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title: "ठोस और आयतन"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/70-solids-and-volumes
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# अध्याय 70 — ठोस और आयतन

त्रिविमीय ज्यामिति [ठोसों](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के एक छोटे-से परिवार से शुरू होती है — [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism), [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism), [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def), [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def), गोले — और दो सवालों से: उनमें कितना समाता है ([आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume)), और उन्हें किसी तल से काटने पर क्या दिखता है (काटें)? अध्याय बड़े काम की एक बात पर ख़त्म होता है: किसी [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को $k$ से घटाने-बढ़ाने पर उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $k^3$ गुना हो जाता है।

## 70.1 चिरपरिचित ठोस और उनके आयतन

**प्रमेय 70.1 (आयतन के सूत्र).**

आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $B$ लिखो और ऊँचाई $h$ (यानी आधार तथा सामने वाले [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) या शिखर के बीच की दूरी)।

| [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) | [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) |
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| [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism), [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def), [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] $r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला गोला | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

$r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) और [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) के लिए आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $B = \pi r^2$ है; और गोले की सतह का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $4\pi r^2$।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![इस अध्याय के ठोस। हर एक के आयतन में आधार का क्षेत्रफल और ऊँचाई आते हैं — सिर्फ़ गोले को अपनी त्रिज्या के सिवा कुछ नहीं चाहिए।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-efa7be662f5a.svg)

*इस अध्याय के [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def)। हर एक के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) में आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) और ऊँचाई आते हैं — सिर्फ़ गोले को अपनी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) के सिवा कुछ नहीं चाहिए।*

**उदाहरण 70.2.**

[बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के आकार वाले किसी डिब्बे की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm और ऊँचाई $10$ cm है:

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3
\approx 0.5 \text{ L}.
$$

उसी आधार और उसी ऊँचाई वाला [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) इसका एक तिहाई समाता है: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm$^3$। और $4$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला गोला: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm$^3$।

**उदाहरण 70.3 (क़दम दर क़दम एक पिरामिड).**

किसी [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का आधार $6$ m भुजा वाला वर्ग है और ऊँचाई $5$ m।

1. आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) : $B = 6^2 = 36$ m $^2$ ।
2. [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ ।

मात्रकों का ध्यान रखो: अगर भुजा cm में और ऊँचाई m में दी हो, तो पहले किसी एक को बदलना पड़ेगा।

## 70.2 तलों से बनी काटें

**प्रतिज्ञप्ति 70.4 (चिरपरिचित ठोसों की काटें).**

किसी [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को किसी तल से काटने पर एक चपटी आकृति मिलती है, उसकी *अनुप्रस्थ काट*:

- [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) या [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) को *उसके आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp)* काटने पर हर ऊँचाई पर आधार की ही एक नक़ल मिलती है;
- [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) या [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) को उसके आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) काटने पर आधार का एक *घटा हुआ रूप* मिलता है: शिखर से $d$ दूरी पर [मापक गुणक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling) $k = \frac{d}{h}$ होता है;
- $r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले गोले को उसके केंद्र से $d < r$ दूरी पर किसी तल से काटने पर $\sqrt{r^2 - d^2}$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला वृत्त मिलता है (पाइथागोरस प्रमेय से)।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![बाएँ: किसी शंकु को उसके आधार के समांतर, शिखर से d दूरी पर काटने से k = dh गुणक वाला चक्र मिलता है। दाएँ: गोले के केंद्र से d दूरी पर रखा तल उसे √r2 - d2 त्रिज्या वाले वृत्त में काटता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-fa6cfbe36e20.svg)

*बाएँ: किसी [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) को उसके आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp), शिखर से $d$ दूरी पर काटने से $k = \frac dh$ गुणक वाला चक्र मिलता है। दाएँ: गोले के केंद्र से $d$ दूरी पर रखा तल उसे $\sqrt{r^2 - d^2}$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले वृत्त में काटता है।*

**उदाहरण 70.5.**

किसी [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) के आधार की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $6$ और ऊँचाई $9$ है। आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp), शिखर से $3$ दूरी पर लिए गए तल की काट एक चक्र है जिसका [मापक गुणक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling) $k = \frac39 = \frac13$ है: यानी उसकी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $6 \times \frac13 = 2$।

$5$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले गोले को उसके केंद्र से $3$ दूरी पर किसी तल से काटा जाता है: काट $\sqrt{25 - 9} = 4$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला वृत्त है।

## 70.3 ठोसों को घटाना-बढ़ाना

**प्रमेय 70.6 (लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन पर मापक गुणक का असर).**

किसी [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को [मापक गुणक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling) $k > 0$ से बढ़ाने या घटाने पर:

- हर लंबाई $k$ से गुणा हो जाती है;
- हर [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $k^2$ से;
- हर [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $k^3$ से।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 70.7.**

$\frac{1}{18}$ [मापनी](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-scale) वाली कोई नमूना कार: उसकी लंबाइयाँ असली कार की लंबाइयों को $k = \frac{1}{18}$ से गुणा करके मिलती हैं, रंगी जाने वाली सतह $k^2 = \frac{1}{324}$ से, और [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $k^3 = \frac{1}{5832}$ से।

किसी गोले की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) दुगनी करने ($k = 2$) पर उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $2^3 = 8$ गुना हो जाता है: सूत्र पर जाँच लो, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$।

**उदाहरण 70.8 (छिन्नक शंकु).**

ऊँचाई $9$ और आधार-त्रिज्या $6$ वाले किसी [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) ([आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) को शिखर से $3$ दूरी पर काटकर ऊपर वाला छोटा [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) हटा दिया जाता है। वह छोटा [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) $k = \frac13$ गुणक वाला घटा हुआ रूप है, इसलिए उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ है। बचे हुए [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) (यानी एक *छिन्नक [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def)*) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$।

## 70.4 अभ्यास

**अभ्यास 70.1 ★.**

[आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो: $4 \times 5 \times 12$ नाप वाला [घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) (आयताकार [प्रिज़्म](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism)); और $3$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) तथा $7$ ऊँचाई वाला [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) ($\pi$ के साथ बिलकुल सही मान, फिर इकाई तक गोल किया हुआ)।

**हल — अभ्यास 70.1.**

[घनाभ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def): $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$।

[बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$।

**अभ्यास 70.2 ★.**

$5$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $12$ ऊँचाई वाले [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो, और $8 \times 3$ के आयताकार आधार तथा $10$ ऊँचाई वाले [पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का भी।

**हल — अभ्यास 70.2.**

[शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 =
100\pi \approx 314$।

[पिरामिड](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): आधार का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $B = 8 \times 3 = 24$, इसलिए $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$।

**अभ्यास 70.3 ★.**

$6$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले गोले का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) और उसकी सतह का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) निकालो ($\pi$ के साथ बिलकुल सही मान)।

**हल — अभ्यास 70.3.**

[आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$।

सतह का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area): $4\pi \times 6^2 = 144\pi$।

**अभ्यास 70.4 ★.**

$10$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले गोले को उसके केंद्र से $8$ दूरी पर किसी तल से काटा जाता है। काट वाले वृत्त की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) कितनी है?

**हल — अभ्यास 70.4.**

काट की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes): $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36}
= 6$।

**अभ्यास 70.5 ★★.**

किसी [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) के आधार की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $8$ और ऊँचाई $12$ है। आधार के [समांतर](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/40-lines-circles-and-angles#def-g6-lines-perp) कोई तल उसे शिखर से $9$ दूरी पर काटता है। काट की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) निकालो, फिर काट के ऊपर बचे छोटे [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume)।

**हल — अभ्यास 70.5.**

पूरे [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) से छोटे [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) तक का [मापक गुणक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/68-thales-theorem#def-g9-thales-scaling): $k = \frac{9}{12} = \frac34$। काट की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes): $8 \times \frac34 = 6$।

पूरे [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$। छोटे [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 =
256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$।

**अभ्यास 70.6 ★★.**

[बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के आकार वाले किसी गिलास की भीतरी [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm है और उसमें $10$ cm ऊँचाई तक पानी भरा है। $2$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाली एक गेंद उसमें पूरी डुबो दी जाती है। पानी की सतह कितनी ऊपर उठेगी? (जुड़ा हुआ [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) गिलास के आधार के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) पर फैल जाता है; पहले बिलकुल सही उठान बताओ, फिर मिलीमीटर तक गोल करो।)

**हल — अभ्यास 70.6.**

गेंद का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume): $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm$^3$। यह [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) आधार के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$ पर फैल जाता है, इसलिए सतह इतनी ऊपर उठती है:

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}
$$

(यानी क़रीब $12$ mm)।

**अभ्यास 70.7 ★★.**

किसी पकवान की विधि $6$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले गोल साँचे को भर देती है। तुम्हारे पास सिर्फ़ $3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला गोल साँचा है। कितने छोटे साँचे भरे जा सकेंगे? (दोनों में से कोई भी [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकाले बिना उत्तर दो।)

**हल — अभ्यास 70.7.**

छोटा साँचा बड़े का $k = \frac36 = \frac12$ गुणक वाला घटा हुआ रूप है, इसलिए उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) बड़े के $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ के बराबर है: यानी वह विधि $8$ छोटे साँचे भर देगी।

**अभ्यास 70.8 ★★.**

गीज़ा के महापिरामिड के आधार की भुजा क़रीब $230$ m है और ऊँचाई क़रीब $147$ m। उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) आँको, और उसे मिलियन [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) मीटर में बताओ।

**हल — अभ्यास 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147
= 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m$^3$ — यानी क़रीब $2.6$ मिलियन [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) मीटर।

**अभ्यास 70.9 ★★★.**

$6$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $12$ cm ऊँचाई वाली [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) के आकार की कोई क़ीप, शिखर नीचे की ओर, अपनी *ऊँचाई* के आधे तक पानी से भरी है (ऊँचाई शिखर से नापी गई है)।

1. क़ीप के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का कितना [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) भरा हुआ है?
2. और अगर उसमें उसके *[आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume)* का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) पानी भरा जाए, तो दिखाओ कि पानी की ऊँचाई $d$ शर्त $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ मानती है, और $d$ मिलीमीटर तक बताओ ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ )।

**हल — अभ्यास 70.9.**

*1.* पानी $k = \frac12$ गुणक वाला [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) बनाता है (शिखर नीचे, ऊँचाई आधी), इसलिए उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) क़ीप के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ है: एक बटा आठ, आधे से कहीं कम!

*2.* ऊँचाई $d$ तक भरा पानी $k = \frac{d}{12}$ गुणक वाला [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) बनाता है, जिसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) क़ीप के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का $k^3$ गुना है। [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) होने का मतलब है $k^3 = \frac12$, यानी $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$। तब $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$, यानी $d \approx 9.5$ cm: [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का दूसरा [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) हिस्सा सिर्फ़ ऊपर वाले $2.5$ cm में समा जाता है — [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) का चौड़ा हिस्सा ही ज़्यादातर पानी रखता है।

## 70.5 समस्या: आर्किमिडीज़ की समाधि-शिला

**समस्या 70.1.**

सप्ताहांत समस्या — गोला अपने बेलन का दो तिहाई है (दो-दो बार), $1:2:3$ की तिकड़ी, और वह वर्ग–घन नियम जो दानवों को मना कर देता है

आर्किमिडीज़ ने बहुत-सी प्रमेय सिद्ध कीं, पर एक पर उन्हें इतना गर्व था कि उन्होंने उसका *चित्र* अपनी समाधि पर खुदवाने को कहा: अपने सबसे कसे हुए [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के भीतर बैठा एक गोला। सौ साल बाद रोमन लेखक सिसरो ने सिरैक्यूज़ के पास झाड़ियों में ढूँढ़ते हुए उस समाधि को “गोले और [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) से” पहचान लिया। यह समस्या उस खुदाई में छिपी बात — दो तिहाई का दोहरा चमत्कार — फिर से निकालती है, और फिर आयतनों तथा सतहों ([प्रमेय 70.1](#thm-g9-solids-volumes), [प्रमेय 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) के सहारे उस नियम तक पहुँचती है जो दानवों, चींटियों और ठंडे पड़ते ग्रहों, सब पर राज करता है।

**भाग I — खुदाई का मतलब।** $r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला कोई गोला किसी [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के भीतर ठीक-ठीक बैठा है: वही [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes), और ऊँचाई $2r$।

1. [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $r$ की मदद से निकालो।
2. गोले के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) और [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) का अनुपात निकालो। आर्किमिडीज़ को यह बात क्यों भाई होगी कि उत्तर में न $\pi$ है, न $r$ ?
3. अब सतहें: गोले की सतह के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) की तुलना [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) की *पूरी* सतह से करो (बग़ली हिस्सा और दोनों ढक्कन)। कौन-सा अनुपात फिर से सामने आता है?
4. गोले और [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) के बीच की ख़ाली जगह का [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ है। दिखाओ कि यह बचत ठीक $r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) और $r$ ऊँचाई वाले *दो शंकुओं* के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) के बराबर है।
5. $12$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाली कोई बास्केटबॉल सबसे कसे हुए बेलनाकार डिब्बे में बिकती है। दोनों [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो (नज़दीकी $100$ cm $^3$ तक) और बताओ कि डिब्बे का कितने प्रतिशत हिस्सा ख़ाली रहता है।

**भाग II — कटोरे, साँचे और चाँद।**

6. किसी अर्धगोलाकार कटोरे की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm है। उसकी [धारिता](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) निकालो, cm $^3$ में और लीटर में (डेसीलीटर तक)।
7. $1:2:3$ की तिकड़ी: एक [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def) , एक अर्धगोला और एक [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) , तीनों की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm और ऊँचाई $10$ cm। तीनों [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) निकालो और उस मशहूर [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) $1 : 2 : 3$ की पुष्टि करो। (यह भी आर्किमिडीज़ को पसंद आता।)
8. $3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाला चॉकलेट का गोला पिघलाकर $3$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले बेलनाकार साँचे में डाला जाता है। चॉकलेट किस ऊँचाई तक पहुँचेगी? (पहले बिलकुल सही [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) , फिर मिलीमीटर तक।)
9. धरती की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) क़रीब $6\,371$ km है और चाँद की क़रीब $1\,737$ km। [त्रिज्याओं](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) का अनुपात निकालो, फिर — [प्रमेय 70.6](#thm-g9-solids-scaling) की मदद से — आयतनों का: [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) के हिसाब से कितने चाँद एक खोखली धरती में समा जाएँगे?
10. उसी प्रमेय से: धरती और चाँद की *सतहों के [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area)* का अनुपात क्या है? और आम तौर पर, किसी गुब्बारे की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) दुगनी होने पर उसके [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) तथा उसकी सतह का क्या होता है? *वर्ग–घन नियम* बताओ: कोई आकार जैसे-जैसे बड़ा होता जाता है, [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) सतहों से आगे निकल जाते हैं।

**भाग III — वर्ग–घन नियम दुनिया चलाता है।**

11. दानवों के ख़िलाफ़ गैलीलियो की दलील: किसी आदमी को उन्हीं अनुपातों में $10$ गुना बड़ा कर दिया गया, ऐसा सोचो। उसका भार कितने गुना बढ़ेगा (भार [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) के साथ चलता है)? हड्डियों की [अनुप्रस्थ काट](#prop-g9-solids-sections) कितने गुना बढ़ेगी (वह एक [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) है)? और तब हड्डी के हर वर्ग सेंटीमीटर पर पड़ने वाला *दाब* कितने गुना बढ़ेगा — और उस दानव का क्या होगा?
12. यही नियम उलटा चलकर चींटियों के करतब समझा देता है: ताक़त माँसपेशी की [अनुप्रस्थ काट](#prop-g9-solids-sections) (एक [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) ) के साथ चलती है, और भार [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) के साथ। हर दिशा में $100$ गुना छोटे किसी जीव के लिए भार और ताक़त कितने-कितने गुना घटते हैं, और ताक़त-और-भार का अनुपात कितने गुना सुधर जाता है?
13. ऊष्मा शरीर के [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) से बनती है और उसकी सतह से बाहर जाती है। दिखाओ कि किसी गोले के लिए सतह-और-आयतन का अनुपात $\frac{3}{r}$ होता है, और उसे $r = 1$ तथा $r = 2$ पर निकालो। चूहा जल्दी ठंडा पड़ता है या भालू — और सर्दियों में नन्हे बच्चों को टोपी क्यों चाहिए?
14. $4$ cm और $5$ cm [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) वाले दो गोल संतरे एक ही दाम पर बिक रहे हैं। उनके आयतनों का अनुपात निकालो: उतने ही पैसों में बड़ा संतरा कितना ज़्यादा संतरा देता है?
15. समापन: ठीक-ठीक बताओ कि समाधि वाला चित्र किस बात को अपने भीतर समेटे है — सवाल 2 और 3 वाले दोनों “दो तिहाई” — और सिसरो को एक वाक्य में जवाब दो: कोई गणितज्ञ अपनी इंजीनियरी प्रतिभा की हर विजय को छोड़कर [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) में बैठा एक गोला ही क्यों चुनेगा?

**हल — समस्या 70.1.**

**1.** $V_{\text{बेलन}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$।

**2.** $\dfrac{V_{\text{गोला}}}{V_{\text{बेलन}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$। $\pi$ और $r^3$ दोनों कट जाते हैं: यह [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) *सार्वभौम* है — कंचे पर भी उतना ही सच, ग्रह पर भी। यह संख्याओं का नहीं, आकारों का रिश्ता है: ठीक वैसा सच जिसे पत्थर पर खुदवाया जाए।

**3.** गोला: $4\pi r^2$। [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): बग़ली सतह $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, और उस पर दो ढक्कन $2 \times \pi r^2$: कुल $6\pi r^2$। अनुपात: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — वही दो तिहाई, इस बार सतहों के लिए। (और एक मुफ़्त की बात: गोले का [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) ठीक [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) की बग़ली सतह के बराबर निकलता है।)

**4.** बची जगह: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 =
\frac23 \pi r^3$। और $r$ [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) तथा $r$ ऊँचाई वाले दो [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$। बराबर।

**5.** गेंद: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$; डिब्बा: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$। ख़ाली: डिब्बे का एक तिहाई, यानी क़रीब $33\,\%$ — और यह सवाल 2 की गारंटी है, गेंद चाहे जितनी बड़ी हो।

**6.** गोले का [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half): $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times
1\,000 \approx 2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L।

**7.** [शंकु](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/62-pyramids-and-cones#def-g8-solids-def): $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 =
\frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm$^3$। अर्धगोला: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$। [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism): $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$। अनुपात: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3}
= 1 : 2 : 3$, बिलकुल ठीक।

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ से $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm, बिलकुल सही।

**9.** [त्रिज्याएँ](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes): $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$। [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) [घन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) के हिसाब से बदलते हैं ([प्रमेय 70.6](#thm-g9-solids-scaling)): $3.67^3 \approx 49$। यानी क़रीब पचास चाँद धरती में समा जाएँगे।

**10.** सतहें वर्ग के हिसाब से बदलती हैं: $3.67^2 \approx 13.5$। किसी गुब्बारे की [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) दुगनी करने पर उसका [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) $2^3 = 8$ गुना होता है, पर सतह सिर्फ़ $2^2 = 4$ गुना: चीज़ें जैसे-जैसे बड़ी होती हैं, [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) (भार, समाई, बनी ऊष्मा) सतह (खाल, सामग्री, खोई ऊष्मा) से आगे निकल जाता है — यही वर्ग–घन नियम है।

**11.** भार: $\times 10^3 = 1\,000$ गुना। हड्डी की [अनुप्रस्थ काट](#prop-g9-solids-sections): $\times 10^2 = 100$ गुना। दाब — यानी हड्डी के प्रति [क्षेत्रफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-area) भार: $\times \frac{1000}{100} = 10$ गुना। आदमी भर के दाब के लिए बनी हड्डियों पर दस गुना दाब पड़ेगा: दानव का ढाँचा अपने ही भार से चटक जाएगा। दानव ज्यामिति के हिसाब से नामुमकिन हैं; बड़े जानवरों को अनुपात से कहीं ज़्यादा मोटी हड्डियाँ चाहिए होती हैं (हाथी की टाँगें हिरन की टाँगों से मिलाकर देखो)।

**12.** भार: $\div 100^3 = 10^6$ गुना कम। ताक़त (माँसपेशी की [अनुप्रस्थ काट](#prop-g9-solids-sections)): $\div 100^2 = 10^4$ गुना कम। ताक़त-और-भार: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ गुना बेहतर। अपने भार से पचास गुना उठा लेने वाली चींटी कोई महाबली नहीं है — वह बस छोटी है; चींटी के नाप तक सिकोड़ दिया गया आदमी भी यही कर लेता।

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3}
= \dfrac{3}{r}$: $r = 1$ पर अनुपात $3$ है और $r = 2$ पर $1.5$ — यानी नाप आधी करने पर ऊष्मा बनाने वाले हर इकाई [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) के हिस्से में दुगनी सतह आ जाती है। छोटे शरीर ऊष्मा बहा देते हैं: चूहे को लगातार खाना पड़ता है, भालू शीतनिद्रा ले सकता है, और नन्हा बच्चा — छोटा गोला, बड़ा $\frac SV$ — टोपी माँगता है।

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx
1.95$: उतने ही दाम में बड़ा संतरा क़रीब *दुगना* फल देता है। पैसा [त्रिज्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-shapes) पर लगाओ।

**15.** खुदाई यह कहती है: गोला [आयतन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/43-perimeter-area-volume#def-g6-measure-volume) में [बेलन](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/53-areas-and-volumes#def-g7-areas-prism) का $\frac23$ है, *और* कुल सतह में भी उसका $\frac23$ — यानी दो बिलकुल सही, सार्वभौम [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table), जो सबसे गोल [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) को सबसे सादे [ठोस](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def) से बाँध देते हैं। सिसरो को जवाब: क्योंकि प्रमेय ही वह अकेली यादगार है जिसे न सेनाएँ मिटा पाती हैं, न सदियाँ — आर्किमिडीज़ की मशीनें सिरैक्यूज़ के साथ जल गईं, पर दो तिहाई आज भी ठीक दो तिहाई है।