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title: "सांख्यिकी और प्रायिकता"
book: "प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित"
subject: math
language: hi
chapter: 71
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/71-statistics-and-probability
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# अध्याय 71 — सांख्यिकी और प्रायिकता

आँकड़े और संयोग हर जगह हैं: खेलों के नतीजे, मौसम की भविष्यवाणी, पासे और ताश। यह अध्याय सिखाता है कि संख्याओं की किसी श्रेणी को उसके [माध्य](#def-g9-statproba-indicators), [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) और [परास](#def-g9-statproba-indicators) में कैसे समेटा जाए, और सादे यादृच्छिक प्रयोगों की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) कैसे निकाली जाए — दो चरणों वाले प्रयोग भी, जिन्हें वृक्ष आरेख सँभाल लेते हैं। दोनों विषय इस श्रृंखला के हाई-स्कूल खंड में कहीं आगे तक ले जाए गए हैं।

## 71.1 आँकड़ों को समेटना

**परिभाषा 71.1 (माध्य, माध्यिका, परास).**

$N$ संख्याओं की किसी श्रेणी के लिए:

- *माध्य* सारे मानों का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) है, $N$ से भाग दिया हुआ;
- *माध्यिका* वह मान है जो क्रम से लगी श्रेणी को बराबर आकार के दो हिस्सों में बाँट देता है: $N$ विषम हो तो बीच वाला मान, और $N$ सम हो तो बीच वाले दो मानों का मध्यबिंदु;
- *परास* सबसे बड़े मान में से सबसे छोटा मान घटाने पर मिलता है।

**उदाहरण 71.2.**

किसी विद्यार्थी के अंक: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$।

1. [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) : $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ ।
2. [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) : श्रेणी को क्रम से लगाओ: $8, 9, 11, 12, 15$ ; बीच वाला (तीसरा) मान $11$ है।
3. [परास](#def-g9-statproba-indicators) : $15 - 8 = 7$ ।

$17$ का छठा अंक जुड़ जाए: क्रम से $8, 9, 11, 12, 15, 17$, तो [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) $11$ और $12$ का मध्यबिंदु यानी $11.5$ हो जाती है, और [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{72}{6} = 12$।

**उदाहरण 71.3 (भारित माध्य).**

एक दिन में बिके जूतों के नाप:

| नाप | $38$ | $39$ | $40$ | $41$ | $42$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) | $3$ | $7$ | $6$ | $3$ | $1$ |

नाप का [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) है

$$
\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42}
{3 + 7 + 6 + 3 + 1}
= \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20}
= \frac{792}{20} = 39.6 .
$$

**टिप्पणी 71.4.**

[माध्य](#def-g9-statproba-indicators) और [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) में बहुत फ़र्क़ पड़ सकता है। श्रेणी $10, 10, 10, 10, 60$ में [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $20$ है (मान $60$ ने उसे ऊपर खींच लिया) जबकि [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) $10$ है। हमेशा पूछो कि कौन-सा सूचक हालत को बेहतर बताता है।

## 71.2 प्रायिकता

**परिभाषा 71.5 (प्रायिकता).**

किसी यादृच्छिक प्रयोग के कई संभव *परिणाम* होते हैं; और *घटना* परिणामों का एक समुच्चय है। हर परिणाम को एक *प्रायिकता* मिलती है: $0$ और $1$ के बीच की एक संख्या, और सारे परिणामों की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है; किसी घटना $A$ की प्रायिकता $\P(A)$ उसके परिणामों की प्रायिकताओं का [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) है। जब सभी $n$ परिणाम समान रूप से संभावित हों, तब

$$
\P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की गिनती}}{n}.
$$

**उदाहरण 71.6.**

कोई चक्र $8$ बराबर खंडों में बँटा है: $3$ लाल, $3$ नीले, $2$ हरे। हर खंड की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) $\frac18$ है, इसलिए

$$
\P(\text{लाल}) = \frac38, \qquad
\P(\text{हरा}) = \frac28 = \frac14, \qquad
\P(\text{हरा नहीं}) = 1 - \frac14 = \frac34 .
$$

**प्रतिज्ञप्ति 71.7 (पूरक).**

हर घटना $A$ के लिए उसकी *पूरक घटना* $\bar A$ (“$A$ घटित नहीं होती”) यह शर्त मानती है:

$$
\P(\bar A) = 1 - \P(A).
$$

**उपपत्ति.** हर परिणाम $A$ और $\bar A$ में से ठीक एक में पड़ता है, इसलिए $\P(A) + \P(\bar A)$ सारे परिणामों की प्रायिकताओं को जोड़ देता है, जो $1$ है। ∎

## 71.3 दो चरणों वाले प्रयोग

**विधि 71.8 (वृक्ष आरेख).**

दो चरणों वाले किसी प्रयोग के लिए:

1. पहले चरण के हर परिणाम के लिए एक शाखा खींचो, फिर हर शाखा को दूसरे चरण के परिणामों से आगे बढ़ाओ, और हर शाखा पर उसकी [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) लिख दो;
2. किसी रास्ते की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) पाने के लिए उस रास्ते भर की प्रायिकताओं को गुणा करो;
3. किसी घटना को बनाने वाले सारे रास्तों की प्रायिकताएँ जोड़ दो।

**उदाहरण 71.9.**

किसी थैली में $2$ लाल और $3$ काली गोटियाँ हैं। एक गोटी निकालो, उसका रंग नोट करो, *उसे वापस डाल दो*, और फिर से निकालो। हर बार लाल $\frac25$ [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) से आती है और काली $\frac35$ [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) से।

![वापस डालकर किए गए दोनों निकालों का वृक्ष: शाखाओं के साथ-साथ गुणा करो, और जाँच लो कि चारों रास्तों का योग 1 है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-statproba/fig-b77ce3cb6929.svg)

*वापस डालकर किए गए दोनों निकालों का वृक्ष: शाखाओं के साथ-साथ गुणा करो, और जाँच लो कि चारों रास्तों का योग $1$ है।*

एक ही रंग की दो गोटियाँ आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability): $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$। कम से कम एक लाल आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability): $1 - \P(\text{कक}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$।

**टिप्पणी 71.10 (आवृत्तियाँ प्रायिकताओं के पास पहुँचती हैं).**

किसी न्यायसंगत पासे को $6000$ बार फेंकने पर *क़रीब* $1000$ छक्के आते हैं — ठीक-ठीक नहीं। दोहराव जितने बढ़ते जाते हैं, देखी गई आवृत्तियाँ प्रायिकताओं के उतने ही पास आती जाती हैं: इसी से [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) बार-बार दोहराए जाने वाले प्रयोगों का सही औज़ार बन जाती है (यह कहानी इस श्रृंखला के हाई-स्कूल खंड में आगे बढ़ती है)।

## 71.4 अभ्यास

**अभ्यास 71.1 ★.**

श्रेणी $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$ का [माध्य](#def-g9-statproba-indicators), [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) और [परास](#def-g9-statproba-indicators) निकालो।

**हल — अभ्यास 71.1.**

[माध्य](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$।

[माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators): क्रम से $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$; बीच वाला (चौथा) मान $12$ है।

[परास](#def-g9-statproba-indicators): $17 - 9 = 8$।

**अभ्यास 71.2 ★.**

हफ़्ते भर दोपहर के तापमान $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ डिग्री रहे। [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) (दसवें भाग तक) और [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) निकालो।

**हल — अभ्यास 71.2.**

[माध्य](#def-g9-statproba-indicators): $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7}
\approx 21.1$ डिग्री।

[माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators): क्रम से $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$; चौथा मान $21$ डिग्री है।

**अभ्यास 71.3 ★.**

किसी टीम ने $10$ मुक़ाबलों में जितने गोल किए:

| गोल | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| मुक़ाबले | $2$ | $4$ | $3$ | $1$ |

हर मुक़ाबले में गोलों का [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) निकालो, और [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) भी।

**हल — अभ्यास 71.3.**

[माध्य](#def-g9-statproba-indicators):

$$
\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10}
= \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3
\text{ गोल प्रति मुक़ाबला।}
$$

[माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators): क्रम से लगी श्रेणी $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ है; पाँचवाँ और छठा, दोनों मान $1$ हैं: यानी [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) $1$।

**अभ्यास 71.4 ★.**

कोई न्यायसंगत पासा एक बार फेंका जाता है। इनकी [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो: “$3$ आना”; “[सम संख्या](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) आना”; “कम से कम $3$ आना”; “$6$ न आना”।

**हल — अभ्यास 71.4.**

$\P(3) = \frac16$। $\P(\text{सम}) = \frac36 = \frac12$। $\P(\text{कम से कम } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$। $\P(6 \text{ नहीं}) = 1 - \frac16 = \frac56$।

**अभ्यास 71.5 ★.**

किसी डिब्बे में $12$ गेंदें हैं: $5$ सफ़ेद, $4$ लाल और $3$ हरी; एक गेंद यादृच्छिक ढंग से निकाली जाती है। $\P(\text{सफ़ेद})$, $\P(\text{लाल या हरी})$ और $\P(\text{सफ़ेद नहीं})$ निकालो। आख़िरी दो के बारे में क्या दिखाई देता है?

**हल — अभ्यास 71.5.**

$\P(\text{सफ़ेद}) = \frac{5}{12}$।

$\P(\text{लाल या हरी}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$।

$\P(\text{सफ़ेद नहीं}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$।

आख़िरी दोनों बराबर हैं: “सफ़ेद नहीं” दरअसल “लाल या हरी” घटना *ही* है।

**अभ्यास 71.6 ★★.**

एक सिक्का उछाला जाता है, फिर एक न्यायसंगत पासा फेंका जाता है। वृक्ष खींचो (या परिणाम गिनो) और चित *और* $6$ आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो; फिर चित *या* $6$ (या दोनों) आने की।

**हल — अभ्यास 71.6.**

बारहों परिणाम (सिक्के का [फलक](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/35-cubes-and-boxes#def-g5-solids-def), पासे का मान) समान रूप से संभावित हैं।

चित और $6$: बारह में से एक परिणाम: $\frac{1}{12}$।

चित या $6$: चित वाले परिणाम ($6$ हैं) और उनके साथ (पट, $6$) वाला परिणाम: कुल $7$ परिणाम, यानी $\frac{7}{12}$। हर घटना को अलग गिनकर साझा हिस्सा घटा देने पर भी वही मिलता है: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$।

**अभ्यास 71.7 ★★.**

[उदाहरण 71.9](#ex-g9-statproba-tree) वाली थैली में ($2$ लाल, $3$ काली) अब दोनों गोटियाँ *बिना* वापस डाले निकाली जाती हैं। नया वृक्ष खींचो (ध्यान रहे: दूसरे स्तर की प्रायिकताएँ बदल जाती हैं) और दो काली गोटियाँ आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो, फिर अलग-अलग रंग की दो गोटियाँ आने की।

**हल — अभ्यास 71.7.**

पहला निकाल: लाल $\frac25$, काली $\frac35$। बिना वापस डाले दूसरा निकाल: लाल आने के बाद $4$ में से $1$ लाल और $3$ काली बचती हैं; काली आने के बाद $4$ में से $2$ लाल और $2$ काली।

दो काली: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$।

अलग-अलग रंग (लक या कल): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24
= \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$।

**अभ्यास 71.8 ★★.**

$9$ मुक़ाबलों के बाद किसी बास्केटबॉल खिलाड़ी का [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $14$ अंक प्रति मुक़ाबला है।

1. उसने कुल कितने अंक बनाए हैं?
2. [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $15$ करने के लिए उसे दसवें मुक़ाबले में कितने अंक बनाने होंगे?

**हल — अभ्यास 71.8.**

*1.* $9 \times 14 = 126$ अंक।

*2.* $10$ मुक़ाबलों में [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $15$ होने का मतलब है कुल $150$ अंक: यानी उसे $150 - 126 = 24$ अंक बनाने होंगे।

**अभ्यास 71.9 ★★★.**

एक खेल: दो न्यायसंगत पासे फेंको; दोनों के नतीजे बराबर आ जाएँ (“जोड़ा”), तो तुम जीते।

1. जीतने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो।
2. तुम दो बार खेलते हो (दोनों खेल एक-दूसरे से स्वतंत्र)। वृक्ष की मदद से कम से कम एक बार जीतने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो।

**हल — अभ्यास 71.9.**

*1.* समान रूप से संभावित $36$ जोड़ों में से जोड़े वाले परिणाम $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ हैं: कुल छह, इसलिए $\P(\text{जोड़ा}) = \frac{6}{36} = \frac16$।

*2.* दो स्वतंत्र खेल: हर स्तर पर जीत ($\frac16$) / हार ($\frac56$) वाला वृक्ष। एक बार भी न जीतने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability): $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$। इसलिए

$$
\P(\text{कम से कम एक जीत}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31 .
$$

## 71.5 समस्या: शेवालिए की डुबो देने वाली बाज़ियाँ

**समस्या 71.1.**

सप्ताहांत समस्या — $1654$ का वह जुआ-झगड़ा जिसने प्रायिकता का सिद्धांत खड़ा कर दिया, और वह जन्मदिन वाला संयोग जो हर कक्षा को चकमा दे जाता है

$1654$ में जुए के शौक़ीन एक फ़्रांसीसी रईस, शेवालिए दे मेरे, पासे की एक बाज़ी से मालामाल हो गए और एक दूसरी बाज़ी में हारने लगे, जिसे वे पहली के बराबर मानते थे। उलझन में उन्होंने गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल से पूछा; पास्कल ने पिएर दे फ़र्मा को लिखा; और उन दोनों की चिट्ठियों ने [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) के सिद्धांत की नींव रख दी। यह समस्या पूरा क़िस्सा इसी अध्याय के औज़ारों से दोहराती है — समान रूप से संभावित परिणाम, वृक्ष और पूरक का नियम ([प्रतिज्ञप्ति 71.7](#prop-g9-statproba-complement)) — और सबसे अनहोनी लगने वाले संयोग पर जाकर ख़त्म होती है।

**भाग I — पासे, ईमानदारी से गिने हुए।**

1. कोई न्यायसंगत पासा दो बार फेंको। वृक्ष (या $6 \times 6$ की सारणी) की मदद से दोनों बार छक्का *न* आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो, और उससे कम से कम एक छक्का आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) ।
2. कोई सहपाठी कहता है: “हर बार छह में से एक मौक़ा, और दो बार, यानी $\frac16 + \frac16 = \frac13$ ।” सवाल 1 से तुलना करो और ठीक-ठीक बताओ कि उसका जोड़ किन परिणामों को दो बार गिन जाता है।
3. दो पासे फेंककर जोड़ना: [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $7$ आने की और [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2$ आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) निकालो। $7$ जुआरियों का मनपसंद क्यों है?
4. पुराना झगड़ा: दो पासों से [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $9$ ज़्यादा संभव है या [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $10$ ? परिणाम गिनकर फ़ैसला करो।
5. सवाल 1 को आम बनाओ: समझाओ कि $n$ बार फेंकने पर कम से कम एक छक्का आने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) $$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$$ क्यों होती है — वृक्ष की “छक्का नहीं” वाली शाखाएँ एक स्तर से अगले स्तर तक गुणा होती चली जाती हैं।

**भाग II — शेवालिए की दोनों बाज़ियाँ।**

6. पहली बाज़ी, बराबर दाँव पर: *पासे की चार फेंकों में कम से कम एक छक्का* । $\left(\frac56\right)^4$ को [भिन्न](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/63-fractions-and-powers#def-g9-fractions-fraction) के रूप में और दशमलव में निकालो, और शेवालिए के जीतने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) भी। क्या बाज़ी अच्छी थी?
7. शेवालिए का अपना तर्क यह था: “चार फेंकें, हर एक $\frac16$ की: यानी $\frac46$ का मौक़ा।” यहाँ उससे जवाब लगभग सही निकल आया — पर उसी तर्क को $7$ फेंकों तक बढ़ाओ: कौन-सी बेतुकी बात निकलती है, और सवाल 2 वाली कौन-सी ग़लती वह दोहरा रहा है?
8. दूसरी बाज़ी, जिसे वे [समानुपात](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/49-proportionality#def-g7-prop-table) के भरोसे पहली के बराबर मानते थे (“ $24$ फेंकें, हर एक $\frac1{36}$ की: फिर वही $\frac{24}{36} = \frac46$ ”): *दो पासों की $24$ फेंकों में कम से कम एक बार दोहरा छक्का* । जीतने की असली [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ निकालो (कैलकुलेटर से)। शेवालिए धीरे-धीरे क्यों डूब गए?
9. दो पासों की कितनी फेंकें उनका पलड़ा फिर से भारी कर देतीं? कैलकुलेटर से $n = 25$ आज़माओ और नतीजा निकालो।
10. दो वाक्यों में सीख लिखो: किसी [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) को कोशिशों की [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) से गुणा कर देने में आम तौर पर ख़राबी क्या है — और उस लालच की जगह कौन-सा सही औज़ार आता है?

**भाग III — [माध्य](#def-g9-statproba-indicators), माध्यिकाएँ, जन्मदिन।**

11. कोई छोटी कंपनी अपने नौ कर्मचारियों को महीने के $2\,000$ यूरो देती है और निदेशक को $20\,000$ । वेतन का [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) और [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) निकालो ( [परिभाषा 71.1](#def-g9-statproba-indicators) )। नौकरी के विज्ञापन में ईमानदारी से कौन-सी संख्या छापी जानी चाहिए?
12. पाँच अंकों की ऐसी सूची बनाओ जिसका [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $12$ हो और [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) $15$ । यह जोड़ी ( [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) , [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) से नीचे) अंकों की शक्ल के बारे में क्या कहती है?
13. जन्मदिन वाली समस्या: $23$ विद्यार्थियों की किसी कक्षा में कम से कम दो का जन्मदिन एक ही दिन पड़ने की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) क्या है? पूरक घटना खड़ी करो (तेईसों जन्मदिन अलग-अलग): $$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times  \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$$ पहले तीन गुणकों का [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) निकालो, बताओ कि गुणक आगे कैसे बदलते जाते हैं, और — यह मानकर कि पूरा [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) क़रीब $0.493$ है — सवाल का जवाब दो। ज़्यादातर लोग “बहुत मुश्किल” का अंदाज़ा लगाते हैं: गणित क्या कहता है?
14. अटकल की मरम्मत: $23$ विद्यार्थियों की कक्षा में कितने *जोड़े* एक ही जन्मदिन बाँट सकते हैं ( [समस्या 37.1](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/37-whole-numbers#pb-g6-wholes-1) वाली हाथ मिलाने की [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) )? एक वाक्य में समझाओ कि हैरानी की जड़ यही संख्या क्यों है, $23$ ख़ुद क्यों नहीं।
15. समापन: दोनों में से किसी एक नतीजे को जाँचने का कोई प्रयोग बताओ — असली पासे से दे मेरे की बाज़ी, या कई कक्षाओं में जन्मदिन वाली समस्या — और ध्यान से लिखो कि दोहराव बढ़ने के साथ देखी गई आवृत्तियों से तुम्हें क्या उम्मीद है। (उस उम्मीद का एक नाम है, बृहत् संख्याओं का नियम; उसका प्रमाण हाई-स्कूल खंड में इंतज़ार कर रहा है।)

**हल — समस्या 71.1.**

**1.** हर फेंक में $6$ में से $5$ परिणाम छक्के के अलावा हैं; $6 \times 6$ की सारणी में $36$ में से $5 \times 5 = 25$ परिणाम छक्के से ख़ाली हैं: $\P(\text{कोई छक्का नहीं}) = \frac{25}{36}$, इसलिए $\P(\text{कम से कम एक}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}
\approx 0.31$।

**2.** $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$। वह जोड़ परिणाम “छक्का फिर छक्का” को दोनों $\frac16$ में एक-एक बार गिन जाता है: यानी एक बार ज़्यादा। जो घटनाएँ *एक साथ* हो सकती हैं, उनकी प्रायिकताएँ यूँ ही नहीं जुड़तीं।

**3.** [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $7$: छह परिणाम $(1,6), (2,5), (3,4),
(4,3), (5,2), (6,1)$: $\P = \frac{6}{36} = \frac16$। [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2$: सिर्फ़ $(1,1)$: $\frac{1}{36}$। सात के होने के सबसे ज़्यादा रास्ते हैं — योगफलों की सारणी का मोटा बीच।

**4.** [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — चार परिणाम, $\frac{4}{36}$। [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ — तीन, $\frac{3}{36}$। नौ ज़्यादा संभव है: फ़ैसला परिणामों की [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) करती है, यह नहीं कि बिना क्रम वाले फलकों से वह [योगफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) कितने ढंग से “लिखा” जा सकता है।

**5.** वृक्ष का हर स्तर “छक्का नहीं” की [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) को $\frac56$ से गुणा कर देता है, पहले चाहे जो हुआ हो: यानी $n$ फेंकों के बाद $\P(\text{एक भी छक्का नहीं}) = \left(\frac56\right)^n$, और पूरक का नियम सूत्र दे देता है।

**6.** $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx
0.482$, इसलिए शेवालिए $1 - 0.482 = 0.518$ [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) से जीतते थे — हर खेल पर क़रीब $2\,\%$ की चुपचाप, टिकाऊ बढ़त: शानदार बाज़ी, और उसी ने उनकी बग्घियों का ख़र्च उठाया।

**7.** $7$ फेंकों पर उनका नियम $\frac76$ देता है — यानी $1$ से बड़ी [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability), जो बेतुकी है। यह सवाल 2 वाली दोहरी [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) ही है, और भी बढ़ी हुई: अलग-अलग फेंकों की सफलताएँ आपस में ऊपर-नीचे पड़ती हैं, और उनके मौक़े जोड़ते जाने से वे साझे हिस्से बार-बार गिने जाते हैं।

**8.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx
1 - 0.5086 = 0.491$: यानी आधे से नीचे। $49.1\,\%$ वाली घटना पर बराबर दाँव लगाकर शेवालिए औसतन हर $100$ खेलों में क़रीब $2$ खेल हारते थे — धीरे-धीरे, (उनके लिए) रहस्यमय ढंग से, और लाज़मी तौर पर।

**9.** $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx
1 - 0.494 = 0.506$: $25$ फेंकों पर बाज़ी उनके हक़ में हो जाती। सिर्फ़ एक फेंक शेवालिए को मुनाफ़े से अलग कर रही थी।

**10.** किसी [प्रायिकता](#def-g9-statproba-probability) को कोशिशों की [गिनती](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) से गुणा कर देने पर ऊपर-नीचे पड़ती सफलताएँ कई बार गिनी जाती हैं, और आख़िरकार $1$ से बड़े नामुमकिन जवाब निकल आते हैं। सही रास्ता हमेशा पूरक से होकर जाता है: नाकामी की प्रायिकताओं को गुणा करके एक लड़ी में बाँधो, फिर $1$ में से घटा दो।

**11.** [माध्य](#def-g9-statproba-indicators): $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} =
\frac{38\,000}{10} = 3\,800$ यूरो। [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators): बीच के दोनों वेतन $2\,000$ हैं: यानी [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) $2\,000$ यूरो। विज्ञापन में [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) ही छपनी चाहिए — दसों में से नौ काम करने वालों को $3\,800$ जैसा कुछ कभी दिखता ही नहीं; [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) को अकेले एक बाहरी मान ने ऊपर खींच रखा है ([उदाहरण 71.3](#ex-g9-statproba-weighted) भार के बारे में चेता चुका है)।

**12.** जैसे $2, 8, 15, 17, 18$: [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) $15$ (बीच वाला मान), [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) $\frac{60}{5} = 12$। [माध्यिका](#def-g9-statproba-indicators) से नीचे पड़ा [माध्य](#def-g9-statproba-indicators) बताता है कि *नीचे* के कुछ अंकों की पूँछ औसत को नीचे खींच रही है, जबकि ऊपर वाला [आधा](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-half) हिस्सा ऊँचा बैठा है।

**13.** पहले तीन गुणक: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx
0.992$। हर नए विद्यार्थी को एक और घिरी हुई तारीख़ से बचना पड़ता है, इसलिए गुणक सिकुड़ते जाते हैं: तेईसवें के लिए $\frac{343}{365} \approx 0.94$। पूरा [गुणनफल](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) गिरकर क़रीब $0.493$ रह जाता है — इसलिए

$$
\P(\text{कम से कम एक साझा जन्मदिन}) \approx 0.507 :
$$

यानी आधे से भी ज़्यादा, और वह भी सिर्फ़ $23$ की कक्षा में। अटकल कहती है “$23$ लोग, $365$ दिन, कोई मौक़ा नहीं”; गणित कहता है “सिक्का उछाल लो”।

**14.** $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ जोड़े। हर जोड़ा संयोग का एक नया मौक़ा है, और $\frac{1}{365}$ वाले $253$ मौक़े कोई छोटी बात नहीं रह जाते: लोगों के बजाय जोड़े गिनते ही हैरानी घुल जाती है।

**15.** एक नमूना तरीक़ा: पासे को चार-चार फेंकों के गुच्छों में फेंको और हर गुच्छे के लिए नोट करो कि उसमें छक्का आया या नहीं, ऐसे $100$ गुच्छे; या फिर क़रीब $23$-$23$ विद्यार्थियों वाली कई कक्षाओं की जन्मदिन-सूचियाँ जुटाओ और जिनमें संयोग निकला उनका अनुपात नोट करो। देखी गई [आवृत्ति](https://one-course.com/books/math/1/hi/chapter/50-organizing-data#def-g7-stats-frequency) डगमगाएगी, पर दोहराव बढ़ने के साथ उसे निकाली हुई प्रायिकताओं ($0.518$; $0.507$) के और भी पास जा बैठना चाहिए — आवृत्तियाँ प्रायिकताओं की ओर अभिसरित होती हैं: यही बृहत् संख्याओं का नियम है, जो यहाँ एक उम्मीद के तौर पर कहा गया है और हाई-स्कूल खंड में सिद्ध होता है।