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title: "अक्षर-गणना और समीकरण"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 57
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations
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# अध्याय 57 — अक्षर-गणना और समीकरण

पिछले साल अक्षर आए थे और आसान व्यंजक सरल किए गए थे ([अध्याय 48](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/48-literal-expressions#ch-g7-literal))। यह अध्याय वे दो हुनर जोड़ता है जिनसे बीजगणित ताक़तवर बनता है: कोष्ठकों के [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) *फैलाना*, और *[समीकरण](#def-g8-equations-def) हल करना* — यानी अक्षर के पीछे छिपी संख्या ढूँढ़ना।

## 57.1 फैलाना

**प्रमेय 57.1 (सादा और दुहरा वितरण नियम).**

सभी संख्याओं के लिए:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**उपपत्ति.** पहला नियम [प्रमेय 45.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/45-priorities-of-operations#thm-g7-priorities-distributivity) ही है (चिह्नों समेत: $k$ और पद ऋण भी हो सकते हैं, [अध्याय 54](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#ch-g8-negprod))। दूसरे के लिए, $(c + d)$ को एक ही संख्या मानकर पहला नियम दो बार लगाओ:

$$
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd .
\qedhere
$$

∎

**उदाहरण 57.2.**

हर पद पर चिह्नों का ध्यान रखो:

$$
\begin{align*}
3(2x - 5) &= 6x - 15, \\
-2(4x - 7) &= -8x + 14
&& \text{(आगे लगा ऋण दोनों चिह्न पलट देता है)}, \\
(x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\
(2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 .
\end{align*}
$$

![दुहरा वितरण नियम क्षेत्रफलों की तरह: आयत (a+b) × (c+d) चार छोटे आयतों में बँट जाता है — फैलाव के हर पद का एक।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg)

*दुहरा वितरण नियम क्षेत्रफलों की तरह: आयत $(a+b) \times (c+d)$ चार छोटे आयतों में बँट जाता है — फैलाव के हर पद का एक।*

**विधि 57.3 (फैलाओ और सरल करो).**

1. हर [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) फैलाओ, और हर पद उसके चिह्न के साथ लिखो;
2. समान पद मिलाओ ( $x^2$ के साथ $x^2$ , $x$ के साथ $x$ , संख्या के साथ संख्या);
3. किसी मान से जाँचो: असली व्यंजक में और उत्तर में जैसे $x = 2$ रखो — दोनों बराबर निकलें तो ज़्यादातर ग़लतियाँ पकड़ में आ जाती हैं।

## 57.2 समीकरण हल करना

**परिभाषा 57.4 (समीकरण).**

*समीकरण* एक ऐसी समानता है जिसमें एक अज्ञात संख्या हो, जिसे $x$ (या कोई भी अक्षर) लिखा जाता है। उसे *हल करने* का मतलब है $x$ के वे सारे मान ढूँढ़ना जिन पर समानता सही हो जाए — यानी *हल*।

**प्रमेय 57.5 (तुला के नियम).**

इन कामों से [समीकरण](#def-g8-equations-def) के हल बिलकुल वही रहते हैं:

1. दोनों तरफ़ एक ही संख्या जोड़ना (या घटाना);
2. दोनों तरफ़ एक ही *शून्येतर* संख्या से गुणा करना (या भाग देना)।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![समीकरण एक संतुलित तराज़ू है: एक पलड़े के साथ जो किया जाए वही दूसरे के साथ भी करना पड़ता है, और तब संतुलन — यानी समानता — बना रहता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-05607ef53259.svg)

*[समीकरण](#def-g8-equations-def) एक संतुलित तराज़ू है: एक पलड़े के साथ जो किया जाए वही दूसरे के साथ भी करना पड़ता है, और तब संतुलन — यानी समानता — बना रहता है।*

**विधि 57.6 (प्रथम घात का समीकरण हल करना).**

1. ज़रूरत हो तो दोनों तरफ़ फैलाओ और सरल करो;
2. दोनों तरफ़ जोड़-घटाकर $x$ वाले पद एक तरफ़ और सादी संख्याएँ दूसरी तरफ़ इकट्ठी करो;
3. सरल करो, फिर दोनों तरफ़ $x$ के गुणांक से भाग दो;
4. मिला हुआ मान असली [समीकरण](#def-g8-equations-def) में रखकर *जाँचो* ।

**उदाहरण 57.7.**

$7x - 5 = 4x + 16$ हल करो:

$$
\begin{align*}
7x - 5 &= 4x + 16 \\
7x - 4x &= 16 + 5
&& \text{(दोनों तरफ़ $5$ जोड़ो और $4x$ घटाओ)} \\
3x &= 21 \\
x &= 7 && \text{(दोनों तरफ़ $3$ से भाग दो)।}
\end{align*}
$$

जाँच: बाईं तरफ़ $7 \times 7 - 5 = 44$; दाईं तरफ़ $4 \times 7 + 16 = 44$। हल $7$ है।

**उदाहरण 57.8 (कोष्ठक और ऋण संख्याओं के साथ).**

$3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ हल करो:

$$
\begin{align*}
3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(दोनों तरफ़ फैलाओ)} \\
3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(सरल करो)} \\
5x &= 15 && \text{(दोनों तरफ़ $2x + 12$ जोड़ो)} \\
x &= 3 .
\end{align*}
$$

जाँच: $3(3 - 4) = -3$ और $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$। हल: $3$।

**विधि 57.9 (समीकरण से कोई समस्या हल करना).**

1. अज्ञात चुनो: “मान लो $x$ … है” (या तो वही राशि जो पूछी गई है, या उससे जुड़ी कोई आसान राशि);
2. कहानी को [समीकरण](#def-g8-equations-def) में बदलो;
3. उसे हल करो;
4. मतलब निकालो: मूल सवाल का जवाब एक वाक्य में, मात्रक के साथ दो, और उत्तर को कहानी से मिलाकर जाँचो।

**उदाहरण 57.10.**

लूकास अपनी बहन से $4$ साल बड़ा है; दोनों की उम्र मिलाकर $26$ है। मान लो बहन की उम्र $x$ है; तब लूकास $x + 4$ का हुआ, और

$$
x + (x + 4) = 26
\ \Longrightarrow\
2x + 4 = 26
\ \Longrightarrow\
2x = 22
\ \Longrightarrow\
x = 11 .
$$

बहन $11$ की है और लूकास $15$ का। जाँच: $11 + 15 = 26$ और $15 - 11 = 4$।

## 57.3 क्रम और असमिकाएँ

**प्रतिज्ञप्ति 57.11 (संक्रियाएँ और क्रम).**

किसी असमिका के दोनों तरफ़ एक ही संख्या जोड़ने पर वह बनी रहती है; दोनों तरफ़ किसी *धन* संख्या से गुणा करने पर भी बनी रहती है; पर किसी *ऋण* संख्या से गुणा करने पर वह *उलट* जाती है:

$$
2 < 5 \ \text{ पर }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 57.12.**

$5 - 2x \leq 11$ हल करो: दोनों तरफ़ से $5$ घटाओ, $-2x \leq 6$; अब $-2$ से भाग दो *और असमिका उलट दो*: $x \geq -3$। $-3$ से बड़ी या बराबर सारी संख्याएँ हल हैं — [समीकरण](#def-g8-equations-def) का आम तौर पर एक हल होता है, पर असमिका के हल पूरी आधी रेखा भर होते हैं।

## 57.4 अभ्यास

**अभ्यास 57.1 ★.**

फैलाओ और सरल करो:

$$
5(2x + 3), \qquad
-3(4x - 1), \qquad
2(3x - 2) + 4(x + 5).
$$

**हल — अभ्यास 57.1.**

$5(2x + 3) = 10x + 15$.

$-3(4x - 1) = -12x + 3$.

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$.

**अभ्यास 57.2 ★.**

फैलाओ और सरल करो:

$$
(x + 2)(x + 7), \qquad
(3x + 1)(2x - 5), \qquad
(x - 4)(x - 6).
$$

**हल — अभ्यास 57.2.**

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$.

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$.

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$.

**अभ्यास 57.3 ★.**

क्या $x = 3$, $4x - 5 = 7$ का हल है? और $2x + 1 = x + 4$ का? और $x^2 = 6x - 9$ का? (मान रखकर दोनों तरफ़ की तुलना करो।)

**हल — अभ्यास 57.3.**

$4 \times 3 - 5 = 7$: हाँ। $2 \times 3 + 1 = 7$ और $3 + 4 = 7$: हाँ। $3^2 = 9$ और $6 \times 3 - 9 = 9$: हाँ — $x = 3$ तीनों को हल कर देता है।

**अभ्यास 57.4 ★.**

जाँच के साथ हल करो:

$$
x + 9 = 4, \qquad
5x = -35, \qquad
\frac{x}{3} = 8, \qquad
2x - 7 = 13 .
$$

**हल — अभ्यास 57.4.**

$x + 9 = 4$: $x = -5$ (जाँच: $-5 + 9 = 4$)।

$5x = -35$: $x = -7$.

$\frac x3 = 8$: $x = 24$.

$2x - 7 = 13$: $2x = 20$, $x = 10$ (जाँच: $20 - 7 = 13$)।

**अभ्यास 57.5 ★.**

हल करो:

$$
6x + 5 = 2x + 25, \qquad
9 - 4x = x - 11, \qquad
3(x + 2) = 2x + 11 .
$$

**हल — अभ्यास 57.5.**

$6x + 5 = 2x + 25$: $4x = 20$, इसलिए $x = 5$।

$9 - 4x = x - 11$: $20 = 5x$, इसलिए $x = 4$।

$3(x + 2) = 2x + 11$: $3x + 6 = 2x + 11$, इसलिए $x = 5$।

**अभ्यास 57.6 ★.**

पहले फैलाकर $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ हल करो, और अपना हल जाँचो।

**हल — अभ्यास 57.6.**

$8x - 12 = 5x + 30$, इसलिए $3x = 42$ और $x = 14$। जाँच: $4(28 - 3) = 100$ और $5(14 + 6) = 100$।

**अभ्यास 57.7 ★.**

अनुवाद करो और हल करो: “किसी संख्या का तिगुना, $8$ घटाने पर, $19$ के बराबर है”; “किसी संख्या का दुगुना, $5$ बढ़ाने पर, उसी संख्या में $12$ जोड़ने के बराबर है”।

**हल — अभ्यास 57.7.**

“$3x - 8 = 19$”: $3x = 27$, $x = 9$.

“$2x + 5 = x + 12$”: $x = 7$.

**अभ्यास 57.8 ★★.**

किसी आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से $5$ cm ज़्यादा है, और उसका [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $58$ cm है। मान लो चौड़ाई $x$ है: [समीकरण](#def-g8-equations-def) लिखो, उसे हल करो, और दोनों नाप बताओ।

**हल — अभ्यास 57.8.**

चौड़ाई $x$, लंबाई $x + 5$; [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$, इसलिए $4x = 48$ और $x = 12$: चौड़ाई $12$ cm, लंबाई $17$ cm (जाँच: $2 \times (12 + 17) = 58$)।

**अभ्यास 57.9 ★★.**

तीन लगातार पूर्ण संख्याओं का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $141$ है। बीच वाली को $n$ कहकर तीनों निकालो।

**हल — अभ्यास 57.9.**

संख्याएँ $n - 1$, $n$, $n + 1$ हैं और उनका [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $3n = 141$ है, इसलिए $n = 47$: संख्याएँ $46$, $47$, $48$ हैं।

**अभ्यास 57.10 ★★.**

असमिकाएँ हल करो और उनके हल बताओ:

$$
3x + 4 > 19, \qquad
7 - 2x \geq 1, \qquad
5(x - 1) < 2x + 7 .
$$

**हल — अभ्यास 57.10.**

$3x + 4 > 19$: $3x > 15$, इसलिए $x > 5$।

$7 - 2x \geq 1$: $-2x \geq -6$, और $-2$ से भाग देने पर असमिका उलट जाती है: $x \leq 3$।

$5(x-1) < 2x + 7$: $5x - 5 < 2x + 7$, इसलिए $3x < 12$ और $x < 4$।

**अभ्यास 57.11 ★★.**

मीया के पास $140$ यूरो की बचत है और वह हर महीने $15$ यूरो और जोड़ती है; टॉम के पास $200$ यूरो हैं और वह हर महीने $10$ यूरो जोड़ता है। कितने महीनों बाद मीया के पास टॉम से पक्के तौर पर ज़्यादा होगा? (एक असमिका बनाओ।)

**हल — अभ्यास 57.11.**

$n$ महीनों बाद मीया के पास $140 + 15n$ होंगे और टॉम के पास $200 + 10n$। मीया तब आगे निकलती है जब

$$
140 + 15n > 200 + 10n
\ \Longleftrightarrow\
5n > 60
\ \Longleftrightarrow\
n > 12 :
$$

यानी $13$-वें महीने से आगे।

**अभ्यास 57.12 ★★★.**

[समीकरण](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$ हल करो। (दोनों तरफ़ उभयनिष्ठ हर $20$ से गुणा करो, फिर आम तरीक़े से आगे बढ़ो; अपना हल असली [समीकरण](#def-g8-equations-def) में जाँचो।)

**हल — अभ्यास 57.12.**

दोनों तरफ़ $20$ से गुणा करो:

$$
5(x + 3) = 4(2x - 1)
\ \Longrightarrow\
5x + 15 = 8x - 4
\ \Longrightarrow\
19 = 3x
\ \Longrightarrow\
x = \frac{19}{3}.
$$

जाँच: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} =
\frac73$, और $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} =
\frac{35}{15} = \frac73$। बराबर: इसलिए हल $\frac{19}{3}$ है।

## 57.5 समस्या: उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ और विषम संख्याओं की सीढ़ी

**समस्या 57.1.**

सप्ताहांत समस्या — $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$, और योग $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

तीन फैलाव इतनी बार आते हैं कि बीजगणित उन्हें ज़बानी याद रखता है: उन्हें *उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ* कहते हैं। यह समस्या उन्हें दुहरे वितरण नियम ([प्रमेय 57.1](#thm-g8-equations-expand)) से निकालती है, उन्हें मानसिक गणित की महाशक्ति में बदलती है, उनसे [विषम संख्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) के बारे में एक सुंदर बात सिद्ध करती है, और आख़िर में बिलकुल नई तरह के [समीकरण](#def-g8-equations-def) हल करती है: वे [समीकरण](#def-g8-equations-def) जिनमें वर्ग आता है।

**भाग I — तीन सर्वसमिकाएँ।**

1. $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ को फैलाकर सरल करो, और सिद्ध करो कि $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$
2. इसी तरह उसकी दोनों साथी सर्वसमिकाएँ सिद्ध करो: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,  \qquad  (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$
3. भुजा $a + b$ का एक वर्ग बनाओ, हर भुजा को $a$ और $b$ में बाँटो, और वर्ग को चार टुकड़ों में काटो। चित्र का हर हिस्सा पहली सर्वसमिका के किस टुकड़े को दिखाता है?
4. मानसिक गणित: सर्वसमिकाओं से, बिना कोई गुणा किए, निकालो $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$
5. एक जाना-पहचाना जाल: ज़ोए लिखती है “ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ”। उसके सूत्र को $a = 3$ , $b = 4$ पर जाँचो, और सवाल 3 के चित्र पर ठीक-ठीक बताओ कि उसका सूत्र कौन-से टुकड़े भूल रहा है।

**भाग II — [विषम संख्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) की सीढ़ी।**

6. $1$ निकालो, फिर $1 + 3$ , फिर $1 + 3 + 5$ , फिर $1 + 3 + 5 + 7$ , फिर $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ । उत्तरों में तुम्हें क्या दिखता है?
7. समझाओ कि $n$ -वीं [विषम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2n - 1$ क्यों है (जाँच: $n = 1, 2, 3$ से $1, 3, 5$ मिलते हैं)।
8. भाग I की किसी सर्वसमिका से $(n + 1)^2 - n^2$ फैलाकर सरल करो। उत्तर का सवाल 7 से क्या नाता है?
9. सवाल 8 कहता है: भुजा $n$ के वर्ग से भुजा $n + 1$ के वर्ग तक जाने में ठीक अगली [विषम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) जितने इकाई-ख़ाने जोड़ने पड़ते हैं — दो भुजाओं और कोने के साथ बनी एक L-आकार की किनार। $1 = 1^2$ से शुरू करके वर्ग को एक-एक परत बढ़ाते हुए समझाओ कि $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ यानी पहली $n$ [विषम संख्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $n$-वाँ वर्ग होता है।
10. बिना एक-एक करके जोड़े निकालो: $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ का मान; और $1$ से शुरू करके कितनी [विषम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) जुड़कर ठीक $400$ बनाती हैं।

**भाग III — वर्ग वाले [समीकरण](#def-g8-equations-def)।**

11. $x^2 + 6x + 9$ में कोई उल्लेखनीय सर्वसमिका पहचानो, और [समीकरण](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ हल करो।
12. [प्रमेय 54.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules) के चिह्न-और-दूरी वाले नियम से समझाओ कि दो संख्याओं का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) *तभी* हो सकता है जब दोनों में से कोई एक गुणक [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) हो। इससे $(x - 2)(x + 5) = 0$ हल करो।
13. सब कुछ एक तरफ़ ले जाकर और तीसरी सर्वसमिका से $x^2 - 49$ के गुणनखंड बनाकर $x^2 = 49$ हल करो। इस [समीकरण](#def-g8-equations-def) के कितने हल हैं — और यह इस अध्याय में अब तक हल किए गए हर [समीकरण](#def-g8-equations-def) से कैसे अलग है?
14. [अभ्यास 57.3](#exo-g8-equations-3) में तुमने जाँचा था कि $x = 3$ , $x^2 = 6x - 9$ का हल है। दिखाओ कि वही *अकेला* हल है: सब कुछ एक तरफ़ लाओ, सर्वसमिका पहचानो, और नतीजा निकालो।
15. आख़िरी दाँव: $2026^2 - 2025^2$ मन ही मन निकालो, और किसी सर्वसमिका से समझाओ कि दो लगातार वर्गों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) हमेशा उन दोनों संख्याओं का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) क्यों होता है — यानी वही सवाल 8, फिर से।

**हल — समस्या 57.1.**

**1.** दुहरा वितरण नियम ([प्रमेय 57.1](#thm-g8-equations-expand)) $c = a$, $d = b$ के साथ:

$$
(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 ,
$$

क्योंकि $ab$ और $ba$ एक ही [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) हैं।

**2.** वही फैलाव, चिह्नों का ध्यान रखते हुए:

$$
(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 ,
$$

$$
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 :
$$

इस बार आड़े पद $-ab$ और $+ba$ दुगुने होने के बजाय आपस में कट जाते हैं।

**3.** भुजा $a + b$ वाला वर्ग चार टुकड़ों में कटता है: एक $a \times a$ का वर्ग (यानी $a^2$), एक $b \times b$ का वर्ग (यानी $b^2$), और $a \times b$ के *दो* आयत (दोनों मिलकर $2ab$)। सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ यही कहती है कि चारों [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) मिलकर बड़ा वर्ग भर देते हैं — यह दुहरे वितरण नियम का चित्र है, जिसमें दोनों तरफ़ एक ही तरह बाँटी गई हैं।

**4.** सर्वसमिकाओं से:

$$
\begin{align*}
101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\
99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\
49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 .
\end{align*}
$$

**5.** $a = 3$, $b = 4$ पर: $(3 + 4)^2 = 49$ है पर $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$। ज़ोए का सूत्र चित्र वाले $a \times b$ के दोनों आयत भूल जाता है — यानी छूटा हुआ $2ab = 24$, और सचमुच $25 + 24 = 49$।

**6.** $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$। उत्तर पूरे वर्ग $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$ हैं।

**7.** [विषम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $1$ से शुरू होती हैं और $2$-$2$ के क़दमों से बढ़ती हैं: $n$-वीं तक पहुँचने में $1$ से $2$ के $n - 1$ क़दम लगते हैं, इसलिए वह $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$ के बराबर है। जाँच: $n = 1, 2, 3$ से $1, 3, 5$ मिलते हैं।

**8.** पहली सर्वसमिका से,

$$
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 :
$$

दो लगातार वर्गों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) ठीक $(n+1)$-वीं [विषम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) है (सवाल 7 में $n$ की जगह $n + 1$ रखने पर: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$)।

**9.** वर्गों को एक के बाद एक बनाओ। एक ही ख़ाने से शुरू करो: $1 = 1^2$। भुजा $1$ के वर्ग से भुजा $2$ के वर्ग तक जाने के लिए $2 \times 1 + 1 = 3$ ख़ाने जोड़ो (सवाल 8): $1 + 3 = 2^2$। भुजा $3$ तक जाने के लिए $2 \times 2 + 1 = 5$ ख़ाने जोड़ो: $1 + 3 + 5 = 3^2$। हर नई [विषम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ठीक वही L-आकार की परत है जो अगला वर्ग पूरा करती है, इसलिए पहली $n$ [विषम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) जोड़ने के बाद भुजा $n$ का वर्ग पूरा हो जाता है: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$।

**10.** $1$ से $99$ तक की [विषम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) उनमें से पहली $50$ हैं ($2n - 1 = 99$ से $n = 50$), इसलिए

$$
1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 .
$$

और $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ के लिए $n = 20$ चाहिए: पहली *बीस* [विषम संख्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ($1$ से $39$ तक) जुड़कर $400$ बनाती हैं।

**11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 =
(x + 3)^2$: यानी $a = x$, $b = 3$ के साथ पहली सर्वसमिका। इसलिए [समीकरण](#def-g8-equations-def) $(x + 3)^2 = 0$ बन जाता है। कोई वर्ग [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) तभी होता है जब संख्या ख़ुद [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) हो ([प्रमेय 54.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules): शून्येतर संख्या की दूरी शून्येतर होती है, इसलिए उसके वर्ग की दूरी भी शून्येतर होगी)। इसलिए $x + 3 = 0$: अकेला हल $x = -3$ है।

**12.** [प्रमेय 54.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/54-multiplying-negative-numbers#thm-g8-negprod-rules) से [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) की दूरी दूरियों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) होती है। अगर दोनों गुणक शून्येतर हों तो दोनों दूरियाँ शून्येतर हैं, इसलिए [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) की दूरी भी शून्येतर है: तब [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $0$ हो ही नहीं सकता। इसलिए [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) कम से कम एक [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) गुणक माँगता है। $(x - 2)(x + 5) = 0$ के लिए: या तो $x - 2 = 0$ या $x + 5 = 0$, जिससे दो हल मिलते हैं, $x = 2$ और $x = -5$।

**13.** $x^2 = 49$ से $x^2 - 49 = 0$ बनता है, और तीसरी सर्वसमिका उसके गुणनखंड बना देती है:

$$
x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 .
$$

सवाल 12 से $x = 7$ या $x = -7$: यानी *दो* हल। इस अध्याय में अब तक हल किया गया हर [समीकरण](#def-g8-equations-def) प्रथम घात का था और उसका ठीक एक हल था; पर [समीकरण](#def-g8-equations-def) में वर्ग आते ही दो हल बन सकते हैं।

**14.** सब कुछ बाईं तरफ़ ले आओ: $x^2 - 6x + 9 = 0$, और दूसरी सर्वसमिका पहचानो: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$। इसलिए [समीकरण](#def-g8-equations-def) $(x - 3)^2 = 0$ है, जो $x - 3 = 0$ पर मजबूर कर देता है (सवाल 11 की तरह): $x = 3$ अकेला हल है — [अभ्यास 57.3](#exo-g8-equations-3) की जाँच ने उसे ढूँढ़ा था, और गुणनखंड बनाना सिद्ध कर देता है कि और कोई हल नहीं है।

**15.** तीसरी सर्वसमिका से,

$$
2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025)
= 1 \times 4051 = 4\,051 .
$$

आम तौर पर $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: दो लगातार वर्गों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) उन दोनों संख्याओं का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) होता है — वही $2n + 1$ जो सवाल 8 में था, बस अब पहली के बजाय तीसरी सर्वसमिका से निकला हुआ।