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title: "बीजगणित और समीकरण"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/66-algebra-and-equations
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# अध्याय 66 — बीजगणित और समीकरण

अक्षर संख्याओं की जगह खड़े होते हैं, और अक्षरों के साथ गणना करने से *सारी* संख्याओं के बारे में एक ही बार में बात सिद्ध हो जाती है। यह अध्याय [फैलाना](#def-g9-algebra-expand) और गुणनखंडन करना पक्का करता है — उन तीन सर्वसमिकाओं समेत जो पूरे गणित में तुम्हारे साथ चलेंगी — और पहली [घात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-power) के [समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def), [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) वाले [समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) तथा आसान असमिकाएँ हल करता है, हमेशा एक बार में एक कारण सहित क़दम।

## 66.1 फैलाना

**परिभाषा 66.1 (फैलाना).**

*फैलाना* यानी वितरण नियम की मदद से किसी [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) को [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) में बदल देना:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**उदाहरण 66.2.**

पहले कोष्ठक का हर पद दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा होता है:

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

चिह्न पदों के साथ-साथ चलते हैं:

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**प्रमेय 66.3 (तीन उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ).**

सभी संख्याओं $a$ और $b$ के लिए:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**उपपत्ति.** हर बाएँ पक्ष को फैलाओ। पहले के लिए: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$। दूसरे के लिए, पहले में $b$ की जगह $-b$ रख दो। तीसरे के लिए: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (आड़े पद कट जाते हैं)। ∎

![सर्वसमिका (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, क्षेत्रफलों के रूप में: भुजा a+b वाला बड़ा वर्ग दो वर्गों और दो बराबर आयतों से बना है। “2ab” भूल जाना यानी वे दो आयत भूल जाना!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, क्षेत्रफलों के रूप में: भुजा $a+b$ वाला बड़ा वर्ग दो वर्गों और दो बराबर आयतों से बना है। “$2ab$” भूल जाना यानी वे दो आयत भूल जाना!*

**उदाहरण 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

मन में गणना: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$, और $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$।

## 66.2 गुणनखंडन

**विधि 66.5 (गुणनखंडन).**

किसी व्यंजक का गुणनखंडन करने के लिए क्रम से ये आज़माओ:

1. *साझा गुणनखंड* : $ka + kb = k(a + b)$ , जहाँ $k$ ख़ुद कोई कोष्ठक भी हो सकता है;
2. *वर्गों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference)* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
3. *पूर्ण वर्ग* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (और $-2ab$ के साथ, $(a-b)^2$ )।

नतीजे को फैलाकर हमेशा जाँच लो।

**उदाहरण 66.6.**

*साझा गुणनखंड:* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$।

*साझा कोष्ठक:*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*वर्गों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference):* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$, और

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

हर गुणनखंड में अब भी एक साझा गुणनखंड बचा है: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2)
\times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$।

## 66.3 समीकरण

**विधि 66.7 (पहली घात के समीकरण).**

$5x - 3 = 2x + 9$ जैसा [समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) हल करने के लिए:

1. दोनों तरफ़ एक ही राशि जोड़कर $x$ वाले पद एक तरफ़ और संख्याएँ दूसरी तरफ़ इकट्ठी करो;
2. हर तरफ़ को सरल करो;
3. दोनों तरफ़ में $x$ के गुणांक का भाग दो;
4. हल को असली [समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) में रखकर जाँचो।

**उदाहरण 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(दोनों तरफ़ $3 - 2x$ जोड़ो)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{($3$ से भाग दो)।}
\end{align*}
$$

जाँच: $5 \times 4 - 3 = 17$ और $2 \times 4 + 9 = 17$। हल $4$ है।

कोष्ठक हों तो पहले फैलाओ: $3(x - 2) = x + 8$ बन जाता है $3x - 6 = x + 8$, इसलिए $2x = 14$ और $x = 7$।

**प्रमेय 66.9 (शून्य-गुणनफल नियम).**

कोई [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) तभी होता है जब उसका कम से कम एक गुणनखंड [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) हो:

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ या } \ B = 0 .
$$

**उपपत्ति.** अगर कोई गुणनखंड [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) हो तो [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) साफ़ तौर पर [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) है। और उलटा: अगर $A B = 0$ हो और $A \neq 0$ हो, तो दोनों तरफ़ $A$ का भाग देने पर $B = 0$ मिलता है। ∎

**उदाहरण 66.10.**

$(x - 3)(2x + 10) = 0$ हल करो: या तो $x - 3 = 0$ या $2x + 10 = 0$, इसलिए हल $3$ और $-5$ हैं।

$x^2 - 49 = 0$ हल करो: पहले गुणनखंड करो, $(x-7)(x+7) = 0$, हल $7$ और $-7$।

$x^2 = 3x$ हल करो: $x$ का भाग कभी मत देना! पद इधर लाओ और गुणनखंड करो: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$, हल $0$ और $3$।

## 66.4 असमिकाएँ

**प्रतिज्ञप्ति 66.11 (असमिकाओं के नियम).**

दोनों तरफ़ एक ही संख्या जोड़ने पर असमिका बनी रहती है, और दोनों तरफ़ एक ही *धन* संख्या से गुणा करने पर भी। दोनों तरफ़ किसी *ऋण* संख्या से गुणा करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है।

**उपपत्ति.** अगर $a \leq b$ हो तो $b - a \geq 0$। $c$ जोड़ने पर: $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$, इसलिए $a + c \leq b + c$। $c > 0$ से गुणा करने पर: $bc - ac = (b-a)c \geq 0$, इसलिए $ac \leq bc$। और $c < 0$ से गुणा करने पर: $(b-a)c \leq 0$, इसलिए $ac \geq bc$: क्रम उलट गया। ∎

**उदाहरण 66.12.**

$7 - 2x < 15$ हल करो:

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{($7$ घटाओ)} \\
x &> -4 && \text{($-2$ से भाग दो: चिह्न उलट दो)।}
\end{align*}
$$

हल $-4$ से बड़ी सारी संख्याएँ हैं: संख्या रेखा पर $-4$ पर एक खोखला बिंदु, और उसके दाईं ओर रंगाई।

![7 - 2x < 15 के हल: सारे x > -4 (खोखला बिंदु: -4 ख़ुद हल नहीं है)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*$7 - 2x < 15$ के हल: सारे $x > -4$ (खोखला बिंदु: $-4$ ख़ुद हल नहीं है)।*

## 66.5 अभ्यास

**अभ्यास 66.1 ★.**

फैलाओ और सरल करो:

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**हल — अभ्यास 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**अभ्यास 66.2 ★.**

सर्वसमिकाओं से फैलाओ:

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**हल — अभ्यास 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**अभ्यास 66.3 ★.**

किसी सर्वसमिका की मदद से मन में निकालो: $101^2$; $59^2$ ($59 = 60 - 1$ लिखो); $53 \times 47$।

**हल — अभ्यास 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**अभ्यास 66.4 ★.**

गुणनखंड करो:

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**हल — अभ्यास 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**अभ्यास 66.5 ★.**

हर क़दम लिखते हुए हल करो:

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**हल — अभ्यास 66.5.**

$4x + 7 = 19$: $4x = 12$, इसलिए $x = 3$।

$6x - 5 = 2x + 11$: $4x = 16$, इसलिए $x = 4$।

$5(x-3) = 3x + 1$: $5x - 15 = 3x + 1$, इसलिए $2x = 16$ और $x = 8$।

**अभ्यास 66.6 ★★.**

शून्य-गुणनफल नियम से हल करो:

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**हल — अभ्यास 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$: $x = -4$ या $x = 4$।

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$: $x = 11$ या $x = -11$।

$(2x-1)^2 = 0$: अकेला हल $x = \frac12$।

$x^2 = 8x$: $x(x - 8) = 0$, इसलिए $x = 0$ या $x = 8$।

**अभ्यास 66.7 ★★.**

$E = (3x + 2)^2 - 25$ का गुणनखंड करो, फिर $E = 0$ हल करो।

**हल — अभ्यास 66.7.**

$a = 3x + 2$ और $b = 5$ के साथ वर्गों का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference):

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

शून्य-गुणनफल नियम: $3x + 7 = 0$ से $x = -\frac73$, और $3x - 3 = 0$ से $x = 1$।

**अभ्यास 66.8 ★★.**

असमिकाएँ हल करो और उनके हल संख्या रेखा पर दिखाओ:

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**हल — अभ्यास 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$: $3x \geq 12$, इसलिए $x \geq 4$ ($4$ पर भरा बिंदु, दाईं ओर रंगाई)।

$5 - 2x > 1$: $-2x > -4$, और $-2$ का भाग देने पर चिह्न उलट जाता है: $x < 2$ ($2$ पर खोखला बिंदु, बाईं ओर रंगाई)।

$4(x+1) \leq x - 5$: $4x + 4 \leq x - 5$, इसलिए $3x \leq -9$, यानी $x \leq -3$ ($-3$ पर भरा बिंदु, बाईं ओर रंगाई)।

**अभ्यास 66.9 ★★.**

मैं कोई संख्या सोचता हूँ, उसे $3$ से गुणा करता हूँ और $7$ जोड़ता हूँ, और वही नतीजा पाता हूँ जो उसे $5$ से गुणा करके $9$ घटाने पर मिलता। मेरी संख्या क्या है? ([समीकरण](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/57-literal-calculation-and-equations#def-g8-equations-def) बनाओ और हल करो।)

**हल — अभ्यास 66.9.**

मान लो संख्या $x$ है: $3x + 7 = 5x - 9$। तब $16 = 2x$, इसलिए $x = 8$। जाँच: $3 \times 8 + 7 = 31$ और $5 \times 8 - 9 = 31$।

**अभ्यास 66.10 ★★★.**

मान लो $n$ कोई पूर्ण संख्या है।

1. $(n + 1)(n - 1)$ फैलाओ और इससे नतीजा निकालो कि $n$ के दोनों पड़ोसियों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) हमेशा $n^2 - 1$ होता है (जैसे $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ )।
2. दिखाओ कि लगातार आने वाले तीन पूर्णांकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) हमेशा $3$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) होता है।

**हल — अभ्यास 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (तीसरी सर्वसमिका)। $n$ के पड़ोसी $n - 1$ और $n + 1$ हैं, इसलिए उनका [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $n^2 - 1$ है: जैसे $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$।

*2.* लगातार आने वाले तीन पूर्णांक $n - 1$, $n$, $n + 1$ लिखे जा सकते हैं। उनका [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def)

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

$3$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) है (बीच वाले का तिगुना)।

## 66.6 समस्या: अंकों का बीजगणित

**समस्या 66.1.**

सप्ताहांत समस्या — विभाज्यता की तरकीबें काम क्यों करती हैं, 1089 वाले खेल का पर्दाफ़ाश, और जादू जैसी लगने वाली मन की गणना

शुरुआती कक्षाओं ने तुम्हें *नियम* सिखाए (कोई संख्या $9$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) होती है जब उसके अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) हो); जादूगर *खेल* दिखाते हैं (सबका आख़िर $1089$ पर होता है); बाज़ार *छोटे रास्ते* जानता है ($35^2 = 1225$, पलक झपकते)। इन सबके पीछे एक ही राज़ है: अंक $a$, $b$, $c$ वाली संख्या दरअसल व्यंजक $100a + 10b + c$ है, और इस अध्याय का बीजगणित ([प्रमेय 66.3](#thm-g9-algebra-identities), [फैलाना](#def-g9-algebra-expand), गुणनखंडन) उसे खोलकर रख सकता है। इस समस्या के आख़िर तक तुम नियम सिद्ध कर चुके होगे, खेल का पर्दा उठा चुके होगे, और जादू सीख चुके होगे।

**भाग I — अंक सूक्ष्मदर्शी के नीचे।**

1. दहाई का अंक $a$ और इकाई का अंक $b$ वाली दो अंकों की संख्या $10a + b$ होती है। संख्या और उसके उलटे रूप का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) $(10a + b) - (10b + a)$ फैलाओ और उसका गुणनखंड करो, फिर जो मिला वह बताओ। $72 - 27$ पर जाँचो।
2. तीन अंकों की संख्याओं के लिए नौ का नियम सिद्ध करो: सर्वसमिका $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c)$$ जाँचो, और समझाओ कि इससे क्यों निकलता है कि $9$ का भाग देने पर संख्या और उसके अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) *एक ही [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder)* छोड़ते हैं — यानी एक $9$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) ठीक तभी है जब दूसरा हो ([प्रतिज्ञप्ति 64.3](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#prop-g9-arith-rules), अब सिद्ध)।
3. उसी सर्वसमिका से तीन का नियम एक वाक्य में निकालो।
4. “नौ फेंकना”, हिसाब-किताब वालों की जाँच: $47 \times 86 =  4\,042$ जाँचने के लिए हर संख्या की जगह उसके अंकों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) का अंकों वाला [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) रखो: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , और $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; फिर $4\,042 \to 10 \to 1$ : मेल खा गया। समझाओ कि सही [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) को यह जाँच क्यों पार करनी ही पड़ती है ( $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ लिखकर फैलाओ), और कोई ऐसा ग़लत नतीजा ढूँढ़ो जिसे यह जाँच पकड़ नहीं पाती (आगे-पीछे हुए अंक उसे क्यों नहीं दिखते?)।
5. चार अंकों की संख्याओं के लिए ग्यारह का नियम सिद्ध करो: $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$ जाँचो, और उससे तय करो कि $2\,926$, $11$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) है या नहीं।

**भाग II — 1089 वाला खेल।** खेल यह है: तीन अंकों की कोई संख्या सोचो जिसके पहले और आख़िरी अंक में कम से कम $2$ का फ़र्क़ हो; उसे उलटा लिखो; बड़ी में से छोटी घटाओ; नतीजे को उलटा लिखो; और आख़िरी दोनों संख्याएँ जोड़ो। जादूगर ऐलान करता है: *1089*।

6. यह खेल $742$ पर और अपनी पसंद की एक संख्या पर करके देखो।
7. मान लो संख्या के अंक $a$ , $b$ , $c$ हैं और $a > c$ है। पहले घटाव $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ का गुणनखंड करो, और $a - c$ के $2$ से $9$ तक चलने पर उसके सारे संभव मान लिखो।
8. $99$ के इन गुणजों में से हर एक के अंकों का एक चौंकाने वाला ढर्रा है। $m = a - c$ लिखकर सर्वसमिका $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m)$$ जाँचो, और $99m$ के तीनों अंक पढ़ लो।
9. सवाल 8 वाले अंकों से $99m$ को उसके अपने उलटे रूप में जोड़ो, और सिद्ध करो कि जोड़ $1089$ ही आता है — $m$ चाहे कुछ भी हो। खेल ख़त्म; बीजगणित ज़िंदाबाद।
10. जादूगर ने पहले और आख़िरी अंक में कम से कम $2$ का फ़र्क़ क्यों माँगा? $a = c$ और $a - c = 1$ वाली हालतें देखो (जहाँ घटाने पर $99$ आता है, और उलटा करने के लिए उसे $099$ लिखना पड़ता है), और वह बारीक शर्त लिखो जो खेल को ईमानदार रखती है।

**भाग III — रोज़ के काम का जादू।**

11. जन्मदिन वाला खेल: “अपने जन्म के महीने को $5$ से गुणा करो, $7$ जोड़ो, दुगना करो, जन्म की तारीख़ जोड़ो, $14$ घटाओ।” दिखाओ कि नतीजा हमेशा $10m + d$ होता है — यानी महीना और तारीख़, एक नज़र में पढ़ने लायक़। (किसी पर आज़माकर देखो।)
12. अब तुम खेल को यूँ बदलते हो: “महीने को $5$ से गुणा करो, $9$ जोड़ो, दुगना करो, तारीख़ जोड़ो।” वही महीना–तारीख़ पढ़ने के लिए दर्शक को आख़िर में अब कौन-सी संख्या घटानी पड़ेगी?
13. ग़ायब अंक वाला खेल: दर्शक कोई भी संख्या चुनता है, उसमें से उसके अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) घटाता है (सवाल 2 कहता है कि नतीजा हमेशा $9$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) होता है — तीन अंकों की संख्या के लिए इसका कारण बताओ), फिर एक *शून्येतर* अंक काट देता है और बाक़ी अंक तुम्हें पढ़कर सुना देता है। समझाओ कि तुम काटा हुआ अंक कैसे वापस निकाल लेते हो, और $0$ को बाहर क्यों रखना पड़ा।
14. बाज़ार का जादू: सर्वसमिका $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ सिद्ध करो, $5$ पर ख़त्म होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग निकालने का नियम लिखो, और $45^2$ , $85^2$ तथा $105^2$ मन में निकालो।
15. समापन, [अभ्यास 66.10](#exo-g9-algebra-10) को आगे बढ़ाते हुए: सिद्ध करो कि लगातार आने वाले पाँच पूर्णांकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) हमेशा $5$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) होता है, पर लगातार आने वाले *चार* पूर्णांकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $4$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) *कभी नहीं* होता। (दो छोटी गणनाएँ — और एक सीख कि बीजगणित “हमेशा” तथा “कभी नहीं” शब्दों के साथ क्या कर देता है।)

**हल — समस्या 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$: दो अंकों की संख्या और उसके उलटे रूप का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) हमेशा $9$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) होता है। जाँच: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$, और $a - b = 7 - 2 = 5$।

**2.** दायाँ पक्ष फैलाने पर: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c
= 100a + 10b + c$। यानी संख्या, $9$ के किसी [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) और अपने अंकों के [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) का जोड़ है: $9$ का भाग देने पर दोनों एक ही [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) छोड़ते हैं। ख़ास तौर पर एक का [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ होने का मतलब दूसरे का भी [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$: नौ का नियम सिद्ध हुआ।

**3.** $9(11a + b)$, $3$ का भी [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) है, इसलिए वही सर्वसमिका दिखाती है कि $3$ का भाग देने पर संख्या और उसके अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) एक ही [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) छोड़ते हैं: तीन का नियम।

**4.** $47 = 9k + 2$ और $86 = 9l + 5$ लिखो। तब

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

[गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) वही [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) छोड़ता है जो $2 \times 5 = 10$ छोड़ता है, यानी $1$। इसलिए सही नतीजे को भी [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$ छोड़ना ही चाहिए — और $4\,042$ छोड़ता भी है। पर यह जाँच सिर्फ़ [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) देखती है: $4\,042$ और $4\,402$ (अंक आगे-पीछे) दोनों एक जैसे पार हो जाते हैं, इसलिए पार होना कुछ सिद्ध नहीं करता — फ़ैसला तो नाकाम होने से होता है।

**5.** फैलाने पर: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d
= 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d
= 1000a + 100b + 10c + d$। यानी संख्या $11$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) ठीक तभी है जब उसका बदल-बदलकर लिया गया [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $-a + b - c + d$ [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) हो। $2\,926$ के लिए: $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$, जो $11$ से [विभाज्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#def-g6-wholes-divisible) है: हाँ, $2\,926 = 11 \times 266$।

**6.** $742 - 247 = 495$; $495 + 594 = 1\,089$। कोई भी सही उदाहरण भी $1\,089$ पर ही उतरता है।

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$। $a - c = 2, 3, \dots, 9$ के लिए:

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10
- m = 99m$। यानी $99m$ के तीनों अंक $m - 1$, फिर $9$, फिर $10 - m$ हैं ($495$ पर जाँचो: $m = 5$ से $4$, $9$, $5$)।

**9.** $99m$ के उलटे रूप के अंक $10 - m$, $9$, $m - 1$ हैं, इसलिए वह $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ के बराबर है। जोड़ने पर:

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

और यह $m$ पर निर्भर ही नहीं करता। शुरुआती संख्या कोई भी हो, जादूगर सुरक्षित है।

**10.** अगर $a = c$ हो, तो घटाने पर $0$ आता है और खेल वहीं दम तोड़ देता है। अगर $a - c = 1$ हो, तो $99$ आता है, जिसे तीन अंकों की लड़ी $099$ मानना पड़ता है (उलटा $990$, और $99 + 990 = 1\,089$: बच गया!)। बारीक शर्त यह है: $1$ का [अंतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/3-subtraction-first-steps#ex-g1-subtraction-difference) तभी चलता है जब दर्शक घटाने का नतीजा तीन अंकों में लिखे, आगे लगे [शून्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/1-counting-to-20#def-g1-counting-zero) समेत — और कम से कम $2$ का फ़र्क़ माँग लेने से यह बहस ही नहीं उठती।

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 =
10m + d$: दहाई (और अक्टूबर–दिसंबर के लिए सैकड़ा) महीना बताती है, और इकाई (तथा दहाई) तारीख़।

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$: $18$ घटाओ।

**13.** सवाल 2 के अनुसार तीन अंकों की $n$ के लिए $n - (\text{अंकों का योगफल}) = 9(11a + b)$: यानी हमेशा $9$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) (किसी भी लंबाई के लिए वैसी ही सर्वसमिकाएँ चलती हैं)। और $9$ के [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) के अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) भी $9$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) होता है (फिर सवाल 2), इसलिए दर्शक जो अंक पढ़कर सुनाता है उन्हें अगले $9$ के [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) तक पूरा करना होता है: ग़ायब अंक वही पूरक है। दुविधा: अगर पढ़े हुए अंकों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) पहले से ही $9$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) हो, तो काटा हुआ अंक $0$ भी हो सकता है और $9$ भी — $0$ को बाहर रख देने से शक मिट जाता है।

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 =
100\,t(t + 1) + 25$: पहले $t(t+1)$ लिखो, फिर उसके पीछे $25$ चिपका दो। $45^2$: $4 \times 5 = 20$, इसलिए $2\,025$। $85^2$: $8 \times 9 = 72$, इसलिए $7\,225$। $105^2$: $10 \times 11 = 110$, इसलिए $11\,025$।

**15.** लगातार पाँच: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) +
(n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$: हमेशा $5$ का [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor)। लगातार चार: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 =
4(n + 1) + 2$: $4$ का भाग देने पर [शेषफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $2$, यानी कभी [गुणज](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/64-arithmetic-divisors-and-prime-numbers#def-g9-arith-divisor) नहीं। बीजगणित “ऐसा तो लगता है” को *हमेशा* में बदल देता है, और “मुझे कोई उदाहरण नहीं मिला” को *कभी नहीं* में — ये दो शब्द कितनी भी जाँच से नहीं मिलते ([विधि 48.8](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/48-literal-expressions#met-g7-literal-test))।