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title: "ऋण संख्याओं का गुणा"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers
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# अध्याय 54 — ऋण संख्याओं का गुणा

पिछले साल हमने [सापेक्ष संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) जोड़ी और घटाई थीं ([अध्याय 46](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#ch-g7-negatives)); अब उन्हें गुणा और भाग करना बाक़ी है। पूरे अध्याय पर एक ही सवाल छाया रहता है: “ऋण गुना ऋण” धन क्यों होना चाहिए? हम सिर्फ़ नियम नहीं, कारण बताएँगे।

## 54.1 चिह्न के नियम

**प्रमेय 54.1 (गुणनफल का चिह्न).**

दो [सापेक्ष संख्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) की [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से दूरी उनकी दूरियों के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) के बराबर होती है, और उसका चिह्न इस सारणी से मिलता है:

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*एक जैसे चिह्न: धन [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)। उलटे चिह्न: ऋण [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)।* यही सारणी भागफलों पर भी चलती है।

**$(-1) \times (-1) = +1$ क्यों.** पहले, $3 \times (-4)$ का मतलब है $(-4) + (-4) + (-4) = -12$: धन गुना ऋण, ऋण होता है। अब यह ढर्रा देखो:

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

हर क़दम पर पहला गुणक $1$ घटता है और उत्तर $4$ *बढ़ता* है। इसी ढर्रे को एक क़दम और आगे बढ़ाओ:

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

कोई भी दूसरा चुनाव अंकगणित की इस नियमितता (वितरण नियम) को तोड़ देगा। इसलिए ऋण गुना ऋण धन ही होना चाहिए। ∎

![एक चित्र में ढर्रे वाला तर्क: बिंदु (k,\ k × (-4)) एक ही रेखा पर बैठते हैं, और उस रेखा को k = 0 के आगे बढ़ाने पर (-1)×(-4) = +4 तथा (-2)×(-4) = +8 मानना ही पड़ता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*एक चित्र में ढर्रे वाला तर्क: बिंदु $(k,\ k \times (-4))$ एक ही रेखा पर बैठते हैं, और उस रेखा को $k = 0$ के आगे बढ़ाने पर $(-1)\times(-4) = +4$ तथा $(-2)\times(-4) = +8$ मानना ही पड़ता है।*

**उदाहरण 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(उलटे चिह्न)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(एक जैसे चिह्न)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 कई गुणकों के गुणनफल

**प्रतिज्ञप्ति 54.3 (लंबे गुणनफल का चिह्न).**

कई शून्येतर गुणकों के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) का चिह्न सिर्फ़ इस पर टिका है कि ऋण गुणक कितने हैं:

- ऋण गुणकों की *सम* संख्या धन [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) देती है;
- *विषम* संख्या ऋण [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) देती है।

**उपपत्ति.** ऋण गुणक जोड़ों में बँट जाते हैं, और प्रत्येक जोड़ा धन चिह्न देता है ([प्रमेय 54.1](#thm-g8-negprod-rules)); विषम [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) में एक ऋण गुणक बिना जोड़ीदार रह जाता है, जो पूरे [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) को ऋण बना देता है। ∎

**उदाहरण 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$: तीन ऋण गुणक (विषम), इसलिए [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ऋण है; दूरियाँ: $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$। उत्तर: $-30$। *पहले* चिह्न तय करो, फिर दूरियाँ गुणा करो — एक ग़लती-भरे काम की जगह दो आसान काम।

**उदाहरण 54.5 (ऋण संख्याओं की घातें).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$, और $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$: सम घातांक धन मान देते हैं, और विषम घातांक चिह्न बनाए रखते हैं। लिखावट से सावधान: $(-3)^2 = 9$ है पर $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$।

## 54.3 चारों संक्रियाओं के साथ गणना

**विधि 54.6 (सापेक्ष संख्याओं के साथ पक्की गणना).**

1. [अध्याय 45](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#ch-g7-priorities) की प्राथमिकताएँ मानो: पहले कोष्ठक, फिर $\times$ और $\div$ , फिर $+$ और $-$ ;
2. प्रत्येक गुणा या भाग पर पहले *चिह्न* निकालो, फिर दूरी;
3. एक पंक्ति में एक ही क़दम लिखो।

**उदाहरण 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(पहले गुणनफल: उलटे चिह्न)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(अंश: एक जैसे चिह्न)}\\
&= -15 && \text{(भागफल: उलटे चिह्न)।}
\end{align*}
$$

**उदाहरण 54.8 (ऋण मान रखना).**

$x = -5$ पर $E = 3x^2 - 2x$ का मान निकालो, मान के चारों ओर कोष्ठक लगाकर:

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

$(-5)^2$ के कोष्ठक ज़रूरी हैं: उनके बिना वर्ग सिर्फ़ $5$ पर लगता।

## 54.4 अभ्यास

**अभ्यास 54.1 ★.**

गणना करो:

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**हल — अभ्यास 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$; $(-9) \times (-6) = +54$; $(+12) \times (-0.5) = -6$; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (तीन ऋण गुणक: विषम)।

**अभ्यास 54.2 ★.**

गणना करो:

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**हल — अभ्यास 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$; $(-8) \div (-16) = +0.5$; $\dfrac{45}{-5} = -9$; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**अभ्यास 54.3 ★.**

बिना गणना किए प्रत्येक [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) का सिर्फ़ *चिह्न* बताओ:

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**हल — अभ्यास 54.3.**

तीन ऋण गुणक: *ऋण*। $(-1)^{10}$: दस ऋण गुणक, सम: *धन* (वह $1$ के बराबर है)। $(-2)^7$: सात गुणक, विषम: *ऋण*। $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$: न धन, न ऋण।

**अभ्यास 54.4 ★.**

गणना करो:

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**हल — अभ्यास 54.4.**

$(-2)^4 = +16$; $-2^4 = -16$ (ऋण चिह्न वर्ग नहीं हुआ); $(-3)^3 = -27$; $(-1)^{2026} = +1$ (सम घातांक)।

**अभ्यास 54.5 ★.**

प्राथमिकताओं का ध्यान रखते हुए क़दम दर क़दम गणना करो:

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**हल — अभ्यास 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**अभ्यास 54.6 ★.**

गणना करो:

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**हल — अभ्यास 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**अभ्यास 54.7 ★.**

$x = -3$ पर मान निकालो:

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**हल — अभ्यास 54.7.**

$x = -3$ पर: $5x = -15$; $x^2 = (-3)^2 = 9$; $-x^2 = -9$; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$।

**अभ्यास 54.8 ★★.**

प्रत्येक समानता पूरी करो:

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**हल — अभ्यास 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$; $10 \div (-4) = -2.5$; $(-5) \times \frac15 = -1$, इसलिए छूटी हुई संख्या $+\frac15 = 0.2$ है।

**अभ्यास 54.9 ★★.**

सही या ग़लत? कारण बताओ या प्रति-उदाहरण दो।

1. दो [सापेक्ष संख्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) हमेशा उनके [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) से कम से कम उतना बड़ा तो होता ही है।
2. किसी [सापेक्ष संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) का वर्ग कभी ऋण नहीं होता।
3. अगर तीन गुणकों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) धन है तो तीनों गुणक धन हैं।

**हल — अभ्यास 54.9.**

*1. ग़लत*: $0.5 \times 0.5 = 0.25$, $0.5 + 0.5 = 1$ से छोटा है (या: $2 \times 3 = 6 > 5$, पर दावे को हमेशा सही होना चाहिए)।

*2. सही*: वर्ग एक ही चिह्न वाली दो संख्याओं का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) है, इसलिए वह धन या [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) होता है।

*3. ग़लत*: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ दो ऋण गुणकों के साथ भी धन है।

**अभ्यास 54.10 ★★.**

किसी प्रश्नोत्तरी में प्रत्येक ग़लत उत्तर के $-3$ अंक और प्रत्येक सही उत्तर के $+5$ अंक मिलते हैं। ज़ोए ने $20$ सवालों के उत्तर दिए और $36$ अंक पाए। कितने उत्तर सही थे? (मान आज़माकर देखो, या गणना $5r - 3(20 - r) = 36$ बनाओ।)

**हल — अभ्यास 54.10.**

मान लो सही उत्तरों की संख्या $r$ है; तब $20 - r$ ग़लत हैं, और

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

बारह उत्तर सही थे (और आठ ग़लत: जाँच, $60 - 24 = 36$)।

**अभ्यास 54.11 ★★★.**

वितरण नियम से ([प्रमेय 54.1](#thm-g8-negprod-rules) के प्रमाण की तरह) इसके प्रत्येक क़दम को फैलाओ और उसका कारण बताओ

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),
$$

और नतीजा निकालो कि $(-1) \times (-1)$ को $+1$ ही होना पड़ेगा।

**हल — अभ्यास 54.11.**

[शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) गुना कुछ भी [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) होता है, इसलिए $(-1) \times 0 = 0$। $0 = 1 + (-1)$ लिखकर वितरण नियम लगाने पर:

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

$(-1) \times (-1)$ को $-1$ में जोड़ने पर $0$ मिलता है: इसलिए उसे $-1$ की [विपरीत संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def), यानी $+1$, होना ही पड़ेगा। वितरण नियम कोई दूसरा रास्ता छोड़ता ही नहीं।

## 54.5 समस्या: ऋण गुना ऋण धन क्यों होता है

**समस्या 54.1.**

सप्ताहांत समस्या — वितरण नियम से निकाले गए चिह्न के नियम, और बारी-बारी चिह्न वाला योग $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

[प्रमेय 54.1](#thm-g8-negprod-rules) के प्रमाण ने एक ढर्रा आगे बढ़ाया था और कहा था कि “कोई भी दूसरा चुनाव वितरण नियम तोड़ देगा”। यह समस्या उस दावे को ठीक-ठीक कर देती है: सिर्फ़ वितरण नियम से शुरू करके ([प्रमेय 45.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity)) तुम चिह्न के नियम *सिद्ध* करोगे — न कोई चित्र, न कोई ढर्रा, जैसे बीजगणित करता है — और फिर उन्हें $-1$ की घातों पर तथा बारी-बारी चिह्न वाले एक मशहूर योग पर काम में लाओगे। पूरे समय $a$ और $b$ [सापेक्ष संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) हैं; हम [अध्याय 46](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#ch-g7-negatives) के जोड़ने के नियम, $1 \times a = a$, और यह मान लेते हैं कि [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) किसी भी क्रम में निकाला जा सकता है (इसलिए वितरण नियम [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) की किसी भी तरफ़ लगता है)।

**भाग I — चिह्न के नियम प्रमेय हैं।**

1. सिद्ध करो कि प्रत्येक [सापेक्ष संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $a$ के लिए $0 \times a = 0$ होता है। ( $0 = 0 + 0$ लिखो, $(0 + 0) \times a$ फैलाओ, और पूछो कि $0 \times a$ में कौन-सी संख्या जोड़ने पर $0 \times a$ ही वापस मिलता है।)
2. $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ फैलाकर दिखाओ कि $(-1) \times a + a = 0$, और नतीजा निकालो कि $$(-1) \times a = -a :$$ $-1$ से गुणा करने पर [विपरीत संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) मिलती है। [अभ्यास 54.11](#exo-g8-negprod-11) से तुलना करो, जो $a = -1$ वाली स्थिति है।
3. इससे निकालो कि $(-a) \times b = -(a \times b)$ : एक ऋण चिह्न [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) में से जस का तस बाहर आ जाता है।
4. इससे निकालो कि $(-a) \times (-b) = a \times b$ : दो ऋण चिह्न आपस में कट जाते हैं।
5. प्रत्येक [सापेक्ष संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से अपनी दूरी है, आगे एक चिह्न लगा हुआ: $a = +d$ या $a = -d$ । समझाओ कि सवाल 3 और 4 मिलकर [प्रमेय 54.1](#thm-g8-negprod-rules) की चिह्न-सारणी के चारों मामले कैसे सिद्ध कर देते हैं, दूरियों समेत।

**भाग II — $-1$ की घातें।**

6. $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ निकालो, फिर [प्रतिज्ञप्ति 54.3](#prop-g8-negprod-many) से कारण देते हुए प्रत्येक पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए $(-1)^n$ का मान बताओ।
7. बिना कोई दूरी निकाले $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ का चिह्न बताओ, और इस [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) की दूरी को पूर्ण संख्याओं के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) के रूप में लिखो, हल किए बिना।
8. दिखाओ कि $(-a)^2 = a^2$ और $(-a)^3 = -a^3$ । किन घातांकों पर ऋण चिह्न बचा रहता है?
9. चिह्न के नियमों से दिखाओ कि किसी [सापेक्ष संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) का वर्ग कभी ऋण नहीं होता, और इससे निकालो कि कोई भी [सापेक्ष संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $x$ $x^2 = -4$ नहीं मानती।
10. ज़ोए का दावा है: “ $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ , और आम तौर पर $-1$ की दो लगातार घातें हमेशा एक-दूसरे को काट देती हैं।” क्या वह सही है? कारण बताओ।

**भाग III — बारी-बारी चिह्न वाला योग।** चिह्न के नियम पक्के हो जाने पर हम ऐसे योग निकाल सकते हैं जिनमें दोनों चिह्न मिले हों। किसी पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए मान लो

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

$1$ से $n$ तक की पूर्ण संख्याओं का, बारी-बारी चिह्न लगाकर बना, योग है: आख़िरी पद $+n$ होता है जब $n$ विषम हो, और $-n$ जब $n$ सम हो। तो $A_1 = 1$ और $A_2 = 1 - 2 = -1$।

11. $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ और $A_7$ निकालो। तुम्हारी अटकल क्या है?
12. मान लो $n$ सम है। पदों को दो-दो करके जोड़ो, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , जोड़े गिनो, और सिद्ध करो कि $A_n = -\frac{n}{2}$ ।
13. मान लो $n$ विषम है। समझाओ कि $A_n = A_{n-1} + n$ क्यों है, और पिछले सवाल से निकालो कि $A_n = \frac{n + 1}{2}$ ।
14. $A_{100}$ , $A_{101}$ और $A_{2026}$ निकालो।
15. आल्मा ने $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ निकाला और ठीक $101$ पाकर हैरान रह गई। क्या उसे हैरान होना चाहिए था? एक वाक्य में समझाओ, और बिना और कोई गणना किए $A_{2027} - A_{2026}$ का मान बताओ।

**हल — समस्या 54.1.**

**1.** चूँकि $0 = 0 + 0$ है, वितरण नियम ([प्रमेय 45.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity)) से

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

यानी $0 \times a$ को अपने आप में जोड़ने से कुछ नहीं बदलता — और बिना कुछ बदले जोड़ी जा सकने वाली अकेली संख्या $0$ है। (सीधे कहें: दोनों तरफ़ से $0 \times a$ घटा दो।) इसलिए $0 \times a = 0$।

**2.** फैलाकर, फिर $1 + (-1) = 0$ और सवाल 1 का इस्तेमाल करके:

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

यानी $(-1) \times a$ वह संख्या है जो $a$ में जोड़ने पर $0$ देती है: और वह ठीक $a$ की [विपरीत संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) है, इसलिए $(-1) \times a = -a$। [अभ्यास 54.11](#exo-g8-negprod-11) इसकी ख़ास स्थिति $a = -1$ है: वहाँ $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$।

**3.** $-a = (-1) \times a$ लिखो (सवाल 2) और गुणकों को नए सिरे से जमाओ:

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** सवाल 3 को दो बार लगाओ (एक-एक गुणक पर):

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

क्योंकि किसी संख्या की विपरीत की विपरीत वही संख्या होती है।

**5.** $a = +d$ या $a = -d$ और $b = +e$ या $b = -e$ लिखो, जहाँ $d$ और $e$ [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) से दूरियाँ हैं। चारों मामले:

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

जिनमें बीच के दो सवाल 3 से और आख़िरी सवाल 4 से मिलते हैं। हर मामले में उत्तर की दूरी $d \times e$ है, यानी दूरियों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def), और चिह्न वही है जो [प्रमेय 54.1](#thm-g8-negprod-rules) की सारणी बताती है: एक जैसे चिह्न पर धन, उलटे चिह्न पर ऋण।

**6.** $(-1)^2 = +1$, $(-1)^3 = -1$, $(-1)^4 = +1$, $(-1)^5 = -1$। आम तौर पर $(-1)^n$, $1$ दूरी वाले $n$ ऋण गुणकों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) है: [प्रतिज्ञप्ति 54.3](#prop-g8-negprod-many) से वह $n$ के सम होने पर $+1$ और विषम होने पर $-1$ होता है।

**7.** ऋण गुणक दस हैं — यानी [सम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — इसलिए [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) *धन* है ([प्रतिज्ञप्ति 54.3](#prop-g8-negprod-many))। उसकी दूरी $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$ है।

**8.** सवाल 4 से $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a =
a^2$। फिर सवाल 3 से,

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

सम घातांकों पर ऋण चिह्न ग़ायब हो जाता है और विषम घातांकों पर बचा रहता है, ठीक [उदाहरण 54.5](#ex-g8-negprod-powers) के मुताबिक़।

**9.** अगर $a = 0$ हो तो $a^2 = 0$। नहीं तो $a$ और $a$ के चिह्न *एक जैसे* हैं, इसलिए $a^2 = a \times a$ धन होता है ([प्रमेय 54.1](#thm-g8-negprod-rules))। इसलिए वर्ग कभी ऋण नहीं होता; और $-4$ ऋण है, इसलिए कोई भी [सापेक्ष संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) $x$, $x^2 = -4$ नहीं मानती।

**10.** ज़ोए सही है। घातांक $2026$ और $2027$ की सम-विषमता उलटी है, इसलिए $(-1)^{2026} = +1$ और $(-1)^{2027} = -1$, जिनका योग $0$ है। आम तौर पर दो लगातार घातांकों में एक सम और एक विषम होता है, इसलिए दोनों घातें किसी न किसी क्रम में $+1$ और $-1$ होती हैं: [विपरीत संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def), जिनका योग हमेशा $0$ होता है।

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$, फिर $A_4 = A_3 - 4 = -2$, $A_5 = A_4 + 5 = 3$, $A_6 = A_5 - 6 = -3$, $A_7 = A_6 + 7 = 4$। अटकल: सम $n$ के लिए $A_n = -\frac{n}{2}$, और विषम $n$ के लिए $A_n = \frac{n+1}{2}$।

**12.** सम $n$ के लिए पद पूरी तरह जोड़ों में बँट जाते हैं:

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

और प्रत्येक जोड़ा $-1$ के बराबर है। जोड़े $\frac{n}{2}$ हैं (हर जोड़े में दो पद, और कुल $n$ पद), इसलिए $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$।

**13.** विषम $n$ के लिए योग $A_n$, पहले $n - 1$ पदों का योग $A_{n-1}$ है और उसमें आख़िरी पद जुड़ा हुआ, जो $+n$ है क्योंकि $n$ विषम है। और $n - 1$ सम है, इसलिए सवाल 12 से

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$, $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$, $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$।

**15.** इसमें हैरानी की कोई बात नहीं: $A_{100}$ से $A_{101}$ पर जाने में ठीक एक पद जुड़ता है, यानी $+101$, इसलिए [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $101$ ही होना था। इसी कारण $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — और $A_{2027}$ निकालने की कोई ज़रूरत ही नहीं।