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title: "समकोण त्रिभुज और कोज्या"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine
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# अध्याय 60 — समकोण त्रिभुज और कोज्या

दो सुंदर बातें [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) को वृत्त से बाँध देती हैं: [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ठीक आधे वृत्त में बैठ जाता है, और उसका कर्ण एक [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) होता है। और एक अकेली संख्या, किसी कोण की *कोज्या*, उस कोण वाले हर [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) की शक्ल अपने भीतर समेट लेती है — यह पहला त्रिकोणमितीय अनुपात है, अपने भाई-बहनों ज्या और स्पर्शज्या से पहले ([अध्याय 69](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle#ch-g9-trig))।

## 60.1 समकोण त्रिभुज और उसका वृत्त

**प्रमेय 60.1 (वृत्त प्रमेय).**

1. अगर किसी त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) हो, तो $A$ उस वृत्त पर पड़ता है जिसका [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) कर्ण $[BC]$ है।
2. और उलटे तरफ़ से: अगर $A$ किसी ऐसे वृत्त पर पड़े जिसका [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ हो (और $A \neq B, C$ ), तो त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) होता है।

यही बात दूसरे शब्दों में: किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में कर्ण का मध्यबिंदु तीनों [शीर्षों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से बराबर दूरी पर होता है — यानी [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) से खींची माध्यिका कर्ण की आधी नापती है।

**1 का प्रमाण.** मान लो $O$, $[BC]$ का मध्यबिंदु है और $D$, $O$ के बारे में $A$ का [सममित](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-def) बिंदु। $ABDC$ के विकर्ण अपने साझे मध्यबिंदु $O$ पर कटते हैं, इसलिए $ABDC$ एक [समांतर चतुर्भुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram) है ([परिभाषा 52.7](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#def-g7-central-parallelogram)) — और उसका $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है: यानी वह आयत है। आयत के विकर्ण बराबर होते हैं, इसलिए $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$: यानी बिंदु $A$, $O$ से $\frac{BC}{2}$ दूरी पर है, यानी [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ वाले वृत्त पर। (बात 2 इसी तर्क को उलटा चलाकर सिद्ध होती है।) ∎

![A वृत्त पर चाहे कहीं भी हो, कोण BAC समकोण ही रहता है — वाली अटकल अब प्रमेय बन गई। लाल माध्यिका (OA) एक त्रिज्या है: यानी कर्ण की आधी।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*$A$ वृत्त पर चाहे कहीं भी हो, कोण $\widehat{BAC}$ [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ही रहता है — [अभ्यास 41.10](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#exo-g6-shapes-10) वाली अटकल अब प्रमेय बन गई। लाल माध्यिका $[OA]$ एक [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) है: यानी कर्ण की आधी।*

**उदाहरण 60.2.**

किसी त्रिभुज का कर्ण $10$ cm है। और कुछ जाने बिना ही: [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) से खींची माध्यिका $5$ cm नापती है, और त्रिभुज के [परिवृत्त](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#pb-g6-symmetry-1) की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm है, जिसका केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है।

## 60.2 किसी न्यून कोण की कोज्या

**परिभाषा 60.3 (कोज्या).**

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में, किसी न्यून कोण $\theta$ के लिए:

$$
\cos\theta = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}}
$$

— यानी $\theta$ को छूती [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजा, कर्ण से भाग दी हुई। यह अनुपात सिर्फ़ कोण पर टिका है, त्रिभुज की नाप पर नहीं: एक ही न्यून कोण वाले सारे [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) एक-दूसरे के बढ़े हुए रूप हैं, और बढ़ाने से लंबाइयों के अनुपात नहीं बदलते ([अध्याय 59](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/59-midpoints-and-parallels#ch-g8-midpoints) ने यह कहानी शुरू की थी; [अध्याय 68](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#ch-g9-thales) उसे पूरा करता है)।

![एक ही कोण वाले दो समकोण त्रिभुज: छोटा वाला बड़े का घटा हुआ रूप है, इसलिए संलग्न कर्ण दोनों में एक ही रहता है — वही साझा मान है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*एक ही कोण $\theta$ वाले दो [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles): छोटा वाला बड़े का घटा हुआ रूप है, इसलिए $\frac{\text{संलग्न}}{\text{कर्ण}}$ दोनों में एक ही रहता है — वही साझा मान $\cos\theta$ है।*

**प्रतिज्ञप्ति 60.4 (पहले मान और सीमाएँ).**

हर न्यून कोण $\theta$ के लिए $0 < \cos\theta < 1$ होता है, और कोण खुलने के साथ कोज्या *घटती* जाती है: बड़ा कोण, छोटी कोज्या। याद रखने लायक़ पड़ाव: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac12$, $\cos 90^\circ = 0$ (ये सिरे वाले मान चपटे पड़ चुके त्रिभुजों के हैं)।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**विधि 60.5 (कोज्या का इस्तेमाल).**

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में, जब पता और पूछी गई राशियाँ कोई न्यून कोण, उसकी संलग्न भुजा और कर्ण हों:

1. परिभाषा लिखो: $\cos\theta = \frac{\text{संलग्न}}{\text{कर्ण}}$ , और उसमें पता मान रख दो;
2. इस छोटे [समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) को अज्ञात के लिए हल करो (गुणा या भाग करके);
3. अगर अज्ञात कोई *कोण* हो, तो निकाले हुए अनुपात पर कैलकुलेटर का $\cos^{-1}$ लगाओ;
4. मोटी जाँच: कोई लंबाई कर्ण से छोटी ही निकलनी चाहिए; और कोई कोण पक्के तौर पर $0^\circ$ तथा $90^\circ$ के बीच।

**उदाहरण 60.6 (कोई भुजा निकालना).**

$6$ m का एक ढलान ज़मीन के साथ $20^\circ$ का कोण बनाता है। उससे तय हुई आड़ी दूरी ($20^\circ$ की संलग्न, कर्ण $6$ m):

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.
$$

**उदाहरण 60.7 (कोई कोण निकालना).**

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में कोण $\theta$ की संलग्न भुजा $3.5$ नापती है और कर्ण $5$:

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 अभ्यास

**अभ्यास 60.1 ★.**

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) का कर्ण $13$ cm है। [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से खींची माध्यिका कितनी लंबी है? और तीनों [शीर्षों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से गुज़रते वृत्त की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) कितनी है?

**हल — अभ्यास 60.1.**

[समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) से खींची माध्यिका: कर्ण की आधी, यानी $6.5$ cm ([प्रमेय 60.1](#thm-g8-cosine-circle))। [परिवृत्त](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#pb-g6-symmetry-1) का केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $6.5$ cm।

**अभ्यास 60.2 ★.**

$8$ cm [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) का एक वृत्त बनाओ जिसमें $[BC]$ एक [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) हो, वृत्त पर कोई भी बिंदु $A$ चुनो और $ABC$ बनाओ। कौन-सा कोण [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है? प्रमेय का नाम लो। $AB$ और $AC$ नापकर पाइथागोरस जाँचो।

**हल — अभ्यास 60.2.**

$A$ पर कोण [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है ($[BC]$ एक [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) है: [प्रमेय 60.1](#thm-g8-cosine-circle) की बात 2)। नापों से $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ मिलता है, नापने की सटीकता तक।

**अभ्यास 60.3 ★.**

$D$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) वाले त्रिभुज $DEF$ में, कोण $\widehat E$ की संलग्न भुजा, उसके सामने वाली भुजा, और कर्ण के नाम बताओ। फिर $\cos \widehat E$ एक अनुपात के रूप में लिखो।

**हल — अभ्यास 60.3.**

कर्ण: $[EF]$ ([समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) $D$ के सामने)। $\widehat E$ की संलग्न भुजा: $[ED]$। सामने वाली: $[DF]$। इसलिए $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$।

**अभ्यास 60.4 ★.**

छूटी हुई राशि निकालो ($\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\cos 50^\circ \approx 0.643$):

1. कर्ण $10$ , कोण $35^\circ$ : संलग्न भुजा?
2. संलग्न भुजा $6$ , कोण $50^\circ$ : कर्ण?

**हल — अभ्यास 60.4.**

*1.* संलग्न भुजा $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$।

*2.* कर्ण $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$।

**अभ्यास 60.5 ★.**

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में $\theta$ की संलग्न भुजा $8$ नापती है और कर्ण $10$। $\cos\theta$ निकालो, फिर $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$)।

**हल — अभ्यास 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$, इसलिए $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$।

**अभ्यास 60.6 ★.**

समझाओ कि किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) के न्यून कोण के लिए $\cos\theta$ कभी $1.2$ क्यों नहीं हो सकता।

**हल — अभ्यास 60.6.**

$\cos\theta$ कोई [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजा कर्ण से भाग देकर मिलता है, और कर्ण [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) की *सबसे लंबी* भुजा है: इसलिए यह [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) हमेशा $1$ से छोटा होता है। $1.2$ का मतलब होता कोई [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजा कर्ण से भी लंबी — जो असंभव है।

**अभ्यास 60.7 ★★.**

$25$ m की एक ज़िप-लाइन एक मचान से ज़मीन तक उतरती है और आड़ी दिशा से $12^\circ$ का कोण बनाती है ($\cos 12^\circ \approx 0.978$)। वह आड़ी दूरी में कितनी लंबी है?

**हल — अभ्यास 60.7.**

आड़ी दूरी $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx
24.5$ m।

**अभ्यास 60.8 ★★.**

बिना कैलकुलेटर के क्रम में लगाओ: $\cos 20^\circ$, $\cos 70^\circ$, $\cos 45^\circ$ ([प्रतिज्ञप्ति 60.4](#prop-g8-cosine-bounds) इस्तेमाल करो)। फिर कैलकुलेटर से जाँचो।

**हल — अभ्यास 60.8.**

कोण बढ़ने के साथ कोज्या घटती है ([प्रतिज्ञप्ति 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)):

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(कैलकुलेटर से: $0.342 < 0.707 < 0.940$।)

**अभ्यास 60.9 ★★.**

$L$ लंबाई की एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और सीढ़ी तथा *ज़मीन* के बीच का कोण $\theta$ है। उसका पैर दीवार से $1.2$ m दूर है और $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$)। $L$ निकालो, फिर वह जितनी ऊँचाई तक पहुँचती है (पाइथागोरस से)।

**हल — अभ्यास 60.9.**

ज़मीन वाली दूरी $\theta$ की संलग्न है: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$, इसलिए $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m। ऊँचाई (पाइथागोरस से): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m।

**अभ्यास 60.10 ★★.**

$[BC]$ केंद्र $O$ और [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4.5$ cm वाले किसी वृत्त का [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) है, और $A$ उस वृत्त का एक बिंदु है जिसके लिए $AB = 5.4$ cm है।

1. $ABC$ का $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) क्यों है?
2. $AC$ निकालो, फिर $\cos \widehat B$ ।

**हल — अभ्यास 60.10.**

*1.* $A$ [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ वाले वृत्त पर है: इसलिए $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) ([प्रमेय 60.1](#thm-g8-cosine-circle))।

*2.* $BC = 9$ cm ([त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) का दुगुना)। पाइथागोरस से: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm। और $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$।

**अभ्यास 60.11 ★★★.**

भुजा $1$ के [समबाहु त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) को उसकी एक ऊँचाई के साथ काटकर [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) करो, और उससे [प्रतिज्ञप्ति 60.4](#prop-g8-cosine-bounds) वाले पड़ाव $\cos 60^\circ = \frac12$ का कारण दो। (ऊँचाई का पैर आधार पर कहाँ गिरता है? पूरा त्रिकोणमितीय रूप [उदाहरण 69.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle#ex-g9-trig-special) में है।)

**हल — अभ्यास 60.11.**

भुजा $1$ के [समबाहु त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में किसी [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से खींची ऊँचाई सामने वाली भुजा के *मध्यबिंदु* पर गिरती है ([सममिति अक्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/42-axial-symmetry#def-g6-symmetry-axis))। त्रिभुज का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) हिस्सा [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है, जिसका कर्ण $1$ है (यानी पूरी भुजा), आधार वाले [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) पर कोण $60^\circ$ है, और संलग्न भुजा $\frac12$ (यानी आधार की आधी)। इसलिए

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 समस्या: यूक्लिड के संबंध, और पाइथागोरस फिर से

**समस्या 60.1.**

सप्ताहांत समस्या — समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब: $AB^2 = BH \times BC$, $AH^2 = BH \times HC$, पाइथागोरस का दूसरा प्रमाण, और वर्गमूल बनाने वाली एक मशीन

किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) के [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) से कर्ण पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) गिराओ: यह छोटा-सा [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) — *शीर्षलंब* — ऐसे संबंध मानता है जो इतने काम के हैं कि यूक्लिड ने उन्हें अपनी *एलिमेंट्स* के बीचोंबीच रखा। इस समस्या में कोज्या का वही मूल गुण, “अनुपात सिर्फ़ कोण पर टिका है” ([परिभाषा 60.3](#def-g8-cosine-def)), उन सबको सिद्ध कर देता है; रास्ते में तुम पाइथागोरस प्रमेय को बिलकुल अलग राह से फिर से सिद्ध करोगे, और आख़िर में पैमाने-परकार की एक ऐसी मशीन बनाओगे जो हर पूर्ण संख्या $n$ के लिए $\sqrt2$, $\sqrt5$, $\sqrt{n}$ बना देती है।

पूरे समय $ABC$ ऐसा त्रिभुज है जिसका $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है, और $H$, $A$ से कर्ण $[BC]$ पर गिराए गए [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) का पैर है, यानी $H$, $B$ और $C$ के बीच पड़ता है और $AH \perp BC$ है।

**भाग I — एक कोण, दो त्रिभुज।**

1. $ABH$ और $ABC$ में त्रिभुज के कोणों के योग ( [प्रमेय 51.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-sum) ) से दिखाओ कि $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : यानी शीर्षलंब [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) को ऐसे दो छोटे त्रिभुजों में काटता है जिनके कोण असली त्रिभुज *जैसे ही* हैं।
2. त्रिभुज $ABC$ ($A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) और $ABH$ ($H$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) में कोण $\widehat B$ साझा है। दोनों में $\cos\widehat B$ लिखो, और [परिभाषा 60.3](#def-g8-cosine-def) से निकालो कि $$AB^2 = BH \times BC .$$ (बराबर अनुपातों से बराबर गुणनफलों तक जाने के लिए दोनों तरफ़ दोनों हरों से गुणा करो, [प्रमेय 57.5](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#thm-g8-equations-balance)।)
3. [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $C$ पर वैसा ही जुड़वाँ संबंध लिखो और सिद्ध करो: $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. $3$ – $4$ – $5$ वाला त्रिभुज लो: $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ । सवाल 2 और 3 से $BH$ तथा $CH$ निकालो, और जाँचो कि $BH + HC = BC$ ।
5. आम तौर पर, $BH$ और $CH$ को सिर्फ़ तीनों भुजाओं वाली भिन्नों के रूप में लिखो। किस अर्थ में पैर $H$ कर्ण को “ [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजाओं के वर्गों के [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) में” बाँटता है?

**भाग II — पाइथागोरस फिर से, और शीर्षलंब।**

6. सवाल 2 और 3 के संबंध जोड़ो और $BH + HC = BC$ इस्तेमाल करके निकालो $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ यानी पाइथागोरस प्रमेय ([प्रमेय 58.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#thm-g8-pythagoras-direct)), फिर से सिद्ध — और इस बार कहीं कोई [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) वाली पहेली नहीं ([अभ्यास 58.11](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#exo-g8-pythagoras-11) से तुलना करो)।
7. छोटे त्रिभुज $ABH$ में पाइथागोरस लगाकर $AH^2 = AB^2 - BH^2$ लिखो, $AB^2$ की जगह $BH \times BC$ रखो, और $BH$ बाहर निकालकर *यूक्लिड का शीर्षलंब-संबंध* सिद्ध करो: $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. $ABC$ का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) दो तरह से निकालो — [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानकर, फिर कर्ण को आधार मानकर ([प्रमेय 53.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#thm-g7-areas-triangle)) — और इससे तीसरा संबंध निकालो: $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. फिर $3$ – $4$ – $5$ वाले त्रिभुज पर लौटो: सवाल 8 से $AH$ निकालो, फिर सवाल 4 में मिले $BH$ तथा $CH$ के मानों से सवाल 7 वाला शीर्षलंब-संबंध संख्याओं में जाँचो।
10. किसी [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में शीर्षलंब का पैर कर्ण को [रेखाखंडों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $BH = 2$ cm और $HC = 8$ cm में बाँटता है। शीर्षलंब $AH$ निकालो।

**भाग III — वर्गमूल बनाने वाली मशीन।** एक [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[BC]$ बनाओ जो सिरे से सिरे जोड़े गए दो टुकड़ों से बना हो: $BH = p$ और $HC = q$। [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ वाला [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) वृत्त बनाओ, और मान लो $A$ वह बिंदु है जहाँ $H$ पर $(BC)$ का [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) उस आधे वृत्त से मिलता है।

11. [प्रमेय 60.1](#thm-g8-cosine-circle) से समझाओ कि त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) क्यों है — और इसलिए सवाल 7 लागू होता है तथा $$AH^2 = p \times q .$$ (लंबाई $AH$ को $p$ और $q$ का *गुणोत्तर माध्य* कहते हैं।)
12. $p = 1$ और $q = 2$ लो। $AH^2$ क्या है? [उदाहरण 58.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) वाली कौन-सी मशहूर लंबाई तुम्हारी पैमाने-परकार वाली आकृति ने अभी-अभी बना दी?
13. वह नुस्ख़ा बताओ जो किसी भी पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए $\sqrt n$ लंबाई का [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) बना देता है, और बताओ कि $p$ तथा $q$ के किस चुनाव से $\sqrt 5$ बनता है।
14. मान लो $O$ आधे वृत्त का केंद्र है। समझाओ कि $AH$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ से कभी ज़्यादा क्यों नहीं हो सकता, और $H$ की किस जगह पर दोनों बराबर होते हैं।
15. इससे यह असमिका निकालो: सभी धन संख्याओं $p$ और $q$ के लिए $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ और बराबरी ठीक तब जब $p = q$ हो। फिर उसे बिना किसी ज्यामिति के दोबारा सिद्ध करो: $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ फैलाओ और उसमें कोई उल्लेखनीय सर्वसमिका पहचानो ([समस्या 57.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1))।

**हल — समस्या 60.1.**

**1.** $H$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) वाले त्रिभुज $ABH$ में कोणों का योग ([प्रमेय 51.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/51-triangles-and-angles#thm-g7-triangles-sum)) देता है $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$, इसलिए $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$। और $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) वाले त्रिभुज $ABC$ में: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$, इसलिए $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$। यानी $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$: दोनों छोटे त्रिभुज असली त्रिभुज के कोण $\widehat B$, $\widehat C$, $90^\circ$ दोहरा देते हैं।

**2.** $ABC$ ($A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) में $\widehat B$ की संलग्न भुजा $AB$ है और कर्ण $BC$: इसलिए $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$। और $ABH$ ($H$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) में $\widehat B$ की संलग्न भुजा $BH$ है और कर्ण $AB$: इसलिए $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$। यह अनुपात सिर्फ़ कोण पर टिका है ([परिभाषा 60.3](#def-g8-cosine-def)), इसलिए

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

दोनों तरफ़ $BC \times AB$ से गुणा करने पर ([प्रमेय 57.5](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#thm-g8-equations-balance)): $AB^2 = BH \times BC$।

**3.** त्रिभुज $ABC$ ($A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) और $ACH$ ($H$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)) में कोण $\widehat C$ साझा है। दोनों में संलग्न भुजा बटा कर्ण:

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** $AB^2 = BH \times BC$ यानी $9 = BH \times 5$, इसलिए $BH = 1.8$; और $16 = CH \times 5$ से $CH = 3.2$। जाँच: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — और ऐसा होना ही था, क्योंकि $H$ कर्ण पर $B$ और $C$ के बीच पड़ता है।

**5.** दोनों संबंधों को $BC$ से भाग देने पर:

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

यानी $BH$ और $CH$, $AB^2$ तथा $AC^2$ के [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/44-proportionality-and-data#def-g6-propdata-def) हैं: शीर्षलंब का पैर कर्ण को [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजाओं के वर्गों के अनुपात में बाँटता है (सवाल 4 में $1.8 : 3.2 = 9 : 16$)।

**6.** दोनों संबंध जोड़कर और $BC$ बाहर निकालकर (वितरण नियम से):

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

यह [प्रमेय 58.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#thm-g8-pythagoras-direct) ही है, और वह सिर्फ़ कोज्या से आ गया — [अभ्यास 58.11](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#exo-g8-pythagoras-11) वाली चार-त्रिभुज [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) पहेली से सचमुच अलग प्रमाण।

**7.** $ABH$ में पाइथागोरस ($H$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles), कर्ण $[AB]$): $AH^2 = AB^2 - BH^2$। $AB^2$ की जगह $BH \times BC$ रखकर (सवाल 2) और $BH$ बाहर निकालकर:

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानने पर $ABC$ का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac{AB \times AC}{2}$ है; और कर्ण $[BC]$ को आधार मानने पर ऊँचाई ठीक $AH$ है, इसलिए [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\frac{BC \times AH}{2}$ भी है ([प्रमेय 53.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#thm-g7-areas-triangle))। दोनों बराबर रखकर और दुगुना करने पर: $AB \times AC = BC \times AH$।

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5}
= 2.4$। सवाल 7 की जाँच: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ और $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$। बराबर।

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$, इसलिए $AH = \sqrt{16} = 4$ cm।

**11.** बिंदु $A$ [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ वाले वृत्त पर पड़ता है (और $B$ तथा $C$ से अलग है), इसलिए [प्रमेय 60.1](#thm-g8-cosine-circle) की बात 2 से त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है। और रचना से $(AH) \perp (BC)$ है, $H$ के $B$ तथा $C$ के बीच होते हुए: यानी [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AH]$ ठीक सवाल 7 वाला शीर्षलंब है, और $AH^2 = BH \times HC = p \times q$।

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$: यह आकृति सिर्फ़ पैमाने और परकार से ऐसा [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) बना देती है जिसका वर्ग $2$ है — यानी इकाई वर्ग का विकर्ण, $\sqrt2 \approx 1.414$, जो [उदाहरण 58.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) में मिला था।

**13.** नुस्ख़ा: $p = 1$ और $q = n$ लंबाइयों के दो [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) सिरे से सिरे रखो; पूरे [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) (लंबाई $n + 1$) को [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) मानकर [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) वृत्त बनाओ; जोड़ वाले बिंदु पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खड़ा करो; वह आधे वृत्त से जिस बिंदु पर मिलता है उसकी जोड़ वाले बिंदु से दूरी $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ होती है। $\sqrt5$ के लिए: $p = 1$ और $q = 5$ लो (यानी [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $6$ का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) वृत्त)।

**14.** $A$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर है, इसलिए $OA = \frac{p+q}{2}$, यानी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes)। अगर $H \neq O$ हो तो त्रिभुज $AHO$ का $H$ पर [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) है और उसका कर्ण $[OA]$ है, और कोई [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजा कर्ण से छोटी होती है: इसलिए $AH < OA$। और अगर $H = O$ हो तो $AH = OA$ ठीक-ठीक। हर हाल में $AH \leq \frac{p+q}{2}$, और बराबरी ठीक तब जब $H$ केंद्र पर हो — यानी जब $p = q$।

**15.** $AH \leq \frac{p+q}{2}$ का वर्ग करके (दोनों तरफ़ धन हैं) और $AH^2 = pq$ इस्तेमाल करके:

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

और बराबरी ठीक $p = q$ पर। बीजगणित से दोबारा प्रमाण, उल्लेखनीय सर्वसमिकाओं से ([समस्या 57.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#pb-g8-equations-1)):

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

जो एक वर्ग है, इसलिए कभी ऋण नहीं होता — और ठीक $p = q$ पर [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) होता है। यानी दो संख्याओं का [गुणोत्तर माध्य](#pb-g8-cosine-1) उनके आधे योग से कभी ज़्यादा नहीं होता।