--- title: "घातें" book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित" subject: math language: hi chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers --- # अध्याय 56 — घातें काग़ज़ की एक शीट को $10$ बार आधा-आधा मोड़ो (अगर मोड़ सको!): उसकी मोटाई हर बार दुगुनी होती है, और $10$ बार दुगुना करने से वह $2^{10} = 1024$ गुनी हो जाती है। घातें बार-बार किए गए गुणा की छोटी लिखावट हैं; यह अध्याय वह लिखावट और उसके नियम बनाता है, और $10$ की घातों को ख़ास जगह देता है। ## 56.1 परिभाषा **परिभाषा 56.1 (घात).** किसी संख्या $a$ और किसी पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ गुणक}}, $$ जिसे “$a$ की घात $n$” पढ़ते हैं; $a$ *आधार* है और $n$ *घातांक*। ख़ास नाम: $a^2$ यानी “$a$ का वर्ग”, $a^3$ यानी “$a$ का [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)”। और यह तय किया गया है: $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **उदाहरण 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$; $10^3 = 1000$; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$; $(-2)^3 = -8$ और $(-2)^4 = +16$ ([उदाहरण 54.5](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ex-g8-negprod-powers))। सावधान: $a^n$, $a \times n$ *नहीं* है: $2^5 = 32$ होता है, $10$ नहीं। ![2 की घातें: हर पट्टी पिछली से दुगुनी है। बार-बार गुणा से होने वाली बढ़त बार-बार जोड़ने से होने वाली बढ़त के मुक़ाबले कहीं तेज़ भागती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *$2$ की घातें: हर पट्टी पिछली से दुगुनी है। बार-बार गुणा से होने वाली बढ़त बार-बार जोड़ने से होने वाली बढ़त के मुक़ाबले कहीं तेज़ भागती है।* ## 56.2 घातांक के नियम **प्रमेय 56.3 (घातांक के नियम).** किसी शून्येतर आधार $a$ और पूर्ण-संख्या घातांकों $m$, $n$ के लिए: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **गुणक गिनकर प्रमाण.** $a^m \times a^n$ में $a$ के $m$ गुणकों के बाद $n$ गुणक और लग जाते हैं: कुल $m + n$। $\left(a^m\right)^n$ में $m$ गुणकों का एक गुच्छा $n$ बार दोहराया जाता है: $mn$ गुणक। $(ab)^n$ में $a$ के $n$ अक्षर और $b$ के $n$ अक्षर होते हैं, जिन्हें नए सिरे से जमाया जा सकता है। [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) वाला नियम $m$ में से $n$ गुणक काट देने से आता है; और $a^0 = 1$ तथा $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ तय कर लेने पर वह $n \geq m$ होने पर भी सही रहता है। ∎ **उदाहरण 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ एक जाल: ये नियम *एक ही आधार* पर लगते हैं (या आख़िरी नियम के लिए एक ही [घातांक](#def-g8-powers-def) पर)। $2^3 \times 5^2$ को कोई नियम सरल नहीं करता — बस निकाल डालो: $8 \times 25 = 200$। ## 56.3 दस की घातें **प्रतिज्ञप्ति 56.5 (दस की घातें).** $n \geq 1$ के लिए: $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$, और $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$। [घातांक](#def-g8-powers-def) के नियम यहाँ ऐसे पढ़े जाते हैं: दस की घातें गुणा करने पर [घातांक](#def-g8-powers-def) जुड़ जाते हैं। **उदाहरण 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$। बड़ी और छोटी राशियाँ पढ़ने लायक़ हो जाती हैं: $$ \text{एक बिलियन} = 10^9, \qquad \text{एक मिलियनवाँ भाग} = 10^{-6}. $$ दशमलव के साथ मिलाकर: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ और $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ ([दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) सरका दो, [प्रतिज्ञप्ति 38.7](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#prop-g6-decimals-shift))। इस लिखावट का बाक़ायदा इस्तेमाल — *वैज्ञानिक लेखन* — [अध्याय 63](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#ch-g9-fractions) में आता है। **उदाहरण 56.7 (कोटि-क्रम).** प्रकाश क़रीब $3 \times 10^8$ m/s चलता है; और एक साल में क़रीब $3.2 \times 10^7$ सेकंड होते हैं। इसलिए एक प्रकाश-वर्ष क़रीब $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m} $$ — यानी दस मिलियन बिलियन मीटर। दस की घातें खगोल की गणनाओं को एक ही पंक्ति में समेट देती हैं। **विधि 56.8 (घातों वाला व्यंजक सरल करना).** 1. गुणकों को आधार के हिसाब से गुच्छों में बाँटो; 2. प्रत्येक आधार के भीतर [घातांक](#def-g8-powers-def) के नियम लगाओ; 3. बची हुई छोटी घातें निकाल डालो, या उत्तर बड़ा हो तो उसे घात के रूप में ही रहने दो। **उदाहरण 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 अभ्यास **अभ्यास 56.1 ★.** गणना करो: $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **हल — अभ्यास 56.1.** $2^6 = 64$; $3^3 = 27$; $10^5 = 100\,000$; $1^{100} = 1$; $0.1^2 = 0.01$; $6^0 = 1$. **अभ्यास 56.2 ★.** गणना करो: $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **हल — अभ्यास 56.2.** $(-3)^2 = 9$; $-3^2 = -9$; $(-1)^{15} = -1$; $(-5)^3 = -125$; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **अभ्यास 56.3 ★.** एक ही घात के रूप में लिखो: $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **हल — अभ्यास 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (एक ही [घातांक](#def-g8-powers-def): आधार गुणा कर दो)। **अभ्यास 56.4 ★.** [दशमलव संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) के रूप में लिखो: $10^{-2}$; $4 \times 10^3$; $2.5 \times 10^{-4}$; $10^0$। **हल — अभ्यास 56.4.** $10^{-2} = 0.01$; $4 \times 10^3 = 4000$; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$; $10^0 = 1$. **अभ्यास 56.5 ★.** दस की घात के साथ लिखो: एक लाख; एक दसवाँ भाग; दस बिलियन; $0.000\,001$। **हल — अभ्यास 56.5.** $10^5$; $10^{-1}$; $10^{10}$; $10^{-6}$. **अभ्यास 56.6 ★.** सरल करो, फिर गणना करो: $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **हल — अभ्यास 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **अभ्यास 56.7 ★.** सही या ग़लत? जो ग़लत हों उन्हें ठीक करो। $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **हल — अभ्यास 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$: *ग़लत* — [घातांक](#def-g8-powers-def) जुड़ते हैं: $2^7$। $5^2 + 5^3 = 5^5$: *ग़लत* — योग के लिए कोई नियम नहीं है: $25 + 125 = 150$, जबकि $5^5 = 3125$। $(3^2)^4 = 3^8$: *सही*। $10^3 \times 10^3 = 100^3$: *सही* — दोनों $10^6$ के बराबर हैं (बाएँ: $10^{3+3}$; दाएँ: $(10^2)^3$)। **अभ्यास 56.8 ★★.** एक अफ़वाह फैलती है: पहले दिन तीन लोग उसे जानते हैं; और हर दिन, जानने वाला हर आदमी तीन नए लोगों को बताता है। चौथे दिन जिन्हें *नई* ख़बर मिली उनकी संख्या घात के साथ लिखो, और निकालो कि चौथे दिन के अंत तक कितने लोग अफ़वाह जानते हैं (शुरुआती तीन समेत)। **हल — अभ्यास 56.8.** चौथे दिन के नए लोग: तीसरे दिन ख़बर पाने वाले $3^3 = 27$ लोगों में से हर एक तीन और को बताता है: $3^4 = 81$। चौथे दिन के अंत तक जानने वाले: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ लोग। **अभ्यास 56.9 ★★.** काग़ज़ की एक शीट $0.1$ mm मोटी है, यानी $10^{-4}$ m। उसे मोड़ने पर मोटाई हर बार दुगुनी हो जाती है। 1. $10$ बार मोड़ने के बाद की मोटाई एक [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) के रूप में लिखो, और उसे सेंटीमीटर में निकालो ( $2^{10} = 1024$ )। 2. $42$ बार मोड़ने के बाद मोटाई $2^{42} \times 10^{-4}$ m होगी, जहाँ $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ । दिखाओ कि यह पृथ्वी–चंद्रमा की दूरी, क़रीब $3.8 \times 10^8$ m, से भी ज़्यादा है। **हल — अभ्यास 56.9.** *1.* मोटाई: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm। *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, जो $3.8 \times 10^8$ m से बड़ा है: $42$ बार (काग़ज़ पर!) मोड़ने के बाद काग़ज़ का गट्ठर चंद्रमा से आगे निकल जाता। **अभ्यास 56.10 ★★.** बिना कैलकुलेटर के छोटे से बड़े के क्रम में लगाओ: $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (हर एक निकालो; $2^{10}$ और $10^3$ मशहूर पड़ोसी हैं।) **हल — अभ्यास 56.10.** $2^{10} = 1024$; $10^3 = 1000$; $3^6 = 729$; $5^4 = 625$। क्रम: $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **अभ्यास 56.11 ★★★.** कौन बड़ा है, $2^{100}$ या $10^{30}$? $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ की तुलना $\left(10^3\right)^{10}$ से करने के लिए $2^{10} = 1024 > 10^3$ इस्तेमाल करो। **हल — अभ्यास 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ और $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$। चूँकि $1024 > 1000$ है, दोनों की दस-दस नक़लें गुणा करने पर असमिका बनी रहती है: $2^{100} > 10^{30}$। ## 56.5 समस्या: शतरंज की बिसात और दो की घातें **समस्या 56.1.** सप्ताहांत समस्या — गुणोत्तर योग $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$, एक मशहूर किंवदंती से द्विआधारी संख्याओं तक किंवदंती यह है: शतरंज बनाने के इनाम में सिस्सा नाम के विद्वान ने अपने राजा से बिसात के पहले ख़ाने पर गेहूँ का एक दाना माँगा, दूसरे पर दो, तीसरे पर चार — ख़ाने-दर-ख़ाने दुगुना करते हुए, चौंसठवें तक। राजा उसकी इतनी छोटी माँग पर हँस पड़ा। यह समस्या [प्रमेय 56.3](#thm-g8-powers-rules) के घातांक-नियमों से निकालती है कि राजा ने वादा क्या किया था, और वहीं ख़त्म होती है जहाँ यह कहानी चुपके से ले जाती है: हर कंप्यूटर के भीतर बैठी द्विआधारी संख्याएँ। **भाग I — दुगुना करने वाली तरकीब।** $n \geq 1$ के लिए मान लो $S_n$ पहले $n$ ख़ानों पर पड़े दानों की कुल संख्या है। 1. ख़ाने $k$ पर पड़े दानों की संख्या $2$ की घात के रूप में लिखो। ख़ाने $64$ पर कौन-सी घात बैठती है? 2. $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ और $S_5$ निकालो, और हर एक की तुलना $2$ की पास वाली घात से करो। $S_n$ का सूत्र अटकलो। 3. *दुगुना करने वाली तरकीब*: योग $S_n$ और $2 \times S_n$ एक के नीचे एक लिखो, घटाओ, और अपनी अटकल सिद्ध करो: $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. राजा ने कुल कितने दानों का वादा किया? उत्तर $2$ की घात के साथ लिखो, और यह जाना-पहचाना वाक्य पूरा करो: “पूरी बिसात पर उतने दाने हैं जितने अकेले एक पैंसठवें ख़ाने पर होते, बस एक कम।” 5. दिखाओ कि बिसात के दूसरे आधे हिस्से (ख़ाने $33$ से $64$ ) पर पहले आधे हिस्से से *ठीक* $2^{32}$ गुने दाने हैं। **भाग II — $2^{64}$ कितना बड़ा है?** [अभ्यास 56.11](#exo-g8-powers-11) वाली तुलना $2^{10} = 1024 > 10^3$ नीचे के सारे अंदाज़ों की चाबी है। 6. दिखाओ कि $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ । 7. गेहूँ के एक दाने का वज़न क़रीब $0.05$ g होता है, यानी $5 \times 10^{-2}$ g। दिखाओ कि वादा किए गए गेहूँ का वज़न $8 \times 10^{17}$ g से ज़्यादा है, और उसे टन में बदलो ( $1$ टन $= 10^6$ g)। 8. आज पूरी दुनिया साल भर में क़रीब $8 \times 10^8$ टन गेहूँ उगाती है। राजा ने कम से कम कितने साल की दुनिया भर की फ़सल का वादा कर डाला? 9. वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या $n$ ढूँढ़ो जिसके लिए $2^n > 10^6$ हो — यानी दस लाख पार करने में कितनी बार दुगुना करना पड़ता है। ( $2^{10} = 1024$ से $2^{19}$ और $2^{20}$ ठीक-ठीक निकालो।) 10. एक ठग तुम्हें एक महीने की तनख़्वाह का लालच देता है: पहले दिन $1$ सेंट, फिर हर दिन पिछले दिन की तनख़्वाह का दुगुना। किस दिन अकेली *उस दिन की* तनख़्वाह पहली बार दस लाख यूरो ( $10^8$ सेंट) से ऊपर निकलती है? ( $2^{26}$ और $2^{27}$ ठीक-ठीक निकालो।) **भाग III — द्विआधारी बाट।** एक व्यापारी के पास पाँच बाट हैं: $1$, $2$, $4$, $8$ और $16$ ग्राम के, हर एक का एक। वह उनमें से कुछ तराज़ू के एक पलड़े पर रखकर दूसरे पलड़े पर रखा सामान तोलती है। 11. $21$ g तोलने के लिए वह कौन-से बाट रखेगी? और $27$ g तोलने के लिए? 12. समझाओ कि $16$ g या उससे ज़्यादा के किसी भी सामान में $16$ g वाला बाट लगना *ही* पड़ेगा, और $15$ g या उससे कम के किसी भी सामान में वह *नहीं* लग सकता। (सवाल 3 बताता है कि बाट $1, 2, 4, 8$ ज़्यादा से ज़्यादा कहाँ तक पहुँचते हैं।) समझाओ कि हर चरण पर, उससे अगले बड़े बाट के साथ यही तर्क दोहरा जाता है। 13. इससे निकालो कि $1$ से $31$ g तक का हर पूर्ण-संख्या सामान तोला जा सकता है, और *ठीक एक ही तरीक़े से* : $1$ और $31$ के बीच की हर संख्या अलग-अलग $2$ की घातों का योग एक ही ढंग से बनती है। 14. व्यापारी $32$ g का छठा बाट ख़रीद लेती है। अब वह कहाँ तक तोल सकती है? $45$ g को अलग-अलग $2$ की घातों के योग के रूप में लिखो। 15. किसी कंप्यूटर में “64-बिट” संख्या $64$ ख़ानों पर रखी जाती है, और हर ख़ाने में या तो $0$ होता है या $1$ — ख़ाना $k$ , $1$ होने पर $2^{k-1}$ का योगदान देता है, ठीक किंवदंती के दानों की तरह। भाग I से समझाओ कि ऐसी मशीन जो पूर्ण संख्याएँ रख सकती है वे ठीक $0$ से $2^{64} - 1$ तक ही क्यों हैं। **हल — समस्या 56.1.** **1.** दाने $1 = 2^0$ से शुरू होकर ख़ाने-दर-ख़ाने दुगुने होते हैं: ख़ाने $k$ पर $2^{k-1}$ दाने हैं ([परिभाषा 56.1](#def-g8-powers-def))। ख़ाने $64$ पर $2^{63}$ हैं। **2.** $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 2 = 3$, $S_3 = 3 + 4 = 7$, $S_4 = 7 + 8 = 15$, $S_5 = 15 + 16 = 31$: हर बार $2$ की अगली घात ($2$, $4$, $8$, $16$, $32$) से एक कम। अटकल: $S_n = 2^n - 1$। **3.** $S_n$ के हर पद को दुगुना करने से हर घात एक क़दम ऊपर सरक जाती है ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$): $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ पहली पंक्ति को दूसरी में से घटाने पर $2$ से $2^{n-1}$ तक का हर पद दोनों में आता है और कट जाता है: $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{यानी}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** कुल $S_{64} = 2^{64} - 1$ दाने हैं। एक पैंसठवें ख़ाने पर $2^{64}$ दाने होते: पूरी बिसात पर ठीक उससे एक दाना कम है। **5.** पहले आधे हिस्से पर $S_{32} = 2^{32} - 1$ दाने हैं। पूरी बिसात पर $2^{64} - 1$ हैं, इसलिए दूसरे आधे हिस्से पर $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ ($2^{32}$ को बाहर निकालकर, और $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$ का इस्तेमाल करते हुए, [प्रमेय 56.3](#thm-g8-powers-rules)): यानी ठीक पहले आधे हिस्से का $2^{32}$ गुना। **6.** [घातांक](#def-g8-powers-def) के नियमों से $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$। और $2^{10} = 1024 > 10^3$ है, इसलिए $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** $1.6 \times 10^{19}$ से ज़्यादा दाने, हर एक $5 \times 10^{-2}$ g का: $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} . $$ $10^6$ g प्रति टन से भाग देने पर: $8 \times 10^{11}$ टन से ज़्यादा — यानी आठ सौ बिलियन टन। **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: राजा ने आज की पूरी दुनिया की कम से कम *एक हज़ार साल* की फ़सल का वादा कर डाला। (किंवदंती कहती है कि उसके सलाहकारों ने उसे यही बताया था।) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$, जबकि $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$। इसलिए सबसे छोटा [घातांक](#def-g8-powers-def) $n = 20$ है: बीस बार दुगुना करने पर दस लाख पार हो जाता है। **10.** दिन $n$ की तनख़्वाह $2^{n-1}$ सेंट है (पहला दिन: $2^0 = 1$)। अब $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ इसलिए उस दिन की तनख़्वाह पहली बार $10^8$ सेंट से ऊपर तब निकलती है जब $n - 1 = 27$ हो: यानी अट्ठाईसवें दिन। **11.** $21 = 16 + 4 + 1$: बाट $16$, $4$ और $1$ g के। $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: बाट $16$, $8$, $2$ और $1$ g के। **12.** सवाल 3 से बाट $1, 2, 4, 8$ मिलकर $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g बनाते हैं। इसलिए $16$ g वाले बाट के बिना व्यापारी $15$ g से आगे जा ही नहीं सकती: $16$ g या उससे ज़्यादा के सामान में वह बाट लगना ही है। और $15$ g या उससे कम के सामान में वह लग नहीं सकता, क्योंकि अकेला $16$ g वाला बाट ही सामान से भारी है। इसलिए सबसे बड़े बाट का चुनाव *तय* है। अब बचता है ज़्यादा से ज़्यादा $15$ g का सामान, जिसे $1, 2, 4, 8$ से बनाना है — और वही तर्क दोहरा जाता है: $8$ तय है (बचे सामान के $\geq 8$ होने पर लगेगा, वरना नहीं, क्योंकि $1 + 2 + 4 = 7$), फिर $4$ (क्योंकि $1 + 2 = 3$), फिर $2$, फिर $1$। **13.** इन तय चुनावों पर चलते हुए, हर चरण के बाद बचा हुआ सामान बचे हुए बाटों के कुल से ज़्यादा नहीं होता, इसलिए यह सिलसिला [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ पर ख़त्म होता है: $1$ से $31$ तक का हर सामान तोल लिया जाता है। और चूँकि रास्ते का हर चुनाव तय था, इसलिए बाटों का कोई और चुनाव उसी सामान तक नहीं पहुँच सकता: $1$ से $31$ तक की हर संख्या का अलग-अलग $2$ की घातों के योग वाला लेखन होता है और वह *अकेला* होता है। **14.** छहों बाट मिलकर $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g बनाते हैं, और वही तय-चुनाव वाला तर्क $1$ से $63$ g तक के हर सामान को ढक लेता है। $45$ के लिए: सामान $\geq 32$ है, इसलिए $32$ लगाओ; बचा $13 < 16$, इसलिए $16$ छोड़ो; $8$ लगाओ (बचा $5$), $4$ लगाओ (बचा $1$), $2$ छोड़ो, $1$ लगाओ: $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** $64$ ख़ानों में से हर एक पर $0$ या $1$ चुनना असल में यह चुनना है कि योग में $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ में से कौन-कौन सी घातें डालनी हैं — ठीक वैसे ही जैसे व्यापारी $64$ बाटों से तोलती। सबसे छोटी रखी जा सकने वाली संख्या $0$ है (सारे ख़ाने $0$ पर); और सबसे बड़ी *सारी* घातों का योग है, जो राजा वाला कुल ही है: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (भाग I)। तय-चुनाव वाले तर्क से बीच की हर पूर्ण संख्या ठीक एक बार बनती है: इसलिए $64$-बिट मशीन ठीक $0$ से $2^{64} - 1$ तक की पूर्ण संख्याएँ ही रखती है।