---
title: "Bilangan Cacah"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 37
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah
---

# Bab 37 — Bilangan Cacah

Semua hal dalam matematika bermula dari membilang. Bab ini meninjau kembali cara bilangan cacah ditulis, dibandingkan dan digabungkan — serta memeriksa dengan teliti pembagian, operasi yang memberikan [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) *dan* [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) sekaligus.

## 37.1 Menulis dan membandingkan bilangan cacah

**Definisi 37.1 (Nilai tempat).**

Cara kita menulis bilangan memakai sepuluh angka ($0$ sampai $9$), dan *nilai sebuah angka bergantung pada tempatnya*: pada $5\,208$, angka $5$ membilang ribuan, angka $2$ membilang ratusan, angka $0$ membilang puluhan (tidak ada) dan angka $8$ membilang satuan:

$$
5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .
$$

![Tabel nilai tempat dari 5\,208. Angka 0 itu penting: tanpa dia, angka 5 dan 2 akan tergelincir ke kolom yang salah dan bilangannya terbaca 528.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-aadc53d9e441.svg)

*Tabel [nilai tempat](#def-g6-wholes-place) dari $5\,208$. Angka $0$ itu penting: tanpa dia, angka $5$ dan $2$ akan tergelincir ke kolom yang salah dan bilangannya terbaca $528$.*

**Metode 37.2 (Membandingkan dua bilangan cacah).**

1. Bilangan yang angkanya lebih banyak adalah yang lebih besar ( $1\,203 > 989$ ).
2. Jika banyak angkanya sama, bandingkan angka demi angka dari *kiri* ; perbedaan pertama yang menentukan: $6\,742 > 6\,715$ karena pada tempat puluhan, $4 > 1$ .

Lambangnya adalah $<$ (“lebih kecil daripada”) dan $>$ (“lebih besar daripada”); ujung yang kecil menunjuk ke bilangan yang kecil.

**Contoh 37.3.**

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $908$; $89$; $1\,001$; $980$. Mulailah dari banyaknya angka: $89$ (dua angka) di depan, $1\,001$ (empat angka) di belakang. Antara $908$ dan $980$: angka ratusannya sama, $9$, lalu puluhannya $0 < 8$, jadi $908 < 980$. Jawaban akhirnya:

$$
89 < 908 < 980 < 1\,001 .
$$

![Bilangan tinggal pada sebuah garis: makin kecil berarti makin ke kiri. Setiap tanda di sini bernilai 100.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-9fc3a4fd334b.svg)

*Bilangan tinggal pada sebuah garis: makin kecil berarti makin ke kiri. Setiap tanda di sini bernilai $100$.*

## 37.2 Penjumlahan, pengurangan, perkalian

**Contoh 37.4 (Perhitungan bersusun).**

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan, luruskan satuan di bawah satuan, puluhan di bawah puluhan, lalu kerjakan dari kanan ke kiri sambil menyimpan bila perlu:

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
+\ 2\,8\,6 \\
\hline
7\,4\,3
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
6\,0\,3 \\
-\ 1\,4\,7 \\
\hline
4\,5\,6
\end{array}
$$

Pada penjumlahannya: $7 + 6 = 13$, tulis $3$, simpan $1$; lalu $5 + 8 + 1 = 14$, tulis $4$, simpan $1$; lalu $4 + 2 + 1 = 7$. Periksa pengurangannya dengan menjumlahkan kembali: $456 + 147 = 603$.

**Catatan 37.5 (Kosakata).**

Hasil sebuah penjumlahan disebut *jumlah*; hasil pengurangan, *selisih*; hasil perkalian, *hasil kali*; hasil pembagian, *hasil bagi*. Bilangan yang digabungkan disebut *suku* (untuk $+$, $-$) atau *faktor* (untuk $\times$).

**Contoh 37.6 (Menghitung dengan cerdik).**

Menukar urutan suku atau faktor sering menghemat pekerjaan:

$$
17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,
$$

$$
25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .
$$

## 37.3 Pembagian

**Teorema 37.7 (Pembagian Euklides).**

Diberikan dua bilangan cacah $a$ (*bilangan yang dibagi*) dan $b \neq 0$ (*[pembagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple)*), ada tepat satu cara untuk menulis

$$
a = b \times q + r
\qquad\text{dengan}\qquad
0 \leq r < b .
$$

Bilangan $q$ disebut *hasil bagi* dan $r$ disebut *sisa* pembagian $a$ oleh $b$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 37.8.**

Bagilah $137$ dengan $4$, selangkah demi selangkah.

1. Berapa kali $4$ masuk ke dalam $13$ ? Tiga kali ( $4 \times 3 = 12$ ), [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $13 - 12 = 1$ .
2. Turunkan angka $7$ : berapa kali $4$ masuk ke dalam $17$ ? Empat kali ( $4 \times 4 = 16$ ), [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $1$ .

Jadi $q = 34$ dan $r = 1$:

$$
137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{dan memang } 0 \leq 1 < 4 .
$$

Periksa: $4 \times 34 = 136$, dan $136 + 1 = 137$.

![Membagi 137 dengan 4: kamu dapat memuat 34 kelompok penuh berisi 4 (mencapai 136), dan 1 tersisa — sisanya selalu lebih kecil daripada pembaginya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-7c4f42b721f8.svg)

*Membagi $137$ dengan $4$: kamu dapat memuat $34$ kelompok penuh berisi $4$ (mencapai $136$), dan $1$ tersisa — [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) selalu lebih kecil daripada [pembaginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple).*

**Definisi 37.9 (Habis dibagi).**

Ketika [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $0$, kita mengatakan bahwa $a$ *habis dibagi* oleh $b$: misalnya $135$ habis dibagi $5$ karena $135 = 5 \times 27 + 0$.

**Metode 37.10 (Soal cerita dengan pembagian).**

Setelah menghitung $a = bq + r$, kembalilah selalu ke pertanyaannya:

1. “Berapa kotak/regu/halaman yang penuh?” — jawabannya adalah [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $q$ ;
2. “Berapa yang tersisa?” — jawabannya adalah [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $r$ ;
3. “Berapa kotak yang diperlukan untuk semuanya?” — kalau $r > 0$ , satu *lebih* daripada [hasil baginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) : $q + 1$ .

**Contoh 37.11.**

$137$ murid pergi bertamasya dengan bus berisi $40$ tempat duduk. Pembagiannya: $137 = 40 \times 3 + 17$. Tiga bus mengangkut $120$ murid, dan $17$ murid tersisa — mereka juga perlu bus! Jadi $4$ bus diperlukan, walaupun [hasil baginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $3$.

## 37.4 Latihan

**Latihan 37.1 ★.**

Tulislah dengan angka: “tiga ribu empat puluh tujuh”; “dua puluh ribu lima ratus”; “seratus empat”. Lalu tulislah $60\,013$ dengan kata.

**Solusi Latihan 37.1.**

$3\,047$; $20\,500$; $104$. $60\,013$: “enam puluh ribu tiga belas”.

**Latihan 37.2 ★.**

Pada bilangan $47\,209$: berapa angka ratusannya? Angka satuannya? Apa yang dibilang angka $4$? Tulislah bilangan itu sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $1$, $10$, $100$, … seperti pada [Definisi 37.1](#def-g6-wholes-place).

**Solusi Latihan 37.2.**

Angka ratusan: $2$; angka satuan: $9$; angka $4$ membilang puluhan ribu. Uraiannya:

$$
47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10
+ 9 .
$$

**Latihan 37.3 ★.**

Salin dan lengkapi dengan $<$ atau $>$:

$$
507 \;?\; 570, \qquad
1\,099 \;?\; 989, \qquad
23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad
9\,999 \;?\; 10\,000 .
$$

**Solusi Latihan 37.3.**

$507 < 570$ (puluhan: $0 < 7$); $1\,099 > 989$ (empat angka mengalahkan tiga); $23\,456 < 23\,465$ (puluhan: $5 < 6$); $9\,999 < 10\,000$ (empat angka melawan lima).

**Latihan 37.4 ★.**

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $2\,043$; $978$; $2\,304$; $2\,034$; $1\,001$.

**Solusi Latihan 37.4.**

Menurut banyaknya angka, $978$ dan $1\,001$ berada di depan ketiga bilangan empat angka yang diawali $2$; di antara ketiganya, bandingkan puluhan dan satuannya: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$. Urutan akhirnya:

$$
978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .
$$

**Latihan 37.5 ★.**

Hitunglah secara bersusun: $348 + 576$; $805 - 268$; $307 \times 26$. Periksalah pengurangannya dengan penjumlahan.

**Solusi Latihan 37.5.**

$348 + 576 = 924$; $805 - 268 = 537$ (periksa: $537 + 268 = 805$); $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6
= 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$.

**Latihan 37.6 ★.**

Hitunglah dengan cerdik, dengan mengelompokkan suku atau faktornya:

$$
38 + 45 + 12 + 5, \qquad
2 \times 83 \times 50, \qquad
4 \times 78 \times 25 .
$$

**Solusi Latihan 37.6.**

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$.

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 =
8\,300$.

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 =
7\,800$.

**Latihan 37.7 ★.**

Untuk setiap pembagian, sebutkan [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) dan [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder), lalu tulislah kesamaan $a = b \times q + r$:

$$
95 \div 7, \qquad
230 \div 6, \qquad
504 \div 8 .
$$

**Solusi Latihan 37.7.**

$95 = 7 \times 13 + 4$ ([hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $13$, [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $4$).

$230 = 6 \times 38 + 2$ ([hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $38$, [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $2$).

$504 = 8 \times 63 + 0$ ([hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $63$, [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $0$: $504$ [habis dibagi](#def-g6-wholes-divisible) $8$).

**Latihan 37.8 ★.**

Tanpa membagi, jelaskan mengapa kesamaan $173 = 8 \times 20 + 13$ *bukan* pembagian Euklides $173$ oleh $8$, lalu carilah [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) dan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang benar.

**Solusi Latihan 37.8.**

Kesamaannya benar, tetapi [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $13$ *tidak* lebih kecil daripada [pembagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $8$, jadi itu bukan pembagian Euklides. Keluarkan satu $8$ lagi dari sisanya: $173 = 8 \times 21 + 5$, dengan $0 \leq 5 < 8$: [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $21$, [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $5$.

**Latihan 37.9 ★★.**

Telur dikemas dalam kotak berisi $12$.

1. Sebuah peternakan punya $2\,000$ telur. Berapa kotak penuh yang dapat diisinya, dan berapa telur yang tersisa?
2. Sebuah toko roti memerlukan $150$ telur. Berapa kotak yang harus dibelinya?

**Solusi Latihan 37.9.**

*1.* $2\,000 = 12 \times 166 + 8$: peternakan itu mengisi $166$ kotak penuh dan $8$ telur tersisa.

*2.* $150 = 12 \times 12 + 6$: dua belas kotak hanya memuat $144$ telur, belum cukup. Toko roti itu harus membeli $13$ kotak.

**Latihan 37.10 ★★.**

Hari ini hari Selasa. Hari apa nanti dalam $100$ hari? (Satu minggu ada $7$ hari: bagilah lalu pikirkan [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder).)

**Solusi Latihan 37.10.**

$100 = 7 \times 14 + 2$: seratus hari adalah $14$ minggu penuh ditambah $2$ hari. Empat belas minggu kemudian hari Selasa lagi; dua hari sesudah Selasa adalah hari *Kamis*.

**Latihan 37.11 ★★.**

Pada sebuah pembagian oleh $9$, [hasil baginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $56$ dan [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) sebesar mungkin. Berapa bilangan yang dibagi itu?

**Solusi Latihan 37.11.**

[Sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) terbesar yang mungkin pada pembagian oleh $9$ adalah $8$ ([sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) harus lebih kecil daripada [pembaginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple)). Jadi bilangan yang dibagi itu

$$
9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .
$$

**Latihan 37.12 ★★★.**

Aku bilangan tiga angka. Angka ratusanku dua kali angka satuanku, angka puluhanku $0$, dan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkaku $9$. Siapakah aku? (Bernalarlah selangkah demi selangkah, lalu periksa.)

**Solusi Latihan 37.12.**

Misalkan angkanya $h$ (ratusan), $0$ (puluhan), $u$ (satuan). Kita tahu $h = 2 \times u$ dan $h + 0 + u = 9$, jadi $2u + u = 9$, yang memberi $3u = 9$, $u = 3$, dan $h = 6$. Bilangannya $603$. Periksa: $6$ adalah dua kali $3$, angka puluhannya $0$, dan $6 + 0 + 3 = 9$.

## 37.5 Soal: Gauss kecil dan jumlah seratus bilangan yang pertama

**Soal 37.1.**

Soal akhir pekan — menjumlahkan $1 + 2 + 3 + \dots +
100$ dalam sepuluh detik, dan bilangan segitiga

Sebuah cerita yang terkenal: untuk menyibukkan kelasnya, seorang guru meminta murid-muridnya menjumlahkan semua bilangan dari $1$ sampai $100$. Seorang anak laki-laki menulis $5\,050$ di batu tulisnya hampir seketika — Carl Friedrich Gauss, umur sembilan tahun, yang kelak tumbuh menjadi salah satu di antara matematikawan terbesar sepanjang masa. Rahasianya tidak lain adalah *menghitung dengan cerdik* ([Contoh 37.6](#ex-g6-wholes-smart)): mengelompokkan sukunya sehingga setiap kelompok menjadi mudah. Soal ini menemukan kembali triknya, membuatnya berhasil dalam segala keadaan, dan memperlihatkan betapa sering [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) semacam itu muncul dalam kehidupan sehari-hari.

**Bagian I — Pasangan Gauss.**

1. Hitunglah $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ dengan mengelompokkan sukunya secara cerdik.
2. Untuk $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : pasangkan suku pertama dengan suku terakhir ( $1 + 10$ ), suku kedua dengan suku kedua dari belakang ( $2 + 9$ ), dan seterusnya. Berapa nilai setiap pasangan? Ada berapa pasangan? Selesaikan perhitungannya.
3. Cara yang sama untuk $1 + 2 + \dots + 20$ : berapa nilai setiap pasangan, ada berapa pasangan, berapa [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) ?
4. Sekarang [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sang guru, $1 + 2 + \dots + 100$ : jelaskan mengapa pasangan $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98, \dots$ semuanya bernilai sama, dan mengapa banyaknya tepat $50$ , dengan pasangan terakhir $50 + 51$ .
5. Tulislah jawaban Gauss sebagai satu perkalian saja, lalu hitunglah.

**Bagian II — Trik yang tidak pernah gagal.**

6. Cobalah pemasangan itu pada $1 + 2 + \dots + 9$ : kali ini satu bilangan tertinggal tanpa pasangan. Yang mana? Pasangkan di sekelilingnya lalu hitunglah [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) .
7. Inilah bentuk trik yang berhasil baik ketika banyaknya suku [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) maupun [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): tulislah [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua kali, sekali maju dan sekali mundur, satu baris di bawah yang lain, $$\begin{array}{ccccccc}  1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\  9 & + & 8 & + & \dots & + & 1  \end{array}$$ lalu jumlahkan *kolom demi kolom*. Berapa nilai setiap kolom? Ada berapa kolom? Jelaskan mengapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kedua baris itu $9 \times 10 = 90$, lalu simpulkan bahwa $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — jawaban yang sama seperti pada pertanyaan 6.
8. Pakailah trik dua baris itu untuk menghitung $1 + 2 + \dots + 50$ , lalu $1 + 2 + \dots + 200$ .
9. Hitunglah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) seratus bilangan *[genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* yang pertama, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (Bandingkan setiap sukunya dengan suku pada [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) Gauss: tidak perlu pemasangan yang baru.)
10. Hitunglah $101 + 102 + \dots + 200$ , dengan memakai dua [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang sudah kamu ketahui dan satu pengurangan.

**Bagian III — [Bilangan segitiga](#pb-g6-wholes-1) di mana-mana.** [Jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ dari deret $1 + 2 + \dots + n$ disebut *bilangan segitiga*, karena bilangan itu membilang benda yang ditumpuk membentuk segitiga.

11. Delapan orang teman bertemu, dan masing-masing berjabat tangan tepat sekali dengan setiap temannya yang lain. Jelaskan mengapa banyaknya jabat tangan adalah $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ , lalu hitunglah.
12. Seorang pedagang menyusun [limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) segitiga dari kaleng: $12$ kaleng di baris paling bawah, $11$ di baris berikutnya, dan seterusnya sampai satu kaleng di puncaknya. Berapa kaleng yang ia perlukan? (Pakailah trik pada pertanyaan 7.)
13. Gambarlah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 3 + 4$ sebagai tangga persegi: satu persegi di kolom pertama, dua di kolom kedua, tiga di kolom ketiga, empat di kolom keempat. Tunjukkan pada gambarmu bahwa *dua* tangga semacam itu, salah satunya dibalik ke bawah, cocok tepat menjadi satu persegi panjang dengan $4$ baris berisi $5$ persegi — lalu jelaskan mengapa ini adalah trik dua baris pada pertanyaan 7, yang digambar alih-alih ditulis.
14. Sebuah jam berdentang $1$ kali pada pukul satu, $2$ kali pada pukul dua, …, $12$ kali pada pukul dua belas. Berapa dentang seluruhnya selama dua belas jam itu? Dan selama satu hari penuh?
15. Satu lagi untuk Gauss: $5\,050$ detik — apakah itu lebih atau kurang daripada satu setengah jam? Ubahlah menjadi jam, menit dan detik, dengan memakai pembagian Euklides ( [Teorema 37.7](#thm-g6-wholes-division) ) dua kali.

**Solusi Soal 37.1.**

**1.** Misalnya $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 =
15$.

**2.** Setiap pasangan bernilai $11$: $1 + 10$, $2 + 9$, $3 + 8$, $4 + 7$, $5 + 6$. Itu $5$ pasangan (sepuluh bilangan, dua per pasangan), jadi [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $5 \times 11 = 55$.

**3.** Pasangannya bernilai $21$ ($1 + 20$, $2 + 19, \dots$), dan banyaknya $10$: $10 \times 21 = 210$.

**4.** Pada setiap pasangan, ketika bilangan pertama bertambah $1$ bilangan kedua berkurang $1$, jadi [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) tidak pernah berubah: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$. Seratus bilangan itu membentuk $50$ pasangan (masing-masing dua bilangan), dengan pasangan paling dalam $50 + 51 = 101$.

**5.** $50$ pasangan bernilai $101$:

$$
1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .
$$

**6.** Dengan sembilan bilangan, bilangan tengahnya, $5$, tidak punya pasangan. Di sekelilingnya: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$, empat pasangan. [Jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def): $4 \times 10 + 5 = 45$.

**7.** Setiap kolom bernilai $1 + 9 = 2 + 8 = \dots =
9 + 1 = 10$, dan ada $9$ kolom: kedua baris itu bersama-sama bernilai $9 \times 10 = 90$. Tetapi kedua baris itu adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang *sama* yang ditulis dua kali, jadi satu salinannya bernilai setengahnya: $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$. Tidak ada bilangan yang tertinggal tanpa pasangan — pasangannya persis di bawahnya.

**8.** Untuk $1$ sampai $50$: $50$ kolom bernilai $51$, [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) gandanya $50 \times 51 = 2\,550$, jadi [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $2\,550 \div 2 = 1\,275$. Untuk $1$ sampai $200$: $200$ kolom bernilai $201$, [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) gandanya $40\,200$, [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $20\,100$.

**9.** Setiap [bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) adalah dua kali sebuah bilangan pada [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) Gauss: $2 = 2 \times 1$, $4 = 2 \times 2$, …, $200 = 2 \times 100$. Jadi seluruh [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua kali [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) Gauss:

$$
2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .
$$

**10.** Bilangan dari $101$ sampai $200$ adalah bilangan dari $1$ sampai $200$ dengan bilangan $1$ sampai $100$ dibuang:

$$
101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .
$$

**11.** Bariskan teman-teman itu. Yang pertama berjabat $7$ tangan (satu dengan tiap orang lainnya). Yang kedua sudah menyapa yang pertama, jadi ia berjabat $6$ tangan yang *baru*; yang ketiga, $5$; dan seterusnya, yang ketujuh berjabat $1$ dan yang kedelapan tidak ada lagi yang baru. Setiap jabat tangan terhitung tepat sekali:

$$
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ jabat tangan}
$$

(pasangkan di sekeliling tengahnya: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 =
8 + 8 + 8 + 4 = 28$).

**12.** $1 + 2 + \dots + 12$: dua belas kolom bernilai $13$, [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) gandanya $12 \times 13 = 156$, jadi $156 \div 2 = 78$ kaleng.

**13.** Tangga $1 + 2 + 3 + 4$ persegi, ditambah tangga yang sama yang dibalik ke bawah, mengisi persis persegi panjang $4$ baris dan $5$ kolom: setiap baris persegi panjang itu adalah satu kolom trik dua baris (satu anak tangga yang naik dilengkapi satu anak tangga yang turun, $1 + 4$, $2 + 3$, $3 + 2$, $4 + 1$ — selalu $5$). Jadi dua kali [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) adalah $4 \times 5 = 20$ persegi, dan $1 + 2 + 3 + 4 = 10$: gambarnya *adalah* pertanyaan 7.

**14.** $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ dentang dalam dua belas jam (pertanyaan 12), jadi $78 \times 2 = 156$ dentang dalam satu hari penuh.

**15.** Bagilah dengan $60$: $5\,050 = 60 \times 84 + 10$, jadi $5\,050$ detik adalah $84$ menit dan $10$ detik. Bagilah menitnya dengan $60$: $84 = 60 \times 1 + 24$, jadi $84$ menit adalah $1$ jam $24$ menit. Seluruhnya: $1$ jam $24$ menit $10$ detik — sedikit *kurang* daripada satu setengah jam ($1$ jam $30$ menit).