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title: "मध्यबिंदु और समांतर रेखाएँ"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 59
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/59-midpoints-and-parallels
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# अध्याय 59 — मध्यबिंदु और समांतर रेखाएँ

किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदु मिला दो: जो [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) मिलता है वह हमेशा तीसरी भुजा के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) होता है और ठीक उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) लंबा। यह “मध्यबिंदु प्रमेय” और उसका विलोम एक बड़े विचार की पहली झलक हैं — [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) लंबाइयों को [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) में काटती हैं — जो [अध्याय 68](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales) में थेल्स प्रमेय बनकर खिल उठता है।

## 59.1 मध्यबिंदु प्रमेय

**प्रमेय 59.1 (मध्यबिंदु प्रमेय).**

किसी त्रिभुज $ABC$ में मान लो $I$, $[AB]$ का मध्यबिंदु है और $J$, $[AC]$ का। तब रेखा $(IJ)$, $(BC)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) होती है, और

$$
IJ = \frac{BC}{2} .
$$

**प्रमाण का विचार.** मान लो $K$, $J$ के बारे में $I$ का [सममित](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-def) बिंदु है (यानी [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) चक्कर, [अध्याय 52](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#ch-g7-central))। [चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ के विकर्ण $[IK]$ और $[AC]$ अपने साझे मध्यबिंदु $J$ पर कटते हैं: इसलिए वह [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है, और तब $KC$, $AI$ यानी $(AB)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) है, तथा $KC = AI = IB$। अब $IBCK$ की आमने-सामने की दो भुजाएँ ($[IB]$ और $[KC]$) [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) तथा बराबर हैं: इसलिए वह भी [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है ([प्रमेय 52.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize)), और तब $(IK) \parallel (BC)$ — यानी $(IJ) \parallel (BC)$ — तथा $BC = IK = 2\,IJ$। ∎

![मध्यबिंदुओं को जोड़ता रेखाखंड (IJ) (लाल) तीसरी भुजा (BC) के समांतर है और उसका आधा लंबा।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg)

*मध्यबिंदुओं को जोड़ता [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ (लाल) तीसरी भुजा $(BC)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) है और उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) लंबा।*

**उदाहरण 59.2.**

जिस त्रिभुज $ABC$ में $BC = 9$ cm है, उसमें $[AB]$ का मध्यबिंदु $I$ और $[AC]$ का मध्यबिंदु $J$ मिलाए गए। बिना कुछ नापे: $(IJ) \parallel (BC)$ और $IJ = \frac92 = 4.5$ cm। छोटा त्रिभुज $AIJ$, $ABC$ की आधी नाप वाली नक़ल है — इसलिए उसका [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) भी $ABC$ के [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है।

**प्रमेय 59.3 (विलोम).**

किसी त्रिभुज $ABC$ में, $[AB]$ के मध्यबिंदु $I$ से होकर $(BC)$ के *[समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* जाने वाली रेखा भुजा $[AC]$ को उसके मध्यबिंदु पर काटती है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 59.4.**

एक पगडंडी किसी त्रिभुजाकार खेत को पार करती है, एक [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के बीच से शुरू होकर सामने वाले [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) चलती हुई। विलोम की गारंटी है कि वह पगडंडी दूसरे [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के ठीक बीच से निकलेगी — उस तरफ़ कुछ भी नापने की ज़रूरत नहीं।

**विधि 59.5 (प्रमेय और विलोम में से चुनना).**

1. *दो मध्यबिंदु पता हों* $\Rightarrow$ सीधी प्रमेय लगाओ: समांतरपन और आधी लंबाई का नतीजा निकालो।
2. *एक मध्यबिंदु और एक [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा पता हो* $\Rightarrow$ विलोम लगाओ: नतीजा निकालो कि कटान-बिंदु एक मध्यबिंदु है।
3. लिखो कि तुमने कौन-सा त्रिभुज, कौन-से मध्यबिंदु और कौन-सी प्रमेय इस्तेमाल की — हर एक पर एक वाक्य।

## 59.2 आधी नाप वाले त्रिभुज

**प्रतिज्ञप्ति 59.6 (मध्यबिंदु त्रिभुज).**

किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्यबिंदु मिला देने पर वह बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) के चार त्रिभुजों में कट जाता है, और हर एक असली त्रिभुज की आधी नाप वाली नक़ल होता है।

**उपपत्ति.** मध्यबिंदु त्रिभुज की हर भुजा $ABC$ की किसी भुजा के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) और उसकी आधी लंबी है ([प्रमेय 59.1](#thm-g8-midpoints-direct), तीन बार लगाकर)। चारों छोटे त्रिभुजों की भुजाएँ उन्हीं तीन लंबाइयों की हैं, इसलिए वे एक जैसी नक़लें हैं; और वे मिलकर $ABC$ को ढक देते हैं, इसलिए हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) उसका एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) है। ∎

![मध्यबिंदु त्रिभुज IJK, ABC को चार बराबर त्रिभुजों में काट देता है — यह चित्र याद रखने लायक़ है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg)

*मध्यबिंदु त्रिभुज $IJK$, $ABC$ को चार बराबर त्रिभुजों में काट देता है — यह चित्र याद रखने लायक़ है।*

**टिप्पणी 59.7 (थेल्स की ओर).**

मध्यबिंदु प्रमेय एक और बड़ी बात की “एक [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)” वाली स्थिति है: किसी त्रिभुज की एक भुजा के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा बाक़ी दोनों भुजाओं को *बराबर अनुपातों* में काटती है — एक तिहाई और एक तिहाई, दो पाँचवें और दो पाँचवें … वह आम कथन थेल्स प्रमेय है ([अध्याय 68](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales)); इस साल सिर्फ़ मध्यबिंदु वाली स्थिति चाहिए।

## 59.3 अभ्यास

**अभ्यास 59.1 ★.**

किसी त्रिभुज $RST$ में $M$, $[RS]$ का मध्यबिंदु है और $N$, $[RT]$ का, और $ST = 7$ cm है। रेखा $(MN)$ और लंबाई $MN$ के बारे में क्या कहा जा सकता है? इस्तेमाल की गई प्रमेय का नाम लो।

**हल — अभ्यास 59.1.**

$M$ और $N$ त्रिभुज $RST$ की दो भुजाओं के मध्यबिंदु हैं: इसलिए मध्यबिंदु प्रमेय ([प्रमेय 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)) से $(MN) \parallel (ST)$ और $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm।

**अभ्यास 59.2 ★.**

किसी त्रिभुज $ABC$ में $I$, $[AB]$ का मध्यबिंदु है और $I$ से होकर $(BC)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) जाने वाली रेखा $[AC]$ को $J$ पर काटती है, और $AC = 11$ cm है। इस्तेमाल की गई प्रमेय का नाम लेते हुए $AJ$ निकालो।

**हल — अभ्यास 59.2.**

$I$ एक मध्यबिंदु है और $(IJ) \parallel (BC)$: इसलिए *विलोम* ([प्रमेय 59.3](#thm-g8-midpoints-converse)) से $J$, $[AC]$ का मध्यबिंदु है, और $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm।

**अभ्यास 59.3 ★.**

$AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm वाला त्रिभुज $ABC$ बनाओ, $[AB]$ का मध्यबिंदु $I$ और $[AC]$ का $J$ रखो, और प्रमेय जाँचने के लिए $IJ$ नापो। फिर और कुछ नापे बिना $AIJ$ का [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) निकालो।

**हल — अभ्यास 59.3.**

नापने पर $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$ मिलता है। $AIJ$ का [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter): $AI = 4$, $AJ = 3$, $IJ = 3.5$: कुल $10.5$ cm — यानी $ABC$ के [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) ($8 + 6 + 7 = 21$ cm) का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)।

**अभ्यास 59.4 ★.**

$IJK$, $ABC$ का मध्यबिंदु त्रिभुज है, और $ABC$ की भुजाएँ $10$, $12$ तथा $16$ cm नापती हैं। $IJK$ की तीनों भुजाएँ और उसका [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) बताओ। दोनों परिमापों की आपस में क्या तुलना है?

**हल — अभ्यास 59.4.**

$IJK$ की हर भुजा $ABC$ की किसी भुजा की आधी है: $5$, $6$ और $8$ cm। [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter): $19$ cm, यानी $10 + 12 + 16 = 38$ cm का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)।

**अभ्यास 59.5 ★.**

किसी त्रिभुज का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm$^2$ है। उसके मध्यबिंदु त्रिभुज का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) क्या है? और चारों छोटे त्रिभुजों में से हर एक का?

**हल — अभ्यास 59.5.**

मध्यबिंदु त्रिभुज [प्रतिज्ञप्ति 59.6](#prop-g8-midpoints-medial) वाले चार बराबर त्रिभुजों में से एक है: [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac{36}{4} = 9$ cm$^2$ — और चारों छोटे त्रिभुजों में से हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $9$ cm$^2$ है।

**अभ्यास 59.6 ★★.**

किसी त्रिभुज $ABC$ में $I$, $[AB]$ का मध्यबिंदु है, $J$, $[AC]$ का, और $K$, $[BC]$ का। दिखाओ कि $IJKB$ एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है। ($[IJ]$ और $[BK]$ की तुलना करो: [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)? बराबर?)

**हल — अभ्यास 59.6.**

$ABC$ में मध्यबिंदु प्रमेय से: $(IJ) \parallel (BC)$, यानी $(IJ) \parallel (BK)$, और $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (क्योंकि $K$, $[BC]$ का मध्यबिंदु है)। $IJKB$ की आमने-सामने की दो भुजाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) और बराबर हैं: इसलिए वह [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है ([प्रमेय 52.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize), कसौटी 3)।

**अभ्यास 59.7 ★★.**

किसी त्रिभुजाकार पाल का सबसे नीचे वाला [किनारा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $6.4$ m लंबा है। एक मज़बूती वाली सिलाई बाक़ी दोनों [किनारों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है। कितनी लंबी सिलाई चाहिए? और अगर वही सिलाई ऊपर वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से शुरू करके हर [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) पर पड़े बिंदुओं को जोड़े तो? (चित्र बनाकर अटकल लगाओ; प्रमाण थेल्स का है, [अध्याय 68](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales)।)

**हल — अभ्यास 59.7.**

सिलाई दो मध्यबिंदुओं को जोड़ती है: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m। ऊपर वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से एक [चौथाई](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) पर, चित्र से लगता है कि सिलाई $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m की होगी, और आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) — जिसकी पुष्टि [अध्याय 68](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales) में थेल्स करते हैं।

**अभ्यास 59.8 ★★.**

त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है, $M$ कर्ण $[BC]$ का मध्यबिंदु है, और $M$ से होकर $(AB)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) जाने वाली रेखा $[AC]$ को $N$ पर मिलती है।

1. दिखाओ कि $N$ , $[AC]$ का मध्यबिंदु है।
2. समझाओ कि $(MN)$ , $(AC)$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) क्यों है।

**हल — अभ्यास 59.8.**

*1.* $M$, $[BC]$ का मध्यबिंदु है और $(MN) \parallel (AB)$: इसलिए मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम से (त्रिभुज $ABC$ में, भुजा $[AC]$ पर) $N$, $[AC]$ का मध्यबिंदु है।

*2.* $(MN) \parallel (AB)$ और $(AB) \perp (AC)$ ($A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)): किसी $(AB)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा भी $(AC)$ पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) होती है ([प्रतिज्ञप्ति 40.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#prop-g6-lines-facts))। इसलिए $(MN) \perp (AC)$ — और [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[MN]$ [लंब समद्विभाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#def-g6-symmetry-bisector) का वह टुकड़ा है जो फिर से दिखा देता है कि $MA = MC$ ([प्रमेय 60.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#thm-g8-cosine-circle))।

**अभ्यास 59.9 ★★★.**

मान लो $ABCD$ *कोई भी* [चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) है, और $I$, $J$, $K$, $L$ क्रमशः $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ के मध्यबिंदु हैं (यही [अभ्यास 52.11](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#exo-g7-central-11) वाली अटकल है)।

1. त्रिभुज $ABC$ में [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ पर और त्रिभुज $ACD$ में [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[LK]$ पर मध्यबिंदु प्रमेय लगाओ: दोनों की तुलना विकर्ण $[AC]$ से करो।
2. नतीजा निकालो कि $IJKL$ हमेशा एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) होता है।

**हल — अभ्यास 59.9.**

*1.* त्रिभुज $ABC$ में $I$ और $J$, $[AB]$ तथा $[BC]$ के मध्यबिंदु हैं: $(IJ) \parallel (AC)$ और $IJ = \frac{AC}{2}$। त्रिभुज $ACD$ में $L$ और $K$, $[DA]$ तथा $[CD]$ के मध्यबिंदु हैं: $(LK) \parallel (AC)$ और $LK = \frac{AC}{2}$।

*2.* इसलिए $[IJ]$ और $[LK]$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं (दोनों विकर्ण $(AC)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)) और बराबर भी (दोनों $AC$ के आधे): यानी $IJKL$ एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है ([प्रमेय 52.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize), कसौटी 3) — और यह *हर* [चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ के लिए, जैसा [अभ्यास 52.11](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#exo-g7-central-11) में अटकल लगाई गई थी।

## 59.4 समस्या: तीन माध्यिकाएँ और गुरुत्व केंद्र

**समस्या 59.1.**

सप्ताहांत समस्या — किसी त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं, हर एक के दो-तिहाई पर

किसी सख़्त गत्ते से त्रिभुज काटो और वह एक ख़ास बिंदु पर रखी पेंसिल की नोक पर बिलकुल चपटा टिका रहेगा: यही उस त्रिभुज का *गुरुत्व केंद्र* है। यह समस्या वही बिंदु ढूँढ़ती है। किसी त्रिभुज की *माध्यिका* वह [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) है जो किसी [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को सामने वाली भुजा के *मध्यबिंदु* से जोड़ता है। तुम सिद्ध करोगे — मध्यबिंदु प्रमेय को दो बार, कुछ अनोखे ढंग से, इस्तेमाल करके — कि तीनों माध्यिकाएँ एक ही बिंदु से गुज़रती हैं, और उस बिंदु की ठीक जगह भी बता दोगे।

**भाग I — गरमाहट के लिए।**

1. एक बड़ा त्रिभुज $ABC$ बनाओ (कोई ख़ास शक्ल नहीं), $[AB]$ का मध्यबिंदु $I$ , $[AC]$ का $J$ और $[BC]$ का $K$ बनाओ, और तीनों माध्यिकाएँ $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ खींचो। तुम्हें क्या दिखता है?
2. सिद्ध करो कि कोई भी माध्यिका त्रिभुज को बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) के दो त्रिभुजों में काट देती है। (आधार और ऊँचाइयाँ तुलो, और [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) का सूत्र लगाओ: आधार $\times$ ऊँचाई $\div\ 2$ ।) $36$ cm $^2$ [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाले त्रिभुज के दोनों टुकड़ों का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) क्या होगा?
3. त्रिभुज $ABC$ में [प्रमेय 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ के बारे में क्या कहती है?

**भाग II — दो माध्यिकाएँ दो-तिहाई पर मिलती हैं।** माध्यिकाएँ $[BJ]$ और $[CI]$ एक बिंदु पर कटती हैं; उसे $G$ कहो। मान लो $M$, $[GB]$ का मध्यबिंदु है और $N$, $[GC]$ का।

4. मध्यबिंदु प्रमेय *त्रिभुज $GBC$ में* लगाओ: वह [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[MN]$ के बारे में क्या कहती है?
5. इससे निकालो कि $(IJ) \parallel (MN)$ और $IJ = MN$ , और [प्रमेय 52.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize) से नतीजा निकालो कि $IJNM$ एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है।
6. समझाओ कि $I$ और $N$ दोनों माध्यिका $(CI)$ पर क्यों पड़ते हैं, और $J$ तथा $M$ दोनों माध्यिका $(BJ)$ पर — यानी [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ के विकर्ण $[IN]$ और $[JM]$ हैं, और वे ठीक $G$ पर कटते हैं। तब [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) की *परिभाषा* $G$ के बारे में क्या कहती है?
7. इससे निकालो कि $BM = MG = GJ$, और नतीजा निकालो: $$BG = 2 \times GJ$$ — यानी बिंदु $G$ माध्यिका $[BJ]$ पर [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $B$ से दो-तिहाई दूरी पर बैठता है। माध्यिका $[CI]$ पर वैसा ही नतीजा लिखो और उसका कारण दो।
8. अब $[CI]$ को भूल जाओ और ठीक वही तर्क माध्यिकाओं $[BJ]$ तथा $[AK]$ के जोड़े पर चलाओ: उनका कटान-बिंदु भी $[BJ]$ पर $B$ से दो-तिहाई पर बैठता है। समझाओ कि इससे वह *वही* बिंदु $G$ होने पर क्यों मजबूर हो जाता है — और नतीजा निकालो कि तीनों माध्यिकाएँ $G$ से गुज़रती हैं।
9. जिस त्रिभुज की माध्यिका $[BJ]$ , $9$ cm नापती है, उसमें $G$ , $B$ से कितनी दूर है और $J$ से कितनी?
10. एक वाक्य में कारण दो कि $AG = 2 \times GK$ भी होता है।

**भाग III — छह बराबर फाँकें, और निर्देशांक।** तीनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को $G$ के चारों ओर छह छोटे त्रिभुजों में काट देती हैं।

11. त्रिभुज $GBC$ में [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[GK]$ एक माध्यिका है। इससे निकालो कि दोनों छोटे त्रिभुजों $GBK$ और $GKC$ के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) बराबर हैं।
12. त्रिभुजों $ABK$ और $AKC$ में सवाल 2 लगाकर (दोनों को $ABC$ की माध्यिका $[AK]$ ने काटा है) दिखाओ कि त्रिभुजों $ABG$ और $ACG$ के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) बराबर हैं। किसी दूसरी माध्यिका के साथ यही दोहराकर नतीजा निकालो कि तीनों त्रिभुजों $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ में से हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $ABC$ का एक तिहाई है।
13. इन तीनों में से हर त्रिभुज माध्यिका के एक टुकड़े से आधा-आधा कट जाता है (जैसे $[GI]$ , त्रिभुज $ABG$ की माध्यिका है — किस [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से देखने पर?)। नतीजा निकालो: $G$ के चारों ओर की छहों छोटी फाँकों का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) एक ही है, यानी त्रिभुज का एक बटा छह।
14. निर्देशांक जाल पर $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ और $C(0, 6)$ लगाओ, जहाँ $K(3, 3)$, $[BC]$ का मध्यबिंदु है। भाग II की दो-तिहाई वाली प्रमेय से माध्यिका $[AK]$ पर $G$ के निर्देशांक निकालो; फिर जाँचो कि वही बिंदु माध्यिका $[BJ]$ के भी दो-तिहाई पर बैठता है, जहाँ $J(0, 3)$ है। $G$ के निर्देशांकों की तुलना इन औसतों से करो $$\frac{0 + 6 + 0}{3},  \qquad  \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$
15. तराज़ू वाला अंतिम दाँव: सवाल 2 और 8 से समझाओ कि गत्ते का त्रिभुज किसी भी माध्यिका के साथ रखी छुरी की धार पर क्यों टिक जाता है — दोनों तरफ़ बराबर गत्ता — और इसलिए पेंसिल की नोक $G$ पर ही क्यों रखनी पड़ेगी, यानी उस बिंदु पर जिसे भौतिकी वाले [गुरुत्व केंद्र](#pb-g8-midpoints-1) कहते हैं। (पूरी तरह पक्का संतुलन-प्रमाण विश्वविद्यालय वाले आयतनों का समाकलन गणित माँगता है; आज के लिए बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) ही उसे मानने लायक़ बना देते हैं।)

**हल — समस्या 59.1.**

**1.** त्रिभुज चाहे जैसा बनाया जाए, तीनों माध्यिकाएँ एक ही बिंदु से गुज़रती दिखती हैं, जो त्रिभुज के भीतर पड़ता है और साफ़-साफ़ हर भुजा के मध्यबिंदु के, सामने वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से ज़्यादा, पास होता है। बाक़ी समस्या यही सिद्ध करती है।

**2.** त्रिभुज $ABC$ की माध्यिका $[AK]$ लो: त्रिभुजों $ABK$ और $AKC$ के आधार $BK$ तथा $KC$ बराबर लंबाई के हैं ($K$, $[BC]$ का मध्यबिंदु है) और एक ही रेखा $(BC)$ पर पड़े हैं, और दोनों की ऊँचाई भी एक ही है: $A$ से $(BC)$ तक की दूरी। [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) के सूत्र से हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) आधार $\times$ ऊँचाई $\div\ 2$ है, और आधार तथा ऊँचाई दोनों बराबर हैं: इसलिए [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) भी बराबर हैं। $36$ cm$^2$ [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाले त्रिभुज के लिए: $18$-$18$ cm$^2$ के दो टुकड़े।

**3.** $I$ और $J$, त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $[AB]$ तथा $[AC]$ के मध्यबिंदु हैं, इसलिए [प्रमेय 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) से: $(IJ) \parallel (BC)$ और $IJ = \frac{BC}{2}$।

**4.** $M$ और $N$, त्रिभुज $GBC$ की भुजाओं $[GB]$ तथा $[GC]$ के मध्यबिंदु हैं, इसलिए उसी प्रमेय से: $(MN) \parallel (BC)$ और $MN = \frac{BC}{2}$।

**5.** $(IJ)$ और $(MN)$ दोनों $(BC)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं, इसलिए आपस में भी [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp); और $IJ = \frac{BC}{2} = MN$। इस तरह [चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ की आमने-सामने की दो भुजाएँ, $[IJ]$ और $[NM]$, [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) तथा बराबर लंबाई की हैं: इसलिए [प्रमेय 52.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize) की कसौटी 3 से $IJNM$ एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है।

**6.** $G$ माध्यिका $[CI]$ पर पड़ता है, और $N$, $[GC]$ का मध्यबिंदु है, जो उसी माध्यिका-रेखा पर पड़ा [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) है: इसलिए $I$, $N$ (और $G$, $C$) सब $(CI)$ पर हैं। इसी तरह $J$, $M$ और $G$ माध्यिका-रेखा $(BJ)$ पर हैं। [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ के विकर्ण $[IN]$ और $[JM]$ हैं; वे उन्हीं दो माध्यिका-रेखाओं पर पड़े हैं, जो $G$ पर कटती हैं — इसलिए विकर्ण $G$ पर कटते हैं। और [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) की *परिभाषा* से ([प्रमेय 52.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#thm-g7-central-recognize) की कसौटी 1: विकर्णों का मध्यबिंदु एक ही होता है) $G$, $[IN]$ का *और* $[JM]$ का मध्यबिंदु है: यानी $GI = GN$ तथा $GJ = GM$।

**7.** $M$, $[GB]$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $BM = MG$; और सवाल 6 से $MG = GJ$। यानी $BM = MG = GJ$: माध्यिका $[BJ]$ तीन बराबर हिस्सों में कट जाती है, जिनमें से दो $BG$ के हिस्से आते हैं:

$$
BG = 2 \times GJ .
$$

इसी तरह $N$, $[GC]$ का मध्यबिंदु है और $GN = GI$, इसलिए $CN = NG = GI$ और $CG = 2 \times GI$: माध्यिका $[CI]$ पर भी कटान-बिंदु [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से दो-तिहाई दूरी पर बैठता है।

**8.** इस तर्क में $[BJ]$, $[CI]$ के जोड़े की कोई ख़ास बात इस्तेमाल नहीं हुई: $[BJ]$, $[AK]$ के जोड़े पर चलाने से वह दिखा देता है कि उनका कटान-बिंदु भी $[BJ]$ पर $B$ से दो-तिहाई दूरी पर पड़ता है। पर [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ पर $B$ से $\frac23 BJ$ दूरी वाला बिंदु *एक ही* होता है — इसलिए $[BJ]$ और $[AK]$ का कटान-बिंदु वही $G$ है। यानी तीनों माध्यिकाएँ $G$ से गुज़रती हैं: वे *संगामी* हैं।

**9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm और $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm।

**10.** सवाल 8 से वही दो-तिहाई वाली गणना माध्यिका $[AK]$ पर भी चलती है (सवाल 4–7 का तर्क $[AK]$, $[BJ]$ के जोड़े पर चलाओ): $AG = 2 \times GK$।

**11.** त्रिभुज $GBC$ में बिंदु $K$ भुजा $[BC]$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $[GK]$, $GBC$ की एक माध्यिका है; और सवाल 2 से त्रिभुजों $GBK$ तथा $GKC$ के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) बराबर हैं।

**12.** माध्यिका $[AK]$, $ABC$ को बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाले $ABK$ और $AKC$ में काटती है (सवाल 2)। दोनों में से सवाल 11 वाला छोटा त्रिभुज हटा दो:

$$
\text{क्षेत्रफल}(ABG) = \text{क्षेत्रफल}(ABK) - \text{क्षेत्रफल}(GBK),
\qquad
\text{क्षेत्रफल}(ACG) = \text{क्षेत्रफल}(AKC) - \text{क्षेत्रफल}(GKC),
$$

और हटाए गए [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) बराबर हैं, इसलिए $\text{क्षेत्रफल}(ABG) = \text{क्षेत्रफल}(ACG)$। वही गणना माध्यिका $[BJ]$ के साथ — जो $ABC$ को $ABJ$ और $CBJ$ में आधा-आधा करती है, जबकि त्रिभुज $GAC$ की माध्यिका $[GJ]$ उसे $GAJ$ तथा $GCJ$ में आधा-आधा करती है — से मिलता है $\text{क्षेत्रफल}(ABG) = \text{क्षेत्रफल}(CBG)$। इसलिए तीनों त्रिभुजों $ABG$, $BCG$, $CAG$ के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) बराबर हैं, और चूँकि वे मिलकर $ABC$ को ढकते हैं, हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) पूरे का एक तिहाई है।

**13.** त्रिभुज $ABG$ में बिंदु $I$ भुजा $[AB]$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $[GI]$, $ABG$ की *[शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $G$ से खींची* माध्यिका है: वह $ABG$ को बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाले दो त्रिभुजों में काट देती है (सवाल 2), यानी $AIG$ और $IBG$ में। यही $BCG$ में (माध्यिका $[GK]$) और $CAG$ में (माध्यिका $[GJ]$) होता है। $ABC$ का हर तिहाई आधा-आधा कट जाता है: इसलिए $G$ के चारों ओर की छहों फाँकों में से हर एक का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ है।

**14.** माध्यिका $[AK]$ पर, $A(0,0)$ से $K(3,3)$ तक: $G$ दो-तिहाई दूरी पर बैठता है, इसलिए उसके निर्देशांक $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$ हैं। माध्यिका $[BJ]$ पर, $B(6, 0)$ से $J(0, 3)$ तक: दो-तिहाई दूरी का मतलब है खिसकाव का दो-तिहाई जोड़ना (आड़े $-6$, खड़े $+3$):

$$
\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right)
= (2, 2) .
$$

वही बिंदु — जैसा सवाल 8 ने वादा किया था। और $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: यानी [गुरुत्व केंद्र](#pb-g8-midpoints-1) के निर्देशांक तीनों [शीर्षों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के निर्देशांकों के *औसत* हैं।

**15.** सवाल 2 से किसी माध्यिका के साथ रखी छुरी की धार के दोनों तरफ़ बराबर गत्ता होता है (बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)), इसलिए त्रिभुज तीनों माध्यिका-रेखाओं में से हर एक पर टिक जाता है। और संतुलन के बिंदु को तीनों संतुलन-रेखाओं पर एक साथ पड़ना पड़ेगा, जबकि सवाल 8 से तीनों माध्यिकाओं का साझा बिंदु ठीक एक ही है: $G$। पेंसिल की नोक वहीं जाती है। (दोनों तरफ़ बराबर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) इस तर्क का मानने लायक़ रूप है; ईमानदार रूप — जिसमें यह भी तौला जाता है कि गत्ता *कहाँ* पड़ा है, सिर्फ़ कितना है यह नहीं — विश्वविद्यालय वाले आयतनों का समाकलन गणित माँगता है, और वह $G$ की ही पुष्टि करता है।)