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title: "पिरामिड और शंकु"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones
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# अध्याय 62 — पिरामिड और शंकु

[अध्याय 53](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#ch-g7-areas) वाले [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) और [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) — यानी हर जगह एक जैसी काट वाले [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) — के बाद अब आते हैं नोक वाले [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def): [पिरामिड](#def-g8-solids-def) और [शंकु](#def-g8-solids-def)। उनके [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) के सूत्र में एक मशहूर गुणक $\frac13$ बैठा है, जिसे यह अध्याय मानने लायक़ बनाता है और इस्तेमाल करता है; [ठोसों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) की पढ़ाई [अध्याय 70](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/70-solids-and-volumes#ch-g9-solids) में गोलों और काटों के साथ आगे बढ़ती है।

## 62.1 पिरामिड और शंकु का ब्योरा

**परिभाषा 62.1 (पिरामिड, शंकु).**

- *पिरामिड* का *आधार* एक [बहुभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) होता है और एक बिंदु, *शिखर* , जो आधार के हर [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से त्रिभुजाकार फलकों से जुड़ा होता है। उसकी *ऊँचाई* शिखर से आधार के तल तक की दूरी है।
- *शंकु* वही रचना है, बस चक्र के ऊपर: एक आधार-चक्र, एक शिखर, और एक घुमावदार बग़ली सतह।

पिरामिड *सम* तब कहलाता है जब उसका आधार एक सम [बहुभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) हो (वर्ग, [समबाहु त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles), …) और उसका शिखर आधार के केंद्र के ठीक ऊपर बैठा हो।

![वर्गाकार आधार वाला एक पिरामिड और एक शंकु: एक बहुभुजाकार या वृत्ताकार आधार, एक शिखर, और आधार पर लंब नापी गई ऊँचाई।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-99b97733aed4.svg)

*वर्गाकार आधार वाला एक [पिरामिड](#def-g8-solids-def) और एक [शंकु](#def-g8-solids-def): एक बहुभुजाकार या वृत्ताकार आधार, एक शिखर, और आधार पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) नापी गई ऊँचाई।*

**उदाहरण 62.2 (फलक, किनारे और शीर्ष गिनना).**

वर्गाकार आधार वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) के $5$ [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ($1$ वर्ग $+ 4$ त्रिभुज), $8$ [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) और $5$ [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) होते हैं। $n$ भुजाओं वाले आधार पर: $n + 1$ [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $2n$ [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $n + 1$ [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)। ऑयलर का नन्हा ढर्रा जाँचो: [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $+$ [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $=$ [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $+ 2$।

## 62.2 आयतन

**प्रमेय 62.3 (पिरामिड या शंकु का आयतन).**

आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $B$ और ऊँचाई $h$ वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) या [शंकु](#def-g8-solids-def) के लिए:

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— यानी उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) या [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) का एक तिहाई। आधार-त्रिज्या $r$ वाले [शंकु](#def-g8-solids-def) के लिए: $V = \frac13 \pi r^2 h$।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 62.4 (एक तिहाई क्यों?).**

किसी खोखले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) को पानी से भरो और उसी आधार तथा ऊँचाई वाले [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) में उँडेलो: ठीक तीन बार भरना पड़ता है। और भी अच्छी बात: किसी [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को तीन एक जैसे पिरामिडों में काटा जा सकता है, और हर एक का आधार [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का कोई [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) होता है तथा शिखर [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का कोई [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) (मन में चित्र बनाने की कोशिश करो!)। आम प्रमाण समाकलन माँगता है, जो हाई-स्कूल खंड का औज़ार है।

**उदाहरण 62.5.**

किसी [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का वर्गाकार आधार $5$ cm भुजा का है और ऊँचाई $9$ cm:

1. आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) : $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
2. [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ ।

$3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $10$ cm ऊँचाई वाला एक कुल्फ़ी का [शंकु](#def-g8-solids-def):

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ cm}^3 .
$$

**उदाहरण 62.6 (ऊँचाई से सावधान).**

[शंकु](#def-g8-solids-def) में ऊँचाई $h$ (शिखर से आधार के केंद्र तक, [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)) को *तिरछी ऊँचाई* $s$ (शिखर से किनार तक) से मत उलझाओ। दोनों शिखर–केंद्र–किनार वाले [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) में पाइथागोरस ([प्रमेय 58.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#thm-g8-pythagoras-direct)) से जुड़े हैं:

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

इसलिए जिस [शंकु](#def-g8-solids-def) में $r = 3$ और $s = 5$ हो उसकी ऊँचाई $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ है, और [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$।

**विधि 62.7 (आयतन वाली समस्याएँ).**

1. [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) पहचानो ( [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) / [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ; [पिरामिड](#def-g8-solids-def) / [शंकु](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ );
2. पहले, अलग क़दम के तौर पर, आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $B$ निकालो;
3. जाँचो कि ऊँचाई आधार पर [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) है (तिरछी ऊँचाई दी हो तो पाइथागोरस लगाओ);
4. गुणा करो, मात्रक एक जैसे रखो, और ज़रूरत हो तो आख़िर में बदल लो ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ )।

## 62.3 जाल

**उदाहरण 62.8 (पिरामिड का जाल).**

वर्गाकार आधार वाले सम [पिरामिड](#def-g8-solids-def) को खोलने पर वह चपटा होकर अपना *जाल* बन जाता है: बीच में वर्गाकार आधार और उसकी भुजाओं से जुड़े चार एक जैसे [समद्विबाहु त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles)। इन त्रिभुजों की बराबर भुजाएँ [पिरामिड](#def-g8-solids-def) के *बग़ली [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)* हैं — और उनकी लंबाई न $h$ है और न किसी [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) की तिरछी ऊँचाई, इसलिए गत्ता काटने से पहले नाप ध्यान से लिख लो।

![वर्गाकार आधार वाले पिरामिड का जाल: चारों त्रिभुजों को तब तक ऊपर मोड़ो जब तक उनके शिखर आपस में न मिल जाएँ।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-d44f75016d7a.svg)

*वर्गाकार आधार वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का जाल: चारों त्रिभुजों को तब तक ऊपर मोड़ो जब तक उनके शिखर आपस में न मिल जाएँ।*

## 62.4 अभ्यास

**अभ्यास 62.1 ★.**

त्रिभुजाकार आधार वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) (*चतुष्फलक*) के कितने [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) और [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) होते हैं? और षट्भुजाकार आधार वाले के?

**हल — अभ्यास 62.1.**

चतुष्फलक: $4$ [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $6$ [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $4$ [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$)। षट्भुजाकार आधार: $7$ [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $12$ [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $7$ [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$)।

**अभ्यास 62.2 ★.**

$36$ cm$^2$ आधार-क्षेत्रफल और $10$ cm ऊँचाई वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो; और $6 \times 4$ cm के आयताकार आधार तथा $7.5$ cm ऊँचाई वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का।

**हल — अभ्यास 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm$^3$.

आयताकार आधार: $B = 24$ cm$^2$, इसलिए $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm$^3$।

**अभ्यास 62.3 ★.**

$5$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $9$ cm ऊँचाई वाले [शंकु](#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो ($\pi$ के साथ ठीक मान, फिर cm$^3$ तक गोल)।

**हल — अभ्यास 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm$^3$.

**अभ्यास 62.4 ★.**

एक [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) और एक [शंकु](#def-g8-solids-def) की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) एक ही, $4$ cm, है और ऊँचाई भी एक ही, $12$ cm। दोनों के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो। उनका अनुपात क्या है?

**हल — अभ्यास 62.4.**

[बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm$^3$। [शंकु](#def-g8-solids-def): $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm$^3$। अनुपात: [शंकु](#def-g8-solids-def) [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) का एक तिहाई है।

**अभ्यास 62.5 ★.**

किसी [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $56$ cm$^3$ और ऊँचाई $8$ cm है। उसके आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) क्या है? ([आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का सूत्र लिखकर हल करो।)

**हल — अभ्यास 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$, इसलिए $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm$^2$।

**अभ्यास 62.6 ★.**

किसी [शंकु](#def-g8-solids-def) का जाल बनाओ (आधार के लिए एक चक्र, और बग़ली सतह के लिए किसी बड़े चक्र की एक फाँक)। उस फाँक की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) [शंकु](#def-g8-solids-def) की कौन-सी नाप है: ऊँचाई $h$ या तिरछी ऊँचाई $s$?

**हल — अभ्यास 62.6.**

बग़ली सतह खुलकर एक चक्र-फाँक बन जाती है, जिसकी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) *तिरछी ऊँचाई* $s$ होती है (शिखर से किनार तक की दूरी — वह [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) सतह पर ही पड़ता है), ऊँचाई $h$ नहीं।

**अभ्यास 62.7 ★★.**

लूव्र के [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का वर्गाकार आधार क़रीब $35$ m भुजा का है और ऊँचाई क़रीब $22$ m। उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) नज़दीकी सौ [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) मीटर तक अंदाज़ो।

**हल — अभ्यास 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ — यानी क़रीब $9\,000$ [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) मीटर।

**अभ्यास 62.8 ★★.**

किसी [शंकु](#def-g8-solids-def) की तिरछी ऊँचाई $13$ cm और आधार-त्रिज्या $5$ cm है। उसकी ऊँचाई निकालो, फिर [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) ($\pi$ के साथ ठीक मान)।

**हल — अभ्यास 62.8.**

ऊँचाई: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm। [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm$^3$।

**अभ्यास 62.9 ★★.**

$4$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $9$ cm ऊँचाई वाला एक शंक्वाकार गिलास [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) तक भरा जाता है, फिर $4$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले एक बेलनाकार गिलास में उँडेल दिया जाता है। [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) में तरल कितनी ऊँचाई तक पहुँचता है?

**हल — अभ्यास 62.9.**

[त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) एक ही है, इसलिए *एक ही ऊँचाई पर* [शंकु](#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का एक तिहाई होता है: तरल [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) में $\frac{9}{3} = 3$ cm तक पहुँचता है।

**अभ्यास 62.10 ★★.**

एक बालू-घड़ी दो एक जैसे शंकुओं ([त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm, ऊँचाई $4.5$ cm) से बनी है, जो अपने शिखरों पर जुड़े हैं। सारी बालू ठीक एक [शंकु](#def-g8-solids-def) भर देती है। बालू का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो (ठीक मान, फिर cm$^3$ में दशमलव के एक अंक तक गोल), और यह भी कि बालू घड़ी के कुल भीतरी [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का कितना भाग घेरती है।

**हल — अभ्यास 62.10.**

बालू $=$ एक [शंकु](#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi
\approx 18.8$ cm$^3$। घड़ी में ऐसे दो [शंकु](#def-g8-solids-def) समाते हैं, इसलिए बालू कुल भीतरी [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का ठीक [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) भरती है।

**अभ्यास 62.11 ★★★.**

$6$ cm आधार-भुजा वाले एक वर्गाकार-आधार [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का शिखर आधार के एक कोने के ठीक ऊपर, $8$ cm ऊँचाई पर है।

1. क्या सूत्र $V = \frac13 Bh$ अब भी लागू होता है? (हाँ, होता है — शिखर का बीचोंबीच होना ज़रूरी नहीं। $V$ निकालो।)
2. शिखर से आधार के सामने वाले कोने तक जाते सबसे लंबे बग़ली [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) की लंबाई निकालो (पाइथागोरस दो बार: पहले आधार का विकर्ण)।

**हल — अभ्यास 62.11.**

*1.* हाँ: सूत्र $V = \frac13 Bh$ शिखर की किसी भी जगह के लिए चलता है, बशर्ते $h$ आधार-तल तक की [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) दूरी हो। $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm$^3$।

*2.* आधार का विकर्ण: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm। सबसे लंबा बग़ली [किनारा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) उस [समकोण त्रिभुज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) का कर्ण है जिसकी [समकोण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#def-g6-shapes-triangles) भुजाएँ $6\sqrt2$ (आधार-तल में) और $8$ (खड़ी) हैं:

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ cm}.
$$

## 62.5 समस्या: तीन पिरामिडों में कटा हुआ घन

**समस्या 62.1.**

सप्ताहांत समस्या — वह गुणक $\frac13$ आता कहाँ से है, और आधी ऊँचाई पर कटे पिरामिड का क्या होता है

[प्रमेय 62.3](#thm-g8-solids-volume) के बाद वाली टिप्पणी दावा करती है कि किसी [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को तीन एक जैसे पिरामिडों में काटा जा सकता है — “मन में चित्र बनाने की कोशिश करो!”। यह समस्या वह चित्र ठीक-ठीक बनाती है, उसी से मशहूर गुणक $\frac13$ ईमानदारी से निकालती है, फिर उसी [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को दूसरी तरह *छह* पिरामिडों में काटती है, और आख़िर में किसी [पिरामिड](#def-g8-solids-def) को उसकी आधी ऊँचाई पर काटती है — ऐसे नतीजे के साथ जो पहली बार में कम ही लोग ठीक बता पाते हैं।

पूरे समय $ABCDEFGH$ भुजा $a$ का एक [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) है: आधार $ABCD$, ऊपरी [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $EFGH$, जिसमें $E$, $A$ के ऊपर है, $F$, $B$ के ऊपर, $G$, $C$ के ऊपर और $H$, $D$ के ऊपर।

**भाग I — एक ही शिखर वाले तीन [पिरामिड](#def-g8-solids-def)।**

1. [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $G$ [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के तीन फलकों में पड़ता है। उन तीन फलकों की सूची बनाओ जिनमें $G$ *नहीं* है, और उन तीन पिरामिडों का ब्योरा दो जो हर बार शिखर $G$ रखकर इनमें से एक-एक को आधार मानने पर बनते हैं। हर [पिरामिड](#def-g8-solids-def) के कितने [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) , [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) और [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) हैं ( [उदाहरण 62.2](#ex-g8-solids-count) )?
2. समझाओ कि [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को उसके लंबे विकर्ण $(AG)$ के चारों ओर एक तिहाई चक्कर घुमाने से [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ज्यों का त्यों क्यों रहता है, पर सवाल 1 के तीनों आधार आपस में चक्र में बदल जाते हैं — और इसलिए तीनों [पिरामिड](#def-g8-solids-def) एक-दूसरे की एक जैसी नक़लें क्यों हैं।
3. यह मानते हुए कि तीनों [पिरामिड](#def-g8-solids-def) [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को बिना एक-दूसरे पर चढ़े भर देते हैं (गत्ते का नमूना काफ़ी क़ायल कर देता है), हर एक का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो।
4. इसे [प्रमेय 62.3](#thm-g8-solids-volume) के सूत्र से मिलाकर जाँचो: आधार $ABCD$ और शिखर $G$ वाले [पिरामिड](#def-g8-solids-def) का शिखर उसके आधार के एक *कोने* के ठीक ऊपर है, ठीक वैसे ही जैसे [अभ्यास 62.11](#exo-g8-solids-11) में। उसकी ऊँचाई पहचानो, सूत्र लगाओ, और तुलना करो।
5. $6$ cm भुजा वाले [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के लिए तीनों पिरामिडों में से हर एक का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) बताओ — और समझाओ कि इस टुकड़ों में बाँटने का अध्याय वाले पानी उँडेलने के प्रयोग (एक [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के लिए [पिरामिड](#def-g8-solids-def) को तीन बार भरना) से क्या नाता है।

**भाग II — केंद्र वाले छह [पिरामिड](#def-g8-solids-def)।** अब मान लो $O$ [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का केंद्र है, और $O$ को छहों फलकों में से हर एक के चारों [शीर्षों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से जोड़ो।

6. इससे बनने वाले छह पिरामिडों का ब्योरा दो, और समझाओ कि वे एक-दूसरे की एक जैसी नक़लें क्यों हैं। हर एक की ऊँचाई क्या है?
7. [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) बाँटकर छहों पिरामिडों में से हर एक का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो।
8. वही [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) सूत्र $V = \frac13 B h$ से दोबारा निकालो, और जाँचो कि दोनों उत्तर मिलते हैं।
9. ये दोनों बँटवारे कुछ बहुत ख़ास पिरामिडों के लिए गुणक $\frac13$ की पुष्टि करते हैं। समझाओ कि वे हर [पिरामिड](#def-g8-solids-def) और [शंकु](#def-g8-solids-def) के लिए [प्रमेय 62.3](#thm-g8-solids-volume) अभी तक *सिद्ध* क्यों नहीं करते — और बताओ कि अध्याय इस कमी से कैसे निपटता है: कौन-सा कथन मान लिया गया है, कौन-सा प्रयोग उसका साथ देता है, और श्रृंखला के किस खंड में उसे ईमानदारी से सिद्ध किया जाता है।
10. $6$ cm भुजा वाला [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) अपने छह केंद्र-पिरामिडों में काटा जाता है। हर एक का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) दोनों तरीक़ों से निकालो।

**भाग III — [पिरामिड](#def-g8-solids-def) को आधी ऊँचाई पर काटना।** $SABCD$ वर्गाकार आधार वाला एक सम [पिरामिड](#def-g8-solids-def) है: आधार-भुजा $c$, ऊँचाई $h$, और शिखर $S$ आधार के केंद्र के ऊपर। उसे उस तल से काटो जो चारों बग़ली [किनारों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$ के *मध्यबिंदुओं* से गुज़रता है।

11. त्रिभुज $SAB$ में मध्यबिंदु प्रमेय ( [प्रमेय 59.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct) ) लगाओ: $[SA]$ और $[SB]$ के मध्यबिंदुओं को जोड़ते [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) की दिशा और लंबाई क्या है? इससे निकालो कि यह काट भुजा $\frac{c}{2}$ का एक वर्ग है, जो आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) है और ऊँचाई $\frac{h}{2}$ पर बैठा है।
12. काट के ऊपर वाला टुकड़ा ख़ुद एक वर्गाकार-आधार [पिरामिड](#def-g8-solids-def) है। उसकी आधार-भुजा और ऊँचाई बताओ, और दिखाओ कि उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) असली [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $V$ का ठीक *एक बटा आठ* है।
13. इससे नीचे वाले टुकड़े ( *छिन्नक* , यानी अधूरे [पिरामिड](#def-g8-solids-def) की शक्ल) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो। आधी ऊँचाई वाली काट [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) को किस अनुपात में बाँटती है?
14. लूव्र का [पिरामिड](#def-g8-solids-def) ( [अभ्यास 62.7](#exo-g8-solids-7) : आधार-भुजा $35$ m, ऊँचाई $22$ m) दो चरणों में साफ़ किया जाता है: पहले आधी ऊँचाई से ऊपर का काँच, फिर नीचे का। आधी ऊँचाई से नीचे *[आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume)* का कितना भाग बैठता है? उसे [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) मीटर में, नज़दीकी सौ तक, अंदाज़ो।
15. आम सीख: अगर किसी [पिरामिड](#def-g8-solids-def) की *सारी* नापें $2$ से गुणा कर दी जाएँ तो उसके [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का क्या होता है? और हर नाप $k$ से गुणा करने पर [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) कितने गुना बढ़ता है — तथा इससे सवाल 12 वाला “एक बटा आठ” एक पंक्ति में कैसे समझ आ जाता है?

**हल — समस्या 62.1.**

**1.** $G$ ऊपरी [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $EFGH$ में और दोनों बग़ली फलकों $BCGF$ तथा $DCGH$ में पड़ता है। जिन तीन फलकों में $G$ *नहीं* है वे हैं नीचे वाला $ABCD$, सामने वाला $ABFE$ और बाईं ओर वाला $ADHE$ (तीनों में [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $A$ साझा है, यानी $G$ के सामने वाला कोना)। तीनों [पिरामिड](#def-g8-solids-def) हैं $ABCDG$, $ABFEG$ और $ADHEG$: हर एक का आधार [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का कोई वर्गाकार [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) है और शिखर दूर वाला [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) $G$। हर एक वर्गाकार-आधार [पिरामिड](#def-g8-solids-def) है: $5$ [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $8$ [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), $5$ [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ([उदाहरण 62.2](#ex-g8-solids-count))।

**2.** लंबा विकर्ण $[AG]$ उन्हीं दो [शीर्षों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को जोड़ता है जो तीनों आधारों में से किसी में नहीं हैं। रेखा $(AG)$ के चारों ओर एक तिहाई चक्कर का घुमाव [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को उसी पर भेज देता है ($A$ से निकलते तीनों [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) — $B$, $D$, $E$ की ओर — आपस में चक्र में बदल जाते हैं, और $G$ पर आते तीनों [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) भी)। वह आधार $ABCD$ को $ADHE$ पर, फिर $ADHE$ को $ABFE$ पर, और फिर वापस ले जाता है: शिखर $G$ पर टिके रहते हैं और आधार चक्र में घूमते हैं। इस तरह हर [पिरामिड](#def-g8-solids-def) अगले पर चला जाता है: यानी तीनों एक जैसी नक़लें हैं।

**3.** [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को भरने वाले तीन एक जैसे टुकड़े उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) बराबर-बराबर बाँट लेते हैं:

$$
V_{\text{पिरामिड}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** [पिरामिड](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ का आधार $ABCD$ है, जिसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $a^2$ है, और उसका शिखर $G$ कोने $C$ के ठीक ऊपर, ऊँचाई $CG = a$ पर बैठा है (यानी [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का एक खड़ा [किनारा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def))। [अभ्यास 62.11](#exo-g8-solids-11) की तरह सूत्र [लंब](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) ऊँचाई $h = a$ के साथ लागू होता है:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

जो सवाल 3 से पूरी तरह मेल खाता है — यानी बँटवारा और सूत्र एक-दूसरे की पुष्टि कर देते हैं।

**5.** $a = 6$ के लिए: हर एक का $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$। पानी उँडेलने वाला प्रयोग इसी बँटवारे का तरल रूप है: आधार $ABCD$ पर ऊँचाई $a$ वाला [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) ख़ुद [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) ही है, और उसमें ठीक तीन बार [पिरामिड](#def-g8-solids-def) भरकर डालना पड़ता है — यहाँ तो वे तीनों भराव ज्यामिति में जुड़कर [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) भी बना देते हैं।

**6.** केंद्र $O$ को हर [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के चारों कोनों से जोड़ने पर छह [पिरामिड](#def-g8-solids-def) बनते हैं, हर [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) पर एक: वर्गाकार आधार, शिखर $O$। केंद्र छहों फलकों के सापेक्ष एक जैसा बैठा है ([घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) का कोई भी घुमाव या सममिति $O$ को वहीं रखती है और फलकों को आपस में बदल देती है), इसलिए छहों [पिरामिड](#def-g8-solids-def) एक जैसे हैं। हर एक की ऊँचाई $O$ से किसी [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) तक की दूरी है: यानी भुजा की आधी, $\frac{a}{2}$।

**7.** छह एक जैसे टुकड़े [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को बाँट लेते हैं: हर एक का $V = \frac{a^3}{6}$।

**8.** सूत्र से: आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $a^2$, ऊँचाई $\frac a2$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

दोनों उत्तर मिल जाते हैं।

**9.** दोनों बँटवारे [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) में से तराशे गए बहुत ख़ास अनुपातों वाले पिरामिडों से जुड़े हैं; कोई पतला [पिरामिड](#def-g8-solids-def), कोई टेढ़ा [पिरामिड](#def-g8-solids-def), या कोई [शंकु](#def-g8-solids-def) इस तरह नहीं जोड़ा जा सकता (तीन [शंकु](#def-g8-solids-def) किसी [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) को नहीं भरते)। इसीलिए इस स्तर पर [प्रमेय 62.3](#thm-g8-solids-volume) *मान ली* जाती है: बँटवारे और पानी उँडेलने वाला प्रयोग $\frac13$ को पूरी तरह मानने लायक़ बना देते हैं, और ईमानदार आम प्रमाण — यानी समाकलन — हाई-स्कूल खंड में दिया गया है।

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; और सूत्र से, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$। दोनों मिलते हैं।

**11.** त्रिभुज $SAB$ में भुजाओं $[SA]$ और $[SB]$ के मध्यबिंदुओं को जोड़ता [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $(AB)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) होता है और उसकी लंबाई $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ होती है ([प्रमेय 59.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct))। यही हर बग़ली [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) पर होता है, इसलिए चारों मध्यबिंदु भुजा $\frac c2$ का एक वर्ग बनाते हैं, जिसकी भुजाएँ आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं। और शिखर से गुज़रती खड़ी रेखा पर यह काट ऊँचाई के मध्यबिंदु से गुज़रती है (फिर वही मध्यबिंदु प्रमेय, $S$, आधार के केंद्र और आधार के किसी [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) वाले त्रिभुज में): यानी काटने वाला तल ऊँचाई $\frac h2$ पर बैठता है।

**12.** ऊपर वाला टुकड़ा ख़ुद आधार-भुजा $\frac c2$ और ऊँचाई $\frac h2$ वाला वर्गाकार-आधार सम [पिरामिड](#def-g8-solids-def) है (उसका आधार वही काट है और शिखर $S$)। उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) है

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

एक बटा आठ — यानी [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) नहीं।

**13.** छिन्नक के हिस्से बाक़ी सब आता है: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$। आधी ऊँचाई वाली काट [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) को $1 : 7$ के अनुपात में बाँटती है — यानी नीचे वाले मामूली दिखते हिस्से में ऊपर की नोक से सात गुना [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) है।

**14.** आधी ऊँचाई से नीचे [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का $\frac78$ भाग पड़ता है। और $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx
8\,983$ m$^3$ ([अभ्यास 62.7](#exo-g8-solids-7)) के साथ:

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ m}^3
$$

नज़दीकी सौ तक — यानी “नीचे वाला [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half)” चरण ऊपर वाले से क़रीब आठ गुना काँच-आयतन साफ़ करता है।

**15.** हर नाप दुगुनी करने से आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $2^2 = 4$ गुना और ऊँचाई $2$ गुनी हो जाती है, इसलिए [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $4 \times 2 = 8 = 2^3$ गुना। $k$ से बढ़ाने पर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $k^2$ गुने होते हैं और एक और लंबाई $k$ गुनी: यानी [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $k^3$ के गुणक से बढ़ता है। सवाल 12 वाला ऊपरी टुकड़ा पूरे [पिरामिड](#def-g8-solids-def) की $k = \frac12$ वाली बढ़ाई-घटाई नक़ल है, इसलिए उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) पूरे का $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ है — यही एक पंक्ति वाली व्याख्या है।