम की जाँच मिलती है, और किसी दूसरे आधार-ऊँचाई जोड़े से कोई ऊँचाई निकालने का तरीक़ा भी ([अभ्यास 53.12](#exo-g7-areas-12) में इस्तेमाल हुआ)।

**अभ्यास 53.9 ★★.**

समलंब आकार के एक बग़ीचे को एक विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, जिनकी ऊँचाई एक ही, $h = 20$ m, है और आधार $30$ m तथा $18$ m हैं। उसका कुल [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो। क्या तुम समलंब के लिए कोई आम सूत्र अटकल सकते हो?

**हल — अभ्यास 53.9.**

दोनों त्रिभुजों के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m$^2$ और $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m$^2$ हैं: कुल $480$ m$^2$। जो आम सूत्र सूझता है: $h$ दूरी पर [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भुजाओं $a$ और $b$ के लिए,

$$
A = \frac{(a + b) \times h}{2}
$$

— यानी समलंब का सूत्र (यहाँ $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$)।

**अभ्यास 53.10 ★★.**

$6$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले एक बेलनाकार फूलदान में $15$ cm ऊँचाई तक पानी है। सारा पानी एक ख़ाली डिब्बे में उँडेल दिया जाता है जिसका आधार $18$ cm $\times$ $12$ cm है। डिब्बे में पानी की ऊँचाई कितनी बनेगी? ([आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) वही, आधार अलग।)

**हल — अभ्यास 53.10.**

पानी का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm$^3$। डिब्बे का आधार: $18 \times 12 = 216$ cm$^2$। बनने वाली ऊँचाई: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm।

**अभ्यास 53.11 ★★.**

$30$ cm [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) वाला एक पिज़्ज़ा $9$ यूरो का है; $40$ cm [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) वाला $14$ यूरो का। दोनों के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) और $100$ cm$^2$ का दाम निकालो। कौन-सा पिज़्ज़ा ज़्यादा फ़ायदे का सौदा है?

**हल — अभ्यास 53.11.**

[त्रिज्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $15$ और $20$ cm। [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area): $225\pi \approx 707$ cm$^2$ और $400\pi \approx 1257$ cm$^2$। $100$ cm$^2$ का दाम: $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ यूरो और $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ यूरो। बड़ा पिज़्ज़ा ज़्यादा फ़ायदे का सौदा है — [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) के *वर्ग* के साथ बढ़ता है।

**अभ्यास 53.12 ★★★.**

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) की [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) बनाती दोनों भुजाएँ $6$ cm और $8$ cm की हैं, और उसका कर्ण $10$ cm का। पहले उन दोनों भुजाओं से उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो, फिर उसी [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) से *कर्ण* से जुड़ी ऊँचाई निकालो।

**हल — अभ्यास 53.12.**

समकोण-भुजाओं से: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^2$। कर्ण को आधार मानकर: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$, इसलिए $h = 4.8$ cm।

## 53.6 समस्या: ग़ायब हो जाने वाला वर्ग

**समस्या 53.1.**

सप्ताहांत समस्या — वह मशहूर “प्रमाण” कि $64 = 65$, जिसका भेद क्षेत्रफल और ढलान खोल देते हैं, और मिठाई में पिज़्ज़े तथा छल्ले

एक जादूगर $8 \times 8$ के वर्ग को चार टुकड़ों में काटता है, उन्हें इधर-उधर सरकाता है, और उन्हीं से $5 \times 13$ का आयत जोड़ देता है। दर्शक गिनते हैं: $8 \times 8 = 64$, पर $5 \times 13 = 65$ — एक वर्ग इकाई हवा में से पैदा हो गई! इसी अध्याय के क्षेत्रफल-सूत्र ठीक वे औज़ार हैं जो इस चाल को पकड़ लेते हैं। फिर यह समस्या ईमानदार क्षेत्रफल-तर्क को काम पर लगाती है: समलंबों पर, तिरछी ढेरियों पर, पिज़्ज़े के हिसाब-किताब पर — और आख़िर में जादूगर के पास लौटती है, एक और भी अजीब खेल के लिए।

**भाग I — चाल, दिखाई भी और खोली भी।** $8 \times 8$ वाले वर्ग के चारों टुकड़े ये हैं: $8$ और $3$ की समकोण-भुजाओं वाले दो [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles), और $5$ तथा $3$ की [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भुजाओं और $5$ ऊँचाई वाले दो [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) समलंब।

1. असली वर्ग का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) और बताए गए आयत का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो। एक पंक्ति में गड़बड़ी बताओ।
2. चारों टुकड़ों में से प्रत्येक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो ( [प्रमेय 53.3](#thm-g7-areas-triangle) ; समलंबों के लिए उन्हें काट लो या [अभ्यास 53.9](#exo-g7-areas-9) इस्तेमाल करो)।
3. चारों [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) जोड़ो। दोनों आकृतियों में से — वर्ग या आयत — टुकड़े सचमुच कौन-सी भर सकते हैं?
4. आयत वाली सजावट में एक त्रिभुज का कर्ण ( $8$ चलकर $3$ चढ़ता हुआ) किसी समलंब की तिरछी किनार ( $5$ चलकर $2$ चढ़ती हुई) को एक ही सीधे “विकर्ण” में आगे बढ़ाता हुआ माना जाता है। इस जोड़ को जाँचो: क्या $8$ में $3$ और $5$ में $2$ एक ही ढलान हैं ( [प्रमेय 49.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#thm-g7-prop-cross) )?
5. बताओ पैंसठवाँ वर्ग कहाँ छिपा है: उस झूठे विकर्ण के साथ बनी ख़ाली जगह की शक्ल क्या है, उसका ठीक-ठीक [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) क्या है, और आँख उसे क्यों नहीं पकड़ पाती? (उतने [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) की एक झिरी आयत के क़रीब $13$ इकाई लंबे विकर्ण पर फैलाई जाए तो औसतन कितनी चौड़ी होगी?)

**भाग II — ईमानदार क्षेत्रफल-तर्क।**

6. $4$ cm की दूरी पर दो [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खींचो, उनमें से एक पर $6$ cm का आधार लो, और उसी आधार पर तीन अलग-अलग त्रिभुज बनाओ जिनके शिखर दूसरी रेखा के अलग-अलग बिंदुओं पर हों। तीनों [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो। शिखर अपनी रेखा पर चाहे जहाँ सरके, तीनों बराबर क्यों रहते हैं?
7. समलंब का सूत्र आम तौर पर सिद्ध करो: $B$ और $b$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भुजाओं तथा $h$ ऊँचाई वाला समलंब, एक विकर्ण के साथ काटने पर, एक ही ऊँचाई $h$ वाले दो त्रिभुज देता है। नतीजा निकालो: $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. इसे $B = 9$ cm, $b = 5$ cm, $h = 4$ cm वाले समलंब पर लगाओ।
9. बढ़ई यही सूत्र भेस बदलकर इस्तेमाल करते हैं: [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $=$ (दोनों [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भुजाओं का औसत) $\times$ ऊँचाई। समझाओ कि यह वही नियम क्यों है, और सवाल 8 को इसी तरह दोबारा निकालो।
10. ताश के पत्तों की सीधी ढेरी को तिरछा कर दो। समझाओ कि [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) क्यों नहीं बदला, और इससे [प्रिज़्म](#def-g7-areas-prism) के सूत्र $V = B \times h$ ( [प्रमेय 53.8](#thm-g7-areas-volume) ) की ऊँचाई के बारे में क्या पता चलता है: तिरछी ढेरी के लिए कौन-सी ऊँचाई लेनी होगी — तिरछी लंबाई या खड़ी वाली? (एक विमा ऊपर, [अभ्यास 53.2](#exo-g7-areas-2) से तुलना करो।)

**भाग III — छल्ले, पिज़्ज़े, और जादूगर की वापसी।**

11. $3$ m [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला एक गोल तालाब $5$ m [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले एक गोल लॉन के बीचोंबीच है। घास के छल्ले का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो ( $\pi$ के साथ ठीक मान, फिर m $^2$ तक गोल)।
12. उस अकेले चक्र की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) निकालो जिसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) ठीक उसी छल्ले के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) के बराबर हो। (अब तुम्हारे पास जो तीन [त्रिज्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) हैं वे एक मशहूर तिकड़ी बनाती हैं, जिसकी कहानी [अध्याय 58](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ch-g8-pythagoras) में है।)
13. ज़्यादा पिज़्ज़ा कौन-सा है: $40$ cm [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) वाला एक पिज़्ज़ा, या $28$ cm [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) वाले दो? निकालो और तुलो।
14. किसी पिज़्ज़े का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) *दुगुना* करने के लिए उसकी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) मोटे तौर पर कितने गुना बढ़नी चाहिए? उम्मीदवार $1.4$ को जाँचो (याद रखो कि [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) मापनी-गुणक के *वर्ग* के साथ बढ़ता है, [समस्या 44.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/44-proportionality-and-data#pb-g6-propdata-1) ), और बताओ कि ठीक-ठीक वह गुणक — वह संख्या जिसका वर्ग $2$ है — कहाँ सरकारी तौर पर आती है ( [उदाहरण 58.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) )।
15. जादूगर लौटता है: अब वह $13 \times 13$ के वर्ग को काटता है, जिसमें $5$ , $8$ , $13$ वही भूमिकाएँ निभाते हैं जो पहले $3$ , $5$ , $8$ निभा रहे थे, और उनसे $8 \times 21$ का आयत जोड़ देता है। दोनों [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो: इस बार क्या ग़ायब हुआ? संख्याएँ $3, 5, 8, 13, 21$ [समस्या 47.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/47-fractions-comparing-and-adding#pb-g7-fractions-1) वाली श्रेणी के लगातार पद हैं — जादूगर के नफ़े-नुक़सान का ढर्रा बताओ, और सीख भी: [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) कभी झूठ क्यों नहीं बोलते?

**हल — समस्या 53.1.**

**1.** वर्ग: $8 \times 8 = 64$। आयत: $5 \times 13 = 65$। वही चारों टुकड़े एक आकृति में $64$ वर्ग इकाई ढकते दिखते हैं और दूसरी में $65$: क़िस्सा यह है कि एक इकाई [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से पैदा हो गया।

**2.** प्रत्येक त्रिभुज: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$। प्रत्येक समलंब: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$।

**3.** $12 + 12 + 20 + 20 = 64$: टुकड़ों का कुल $64$ है, इसलिए वे वर्ग को ठीक-ठीक भर सकते हैं — और $65$ इकाई वाले आयत को भर *नहीं* सकते। आयत वाली तस्वीर में कहीं न कहीं एक छेद होना ही चाहिए।

**4.** एक जैसी ढलान का मतलब होता कि $8$ में $3$, $5$ में $2$ के [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/44-proportionality-and-data#def-g6-propdata-def) हो; तिरछे [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def): $3 \times 5 = 15$ और $2 \times 8 = 16$। बराबर नहीं: कर्ण और तिरछी किनार एक सीध में *नहीं* बैठते। आयत का “विकर्ण” एक झूठ है — दो ज़रा-सी अलग ढलानें, जो एक बहुत चौड़े कोण पर मिलती हैं।

**5.** उस झूठे विकर्ण के साथ चारों टुकड़े एक लंबी, बेहद पतली ख़ाली जगह छोड़ देते हैं — बहुत चपटे [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) की शक्ल की एक झिरी — जिसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) ठीक वही ग़ायब $65 - 64 = 1$ वर्ग इकाई है। क़रीब $13$ इकाई लंबे विकर्ण पर फैलने पर उसकी औसत चौड़ाई क़रीब $1 \div 13 \approx 0.08$ इकाई निकलती है: असली चित्र में उस पेंसिल की लकीर से भी पतली जो उसे छिपाए रखती है।

**6.** प्रत्येक त्रिभुज का आधार $6$ cm और ऊँचाई $4$ cm है — यानी दोनों [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखाओं के बीच की दूरी, शिखर चाहे जहाँ बैठे — इसलिए हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ है ([प्रमेय 53.3](#thm-g7-areas-triangle))। शिखर को [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा पर सरकाने से आकार बदलता है, आधार या ऊँचाई कभी नहीं: [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) सदा बराबर।

**7.** विकर्ण समलंब को आधार $B$ वाले एक त्रिभुज और आधार $b$ वाले दूसरे त्रिभुज में काट देता है, और दोनों की ऊँचाई $h$ है (यानी [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भुजाओं के बीच की दूरी):

$$
A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2}
= \frac{(B + b) \times h}{2} .
$$

**8.** $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} =
28$ cm$^2$।

**9.** [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भुजाओं का औसत $\frac{B + b}{2}$ है, इसलिए (औसत) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$: वही सूत्र, बस अलग तरह से गुणनखंडों में लिखा हुआ। जाँच: औसत $= \frac{9+5}{2} = 7$, और $7 \times 4 = 28$ cm$^2$।

**10.** तिरछी ढेरी में ठीक वही पत्ते हैं — वही परतें, हर एक उतने ही [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) की — इसलिए [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) भी वही है। $V = B \times h$ में ऊँचाई आधार के *[लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* नापी जानी चाहिए (ढेरी की खड़ी ऊँचाई), तिरछाई के साथ नहीं: ठीक वैसे ही जैसे [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) ऊँचाई माँगता है, तिरछी भुजा नहीं ([अभ्यास 53.2](#exo-g7-areas-2)) — बस एक विमा ऊपर।

**11.** छल्ला $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi -
9\pi = 16\pi \approx 50$ m$^2$ ([प्रमेय 53.5](#thm-g7-areas-disk))।

**12.** $16\pi$ [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाले चक्र की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ है, क्योंकि $\pi \times 4^2 = 16\pi$। [त्रिज्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $3$, $4$, $5$: गणित की सबसे मशहूर तिकड़ी, जो [अध्याय 58](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ch-g8-pythagoras) में मुख्य भूमिका निभाती है।

**13.** $40$ cm वाला एक पिज़्ज़ा: [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $20$, [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm$^2$। $28$ cm वाले दो पिज़्ज़े: [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $14$, दोनों मिलाकर $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm$^2$। अकेला बड़ा पिज़्ज़ा दोनों मँझोलों से *ज़्यादा* पिज़्ज़ा है।

**14.** [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) को $1.4$ से बढ़ाने पर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $1.4^2 = 1.96$ गुना हो जाता है — लगभग दुगुना। ठीक-ठीक गुणक वह संख्या है जिसका वर्ग $2$ है, क़रीब $1.414$: यही [उदाहरण 58.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) वाली विकर्ण-संख्या है। (मोटा नियम: डेढ़ गुनी चौड़ाई माने लगभग दुगुना पिज़्ज़ा।)

**15.** $13 \times 13 = 169$, पर $8 \times 21 = 168$: इस बार एक वर्ग इकाई *ग़ायब* हो जाती है — टुकड़े ख़ाली जगह छोड़ने के बजाय एक पतली झिरी में एक-दूसरे पर चढ़ जाते हैं। हेमचंद्र–फ़िबोनाच्ची श्रेणी के लगातार पद $3, 5, 8, 13, 21$ लेने पर [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) बारी-बारी से वर्ग से एक ज़्यादा और एक कम निकलते हैं ($5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$, फिर $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$): जादूगर बारी-बारी से एक इकाई “कमाता” और “गँवाता” है। [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) कभी झूठ नहीं बोलते: जिन टुकड़ों का कुल $64$ है वे $64$ ही ढकेंगे, चाहे जहाँ सरकाओ — हर ग़ायब या ज़्यादा इकाई किसी झिरी में छिपी बैठी है, इस इंतज़ार में कि कोई ढलान जाँच ले।