--- title: "भिन्नें और घातें" book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित" subject: math language: hi chapter: 63 exercises: 10 source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers --- # अध्याय 63 — भिन्नें और घातें भिन्नें और घातें रोज़ की गणना के औज़ार हैं: राशियाँ बाँटना, अनुपात तुलना करना, बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याएँ लिखना। यह अध्याय उनके साथ गणना करने के नियम पक्के करता है — और हर बीच का क़दम लिखकर — तथा [वैज्ञानिक लेखन](#def-g9-fractions-scientific) से परिचय कराता है। ## 63.1 भिन्नों के साथ गणना **परिभाषा 63.1 (भिन्न).** *भिन्न* $\dfrac ab$ ($b \neq 0$ के साथ) $a$ में $b$ का [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) है। दो भिन्नें तब बराबर होती हैं जब एक को दूसरी से, [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) और हर दोनों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा (या भाग) करके पाया जा सके: $$ \frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0). $$ **उदाहरण 63.2.** $\dfrac{42}{56}$ को क़दम दर क़दम सरल करो: $$ \frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 . $$ ([अध्याय 64](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#ch-g9-arith) में महत्तम समापवर्तक यही काम एक ही क़दम में कर देगा।) **विधि 63.3 (भिन्नें जोड़ना और घटाना).** 1. दोनों भिन्नों को एक *उभयनिष्ठ हर* पर लाओ (यानी दोनों हरों का कोई उभयनिष्ठ [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) ); 2. [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) जोड़ो या घटाओ, और हर वही रहने दो; 3. हो सके तो उत्तर को सरल करो। **उदाहरण 63.4.** $\dfrac56 + \dfrac34$ निकालो। $6$ और $4$ का एक उभयनिष्ठ हर $12$ है: $$ \frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}. $$ $2 - \dfrac37$ निकालो। $2$ को $7$ के ऊपर [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) की तरह लिखो: $$ 2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}. $$ ![उभयनिष्ठ हर क्यों: दोनों पूरों को 12 बराबर ख़ानों में काट देने पर भिन्नें तुलने और जुड़ने लायक़ हो जाती हैं — दोनों मिलकर 10 + 9 = 19 बारहवें भाग।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-97d388c9da2d.svg) *उभयनिष्ठ हर क्यों: दोनों पूरों को $12$ बराबर ख़ानों में काट देने पर भिन्नें तुलने और जुड़ने लायक़ हो जाती हैं — दोनों मिलकर $10 + 9 = 19$ बारहवें भाग।* **विधि 63.5 (भिन्नों का गुणा और भाग).** 1. गुणा करने के लिए [अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) आपस में और हर आपस में गुणा करो: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (जहाँ हो सके, गुणा करने से *पहले* सरल कर लो); 2. भाग देने के लिए [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) के [व्युत्क्रम](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/55-fractions-all-four-operations#def-g8-fractions-inverse) से गुणा करो: $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ । **उदाहरण 63.6.** $$ \frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56, $$ जहाँ हमने पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड $7$ से, फिर $5$ से सरल किया। और अब एक भाग: $$ \frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 . $$ ## 63.2 घातें **परिभाषा 63.7 (घात).** किसी वास्तविक संख्या $a$ और किसी धन पूर्णांक $n$ के लिए *घात* $a^n$, $a$ के बराबर $n$ गुणकों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) है: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ गुणक}} . $$ यह तय किया गया है कि $a^0 = 1$ ($a \neq 0$ के लिए), और ऋण [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) [व्युत्क्रम](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/55-fractions-all-four-operations#def-g8-fractions-inverse) दिखाते हैं: $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **उदाहरण 63.8.** $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$; $(-3)^2 = 9$ पर $-3^2 = -(3^2) = -9$ ([घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) ऋण चिह्न से पहले लगता है); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$; $5^1 = 5$ और $5^0 = 1$। **प्रमेय 63.9 (घातांक के नियम).** सभी शून्येतर $a$, $b$ और सभी पूर्णांकों $m$, $n$ के लिए: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **उपपत्ति.** धन घातांकों के लिए गुणक गिन लो। पहले नियम के लिए: $a^m \times a^n$ में $a$ के $m$ गुणकों के बाद $a$ के $n$ गुणक आते हैं, यानी कुल $m + n$ गुणक। तीसरे के लिए: $\left(a^m\right)^n$ में $m$ गुणकों का गुच्छा $n$ बार दोहराया जाता है, यानी $mn$ गुणक। बाक़ी दोनों नियम भी वैसे ही हैं; और [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) तथा ऋण घातांकों तक बढ़ाव $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ से जाँच लिया जाता है (और इसी से $a^0 = 1$ अकेला निभने वाला चुनाव बन जाता है, क्योंकि $a^n \times a^0$ को $a^{n+0} = a^n$ होना ही है)। ∎ **उदाहरण 63.10.** क़दम दर क़दम सरल करो: $$ \frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 . $$ और दो अक्षरों के साथ: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$। ## 63.3 दस की घातें और वैज्ञानिक लेखन **प्रतिज्ञप्ति 63.11 (दस की घातें).** किसी धन पूर्णांक $n$ के लिए: $10^n$ को “$1$ के बाद $n$ [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero)” लिखा जाता है, और $10^{-n} = 0.0\dots01$ होता है जिसमें $1$ दशमलव के $n$-वें स्थान पर बैठता है। किसी [दशमलव संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) को $10^n$ (या $10^{-n}$) से गुणा करने पर उसका [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) $n$ स्थान दाईं (या बाईं) ओर सरक जाता है। **परिभाषा 63.12 (वैज्ञानिक लेखन).** किसी धन [दशमलव संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-places) का *वैज्ञानिक लेखन* उसे इस रूप में लिखने का अकेला तरीक़ा है $$ a \times 10^n, \qquad\text{जहाँ } 1 \leq a < 10 \text{ और } n \text{ एक पूर्णांक।} $$ **उदाहरण 63.13.** पृथ्वी–सूर्य की दूरी क़रीब $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km है। पानी के एक अणु का आकार क़रीब $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m है। ऐसी संख्याओं के साथ गणना करने के लिए दशमलव वाले हिस्से आपस में और दस की घातें आपस में जमा लो: $$ (3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}. $$ **विधि 63.14 (किसी संख्या को वैज्ञानिक लेखन में लिखना).** 1. [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) को पहले शून्येतर अंक के ठीक बाद सरका दो; इससे गुणक $a$ मिल जाता है, जिसके लिए $1 \leq a < 10$ ; 2. गिनो कि बिंदु कितने स्थान सरका: वही [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) $n$ है, और वह धन होती है अगर असली संख्या $\geq 10$ थी, तथा ऋण अगर वह $< 1$ थी; 3. जाँचो: $a \times 10^n$ से असली संख्या वापस बननी चाहिए। ## 63.4 अभ्यास **अभ्यास 63.1 ★.** निकालो और उत्तर पूरी तरह सरल की हुई [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के रूप में दो: $$ \frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 . $$ **हल — अभ्यास 63.1.** $\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$. $\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$. $\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$. $3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$. **अभ्यास 63.2 ★.** निकालो और सरल करो: $$ \frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 . $$ **हल — अभ्यास 63.2.** $\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ ($9$ से और $5$ से सरल किया)। $\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$. $\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ ($3$ और $4$ कट जाते हैं)। **अभ्यास 63.3 ★.** गणना करो: $$ 2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 . $$ **हल — अभ्यास 63.3.** $2^5 = 32$; $(-2)^4 = 16$; $-2^4 = -16$; $4^{-2} = \frac{1}{16}$; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$; $7^0 = 1$. **अभ्यास 63.4 ★.** एक ही [घात](#def-g9-fractions-power) के रूप में लिखो: $$ 5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 . $$ **हल — अभ्यास 63.4.** $5^3 \times 5^6 = 5^9$; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$. **अभ्यास 63.5 ★.** [वैज्ञानिक लेखन](#def-g9-fractions-scientific) में लिखो: $45\,000$; $0.0072$; $302.5$; $0.000\,000\,9$; एक करोड़ बीस लाख। **हल — अभ्यास 63.5.** $45\,000 = 4.5 \times 10^4$; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$; $302.5 = 3.025 \times 10^2$; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$; एक करोड़ बीस लाख $= 1.2 \times 10^7$। **अभ्यास 63.6 ★★.** निकालो, और उत्तर [वैज्ञानिक लेखन](#def-g9-fractions-scientific) में दो: $$ (2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 . $$ **हल — अभ्यास 63.6.** $(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$. $\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7$. $(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$. **अभ्यास 63.7 ★★.** एक टंकी $\frac35$ भरी है। $30$ लीटर और डालने पर वह $\frac34$ भर जाती है। टंकी की [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) क्या है? (पहले टंकी का वह भाग निकालो जो डाला गया।) **हल — अभ्यास 63.7.** डाला गया पानी टंकी का $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ भाग है। यानी [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) का $\frac{3}{20}$ भाग $30$ लीटर है: तब $\frac{1}{20}$ भाग $10$ लीटर हुआ, और [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) $200$ लीटर। **अभ्यास 63.8 ★★.** ऐलिस एक केक का $\frac14$ खाती है, फिर बेन जो बचा उसका $\frac13$ खाता है, फिर कार्ला जो अब भी बचा उसका $\frac12$। आख़िर में केक का कितना भाग बचा? (हर क़दम के बाद बचा हुआ हिस्सा निकालो।) **हल — अभ्यास 63.8.** ऐलिस के बाद: केक का $1 - \frac14 = \frac34$ भाग बचता है। बेन $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ खाता है, और $\frac34 - \frac14 = \frac12$ बचता है। कार्ला उसका [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half), यानी $\frac14$, खाती है, और केक का $\frac14$ भाग बच जाता है। **अभ्यास 63.9 ★★.** प्रकाश हर सेकंड $3 \times 10^8$ मीटर चलता है। सूर्य क़रीब $1.5 \times 10^{11}$ m दूर है। सूरज की रोशनी हम तक पहुँचने में कितना समय लेती है? उत्तर सेकंड में दो ([वैज्ञानिक लेखन](#def-g9-fractions-scientific) की ज़रूरत नहीं), फिर मिनट और सेकंड में। **हल — अभ्यास 63.9.** समय $= \dfrac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ सेकंड, यानी $8$ मिनट $20$ सेकंड। **अभ्यास 63.10 ★★★.** कौन बड़ा है, $2^{30}$ या $3^{20}$? (संकेत: $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ से दोनों को [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) $10$ वाली घातों के रूप में लिखो, और $2^3$ की $3^2$ से तुलना करो।) **हल — अभ्यास 63.10.** दोनों संख्याओं को [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) $10$ वाली घातों के रूप में लिखो: $$ 2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}. $$ और $8 < 9$ है, इसलिए दोनों की दस-दस नक़लें गुणा करने पर $8^{10} < 9^{10}$, यानी $2^{30} < 3^{20}$। ## 63.5 समस्या: आवर्ती दशमलवों का गुप्त कूट **समस्या 63.1.** सप्ताहांत समस्या — हर भिन्न का दशमलव लेखन या तो रुक जाता है या दोहराता है, हर आवर्ती दशमलव एक भिन्न है, और $0.999\ldots$ ठीक $1$ के बराबर है $3$ में $11$ का भाग दो और अंक एक जाप में बदल जाते हैं: $0.272727\ldots$ हमेशा-हमेशा। और $1$ में $4$ का भाग दो तो अंक ठप हो जाते हैं: $0.25$। यह समस्या सिद्ध करती है कि किसी [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के लिए यही दो बरताव संभव हैं — और फिर मशीन उलट देती है: कोई भी आवर्ती दशमलव दो, वह उसके पीछे छिपी [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) वापस बना देती है। रास्ते में वह स्कूली गणित की सबसे झगड़ालू बराबरी का फ़ैसला भी हमेशा के लिए कर देती है। **भाग I — [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) से दशमलव तक।** 1. लंबे भाग से $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ और $\frac{3}{11}$ के दशमलव लेखन निकालो। कौन रुक जाते हैं, कौन दोहराते हैं, और दोहराने वाला गुच्छा क्या है? 2. समझाओ कि *किसी भी* [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) $\frac ab$ का दशमलव लेखन या तो रुकना क्यों पड़ेगा या आख़िरकार दोहराना। ( $b$ से लंबे भाग में लगातार [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) कौन-कौन से मान ले सकते हैं? और जिस पल कोई [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) दूसरी बार आता है, तब क्या होता है?) 3. $1$ में $7$ का भाग इतनी दूर तक ले जाओ कि दोहराने वाला गुच्छा मिल जाए। वह कितना लंबा है, और उस लंबाई की तुलना सवाल 2 में वादा की गई सीमा से कैसी है? 4. कुछ भिन्नें इसलिए रुक जाती हैं कि उनका हर बढ़ाकर दस की [घात](#def-g9-fractions-power) बनाया जा सकता है: $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ । यह कसौटी समझाओ, और यह भी कि कोई भी पूर्ण-संख्या गुणक $3$ , $6$ या $11$ को $10$ , $100$ , $1000, \dots$ में कभी क्यों नहीं बदल सकता ( [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) किस अंक पर ख़त्म होता?)। 5. बिना भाग दिए $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ और $\frac{33}{50}$ को “रुकती हैं” तथा “दोहराती हैं” में बाँटो, फिर जो दोनों रुकती हैं उनका दशमलव लेखन बताओ। **भाग II — आवर्ती दशमलव से वापस [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) तक।** 6. सरकाने वाली तरकीब। मान लो $x = 0.7777\ldots$ है। $10x$ निकालो, फिर $10x - x$ , और इससे $x$ [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के रूप में निकालो। भाग देकर जाँचो। 7. मान लो $x = 0.727272\ldots$ है। दस की कौन-सी [घात](#def-g9-fractions-power) $x$ को ठीक एक दोहराने वाले गुच्छे जितना सरकाती है? उसी से $x$ को सबसे सरल [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के रूप में लिखो। 8. एक मिली-जुली स्थिति: $x = 0.58333\ldots$ (सिर्फ़ $3$ दोहराता है)। $1000x - 100x$ निकालो और इससे $x$ को सबसे सरल [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के रूप में निकालो। 9. और वह मशहूर वाला: सरकाने वाली तरकीब $x = 0.9999\ldots$ पर लगाओ। तुम्हें कौन-सी [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) — कौन-सी *संख्या* — मिलती है? इस नतीजे को अपनी समझ से मिलाओ, और [समस्या 38.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#pb-g6-decimals-1) वाले भूतिया पड़ोसी तथा [समस्या 39.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#pb-g6-fractions-1) वाले सिकुड़ते शेष को याद रखो: क्या $0.999\ldots$ , $1$ से “ज़रा-सा नीचे” है, या $1$ का ही दूसरा नाम? 10. $2.454545\ldots$ और $0.123123123\ldots$ को सबसे सरल भिन्नों में बदलो। **भाग III — शब्दकोश पूरा।** 11. सवाल 6–10 एक शब्दकोश की ओर इशारा करते हैं: [दशमलव बिंदु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) से ही दोहराने वाला $k$ अंकों का गुच्छा उसी गुच्छे को $k$ नौ के ऊपर लिखने के बराबर है ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ )। इस शब्दकोश से $0.037037\ldots$ की [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) बताओ, उसे सरल करो — और चकित हो जाओ: कौन-सी हैरान कर देने वाली सरल [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) “ $037$ ” का जाप करती है? भाग देकर जाँचो। 12. शब्दकोश को एक सरकाव के साथ मिलाओ: $0.0272727\ldots$ को सबसे सरल [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के रूप में लिखो। 13. संख्या $0.101001000100001\ldots$ (एक $1$ , फिर एक $0$ , फिर एक $1$ , फिर दो $0$ , फिर एक $1$ , फिर तीन $0$ , और ऐसे ही आगे) कभी रुकती नहीं। क्या यह आवर्ती दशमलव है? तब भाग I उसके बारे में क्या कहता है — क्या वह कोई [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) हो सकती है? (तुम्हारी पहली सिद्ध *अपरिमेय* संख्या से मुलाक़ात हो चुकी; सबसे मशहूर अपरिमेय [अध्याय 65](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/65-square-roots#ch-g9-sqrt) में पकड़ी जाती है।) 14. $2^{30}$ में मोटे तौर पर कितने अंक हैं? $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ और [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) के नियमों ( [प्रमेय 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) से $2^{30}$ को (लगभग) [वैज्ञानिक लेखन](#def-g9-fractions-scientific) में लिखो, और नतीजा निकालो। ( [अभ्यास 63.10](#exo-g9-fractions-10) से तुलना करो।) 15. आख़िरी दाँव: $0.20262026\ldots$ को [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) के रूप में लिखो, और पूरी समस्या की दोतरफ़ा सीख लिखो: कौन-से दशमलव लेखन भिन्नें हैं, और किन भिन्नों के कौन-से दशमलव लेखन होते हैं? **हल — समस्या 63.1.** **1.** $\frac14 = 0.25$ (रुक जाती है); $\frac13 = 0.333\ldots$ (गुच्छा $3$); $\frac56 = 0.8333\ldots$ ($8$ के बाद गुच्छा $3$); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (गुच्छा $27$)। **2.** $b$ से भाग के हर क़दम पर [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0, 1, \dots, b - 1$ इन $b$ मानों में से कोई एक होता है ([प्रमेय 37.7](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#thm-g6-wholes-division))। अगर कभी [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ आ गया तो भाग रुक जाता है। नहीं तो ज़्यादा से ज़्यादा $b$ क़दमों में कोई [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) दूसरी बार आना ही पड़ेगा — क़दम संभव शेषफलों से ज़्यादा हैं — और उसी पल से भाग ठीक वही अंक दोहराने लगता है जो उसने पहली बार के बाद बनाए थे: दशमलव लेखन हमेशा के लिए चक्र में पड़ जाता है। रुकना या दोहराना: तीसरा बरताव है ही नहीं। **3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: गुच्छा $142857$ छह अंकों का है। सवाल 2 ने ज़्यादा से ज़्यादा $7$ क़दमों में दोहराव का वादा किया था — और यहाँ [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1, 3, 2, 6, 4, 5$ सब के सब आ जाते हैं, तब कहीं $1$ लौटता है: यानी $7$ से भाग का सबसे लंबा संभव जाप। **4.** $\frac ab$ ठीक तब रुकती है जब किसी $\frac{a \times k}{b \times k}$ का हर $10$, $100$, $1000, \dots$ हो — यानी जब हर को गुणा करके दस की [घात](#def-g9-fractions-power) बनाया जा सके, जैसे $4 \times 25 = 100$ या $8 \times 125 = 1\,000$। $3$ और $6$ के लिए यह नामुमकिन है: दस की किसी भी [घात](#def-g9-fractions-power) के अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $1$ होता है, जबकि $3$ के हर [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) के अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $3$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) होता है — इसलिए $3$ का (और तब $6$ का भी) कोई [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) कभी $10$, $100$, $1\,000, \dots$ नहीं बनता। और $11$ के लिए: $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$ में $11$ का भाग हमेशा कोई [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) छोड़ता है ($10$, $1$, $10$, $1, \dots$), कभी $0$ नहीं। दस की [घात](#def-g9-fractions-power) तक पहुँचने वाले हर रुक जाते हैं; बाक़ी सब दोहराते हैं। **5.** $\frac{9}{40}$: $40 \times 25 = 1\,000$, रुकती है: $\frac{225}{1000} = 0.225$। $\frac{33}{50}$: $50 \times 2 = 100$, रुकती है: $\frac{66}{100} = 0.66$। $\frac{5}{12}$: $12$, $3$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) है, इसलिए दोहराती है ($0.41666\ldots$)। **6.** $10x = 7.777\ldots$, इसलिए $10x - x = 7$ (पूँछें ठीक-ठीक कट जाती हैं), $9x = 7$ और $x = \frac79$। भाग से जाँच: $7 \div 9 = 0.777\ldots$ **7.** गुच्छा दो अंकों का है, इसलिए $100$ से सरकाओ: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, यानी $99x = 72$ और $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$। **8.** $1000x = 583.333\ldots$ और $100x = 58.333\ldots$; घटाने पर $900x = 525$, इसलिए $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ ($75$ से भाग देकर)। और सचमुच $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$ **9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, इसलिए $9x = 9$ और $x = 1$। यह $1$ से “ज़रा-सा नीचे” नहीं है: $0.999\ldots$ वही संख्या $1$ *है*, बस दूसरे भेस में। $1$ से पक्के तौर पर नीचे कोई भी संख्या एक झिरी छोड़ देती है, और [समस्या 38.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#pb-g6-decimals-1) ने दिखाया था कि किसी भी झिरी में और संख्याएँ पड़ी होती हैं — जबकि $0.999\ldots$ और $1$ के बीच कुछ समाता ही नहीं। कभी न ख़त्म होने वाले नौ [समस्या 39.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/39-fractions-first-steps#pb-g6-fractions-1) वाली चॉकलेट का बचा हुआ हिस्सा हैं, जो हर धन मात्रा से भी नीचे सिकुड़ चुका है: कुछ बचा ही नहीं। **10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$। और $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ ($3$ से भाग देकर)। **11.** शब्दकोश से: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$। और $999 = 27 \times 37$ है, इसलिए यह सरल होकर $\frac{1}{27}$ बन जाती है: यानी [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ ही “$037$” का जाप करती है। भाग से जाँच: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$ **12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ ($9$ से भाग देकर)। **13.** शून्यों के गुच्छे बिना रुके बढ़ते जाते हैं, इसलिए कोई तयशुदा गुच्छा हमेशा नहीं दोहरा सकता: यह आवर्ती दशमलव *नहीं* है (और रुकती भी नहीं)। भाग I से हर [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) या तो रुकती है या दोहराती है — इसलिए यह संख्या कोई [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) है ही नहीं: यह अपरिमेय है, और जान-बूझकर ऐसी बनाई गई है। अपरिमेयता का महानायक, $\sqrt2$, [अध्याय 65](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/65-square-roots#ch-g9-sqrt) में बेनक़ाब होता है। **14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: यानी $10^9$ से ज़रा-सी बड़ी संख्या, इसलिए उसमें $10$ अंक हैं। (ठीक-ठीक: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$।) **15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, और यह पहले से ही सबसे सरल रूप में है ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ का $2026 = 2 \times 1013$ के साथ कोई गुणनखंड साझा नहीं है)। पूरा शब्दकोश: *भिन्नें ठीक वही दशमलव हैं जो या तो रुक जाते हैं या दोहराते हैं* — दस के दोस्त बने हर रुक जाते हैं, बाक़ी सब कोई न कोई गुच्छा जपते हैं; और उलटे तरफ़ से हर जाप, चाहे वह तुम्हारा पास होने का साल ही क्यों न हो, भेस बदली हुई [भिन्न](#def-g9-fractions-fraction) है।