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title: "भिन्नें: चारों संक्रियाएँ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/55-fractions-all-four-operations
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# अध्याय 55 — भिन्नें: चारों संक्रियाएँ

यह अध्याय भिन्नों का अंकगणित पूरा कर देता है: *किन्हीं भी* हरों के साथ जोड़ना और घटाना, गुणा करना, और — नया मेहमान — भाग देना, जो निकलकर भेस बदला हुआ गुणा ही निकलता है। [अध्याय 54](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ch-g8-negprod) वाले चिह्न भी साथ-साथ चलते हैं।

## 55.1 किन्हीं भी हरों के साथ जोड़ना

**विधि 55.1 (उभयनिष्ठ हर).**

$\frac ab$ और $\frac cd$ को जोड़ने या घटाने के लिए:

1. $b$ और $d$ का कोई उभयनिष्ठ [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) ढूँढ़ो ( [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $b \times d$ हमेशा चलता है; उससे छोटा [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) मेहनत बचाता है);
2. दोनों भिन्नों को उसी हर के साथ फिर से लिखो;
3. [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) जोड़ो या घटाओ; फिर सरल करो।

**उदाहरण 55.2.**

$\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ निकालो। $6$ और $4$ का एक उभयनिष्ठ [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $12$ है:

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

चिह्नों के साथ: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} -
\dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$।

## 55.2 भिन्नों का गुणा

**प्रमेय 55.3 (भिन्नों का गुणनफल).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**चित्र में, क्यों.** किसी वर्ग के $\frac25$ का $\frac34$ लो: वर्ग को $5$ खड़ी पट्टियों में काटो और $2$ रख लो; फिर आड़े-आड़े $4$ में काटो और जो बचा था उसकी $3$ पंक्तियाँ रख लो। रखा हुआ हिस्सा $4 \times 5$ में से $3 \times 2$ छोटे ख़ानों का जाल है: [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$। ∎

![3/4 × 2/5: दुहरी छाया वाला हिस्सा 4 × 5 = 20 ख़ानों में से 3 × 2 = 6 ख़ाने हैं, यानी 6/20 = 3/10 — अंश गुणा, हर गुणा।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-7bc707348e92.svg)

*$\frac34 \times \frac25$: दुहरी छाया वाला हिस्सा $4 \times 5 = 20$ ख़ानों में से $3 \times 2 = 6$ ख़ाने हैं, यानी $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) गुणा, हर गुणा।*

**उदाहरण 55.4.**

गुणा करने से *पहले* सरल करो, उभयनिष्ठ गुणनखंड काटते हुए:

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(ऊपर और नीचे के बीच एक $7$ और एक $3$ कट जाते हैं)। चिह्नों के साथ पहले [प्रमेय 54.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules) के नियम लगते हैं: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) =
+\frac{10}{12} = \frac56$।

## 55.3 भिन्नों का भाग

**परिभाषा 55.5 (व्युत्क्रम).**

किसी शून्येतर संख्या $x$ का *व्युत्क्रम* वह संख्या है जिसे $x$ से गुणा करने पर $1$ मिलता है। $\frac ab$ का व्युत्क्रम $\frac ba$ है, क्योंकि $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$; और किसी पूर्णांक $n$ का व्युत्क्रम $\frac1n$ है।

**प्रमेय 55.6 (भाग देना यानी व्युत्क्रम से गुणा करना).**

$c \neq 0$ के लिए:

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**उपपत्ति.** परिभाषा से, $\frac ab$ में $\frac cd$ का [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $q$ वह संख्या है जिसके लिए $q \times \frac cd = \frac ab$ हो। उम्मीदवार $q = \frac ab \times \frac dc$ को जाँचो:

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**उदाहरण 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

एक मोटी जाँच: $\frac{7}{10}$ से भाग देना, जो $1$ से छोटी संख्या है, $\frac35$ से *बड़ा* उत्तर देना चाहिए — और सचमुच $\frac67 > \frac35$ है ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$)।

**उदाहरण 55.8 (भिन्न की रेखा के भीतर भिन्न की रेखा).**

“दुमंज़िला” [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) खड़े रूप में लिखा हुआ भाग ही है:

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

पहले *मुख्य* रेखा पहचानो (सबसे लंबी वाली), फिर [प्रमेय 55.6](#thm-g8-fractions-div) लगाओ।

**विधि 55.9 (मिली-जुली गणनाएँ).**

भिन्नों और चारों संक्रियाओं को मिलाने वाले किसी व्यंजक में:

1. आम प्राथमिकताएँ लगाओ ( [अध्याय 45](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#ch-g7-priorities) );
2. हर भाग को [व्युत्क्रम](#def-g8-fractions-inverse) से गुणा में बदल दो;
3. पहले चिह्न तय करो ( [विधि 54.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#met-g8-negprod-compute) ), फिर गुणा करो या उभयनिष्ठ हर निकालो;
4. जहाँ पहला मौक़ा मिले वहीं सरल कर दो।

**उदाहरण 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(पहले गुणनफल!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 अभ्यास

**अभ्यास 55.1 ★.**

निकालो और सरल करो:

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**हल — अभ्यास 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} =
\dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} =
\dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} =
\dfrac{37}{30}$.

**अभ्यास 55.2 ★.**

निकालो (पहले चिह्न):

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**हल — अभ्यास 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} =
-\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} =
-\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} =
-\dfrac{11}{10}$.

**अभ्यास 55.3 ★.**

गुणा करने से पहले सरल करते हुए निकालो:

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**हल — अभ्यास 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15}
= \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ ($5$ और $4$ से सरल किया)।

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3}
= \dfrac{3}{2}$ ($7$ और $3$ से सरल किया)।

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45}
= -\dfrac43$ (उलटे चिह्न: ऋण)।

**अभ्यास 55.4 ★.**

इनके [व्युत्क्रम](#def-g8-fractions-inverse) बताओ: $\dfrac{3}{7}$; $5$; $\dfrac{1}{4}$; $-\dfrac{2}{9}$।

**हल — अभ्यास 55.4.**

[व्युत्क्रम](#def-g8-fractions-inverse): $\dfrac73$; $\dfrac15$; $4$; $-\dfrac92$ ([व्युत्क्रम](#def-g8-fractions-inverse) चिह्न वही रखता है)।

**अभ्यास 55.5 ★.**

निकालो:

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**हल — अभ्यास 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18}
= \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70}
= \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**अभ्यास 55.6 ★.**

ये दुमंज़िला भिन्नें निकालो:

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**हल — अभ्यास 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} =
\dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} =
\dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**अभ्यास 55.7 ★.**

प्राथमिकताओं का ध्यान रखते हुए निकालो:

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**हल — अभ्यास 55.7.**

पहले [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def): $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10}
= \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$।

पहले कोष्ठक: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45
= \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$।

**अभ्यास 55.8 ★★.**

एक टंकी $\frac{2}{5}$ भरी है। उसमें *टंकी की [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) का* $\frac{1}{3}$ और डाला जाता है। अब टंकी का कितना भाग भरा है? कितना भाग अब भी ख़ाली है?

**हल — अभ्यास 55.8.**

भरा हुआ: टंकी का $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} +
\dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ भाग। ख़ाली: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$।

**अभ्यास 55.9 ★★.**

किसी कक्षा के तीन [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) विद्यार्थी एक परीक्षा में पास हुए; उनमें से दो-तिहाई को $20$ में से $14$ से ज़्यादा मिले। कक्षा के कितने भाग को $14$ से ज़्यादा मिले? अगर वह $12$ विद्यार्थी हैं तो कक्षा कितनी बड़ी है?

**हल — अभ्यास 55.9.**

$14$ से ज़्यादा पाने वालों का भाग: कक्षा का $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$। अगर वह $12$ विद्यार्थी हैं तो कक्षा में $24$ विद्यार्थी हैं।

**अभ्यास 55.10 ★★.**

$\frac{15}{2}$ m की एक रस्सी को $\frac{3}{4}$ m के टुकड़ों में काटना है। कितने टुकड़े मिलेंगे? (भिन्नों का एक भाग — जाँचो कि उत्तर पूर्ण संख्या है।)

**हल — अभ्यास 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43
= \dfrac{60}{6} = 10$ टुकड़े — पूरी संख्या, रस्सी बेकार नहीं गई।

**अभ्यास 55.11 ★★.**

निकालो

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**हल — अभ्यास 55.11.**

$E$: पहले भाग: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10}
= \dfrac{45}{60} = \dfrac34$; फिर $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} =
-\dfrac{1}{12}$।

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times
\dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (वर्ग धन होता है)।

**अभ्यास 55.12 ★★★.**

इस व्यंजक को सरल करो

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(सबसे भीतर वाली [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) से शुरू करो और एक बार में एक रेखा, बाहर की ओर बढ़ो)।

**हल — अभ्यास 55.12.**

भीतर से बाहर की ओर: $1 + 1 = 2$; फिर $1 + \dfrac12 = \dfrac32$; फिर

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 समस्या: मिस्री भिन्नें

**समस्या 55.1.**

सप्ताहांत समस्या — हर भिन्न अलग-अलग इकाई भिन्नों का योग है

*इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def)* वह [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) है जिसका [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $1$ हो। पुराने मिस्र के लिपिक — राइंड पपाइरस की नक़ल क़रीब $1550$ ईसा पूर्व हुई थी — हर [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) को *अलग-अलग* इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखते थे: कभी $\frac27 = \frac17 + \frac17$ नहीं, बल्कि $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$। ऐसे योग को उस [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) का *मिस्री लेखन* कहते हैं। यह समस्या इसी अध्याय की जोड़ने और तुलना करने की तरकीबों ([विधि 55.1](#met-g8-fractions-add)) को एक तरीक़े में बदल देती है — जिसे $1202$ में फ़िबोनाच्ची ने छापा था — और वह तरीक़ा $0$ तथा $1$ के बीच की किसी भी [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) का मिस्री लेखन बना देता है; अंत में एक मशहूर विरासत की पहेली आती है।

**भाग I — इकाई भिन्नें और तोड़ने वाली सर्वसमिका।**

1. $\frac12 + \frac13$ और $\frac12 + \frac14$ निकालो, और उनसे $\frac56$ तथा $\frac34$ के मिस्री लेखन निकालो।
2. लिपिकों की $\frac27$ वाली प्रविष्टि जाँचो: दिखाओ कि $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ ।
3. जाँचो कि $\frac13 + \frac16 = \frac12$ और $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$। फिर *तोड़ने वाली सर्वसमिका* सिद्ध करो: प्रत्येक पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. इससे ख़ुद $1$ का एक मिस्री लेखन निकालो, तीन अलग-अलग इकाई भिन्नों के योग के रूप में।
5. $\frac56 = \frac12 + \frac13$ के आख़िरी पद को तोड़कर $\frac56$ का एक *दूसरा* मिस्री लेखन बनाओ, तीन इकाई भिन्नों वाला। समझाओ कि किसी भी [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) का मिस्री लेखन अकेला क्यों नहीं होता।

**भाग II — फ़िबोनाच्ची का लालची तरीक़ा।** तरीक़ा यह है: जो सबसे *बड़ी* इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) समा जाए उसे घटा दो, और जो बचे उसी के साथ दोहराओ।

6. उभयनिष्ठ हरों से दिखाओ कि $\frac14 < \frac27 < \frac13$ । इससे यह क्यों सिद्ध हो जाता है कि $\frac27$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac14$ है?
7. $\frac27 - \frac14$ निकालो। लालची तरीक़ा $\frac27$ का कौन-सा लेखन बनाता है?
8. अब $\frac57$ लो। दिखाओ कि $\frac57$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac12$ है, और $\frac57 - \frac12$ निकालो।
9. दिखाओ कि $\frac{3}{14}$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac15$ है ($\frac{3}{14}$ की तुलना $\frac14$ और $\frac15$ से करो), $\frac{3}{14} - \frac15$ निकालो, और नतीजा निकालो: $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ उभयनिष्ठ हर $70$ लेकर इस लेखन को सीधे जाँचो भी।
10. लालची तरीक़ा $\frac45$ पर चलाओ, हर क़दम पर जाँचते हुए कि तुम्हारी इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) सबसे बड़ी समा जाने वाली है, और आख़िरी लेखन जाँचो।

**भाग III — यह तरीक़ा हमेशा रुकता क्यों है, और अठारहवाँ ऊँट।**

11. सवाल 7–10 में यह तरीक़ा $\frac27$ , $\frac57$ और $\frac45$ पर लगाया गया। हर एक के लिए लगातार बचे हुए हिस्सों के [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) (सरल करने से पहले वाले) लिखो। तुम्हें क्या दिखता है?
12. किसी [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ और किसी पूर्ण संख्या $n$ के लिए दिखाओ कि $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. मान लो लालची तरीक़ा $\frac ab$ में से $\frac1n$ घटाता है: तब $\frac1n$ समा जाती है पर $\frac{1}{n-1}$ पहले ही बहुत बड़ी है, यानी $\frac{1}{n-1} > \frac ab$। दोनों को उभयनिष्ठ हर $b \times (n - 1)$ पर लाकर निकालो कि $b > a \times n - a$, और इससे कि नया [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $$a \times n - b < a$$ मानता है। समझाओ कि इससे यह क्यों सिद्ध हो जाता है कि तरीक़ा हमेशा रुक जाता है।
14. एक पुरानी कहानी: एक पिता मरते समय $17$ ऊँट छोड़ जाता है और वसीयत करता है कि झुंड का $\frac12$ सबसे बड़े बच्चे को, $\frac13$ दूसरे को, $\frac19$ तीसरे को — और कोई भी हिस्सा पूरे ऊँटों में नहीं बैठता। एक पड़ोसी परिवार को अठारहवाँ ऊँट उधार दे देता है; बच्चे $9$ , $6$ और $2$ ऊँट ले लेते हैं, और उधार लिया ऊँट लौटा दिया जाता है। $\frac12 + \frac13 + \frac19$ निकालो और चाल समझाओ: झुंड पूरे ऊँटों में क्यों बँट सका, और किसी बच्चे को वसीयत के वादे से कम क्यों नहीं मिला?
15. वसीयत सुधारो: तीन *अलग-अलग* इकाई भिन्नें बताओ जिनका योग ठीक $1$ हो, और वह सबसे छोटा झुंड बताओ जिसमें तीनों हिस्से पूरे ऊँटों में बैठें।

**हल — समस्या 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ और $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$। इसलिए $\frac56 = \frac12 + \frac13$ तथा $\frac34 = \frac12 + \frac14$ मिस्री लेखन हैं (दोनों में इकाई भिन्नें अलग-अलग हैं)।

**2.** उभयनिष्ठ हर $28$ के साथ:

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 =
\frac12$, और $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$। आम तौर पर, $\frac{1}{n+1}$ और $\frac{1}{n(n+1)}$ का उभयनिष्ठ हर $n(n+1)$ होता है:

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** $1 = \frac12 + \frac12$ से शुरू करो और सवाल 3 से दूसरे आधे को तोड़ दो:

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

यानी तीन अलग-अलग इकाई भिन्नें।

**5.** $\frac56 = \frac12 + \frac13$ में $\frac13$ को तोड़ने पर

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

कोई भी मिस्री लेखन कभी अकेला नहीं होता: तोड़ने वाली सर्वसमिका सबसे बड़े हर वाली इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) को हमेशा दो नई, और भी छोटी इकाई भिन्नों से बदल सकती है — इसलिए किसी भी लेखन से एक और लेखन बना लिया जाता है।

**6.** हर $21$ के साथ: $\frac27 = \frac{6}{21} <
\frac{7}{21} = \frac13$। हर $28$ के साथ: $\frac14 =
\frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$। इकाई भिन्नें अपने हर बढ़ने के साथ छोटी होती जाती हैं, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 >
\dots$; और चूँकि $\frac13$ (तथा उससे ऊपर की सब) बहुत बड़ी है और $\frac14$ समा जाती है, इसलिए $\frac27$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) $\frac14$ ही है।

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} =
\frac{1}{28}$: लालची तरीक़ा $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ बनाता है, यानी ठीक वही जो सवाल 2 में लिपिकों की प्रविष्टि थी।

**8.** हर $14$ के साथ: $\frac12 = \frac{7}{14} <
\frac{10}{14} = \frac57$, जबकि इससे बड़ी अकेली इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def), यानी $1$, $\frac57$ से ऊपर निकल जाती है। इसलिए समा जाने वाली सबसे बड़ी $\frac12$ है, और

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** हर $28$ के साथ: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} <
\frac{7}{28} = \frac14$, इसलिए $\frac14$ बहुत बड़ी है। हर $70$ के साथ: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$, इसलिए $\frac15$ समा जाती है: $\frac{3}{14}$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) वही है। फिर

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{अतः}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

जाँच: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} =
\frac{50}{70} = \frac57$।

**10.** पहला क़दम: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} =
\frac45$ और $1 > \frac45$, इसलिए $\frac12$ घटाओ: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$। दूसरा क़दम: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} =
\frac{3}{10}$ बहुत बड़ी है, और $\frac14 = \frac{5}{20} <
\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ समा जाती है, इसलिए $\frac14$ घटाओ: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} =
\frac{1}{20}$। नतीजा:

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** लगातार बचे हुए हिस्सों के [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) ये हैं: $\frac27$ के लिए $2$, फिर $1$; $\frac57$ के लिए $5$, फिर $3$, फिर $1$; $\frac45$ के लिए $4$, फिर $3$, फिर $1$। हर सूची *लगातार घटती जाती* है।

**12.** $\frac ab$ और $\frac1n$ का उभयनिष्ठ हर $b \times n$ है:

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** उभयनिष्ठ हर $b \times (n-1)$ पर असमिका $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ अंशों $b$ और $a \times (n - 1)$ की तुलना करती है:

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

और दोनों तरफ़ $a - b$ जोड़ने पर $a > a \times n - b$ मिलता है। इसलिए हर लालची क़दम के बाद बचे हुए हिस्से का [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) (सवाल 12) पहले वाले से पक्के तौर पर छोटी पूर्ण संख्या होता है। पूर्ण संख्याएँ हमेशा-हमेशा घटती नहीं रह सकतीं: ज़्यादा से ज़्यादा $a$ क़दमों में बचे हुए हिस्से का [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $1$ हो जाता है — यानी एक इकाई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#def-g6-fractions-def) — या वह $0$ हो जाता है, और तरीक़ा रुक जाता है।

**14.** उभयनिष्ठ हर $18$ के साथ:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

जो $1$ से *कम* है: वसीयत झुंड का $\frac{1}{18}$ भूल गई। यही झोल पूरी चाल है। $18$ ऊँटों में से $\frac12$, $\frac13$, $\frac19$ हिस्से पूरी संख्याएँ $9$, $6$ और $2$ बनते हैं, जिनका योग $9 + 6 + 2 = 17$ है: ठीक उतना ही झुंड, और अठारहवाँ ऊँट घर लौट जाता है। और शिकायत कोई नहीं कर सकता: वसीयत ने $17$ ऊँटों में से $\frac{17}{2} = 8.5$, फिर $\frac{17}{3} \approx 5.67$, फिर $\frac{17}{9} \approx 1.89$ ऊँट का वादा किया था, और हर बच्चे को उससे पक्के तौर पर ज़्यादा मिला ($9$, $6$ और $2$)। भूला हुआ $\frac{1}{18}$ ही वह जगह है जिसे पड़ोसी का ऊँट कुछ देर के लिए भरता है।

**15.** सुधरी हुई वसीयत सवाल 4 से मिल जाती है:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

हिस्से तभी पूरी संख्याएँ बनते हैं जब झुंड का आकार $2$ से, $3$ से और $6$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) हो — यानी $6$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible)। ऐसा सबसे छोटा झुंड $6$ ऊँटों का है: हिस्से $3$, $2$ और $1$, और कुछ भी बचता नहीं।