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title: "वर्गमूल"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 65
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/65-square-roots
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# अध्याय 65 — वर्गमूल

भुजा $1$ वाले वर्ग का विकर्ण कितना लंबा है? पाइथागोरस प्रमेय जवाब देता है $\sqrt 2$ — वह संख्या जिसका वर्ग $2$ है, और जो आख़िर में कोई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) निकलती ही नहीं। यह अध्याय [वर्गमूल](#def-g9-sqrt-def) की परिभाषा देता है, उनके साथ गणना के नियम पक्के करता है, और $\sqrt{75}$ जैसे व्यंजकों को सरल करना सिखाता है।

## 65.1 परिभाषा और पहले गुण

**परिभाषा 65.1 (वर्गमूल).**

मान लो $a \geq 0$ है। $a$ का *वर्गमूल*, जिसे $\sqrt a$ लिखा जाता है, वह अकेली *अऋणात्मक* संख्या है जिसका वर्ग $a$ हो:

$$
\sqrt a \geq 0
\qquad\text{और}\qquad
\left(\sqrt a\right)^2 = a .
$$

ऋण संख्याओं का कोई वर्गमूल नहीं होता, क्योंकि हर वर्ग अऋणात्मक होता है।

**उदाहरण 65.2.**

$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt 0 = 0$, $\sqrt 1 = 1$, $\sqrt{2.25} = 1.5$। सबसे पहले जो [वर्गमूल](#def-g9-sqrt-def) याद कर लेने चाहिए वे *पूर्ण वर्गों* के हैं: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121, 144$।

![इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय से √12 + 12 = √2 1.414 होती है ( उसे याद दिलाता है)। यह संख्या अपरिमेय है: इसके दशमलव कभी नहीं दोहराते।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-e4c870763528.svg)

*इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय से $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ होती है ([अध्याय 69](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/69-trigonometry-in-the-right-triangle#ch-g9-trig) उसे याद दिलाता है)। यह संख्या अपरिमेय है: इसके दशमलव कभी नहीं दोहराते।*

**प्रतिज्ञप्ति 65.3 (वर्ग का वर्गमूल).**

हर वास्तविक संख्या $x$ के लिए (चाहे वह धन हो या न हो):

$$
\sqrt{x^2} = \abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{अगर } x \geq 0,\\
-x & \text{अगर } x < 0 .
\end{cases}
$$

**उपपत्ति.** संख्या $\abs{x}$ अऋणात्मक है और उसका वर्ग $x^2$ है (किसी संख्या और उसकी [विपरीत संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/46-negative-numbers#def-g7-negatives-def) का वर्ग एक ही होता है)। $x^2$ वर्ग वाली अऋणात्मक संख्या अकेली होती है, इसलिए वही $\sqrt{x^2}$ है। ∎

**उदाहरण 65.4.**

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$: [वर्गमूल](#def-g9-sqrt-def) चिह्न को “भूल” जाता है, वापस नहीं लाता। ख़ास तौर पर ऋण $x$ के लिए $\sqrt{x^2} = x$ लिखना *ग़लत* है।

## 65.2 वर्गमूलों के गुणनफल और भागफल

**प्रमेय 65.5 (गुणा और भाग के नियम).**

सभी $a \geq 0$ और $b \geq 0$ के लिए:

$$
\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b,
\qquad\text{और } b > 0 \text{ के लिए:}\quad
\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .
$$

**उपपत्ति.** संख्या $\sqrt a \times \sqrt b$ अऋणात्मक है (अऋणात्मक संख्याओं का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)), और उसका वर्ग है

$$
\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2
= \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2
= a b .
$$

$ab$ वर्ग वाली अऋणात्मक संख्या अकेली होती है, इसलिए वह $\sqrt{ab}$ के बराबर है। भाग वाला नियम भी इसी तरह सिद्ध होता है। ∎

**टिप्पणी 65.6 (योग के लिए ऐसा कोई नियम नहीं!).**

$\sqrt{a + b}$ आम तौर पर $\sqrt a + \sqrt b$ *नहीं* होता:

$$
\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\qquad\text{पर}\qquad
\sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .
$$

**विधि 65.7 (n\sqrt nn​ को सरल करना).**

किसी पूर्णांक के [वर्गमूल](#def-g9-sqrt-def) को सरल करने के लिए:

1. $n$ का [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) बनने वाला सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढ़ो (ज़रूरत हो तो $n$ का गुणनखंडन कर लो);
2. [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) वाले नियम से टुकड़े करो और वर्ग बाहर निकालो: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
3. जाँचो कि मूल के नीचे जो बचा है उसका कोई पूर्ण वर्ग [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) न रह गया हो।

**उदाहरण 65.8.**

$\sqrt{75}$ को सरल करो: चूँकि $75 = 25 \times 3$ है,

$$
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .
$$

$\sqrt{72}$ को सरल करो: चूँकि $72 = 36 \times 2$ है, इसलिए $\sqrt{72} = 6\sqrt2$। और एक [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$।

**उदाहरण 65.9 (वर्गमूल जोड़ना).**

वर्गमूलों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) तभी सरल होते हैं जब मूल *एक जैसे* हों। $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ निकालो, और पहले हर पद सरल करो:

$$
\begin{align*}
\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\
\sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\
\sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3,
\end{align*}
$$

इसलिए [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ है।

**उदाहरण 65.10 (वर्गमूलों के साथ प्रसार).**

बीजगणित की सर्वसमिकाएँ वर्गमूलों पर भी लगती हैं। $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ से $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ का प्रसार करो:

$$
\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .
$$

और तीसरी सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ से:

$$
\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :
$$

दो अपरिमेय संख्याओं का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) पूर्णांक हो सकता है।

## 65.3 समीकरण $x^2 = a$

**प्रमेय 65.11 (x2=ax^2 = ax2=a हल करना).**

1. अगर $a > 0$ हो, तो [समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) $x^2 = a$ के ठीक दो हल होते हैं: $\sqrt a$ और $-\sqrt a$ ;
2. अगर $a = 0$ हो, तो अकेला हल $0$ है;
3. अगर $a < 0$ हो, तो कोई हल नहीं है।

**उपपत्ति.** $a \geq 0$ होने पर $x^2 = a$ को $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ लिखो, और वर्गों के [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) की तरह गुणनखंड करो:

$$
\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,
$$

इसलिए $x = \sqrt a$ या $x = -\sqrt a$ ($a = 0$ पर ये दोनों एक ही हो जाते हैं)। और $a < 0$ पर कोई हल नहीं है, क्योंकि हर $x$ के लिए $x^2 \geq 0 > a$ होता है। ∎

![परवलय y = x2 पर x2 = 3 हल करना: आड़ी रेखा y = 3 उसे x = -√3 और x = √3 पर काटती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-57ab6201daa2.svg)

*परवलय $y = x^2$ पर $x^2 = 3$ हल करना: आड़ी रेखा $y = 3$ उसे $x = -\sqrt3$ और $x = \sqrt3$ पर काटती है।*

**उदाहरण 65.12.**

$x^2 = 16$: हल $4$ और $-4$। $x^2 = 5$: हल $\sqrt5$ और $-\sqrt5$ (ठीक-ठीक मान; $\sqrt5
\approx 2.236$)। $x^2 = -9$: कोई हल नहीं। $3x^2 = 21$: पहले $3$ से भाग दो, $x^2 = 7$, हल $\pm\sqrt7$।

## 65.4 अभ्यास

**अभ्यास 65.1 ★.**

कैलकुलेटर के बिना निकालो:

$$
\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad
\sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad
\sqrt{(-4)^2} .
$$

**हल — अभ्यास 65.1.**

$\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (क्योंकि $0.3^2 = 0.09$); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$.

**अभ्यास 65.2 ★.**

सरल करो:

$$
\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .
$$

**हल — अभ्यास 65.2.**

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$.

**अभ्यास 65.3 ★.**

निकालो और सरल करो:

$$
\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad
\sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .
$$

**हल — अभ्यास 65.3.**

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}}
= \dfrac25$.

**अभ्यास 65.4 ★.**

हल करो: $x^2 = 36$; $x^2 = 11$; $x^2 + 4 = 0$; $2x^2 = 50$।

**हल — अभ्यास 65.4.**

$x^2 = 36$: $x = 6$ या $x = -6$।

$x^2 = 11$: $x = \sqrt{11}$ या $x = -\sqrt{11}$।

$x^2 + 4 = 0$ यानी $x^2 = -4 < 0$: कोई हल नहीं।

$2x^2 = 50$: $x^2 = 25$, इसलिए $x = 5$ या $x = -5$।

**अभ्यास 65.5 ★.**

एक ही पद में समेटो: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$, फिर $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$।

**हल — अभ्यास 65.5.**

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$.

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2
= (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$.

**अभ्यास 65.6 ★★.**

प्रसार करो और सरल करो:

$$
\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad
\left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad
\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).
$$

**हल — अभ्यास 65.6.**

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9
= 29 - 12\sqrt5$.

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$.

**अभ्यास 65.7 ★★.**

एक वर्गाकार खेत का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $6400$ m$^2$ है। उसकी भुजा कितनी लंबी है? और उसका विकर्ण (पहले ठीक-ठीक मान, फिर निकटतम मीटर तक गोल किया हुआ)?

**हल — अभ्यास 65.7.**

भुजा: $\sqrt{6400} = 80$ m। विकर्ण (पाइथागोरस से): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m।

**अभ्यास 65.8 ★★.**

दिखाओ कि $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ है ([अंश](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) और हर दोनों को $\sqrt2$ से गुणा करो)। इसी तरकीब से $\dfrac{6}{\sqrt3}$ और $\dfrac{10}{\sqrt5}$ को हर में [वर्गमूल](#def-g9-sqrt-def) के बिना लिखो।

**हल — अभ्यास 65.8.**

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2}
= \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$.

**अभ्यास 65.9 ★★.**

सही या ग़लत? प्रमाण या प्रतिउदाहरण से कारण बताओ।

1. सभी $a, b \geq 0$ के लिए: $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ ।
2. सभी $a, b \geq 0$ के लिए: $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ ।
3. सभी $x$ के लिए: $\sqrt{x^2} = x$ ।
4. $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ ।

**हल — अभ्यास 65.9.**

*1. सही*: यह [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) वाला नियम है ([प्रमेय 65.5](#thm-g9-sqrt-rules))।

*2. ग़लत*: $\sqrt{9 + 16} = 5$ है पर $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$।

*3. ग़लत* ऋण $x$ के लिए: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$। सही कथन $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ है।

*4. सही*: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$।

**अभ्यास 65.10 ★★★.**

मान लो $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ है। $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ निकालो, और इससे $x$ का सरल रूप निकालो। वही सवाल $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ के लिए ($\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ जैसे वर्ग की ओर बढ़ो, और चिह्न का ध्यान रखो)।

**हल — अभ्यास 65.10.**

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$। इसलिए $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (यह अऋणात्मक संख्या है, इसलिए मूल सिर्फ़ वर्ग हटा देता है)।

इसी तरह $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$, और $\sqrt5 - 2 > 0$ है, इसलिए $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ ($2 - \sqrt5$ नहीं, जो ऋण है!)।

## 65.5 समस्या: वह संख्या जो भिन्न नहीं है

**समस्या 65.1.**

सप्ताहांत समस्या — $\sqrt2$ के अपरिमेय होने का वह पौराणिक प्रमाण, उसके कई भाई-बंधु, और उसका लगभग मान निकालने की हेरॉन की हैरान कर देने वाली अच्छी तरकीब

इकाई वर्ग का विकर्ण एकदम असली लंबाई है — तुमने उसे [उदाहरण 58.9](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#ex-g8-pythagoras-diagonal) में खींचा भी था — और फिर भी, जैसा पाइथागोरस के अनुयायियों ने क़रीब पच्चीस सदी पहले अपने आतंक के साथ खोजा, *कोई भी [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction)* उसे नाप नहीं सकती। किंवदंती कहती है कि इस खोज की सज़ा डुबोकर दी गई थी। यह समस्या तुम्हें उस अमर प्रमाण से गुज़ार देती है (चार सवाल, और वह ज़िंदगी भर के लिए तुम्हारा), शिकारों की [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) बढ़ाती है, और उस तरकीब पर ख़त्म होती है जिससे कारीगर दो हज़ार साल तक इस बेक़ाबू संख्या को क़ाबू में करते रहे।

**भाग I — वह प्रमाण।**

1. पहले उसे घेरो: सीमाओं के वर्ग निकालकर जाँचो कि $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ है, फिर कि $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ है। एक अंक और: $\sqrt2$ तीन दशमलव वाली किन दो संख्याओं के बीच है?
2. अब — विरोधाभास के लिए — मान लो कि किसी *सबसे सरल रूप* वाली [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) ( [विधि 64.16](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#met-g9-arith-simplify) ) के लिए $\sqrt2 = \frac ab$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करो और दिखाओ कि $a^2 = 2 b^2$ है। $a^2$ सम है या विषम?
3. [समस्या 58.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#pb-g8-pythagoras-1) के सम-विषम तथ्य कहते हैं: [विषम संख्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) के वर्ग विषम होते हैं। इससे नतीजा निकालो कि $a$ सम है, $a = 2k$ लिखो, रखकर देखो — और दिखाओ कि $b$ को भी सम होना पड़ेगा।
4. विरोधाभास कहाँ है? नतीजा निकालो, और प्रमेय पूरी तरह लिखो: *$\sqrt2$ अपरिमेय है — वह पूर्ण संख्याओं का कोई [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) नहीं है* ।
5. प्रमाण एक बार, चुपके से, “सबसे सरल रूप” शब्दों पर टिका था। ठीक वह क़दम बताओ जो उनके बिना ढह जाता, और यह भी समझाओ कि सबसे सरल रूप मान लेना पहले से ही जायज़ क्यों था।

**भाग II — शिकार बढ़ते जाते हैं।**

6. अभाज्य गुणनखंडनों वाली दूसरी शैली का प्रमाण ( [प्रमेय 64.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#thm-g9-arith-factorization) ): $a^2 = 3b^2$ में दोनों पक्षों पर *$3$ के [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def)* का सम-विषम होना भिड़ाओ ( [समस्या 64.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#pb-g9-arith-1) : वर्गों के [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) सम होते हैं)। नतीजा निकालो कि $\sqrt3$ अपरिमेय है।
7. किसी आम पूर्ण संख्या $n$ के लिए $a^2 = n b^2$ पर वही [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) वाला तर्क चलाओ: किन $n$ के लिए वह विरोधाभास खड़ा करता है, और किनके लिए नाकाम रहता है? पूरा नतीजा लिखो: $\sqrt n$ ठीक तब अपरिमेय होता है जब …
8. ढाल वाली प्रमेयिका सिद्ध करो: किसी शून्येतर परिमेय संख्या और किसी अपरिमेय संख्या का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) अपरिमेय होता है। (मान लो $r x = q$ है, जहाँ $r, q$ परिमेय हैं और $r \neq 0$ ; अब $x$ निकालो।) इससे नतीजा निकालो कि $2\sqrt2$ और $\frac{\sqrt2}{2}$ अपरिमेय हैं।
9. सिद्ध करो कि $1 + \sqrt2$ अपरिमेय है। फिर वह सुंदर वाला: मान लो $s = \sqrt2 + \sqrt3$ परिमेय होता; $s^2$ निकालो, $\sqrt6$ को अलग करो, और विरोधाभास ढूँढ़ो।
10. अब जोश थोड़ा ठंडा करो: दो ऐसी अपरिमेय संख्याएँ बताओ जिनका *[योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)* परिमेय हो, और दो ऐसी जिनका *[गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def)* परिमेय हो। (अंकगणित अपरिमेयता को बचाकर नहीं रखता — हर हालत का अपना प्रमाण चाहिए।)

**भाग III — हेरॉन की तरकीब।** कैलकुलेटरों से दो हज़ार साल पहले सिकंदरिया के हेरॉन ने $\sqrt2$ का लगभग मान ऐसे निकाला: *कोई $x$ अंदाज़ो; उस अंदाज़े की जगह $x$ और $\frac2x$ का औसत रख दो; यही दोहराते रहो।*

11. अंदाज़े $x = 1$ से शुरू करो और अगले दो अंदाज़े ठीक-ठीक भिन्नों के रूप में निकालो।
12. तीसरा अंदाज़ा भी ठीक-ठीक [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) के रूप में निकालो, और उसका दशमलव मान भी। सवाल 1 से तुलना करो: $\sqrt2$ के कितने दशमलव अभी से सही हैं?
13. तरकीब के पीछे का विचार: [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $2$ वाले जिस आयत की एक भुजा $x$ है, उसकी दूसरी भुजा $\frac2x$ होती है। दिखाओ कि $\sqrt2$ हमेशा $x$ और $\frac2x$ के *बीच* रहता है (दोनों हालतें $x^2 > 2$ और $x^2 < 2$ देखो), इसलिए दोनों भुजाओं का औसत लेना आयत को वर्ग की ओर दबाता है।
14. अंदाज़ों $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ में एक रत्न छिपा है: $3^2 - 2 \times 2^2$ निकालो, फिर $17^2 - 2 \times 12^2$ , फिर $577^2 - 2 \times 408^2$ । भाग I ने सिद्ध किया कि $a^2 - 2b^2 = 0$ नामुमकिन है — हेरॉन की भिन्नें उस नामुमकिन के कितने पास पहुँचती हैं?
15. समापन, दो वाक्यों में: इकाई वर्ग का विकर्ण काग़ज़ पर मौजूद है, कोई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) उसे नापती नहीं, और उसका दशमलव लेखन कभी दोहरा नहीं सकता ( [समस्या 63.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#pb-g9-fractions-1) )। तो संख्या रेखा में कैसी “नई संख्याएँ” होनी ही चाहिए — और इस श्रृंखला में उनकी पूरी कहानी कहाँ कही गई है?

**हल — समस्या 65.1.**

**1.** $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$। तीन दशमलव: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$, इसलिए $1.414 < \sqrt2 < 1.415$।

**2.** $\sqrt2 = \frac ab$ का वर्ग करने पर $2 = \frac{a^2}{b^2}$, यानी $a^2 = 2b^2$: संख्या $a^2$ किसी पूर्ण संख्या की दुगनी है — *सम*।

**3.** अगर $a$ विषम होता, तो $a^2$ भी विषम होता ([समस्या 58.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/58-the-pythagorean-theorem#pb-g8-pythagoras-1)); और चूँकि $a^2$ सम है, इसलिए $a$ सम है: $a = 2k$। रखकर देखो: $4k^2 = 2b^2$, यानी $b^2 = 2k^2$ सम है, और उसी सम-विषम तथ्य से $b$ भी सम है।

**4.** $a$ और $b$ दोनों का सम होना यानी दोनों का $2$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) होना — पर $\frac ab$ सबसे सरल रूप में थी, जिसमें कोई साझा [भाजक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) था ही नहीं। विरोधाभास: मानी हुई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) हो ही नहीं सकती। *प्रमेय: $\sqrt2$ अपरिमेय है।*

**5.** सारा विरोधाभास “सबसे सरल रूप” में ही बसता है: उसके बिना “$a$ और $b$ दोनों सम” किसी बात को नहीं काटता। सबसे सरल रूप मान लेना जायज़ है क्योंकि हर [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) का सबसे सरल रूप होता *है* ([विधि 64.16](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#met-g9-arith-simplify): [महत्तम समापवर्तक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-gcd) से भाग दो) — सो अगर $\sqrt2$ कोई [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) होता भी, तो वह सबसे सरल रूप वाली [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) होता, और वैसी [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) नामुमकिन है।

**6.** अभाज्य गुणनखंडनों में वर्गों के [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) सम होते हैं ([समस्या 64.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#pb-g9-arith-1))। $a^2 = 3b^2$ में $3$ का [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) बाईं ओर सम है पर दाईं ओर विषम ($b^2$ से आया सम, और उसमें एक और)। किसी संख्या के दो गुणनखंडन नहीं होते ([प्रमेय 64.6](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#thm-g9-arith-factorization)): विरोधाभास, और $\sqrt3$ अपरिमेय है।

**7.** $a^2 = n b^2$ में यह तर्क ठीक तभी किसी [अभाज्य संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-prime) का उलटा सम-विषम पकड़ता है जब कोई [अभाज्य संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-prime) $n$ में *विषम* [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) के साथ आती हो। अगर $n$ के सारे [घातांक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/56-powers#def-g8-powers-def) सम हों, तो $n$ पूर्ण वर्ग है ($n = m^2$, और $\sqrt n = m$ पूर्ण संख्या)। पूरा नतीजा: हर उस पूर्ण संख्या $n$ के लिए $\sqrt n$ अपरिमेय है जो पूर्ण वर्ग नहीं है — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10},
\dots$

**8.** $r x = q$ से, जहाँ $r \neq 0$ है: $x = \frac qr$, यानी परिमेय संख्याओं का [भागफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder), जो परिमेय है। इसलिए अगर $x$ अपरिमेय हो, तो $r x$ परिमेय हो ही नहीं सकता: $2\sqrt2$ और $\frac{\sqrt2}{2}$ अपरिमेय हैं (गुणक $2$ और $\frac12$)।

**9.** अगर $1 + \sqrt2 = q$ परिमेय होता, तो $\sqrt2 = q - 1$ भी परिमेय होता: विरोधाभास। और अगर $s = \sqrt2 + \sqrt3$ परिमेय होता, तो $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ भी परिमेय होता, जिससे $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ परिमेय बन जाता — पर $\sqrt6$ अपरिमेय है (सवाल 7)। इसलिए $\sqrt2 + \sqrt3$ अपरिमेय है।

**10.** [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $\sqrt2$ और $-\sqrt2$ (या $\sqrt2$ और $1 - \sqrt2$) दोनों ही अपरिमेय हैं, पर उनके [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $0$ और $1$ परिमेय हैं। [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def): $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$। अंकगणित में अपरिमेयता उड़ सकती है — इसीलिए हर हालत का अलग प्रमाण चाहिए।

**11.** $x = 1$ से: $1$ और $\frac21 = 2$ का औसत: $x_1 = \frac32$। फिर $\frac32$ और $\frac{2}{3/2} = \frac43$ का औसत: $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right)
= \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$।

**12.** $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} +
\frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot
\frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ और $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ के मुक़ाबले: तीन क़दमों के बाद ही पाँच दशमलव सही — तरकीब हर चक्कर में सही दशमलवों की [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) क़रीब-क़रीब दुगनी कर देती है।

**13.** अगर $x^2 > 2$ हो (अंदाज़ा बहुत बड़ा), तो $x > \sqrt2$ और $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$: साथी भुजा बहुत छोटी है। अगर $x^2 < 2$ हो, तो असमिकाएँ उलट जाती हैं। दोनों हालतों में $\sqrt2$, $x$ और $\frac2x$ के बीच बैठता है, इसलिए उनका औसत — यानी अगला अंदाज़ा — दोनों भुजाओं में से बुरी वाली से नज़दीक होता है: [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $2$ वाला आयत हर क़दम पर और वर्गाकार होता जाता है।

**14.** $9 - 8 = 1$; $289 - 288 = 1$; $332\,929 - 332\,928 = 1$। हेरॉन का हर अंदाज़ा $\frac ab$ $a^2 - 2b^2 = 1$ पूरा करता है: भाग I ने सिद्ध किया कि $0$ पर पहुँचना नामुमकिन है, और ये भिन्नें उस नामुमकिन से ठीक एक इकाई चूकती हैं — पूर्ण संख्याएँ इससे ज़्यादा पास कभी नहीं आ सकतीं।

**15.** संख्या रेखा में भिन्नों से आगे की संख्याएँ होनी ही चाहिए — $\sqrt2$ जैसी लंबाइयाँ, जिनका दशमलव लेखन बिना दोहराए हमेशा चलता रहता है: यानी *वास्तविक संख्याएँ*। उनका ईमानदार निर्माण हाई-स्कूल खंड की कहानी है, और पूरी कड़ाई के साथ विश्वविद्यालय वाले खंडों की।