---
title: "थेल्स प्रमेय"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 68
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem
---

# अध्याय 68 — थेल्स प्रमेय

किसी [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) की ऊँचाई उस पर चढ़े बिना कैसे नापी जाए? मिलेतुस के थेल्स ने उसकी छाया की तुलना एक छड़ी की छाया से की। उनकी प्रमेय — [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [रेखाखंडों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) को [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/67-linear-and-affine-functions#def-g9-linfunc-linear) टुकड़ों में काटती हैं — नमूनों, नक़्शों और विवर्धनों की [मापनी](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) का गणितीय दिल है, और नाम वाली सबसे पुरानी प्रमेयों में से एक।

## 68.1 प्रमेय

**प्रमेय 68.1 (थेल्स).**

मान लो दो रेखाएँ किसी बिंदु $A$ पर मिलती हैं। पहली रेखा पर $M$ लो और दूसरी पर $N$; पहली पर $M$ से आगे $B$ है और दूसरी पर $N$ से आगे $C$। अगर रेखाएँ $(MN)$ और $(BC)$ *[समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* हों, तो त्रिभुजों $AMN$ और $ABC$ की भुजाएँ [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/67-linear-and-affine-functions#def-g9-linfunc-linear) होती हैं:

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![थेल्स के दो विन्यास: एक के भीतर एक त्रिभुज (बाएँ) और “तितली”, जिसमें M तथा N बिंदु A के दूसरी ओर बैठते हैं (दाएँ)। दोनों में (MN) (BC) है और तीनों अनुपात बराबर हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-45201f71a40b.svg)

![थेल्स के दो विन्यास: एक के भीतर एक त्रिभुज (बाएँ) और “तितली”, जिसमें M तथा N बिंदु A के दूसरी ओर बैठते हैं (दाएँ)। दोनों में (MN) (BC) है और तीनों अनुपात बराबर हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-9ab852c1ceba.svg)

*थेल्स के दो विन्यास: एक के भीतर एक त्रिभुज (बाएँ) और “तितली”, जिसमें $M$ तथा $N$ बिंदु $A$ के दूसरी ओर बैठते हैं (दाएँ)। दोनों में $(MN) \parallel (BC)$ है और तीनों अनुपात बराबर हैं।*

**विधि 68.2 (थेल्स से कोई लंबाई निकालना).**

1. वह बिंदु $A$ पहचानो जहाँ दोनों रेखाएँ कटती हैं, और दोनों [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) भी; फिर दोनों त्रिभुजों के नाम लिखो;
2. तीनों बराबर अनुपात लिखो, हमेशा “छोटा त्रिभुज बटा बड़ा त्रिभुज”;
3. उन्हीं दो अनुपातों की बराबरी रखो जिनमें तीनों ज्ञात लंबाइयाँ और अज्ञात लंबाई आती हैं;
4. बने हुए [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) को तिरछे नियम से हल करो।

**उदाहरण 68.3.**

ऊपर बाएँ वाले विन्यास में मान लो $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 2.4$ और $MN = 3.3$ हैं; $AC$ तथा $BC$ निकालते हैं। थेल्स देती है

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC},
\qquad\text{यानी}\qquad
\frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.
$$

$\frac35 = \frac{2.4}{AC}$ से, तिरछा गुणा करने पर: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$, यानी $AC = 4$। और $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$ से: $3 \times BC = 16.5$, यानी $BC = 5.5$।

**उदाहरण 68.4 (रोज़मर्रा में थेल्स).**

$1$ m ऊँची खड़ी छड़ी की छाया $1.5$ m की है, और उसी पल किसी पेड़ की छाया $12$ m की। सूरज की किरणें [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं, इसलिए छड़ी-और-छाया तथा पेड़-और-छाया वाले त्रिभुज थेल्स विन्यास में बैठते हैं:

$$
\frac{\text{पेड़ की ऊँचाई}}{1} = \frac{12}{1.5},
\qquad\text{यानी पेड़ } 8 \text{ m ऊँचा है।}
$$

## 68.2 विलोम

**प्रमेय 68.5 (थेल्स की विलोम).**

बिंदु वैसे ही रखे हों जैसे [प्रमेय 68.1](#thm-g9-thales-direct) में ($M$ रेखा $(AB)$ पर, $N$ रेखा $(AC)$ पर, दोनों रेखाओं पर एक ही क्रम में): अगर

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},
$$

हो, तो रेखाएँ $(MN)$ और $(BC)$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**विधि 68.6 (समांतरता सिद्ध करना या ख़ारिज करना).**

1. दोनों अनुपात $\dfrac{AM}{AB}$ और $\dfrac{AN}{AC}$ अलग-अलग निकालो (भिन्नों के रूप में, [गोलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/38-decimal-numbers#def-g6-decimals-rounding) के रूप में नहीं);
2. अगर वे बराबर हों *और* बिंदु दोनों रेखाओं पर एक ही क्रम में हों, तो रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं (थेल्स की विलोम);
3. अगर वे अलग हों, तो रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) *नहीं* हैं — क्योंकि अगर होतीं, तो थेल्स प्रमेय दोनों अनुपातों को बराबर कर देती।

**उदाहरण 68.7.**

पहली रेखा पर $AM = 4$ और $AB = 10$; दूसरी पर $AN = 6$ और $AC = 15$। तब

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25,
\qquad
\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :
$$

अनुपात बराबर, क्रम भी वही: $(MN) \parallel (BC)$।

इसके बजाय $AC = 14$ हो: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq \frac25$, यानी रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) नहीं हैं।

## 68.3 विवर्धन और संकुचन

**परिभाषा 68.8 (आकृति को घटाना-बढ़ाना).**

किसी आकृति को *मापक गुणक* $k > 0$ से बढ़ाने या घटाने का मतलब है उसकी *सारी* लंबाइयों को $k$ से गुणा कर देना: $k > 1$ पर *विवर्धन*, और $k < 1$ पर *संकुचन*। थेल्स के विन्यास में त्रिभुज $AMN$, त्रिभुज $ABC$ का $k = \frac{AM}{AB}$ गुणक वाला संकुचन है।

**प्रतिज्ञप्ति 68.9 (कोणों और क्षेत्रफलों पर असर).**

गुणक $k$ से घटाने-बढ़ाने पर कोण और आकृतियों का आकार वही रहते हैं, हर लंबाई $k$ से गुणा हो जाती है, और हर *[क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)* $k^2$ से।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![लंबाइयाँ दुगनी करने (k = 2) पर क्षेत्रफल k2 = 4 गुना हो जाता है: छोटे आयत की चार नक़लें बड़े को पूरा ढक देती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-ecc8c4fd2a67.svg)

*लंबाइयाँ दुगनी करने ($k = 2$) पर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $k^2 = 4$ गुना हो जाता है: छोटे आयत की चार नक़लें बड़े को पूरा ढक देती हैं।*

**उदाहरण 68.10.**

$10 \times 15$ cm की कोई तस्वीर $k = 3$ [मापक गुणक](#def-g9-thales-scaling) से बड़ी की जाती है: छपाई $30 \times 45$ cm की निकलती है। उसका [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $150$ cm$^2$ से बढ़कर $150 \times 9 = 1350$ cm$^2$ हो जाता है — $9$ गुना, $3$ गुना नहीं।

## 68.4 अभ्यास

**अभ्यास 68.1 ★.**

रेखाएँ $(MN)$ और $(BC)$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं, $M$ बिंदु $[AB]$ पर है और $N$ बिंदु $[AC]$ पर; $AM = 2$, $AB = 6$, $AN = 3$, $BC = 9$। $AC$ और $MN$ निकालो।

**हल — अभ्यास 68.1.**

थेल्स: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, यानी $\dfrac26 = \dfrac13$। तब $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ से $AC = 9$, और $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ से $MN = 3$।

**अभ्यास 68.2 ★.**

वही विन्यास: $AM = 5$, $MB = 3$ (ध्यान रहे: $MB$, $AB$ नहीं!), $AN = 4$। $AC$ निकालो।

**हल — अभ्यास 68.2.**

पहले $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$ निकालो। फिर $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ से $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$, यानी $5 \times AC = 32$ और $AC = 6.4$।

**अभ्यास 68.3 ★.**

तितली विन्यास में $A$ बिंदु $M$ और $B$ के बीच है, तथा $N$ और $C$ के बीच भी, और $(MN) \parallel (BC)$ है; $AM = 3$, $AB = 7.5$, $AN = 2$, $MN = 2.6$। $AC$ और $BC$ निकालो।

**हल — अभ्यास 68.3.**

तितली ठीक वैसे ही चलती है जैसे एक के भीतर एक वाला विन्यास: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, यानी $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$। तब $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ से $AC = 5$, और $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ से $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$।

**अभ्यास 68.4 ★.**

$M$ बिंदु $[AB]$ पर है, $AM = 6$, $AB = 8$; $N$ बिंदु $[AC]$ पर है, $AN = 9$, $AC = 12$। क्या रेखाएँ $(MN)$ और $(BC)$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं?

**हल — अभ्यास 68.4.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ और $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$: अनुपात बराबर, बिंदु एक ही क्रम में, इसलिए थेल्स की विलोम से $(MN) \parallel (BC)$।

**अभ्यास 68.5 ★★.**

ऊपर जैसा ही, पर $AM = 4$, $AB = 6$, $AN = 5$, $AC = 8$ के साथ। क्या $(MN)$ और $(BC)$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) हैं? ध्यान से कारण बताओ।

**हल — अभ्यास 68.5.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ और $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$ हैं। मिलाकर जाँचो: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ पर $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$ — अनुपात अलग हैं। अगर रेखाएँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) होतीं, तो थेल्स प्रमेय उन्हें बराबर कर देती; इसलिए $(MN)$ और $(BC)$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) *नहीं* हैं।

**अभ्यास 68.6 ★★.**

$1.8$ m लंबा कोई व्यक्ति सड़क के खंभे की जड़ से $2$ m दूर खड़ा है; उसकी छाया $3$ m की है। खंभे, व्यक्ति और छाया के सिरे से बनने वाला थेल्स विन्यास बनाओ, और खंभे की ऊँचाई निकालो।

**हल — अभ्यास 68.6.**

मान लो $S$ छाया का सिरा है, $P$ व्यक्ति के सिर का ऊपरी बिंदु और $L$ खंभे का ऊपरी सिरा। व्यक्ति ($S$ से $3$ m दूर, $1.8$ m ऊँचा) और खंभा ($S$ से $3 + 2 = 5$ m दूर, ऊँचाई $h$) दो [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खड़े [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) हैं जिन्हें रोशनी की किरण $(SL)$ काटती है: बिंदु $S$ से थेल्स लगाने पर

$$
\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5},
\qquad\text{यानी}\quad
h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m।}
$$

**अभ्यास 68.7 ★★.**

किसी नक़्शे की [मापनी](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) $1 : 25\,000$ है (नक़्शे की लंबाइयाँ असली लंबाइयों को $k = \frac{1}{25000}$ से गुणा करने पर मिलती हैं)।

1. नक़्शे पर दो गाँव $6.8$ cm दूर हैं। असली दूरी कितनी है, km में?
2. नक़्शे पर किसी जंगल का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $8$ cm $^2$ है। उसका असली [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) कितना है, km $^2$ में?

**हल — अभ्यास 68.7.**

*1.* असली दूरी: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $=
1.7$ km।

*2.* [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $k^2$ के हिसाब से बदलते हैं: असली [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $= 8 \times 25\,000^2$ cm$^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm$^2$ $= 5 \times 10^9$ cm$^2$। और $1$ km$^2 = 10^{10}$ cm$^2$ होता है, इसलिए यह $0.5$ km$^2$ है।

**अभ्यास 68.8 ★★.**

त्रिभुज $ABC$ में $AB = 12$, $AC = 15$, $BC = 18$ हैं। $[AB]$ पर बिंदु $M$ ऐसा है कि $AM = 8$, और $M$ से होकर $(BC)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खींची गई रेखा $[AC]$ को $N$ पर काटती है।

1. $AN$ और $MN$ निकालो।
2. $ABC$ से $AMN$ तक का [मापक गुणक](#def-g9-thales-scaling) क्या है? दोनों त्रिभुजों के परिमापों की तुलना करो।

**हल — अभ्यास 68.8.**

*1.* अनुपात $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ है। थेल्स: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ और $MN = \frac23 \times 18 = 12$।

*2.* [मापक गुणक](#def-g9-thales-scaling) $k = \frac23$ है। [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter): $ABC$ का $12 + 15 + 18 = 45$, और $AMN$ का $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times 45$ — [परिमाप](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-perimeter) भी हर लंबाई की तरह $k$ के हिसाब से बदलता है।

**अभ्यास 68.9 ★★★.**

मान लो $ABCD$ एक समलंब है जिसमें $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$ और $CD = 6$ हैं, और जिसके विकर्ण $[AC]$ तथा $[BD]$ बिंदु $O$ पर मिलते हैं। $O$ के चारों ओर तितली विन्यास में थेल्स लगाकर अनुपात $\dfrac{OA}{OC}$ निकालो, और दिखाओ कि $O$ दोनों विकर्णों को एक ही अनुपात में काटता है।

**हल — अभ्यास 68.9.**

$O$ के चारों ओर रेखाएँ $(AC)$ और $(BD)$ कटती हैं, और $(AB) \parallel (CD)$ है: त्रिभुजों $OAB$ तथा $OCD$ वाला तितली विन्यास। थेल्स देती है

$$
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .
$$

यानी $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$, और बराबरी $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ ठीक यही कहती है कि $O$ दोनों विकर्णों को एक ही अनुपात में काटता है।

## 68.5 समस्या: बिना निशान की पट्टी, सूक्ष्मछिद्र कैमरा, और समलंब के तीन माध्य

**समस्या 68.1.**

सप्ताहांत समस्या — काम पर थेल्स: किसी भी रेखाखंड को बराबर टुकड़ों में बाँटना, जूते के डिब्बे से सूरज नापना, और वह समलंब जिसमें तीनों मशहूर माध्य आ मिलते हैं

थेल्स प्रमेय *किरणों* का गणित है: सूरज की किरणें, छोटे-से छेद से गुज़रती रोशनी की किरणें, किसी [शीर्ष](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से निकलती पेंसिल की किरणें। यह समस्या उसे तीन तरह से बरतती है — रचना के औज़ार की तरह (*किसी भी* लंबाई का [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects), यहाँ तक कि $\sqrt2$ लंबाई का भी, बिलकुल बराबर टुकड़ों में बाँटना), नापने के यंत्र की तरह (जूते के डिब्बे और एक सिक्के से सूरज का [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle)), और [अभ्यास 68.9](#exo-g9-thales-9) वाले समलंब पर आवर्धक शीशे की तरह, जहाँ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp), गुणोत्तर और हरात्मक — तीनों माध्य एक ही चित्र में आ जुटते हैं।

**भाग I — बिना निशान की पट्टी से बाँटना।**

1. $7$ cm का [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $[AB]$ खींचो। परकार और बिना निशान की पट्टी से उसे तीन बराबर टुकड़ों में काटने के लिए: $A$ से कोई किरण खींचो (जो $B$ से होकर न जाए); उस पर परकार से तीन बराबर लंबाइयाँ नापते जाओ, जिससे बिंदु $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ मिलें; $P_3$ को $B$ से जोड़ो; फिर $P_1$ और $P_2$ से होकर $(P_3 B)$ के [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खींचो। यह रचना करके निशान लगाओ कि वे [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) $[AB]$ को कहाँ काटती हैं।
2. [प्रमेय 68.1](#thm-g9-thales-direct) से कारण दो कि दोनों निशान लगे बिंदु $[AB]$ को ठीक उसके तिहाई बिंदुओं पर काटते हैं।
3. इसी विधि को बदलकर किसी [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) को $5$ बराबर टुकड़ों में बाँटो, फिर किसी दिए हुए [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) का $\frac35$ बनाओ।
4. $[AB]$ का वह बिंदु $M$ बनाओ जिसके लिए $\frac{AM}{MB} = \frac23$ हो (यानी $M$ , $A$ से रास्ते के $\frac25$ पर)। किरण पर कितने बराबर क़दम चाहिए, और कौन-सा बिंदु $B$ से जोड़ा जाएगा?
5. यह रचना नापने वाली पट्टी से नाप लेने से बेहतर क्यों है? $\sqrt2$ लंबाई का [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) सोचो (एक इकाई वर्ग का विकर्ण, जो [समस्या 65.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/65-square-roots#pb-g9-sqrt-1) के अनुसार अपरिमेय है): नापने से क्या मिलता, और थेल्स क्या देती है?

**भाग II — सूक्ष्मछिद्र कैमरा।** किसी बंद डिब्बे के एक [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) में सुई से छेद करो: सामने वाले [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) पर दुनिया की उलटी तस्वीर उभर आती है। वस्तु का कोई बिंदु, छेद, और तस्वीर का बिंदु — तीनों एक ही रेखा पर होते हैं, क्योंकि रोशनी सीधी चलती है — इसलिए वस्तु (ऊँचाई $H$, छेद के सामने $D$ दूरी पर) और उसकी तस्वीर (ऊँचाई $h$, छेद के पीछे $d$ गहराई पर पिछली दीवार पर) थेल्स के तितली विन्यास में बैठती हैं।

6. छेद के चारों ओर तितली में थेल्स लगाकर सूक्ष्मछिद्र सूत्र $h = H \times \frac dD$ निकालो।
7. $12$ m ऊँचा कोई पेड़ $20$ cm गहरे जूते के डिब्बे से $30$ m दूर खड़ा है। उसकी तस्वीर कितनी ऊँची बनेगी, और सीधी या उलटी?
8. डिब्बे को सूरज की ओर करो: छेद के $d = 1$ m पीछे सूरज की तस्वीर क़रीब $9$ mm [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) की एक चकती बनती है। सूरज की दूरी $D = 1.5 \times 10^{11}$ m मानकर उसका [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) [वैज्ञानिक लेखन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-scientific) में निकालो ( [समस्या 63.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#pb-g9-fractions-1) वाला लेखन काम पर)। असली मान $1.39 \times 10^9$ m से तुलना करो।
9. अब चाँद: [व्यास](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) $3.5 \times 10^6$ m, दूरी $3.8 \times 10^8$ m। चाँद के लिए और सूरज के लिए $\frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}}$ अनुपात निकालो। दोनों संख्याएँ किस भाग्यशाली संयोग की ओर इशारा करती हैं — और वह कौन-सा शानदार नज़ारा मुमकिन बनाता है?
10. एक-दो वाक्यों में: सूक्ष्मछिद्र की तस्वीर उलटी क्यों होती है, और छेद बड़ा करने पर वह चमकीली तो हो जाती है पर धुँधली भी क्यों पड़ जाती है?

**भाग III — तीन माध्यों वाला समलंब।** $ABCD$ वही समलंब है जो [अभ्यास 68.9](#exo-g9-thales-9) में था: $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, और विकर्ण $O$ पर कटते हैं, जहाँ $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$ है।

11. तितली का अभ्यास: दो रेखाएँ $O$ पर कटती हैं और $(MN) \parallel (PQ)$ तितली की स्थिति में हैं; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ और $OQ = 6$ । $PQ$ तथा $ON$ निकालो।
12. समझाओ कि $\frac12$ अनुपात के साथ लगाई गई थेल्स में [प्रमेय 59.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct) की मध्यबिंदु प्रमेय एक ख़ास हालत की तरह समाई हुई है।
13. $O$ से होकर आधारों के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा खींचो; वह $[AD]$ को $E$ पर मिलती है। त्रिभुज $ACD$ में काम करते हुए ( $\frac{AO}{AC} = \frac25$ पर ध्यान दो) $EO$ निकालो।
14. त्रिभुज $BDC$ में वैसी ही दर्पण-गणना से टुकड़ा $OF$ ($F$ बिंदु $[BC]$ पर) उतना ही लंबा निकलता है। इससे नतीजा निकालो कि $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$ यानी विकर्णों के कटान-बिंदु से गुज़रती [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा आधारों का *[हरात्मक माध्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1)* नापती है — [समस्या 61.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) वाला आने-जाने का माध्य, जो यहाँ शुद्ध ज्यामिति में फिर से आ खड़ा होता है।
15. भव्य समापन: आधारों $4$ और $6$ के तीनों शास्त्रीय माध्य निकालो — [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) $\frac{4+6}{2}$ , गुणोत्तर $\sqrt{4 \times 6}$ , हरात्मक $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — और उन्हें क्रम में लगाओ। हर एक समलंब में बसता है: [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) माध्य वह मध्य रेखा है जो असमांतर भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है ( [समस्या 53.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#pb-g7-areas-1) ), [हरात्मक माध्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) तुम्हारा [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) $EF$ है, और [गुणोत्तर माध्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#pb-g8-cosine-1) वह [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा है जो समलंब को दो *समरूप* समलंबों में काट देती है (उसका मान कैलकुलेटर से जाँचो; प्रमाण एक प्यारी अतिरिक्त चुनौती है)। इन तीनों के बीच की असमिका इस किताब में कहाँ सिद्ध हुई है ( [समस्या 60.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#pb-g8-cosine-1) , [समस्या 61.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) )?

**हल — समस्या 68.1.**

**1.** रचना से $[AB]$ पर दो बिंदु मिलते हैं; उन्हें $M_1$ ($P_1$ से) और $M_2$ ($P_2$ से) कहो।

**2.** त्रिभुज $A P_3 B$ में, $P_1$ और $P_2$ से होकर $(P_3 B)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खींची रेखाएँ भुजाओं को [समानुपाती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/67-linear-and-affine-functions#def-g9-linfunc-linear) काटती हैं ([प्रमेय 68.1](#thm-g9-thales-direct)):

$$
\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13,
\qquad
\frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .
$$

परकार ने $A P_1$, $P_1 P_2$, $P_2 P_3$ को बराबर बनाया था, इसलिए अनुपात ठीक तिहाई हैं — किरण का कोण और परकार का फैलाव चाहे जो भी चुना गया हो।

**3.** पाँचवें हिस्सों के लिए: पाँच बराबर लंबाइयाँ नापो, पाँचवें बिंदु को $B$ से जोड़ो, और चार [समांतर रेखाएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) खींचो। किसी [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) का $\frac35$ चाहिए तो वही चित्र, और $P_3$ से गुज़रती [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा जिस बिंदु पर काटती है वही $A$ से $[AB]$ के $\frac35$ पर है।

**4.** $\frac{AM}{MB} = \frac23$ का मतलब है $AM = \frac25 AB$: किरण पर पाँच बराबर क़दम, $P_5$ को $B$ से जोड़ो, और $P_2$ से गुज़रती [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा $M$ पर निशान लगा देती है।

**5.** $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm नापने में हमेशा गिने-चुने दशमलव ही काम आते हैं: नापकर निकाला हुआ कोई भी “तिहाई” एक सन्निकट मान ही रहेगा। थेल्स की रचना कोई संख्या पढ़ती ही नहीं: वह ठीक $\frac{\sqrt2}{3}$ वाला बिंदु दे देती है — ऐसे [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) के बराबर हिस्से जिसे कोई पट्टी बता भी नहीं सकती ([समस्या 65.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/65-square-roots#pb-g9-sqrt-1))।

**6.** वस्तु का ऊपरी सिरा, छेद और तस्वीर का निचला सिरा एक ही रेखा पर हैं, और वैसे ही वस्तु का निचला सिरा तथा तस्वीर का ऊपरी सिरा: छेद पर कटती दो रेखाएँ, और वस्तु तथा तस्वीर वाली दीवार आपस में [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)। तितली में थेल्स:

$$
\frac{h}{H} = \frac{d}{D},
\qquad\text{यानी}\qquad
h = H \times \frac dD .
$$

**7.** $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — और उलटी (किरणें छेद पर एक-दूसरे को काट जाती हैं)।

**8.** $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times
\frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m। असली मान $1.39 \times 10^9$ m है: जूते का एक डिब्बा सूरज को कुछ ही प्रतिशत की ग़लती के भीतर नाप देता है।

**9.** चाँद: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8}
\approx 0.0092$। सूरज: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times
10^{11}} \approx 0.0093$। दोनों अनुपात — यानी आसमान में दिखने वाले आकार — लगभग एक जैसे हैं: चाँद सूरज को *बिलकुल* ढक सकता है, [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से [किनारे](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) तक। यही ब्रह्मांडीय संयोग पूर्ण सूर्यग्रहण है।

**10.** हर किरण को उसी एक छेद से गुज़रना पड़ता है, इसलिए वस्तु के ऊपरी सिरे से चली किरणें आगे *नीचे* जाती हैं और निचले सिरे से चलीं *ऊपर*: तस्वीर उलट जाती है। छेद बड़ा करने पर तस्वीर की थोड़ी-थोड़ी खिसकी हुई कई नक़लें एक साथ भीतर आती हैं और आपस में ऊपर-नीचे पड़ जाती हैं: ज़्यादा चमकीली, पर फैली हुई।

**11.** $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3}
= 2.5$, इसलिए $PQ = 10$; और $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} =
\frac{1}{2.5}$, इसलिए $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$।

**12.** अगर [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा किसी एक भुजा के मध्यबिंदु से गुज़रे, तो थेल्स का अनुपात $\frac12$ होता है, इसलिए वह दूसरी भुजा को भी *उसी के* मध्यबिंदु पर काटती है, और [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) [रेखाखंड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-objects) आधार का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) नापता है: ठीक [प्रमेय 59.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/59-midpoints-and-parallels#thm-g8-midpoints-direct)। थेल्स वही मध्यबिंदु प्रमेय है, बस $\frac12$ अनुपात की बंदिश से आज़ाद।

**13.** त्रिभुज $ACD$ में रेखा $(EO)$ आधार $(CD)$ के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) है, और $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} = \frac{4}{4 + 6} = \frac25$। थेल्स: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$, इसलिए $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$।

**14.** त्रिभुज $BDC$ में उसी तरह $\frac{BO}{BD} = \frac25$ और $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$। इसलिए

$$
EF = EO + OF = 4.8
= \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :
$$

यानी आधारों का [हरात्मक माध्य](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) — आने-जाने के सफ़र वाला माध्य ([समस्या 61.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1)), जो यहाँ एक समलंब में खिंचा हुआ है।

**15.** [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp): $5$; गुणोत्तर: $\sqrt{24} \approx 4.90$; हरात्मक: $4.8$। क्रम: $4.8 < 4.90\ldots < 5$, यानी हरात्मक $<$ गुणोत्तर $<$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) — और बराबरी सिर्फ़ तभी जब दोनों आधार बराबर हों। चित्र में: मध्य रेखा $5$ नापती है, विकर्णों के कटान से गुज़रती [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) रेखा $4.8$, और समरूपता वाली काट $\sqrt{24}$ — तीनों दोनों आधारों के बीच इसी क्रम में एक के ऊपर एक बैठी हैं। असमिकाएँ [समस्या 60.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/60-the-right-triangle-and-the-cosine#pb-g8-cosine-1) में सिद्ध हुई थीं (गुणोत्तर $\leq$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp), वृत्त से भी और सर्वसमिका से भी) और [समस्या 61.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/61-proportionality-speed-and-averages#pb-g8-speed-1) में (हरात्मक $\leq$ [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)); हरात्मक $\leq$ गुणोत्तर इन दोनों को जोड़ने से निकलता है ($H \times A = G^2$, जो वहीं सिद्ध हुआ है)।