---
title: "Pecahan: Langkah Pertama"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 39
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama
---

# Bab 39 — Pecahan: Langkah Pertama

Membagi tiga pizza secara adil kepada empat orang memberi setiap orang … bukan bilangan bulat pizza. [Pecahan](#def-g6-fractions-def) adalah bilangan yang ditemukan untuk membagi. Bab ini membangun gambarannya: [pecahan](#def-g6-fractions-def) sebagai bagian dari suatu keseluruhan, sebagai titik pada garis bilangan, dan sebagai hasil pembagian yang tepat.

## 39.1 Apa arti sebuah pecahan

**Definisi 39.1 (Pecahan).**

Potonglah satu satuan menjadi $b$ bagian yang sama, lalu ambil $a$ di antaranya: banyaknya yang diperoleh adalah *pecahan*

$$
\frac{a}{b}
\qquad
\begin{array}{l}
a \text{: \emph{pembilang} --- berapa bagian yang kita ambil;}\\
b \text{: \emph{penyebut} --- satuannya dipotong menjadi berapa bagian.}
\end{array}
$$

![Dua pecahan dari batang yang sama. Penyebut memberi tahu sehalus apa potongannya, pembilang memberi tahu berapa yang diambil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-aa9326d783ad.svg)

*Dua [pecahan](#def-g6-fractions-def) dari batang yang sama. [Penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) memberi tahu sehalus apa potongannya, [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) memberi tahu berapa yang diambil.*

**Contoh 39.2.**

Sebuah [pecahan](#def-g6-fractions-def) dapat lebih besar daripada $1$: $\frac74$ berarti tujuh [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) — satu satuan utuh (empat [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half)) dan tiga [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) lagi:

$$
\frac74 = 1 + \frac34 .
$$

**Proposisi 39.3 (Pecahan pada garis bilangan).**

Untuk meletakkan $\frac ab$ pada garis bilangan, potonglah setiap selang satuan menjadi $b$ bagian yang sama lalu bilanglah $a$ bagian dari $0$.

![Garis yang berskala seperempatan: 3/4 ada sebelum 1, 7/4 ada di antara 1 dan 2, dan 22/4 = 5 + 2/4 ada tepat di tengah antara 5 dan 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-b24e42c46fdc.svg)

*Garis yang berskala seperempatan: $\frac34$ ada sebelum $1$, $\frac74$ ada di antara $1$ dan $2$, dan $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ ada tepat di tengah antara $5$ dan $6$.*

**Teorema 39.4 (Pecahan adalah sebuah pembagian).**

[Pecahan](#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ adalah bilangan yang, jika dikalikan $b$, memberi $a$:

$$
\frac ab \times b = a .
$$

Dengan kata lain, $\frac ab$ adalah [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $a$ oleh $b$ yang tepat — bahkan ketika pembagiannya “tidak pas”.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 39.5.**

Tiga pizza untuk empat orang: setiap orang mendapat $\frac34$ pizza. Periksa dengan teoremanya: $4$ bagian sebesar $\frac34$ menjadi $\frac34 \times 4 = 3$ pizza. Sebagian [pecahan](#def-g6-fractions-def) adalah [bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places) ($\frac34 = 0.75$), sebagian lagi tidak: $\frac13 = 0.333\dots$ tidak pernah berhenti. [Pecahan](#def-g6-fractions-def) itulah nilai yang *tepat*; $0.33$ hanyalah hampiran.

## 39.2 Pecahan yang senilai

**Proposisi 39.6 (Pecahan senilai).**

Sebuah [pecahan](#def-g6-fractions-def) tidak berubah ketika [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dan [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) sama-sama dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) yang sama:

$$
\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .
$$

**Gagasan pembuktian.** Memotong setiap bagian menjadi $k$ potongan yang lebih kecil mengalikan banyaknya potongan yang diambil maupun banyaknya potongan seluruhnya dengan $k$, tetapi banyaknya yang diambil tetap sama. Gambarlah yang paling jelas menjelaskannya: ∎

![2/3 = 4/6: memotong setiap sepertiga menjadi dua melipatduakan bilangan di atas dan di bawah, tanpa mengubah bagian yang terwarnai.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-fractions/fig-1cfba25eec39.svg)

*$\frac23 = \frac46$: memotong setiap sepertiga menjadi dua melipatduakan bilangan di atas dan di bawah, tanpa mengubah bagian yang terwarnai.*

**Metode 39.7 (Menyederhanakan pecahan).**

Carilah bilangan yang membagi habis [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) *dan* [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def), lalu bagilah keduanya. Ulangi sampai tidak ada [pembagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) bersama lagi:

$$
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}
= \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.
$$

## 39.3 Mengambil pecahan dari suatu banyaknya

**Metode 39.8 (Pecahan dari suatu banyaknya).**

Untuk menghitung $\frac ab$ dari suatu banyaknya, bagilah banyaknya itu dengan $b$ (satu bagian), lalu kalikan dengan $a$ (banyaknya bagian):

$$
\frac ab \text{ dari } Q = (Q \div b) \times a .
$$

(Mengalikan dulu dengan $a$ lalu membagi dengan $b$ memberi hasil yang sama — pilihlah urutan yang membuat bilangannya lebih enak.)

**Contoh 39.9.**

Hitunglah $\frac35$ dari $40$ euro, selangkah demi selangkah:

1. seperlima dari $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
2. tiga perlima: $8 \times 3 = 24$ .

Jadi $\frac35$ dari $40$ euro adalah $24$ euro. Periksa: [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $\frac25$ adalah $16$ euro, dan $24 + 16 = 40$.

## 39.4 Latihan

**Latihan 39.1 ★.**

Untuk setiap gambaran berikut, tulislah [pecahannya](#def-g6-fractions-def): sebuah kue dipotong menjadi $8$ iris, $3$ dimakan; sebatang cokelat berisi $12$ kotak, $7$ dimakan; sebuah pai dipotong menjadi $6$, dan semua $6$ irisnya dimakan.

**Solusi Latihan 39.1.**

Kue: $\frac38$ dimakan. Cokelat: $\frac{7}{12}$. Pai: $\frac66 = 1$ (seluruh painya).

**Latihan 39.2 ★.**

Gambarlah sebuah batang yang dipotong menjadi $5$ bagian sama besar lalu warnai $\frac45$ bagiannya. Apakah $\frac45$ lebih kecil atau lebih besar daripada $1$? Dan $\frac65$?

**Solusi Latihan 39.2.**

Empat bagian dari lima diberi warna. $\frac45 < 1$ (empat bagian dari lima kurang daripada seluruh batangnya); $\frac65 > 1$ (enam perlima adalah satu batang utuh ditambah seperlima lagi).

**Latihan 39.3 ★.**

Letakkan pada garis bilangan berskala sepertigaan: $\frac13$; $\frac53$; $2$; $\frac73$. Dua bilangan mana di antaranya yang berjarak sama dari $2$?

**Solusi Latihan 39.3.**

Pada garis berskala sepertigaan: $\frac13$ berada satu tanda sesudah $0$; $\frac53$ berada satu tanda sebelum $2$ (karena $2 = \frac63$); $\frac73$ berada satu tanda sesudah $2$. Jadi $\frac53$ dan $\frac73$ sama-sama berjarak $\frac13$ dari $2$.

**Latihan 39.4 ★.**

Tulislah setiap [pecahan](#def-g6-fractions-def) sebagai bilangan bulat ditambah [pecahan](#def-g6-fractions-def) yang lebih kecil daripada $1$ (seperti pada $\frac74 = 1 + \frac34$):

$$
\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad
\frac{25}{8} .
$$

**Solusi Latihan 39.4.**

$\frac94 = 2 + \frac14$; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$; $\frac{12}{6} = 2$ (tepat); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$.

**Latihan 39.5 ★.**

Lengkapilah agar [pecahannya](#def-g6-fractions-def) senilai:

$$
\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad
\frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad
\frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad
\frac{?}{6} = \frac{10}{12}.
$$

**Solusi Latihan 39.5.**

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (kalikan dengan $4$); $\frac{15}{20} = \frac34$ (bagilah dengan $5$); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (kalikan dengan $3$); $\frac56 = \frac{10}{12}$ (bagilah dengan $2$).

**Latihan 39.6 ★.**

Sederhanakan sedapat mungkin: $\dfrac{6}{8}$; $\dfrac{15}{25}$; $\dfrac{18}{24}$; $\dfrac{35}{7}$.

**Solusi Latihan 39.6.**

$\frac68 = \frac34$; $\frac{15}{25} = \frac35$; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$; $\frac{35}{7} = 5$ (sebuah bilangan bulat).

**Latihan 39.7 ★.**

Hitunglah: $\frac12$ dari $86$; $\frac34$ dari $60$; $\frac25$ dari $35$; $\frac{7}{10}$ dari $250$.

**Solusi Latihan 39.7.**

$\frac12$ dari $86$: $86 \div 2 = 43$.

$\frac34$ dari $60$: $60 \div 4 = 15$, lalu $15 \times 3 = 45$.

$\frac25$ dari $35$: $35 \div 5 = 7$, lalu $7 \times 2 = 14$.

$\frac{7}{10}$ dari $250$: $250 \div 10 = 25$, lalu $25 \times 7 = 175$.

**Latihan 39.8 ★.**

Mana yang lebih besar: $\frac12$ atau $\frac13$ (dari kue yang sama)? $\frac25$ atau $\frac35$? $\frac34$ atau $\frac78$ (tulislah keduanya dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $8$)?

**Solusi Latihan 39.8.**

$\frac12 > \frac13$: setengahan adalah bagian yang lebih besar daripada sepertigaan. $\frac35 > \frac25$: bagian yang sama, tetapi lebih banyak. $\frac34 = \frac68 < \frac78$: tujuh perdelapan mengalahkan enam perdelapan.

**Latihan 39.9 ★★.**

Sebutkan nilai desimal [pecahan](#def-g6-fractions-def) yang punya nilai desimal, lalu katakan [pecahan](#def-g6-fractions-def) mana yang tidak punya: $\frac12$; $\frac34$; $\frac13$; $\frac{7}{10}$; $\frac{9}{4}$.

**Solusi Latihan 39.9.**

$\frac12 = 0.5$; $\frac34 = 0.75$; $\frac{7}{10} = 0.7$; $\frac94 = 2.25$. Yang berbeda sendiri adalah $\frac13 = 0.333\dots$, yang penulisan desimalnya tidak pernah berakhir: ia bukan [bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places).

**Latihan 39.10 ★★.**

Sebuah kelas berisi $28$ murid. Tiga perempat di antaranya datang ke sekolah dengan bus, dan sisanya berjalan kaki. Berapa murid yang berjalan kaki? Kerjakan selangkah demi selangkah, lalu periksa bahwa kedua kelompokmu berjumlah $28$.

**Solusi Latihan 39.10.**

Yang naik bus: $\frac34$ dari $28$: $28 \div 4 = 7$, lalu $7 \times 3 = 21$ murid. Yang berjalan kaki: $28 - 21 = 7$ murid (itulah [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) sisanya: $28 \div 4 = 7$). Periksa: $21 + 7 = 28$.

**Latihan 39.11 ★★.**

Leo membelanjakan $\frac23$ tabungannya untuk permainan seharga $18$ euro. Berapa uang yang dimiliki Leo sebelumnya? (Sepertiga tabungannya adalah setengah dari $18$ … pikirkan mengapa, atau carilah dulu besarnya satu bagian.)

**Solusi Latihan 39.11.**

Dua pertiga tabungannya adalah $18$ euro, jadi *satu* pertiganya $18 \div 2 = 9$ euro, dan seluruh tabungannya (tiga pertiga) adalah $9 \times 3 = 27$ euro. Periksa: $\frac23$ dari $27$ adalah $18$.

**Latihan 39.12 ★★★.**

Sebuah tangki terisi $\frac58$ kapasitasnya. Setelah dipakai $10$ liter, tangki itu terisi setengah. Berapa [kapasitas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/12-uang-dan-pengukuran#def-g2-measure-units) tangki itu? ([Pecahan](#def-g6-fractions-def) tangki yang mana yang diwakili $10$ liter itu?)

**Solusi Latihan 39.12.**

Air yang terpakai turun dari $\frac58$ menjadi $\frac48$ (setengah sama dengan empat perdelapan) isi tangki: $10$ liter itu mewakili $\frac58 - \frac48 = \frac18$ kapasitasnya. Jadi tangki yang penuh memuat $10 \times 8 = 80$ liter. Periksa: $\frac58$ dari $80$ adalah $50$, dikurangi $10$ menyisakan $40$, yang memang setengah dari $80$.

## 39.5 Soal: Batang cokelat yang tidak pernah habis

**Soal 39.1.**

Soal akhir pekan — setengah dari setengah: jumlah $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ merayap menuju $1$ tanpa pernah menyentuhnya

Ambillah sebatang cokelat. Makanlah setengahnya. Lalu makanlah setengah dari *yang tersisa*. Lalu setengah lagi dari yang tersisa, dan seterusnya. Dua hal seakan-akan benar sekaligus: cokelatnya tidak pernah habis (selalu ada yang tersisa), tetapi kamu memakan hampir seluruhnya. Soal ini mengubah kedua perasaan itu menjadi pernyataan yang tepat tentang [pecahan](#def-g6-fractions-def) — dan di tengah jalan bertemu seorang pelari dari Yunani kuno serta teka-teki pembagian yang diselesaikan hanya dengan pisau yang cuma bisa membelah dua.

**Bagian I — Setengah dari setengah.** Batang cokelat itu berbentuk persegi panjang berisi $16$ kotak sama besar.

1. Gigitan pertama: kamu memakan setengah batang itu. Berapa kotak? Tulislah gigitan itu sebagai [pecahan](#def-g6-fractions-def) dari batangnya dengan dua cara, dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $2$ dan dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $16$ ( [Proposisi 39.6](#prop-g6-fractions-equal) ).
2. Gigitan kedua: setengah dari yang tersisa. Berapa kotak? Tunjukkan, dengan gambarnya atau dengan [pecahan](#def-g6-fractions-def) senilai, bahwa gigitan itu adalah $\frac14$ seluruh batang: *setengah dari setengah adalah [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half)* .
3. Gigitan ketiga dan keempat, dengan aturan yang sama: sebutkan masing-masing dalam kotak dan sebagai [pecahan](#def-g6-fractions-def) dari batangnya. Apa yang terjadi pada [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dari satu gigitan ke gigitan berikutnya?
4. Setelah keempat gigitan itu, berapa kotak yang sudah dimakan seluruhnya? Berapa [pecahan](#def-g6-fractions-def) batangnya, dan berapa [pecahan](#def-g6-fractions-def) yang tersisa?
5. Pertanyaan 4 mengatakan, ditulis dalam perenambelasan: $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16},  \qquad\text{yaitu}\qquad  \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}  = \frac{15}{16} .$$ Periksalah keempat penulisan ulang itu ($\frac12 = \frac{8}{16}$, dan seterusnya).

**Bagian II — Tangga menuju $1$.** Agar dapat terus menggigit, bayangkan batang yang lebih halus berisi $64$ kotak.

6. Sebutkan besar keenam gigitan yang pertama, dalam kotak ( $32$ , lalu …), dan periksalah bahwa setelah gigitan keenam tersisa tepat satu kotak. Berapa [pecahan](#def-g6-fractions-def) batangnya yang tersisa?
7. Setelah setiap gigitan, berapa [pecahan](#def-g6-fractions-def) batangnya yang tersisa? Tulislah daftarnya ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) sampai gigitan keenam, lalu jelaskan polanya. Kalau sebuah pisau khayalan dapat membelah dua bahkan kotak yang terakhir, apa yang akan tersisa setelah gigitan ketujuh?
8. Jelaskan mengapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang dimakan *tidak pernah* dapat mencapai $1$ , sebanyak apa pun gigitan yang dilakukan. (Bandingkan dengan dua puluh angka sembilan pada [Soal 38.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#pb-g6-decimals-1) : cerita yang sama?)
9. Namun [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) melewati sasaran mana pun di bawah $1$ . Seorang teman menantangmu memakan lebih dari $\frac{99}{100}$ batang itu. Mana yang lebih kecil, $\frac{1}{128}$ atau $\frac{1}{100}$ — dan sesudah gigitan yang mana tantangan itu dimenangkan?
10. Pada garis bilangan dari $0$ sampai $1$ yang berskala perenambelasan, letakkan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang dimakan setelah setiap gigitan dari keempat gigitan pertama: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . Di mana setiap [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang baru mendarat, dibandingkan dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sebelumnya dan dengan $1$ ?

**Bagian III — Pelari Zeno, dan pisau yang cuma bisa membelah dua.**

11. Dua puluh empat abad yang lalu, filsuf Yunani Zeno menceritakan kisah ini: untuk mencapai sebuah tembok, seorang pelari harus menempuh dulu setengah jaraknya, lalu setengah dari [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) , lalu setengah lagi dari [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) … “sehingga pelari itu tidak pernah sampai ke tembok!” Dengan memakai pertanyaan 8 dan 9, katakan apa yang *benar* dalam kisah Zeno, dan di mana perangkapnya. (Benarkah pelari itu memerlukan waktu selamanya untuk menempuh semua langkah tadi?)
12. Teka-teki pembagian: bagilah $15$ batang cokelat yang identik secara adil kepada $16$ anak, hanya dengan potongan menjadi dua sama besar (dari satu batang, dari setengah batang, dari [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) batang …). Jelaskan cara memotongnya: berapa batang yang dipotong menjadi setengahan, berapa menjadi seperempatan, menjadi perdelapanan, menjadi perenambelasan, sehingga setiap anak menerima satu potong dari tiap ukuran.
13. Periksalah pembagianmu: tulislah bagian setiap anak sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) [pecahan](#def-g6-fractions-def) , hitunglah dalam perenambelasan, lalu pastikanlah bahwa $16$ bagian itu bersama-sama menghabiskan tepat $15$ batang tadi.
14. Di kelas sebelah, $7$ batang dibagi rata kepada $8$ anak. Anak yang mana yang menerima cokelat lebih banyak — satu dari yang $16$ , atau satu dari yang $8$ ? (Tulislah kedua bagiannya dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $16$ , [Latihan 39.8](#exo-g6-fractions-8) .)
15. Penutupnya: seorang teman menyatakan bahwa dengan gigitan yang *tak hingga* banyaknya orang akan memakan *tepat* seluruh batang itu. Gambarlah sebuah persegi lalu warnai gigitannya di dalamnya: setengah persegi, lalu [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) , lalu seperdelapan … Apa yang kamu amati pada pojok yang tidak terwarnai? Nyatakan dengan cermat dua fakta yang benar pada seluruh soal ini: apa yang tersisa setelah gigitan yang banyaknya berhingga, dan sekecil apa [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) itu jadinya. (Apa arti tepat dari “ [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) tak hingga” adalah cerita untuk buku Sekolah Menengah.)

**Solusi Soal 39.1.**

**1.** Setengah dari $16$ kotak adalah $8$ kotak. Sebagai [pecahan](#def-g6-fractions-def): $\frac12$ batangnya, dan karena setiap setengahnya $8$ kotak dari $16$, juga $\frac{8}{16}$ — [pecahan](#def-g6-fractions-def) yang sama ditulis dengan dua cara ([Proposisi 39.6](#prop-g6-fractions-equal)).

**2.** Setengah dari $8$ kotak yang tersisa adalah $4$ kotak, yaitu $\frac{4}{16}$ batangnya. Disederhanakan dengan $4$: $\frac{4}{16} = \frac14$. Pada gambarnya: memotong setengah yang tersisa menjadi dua akan menghasilkan dua [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) dari batang semula — setengah dari setengah adalah [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half).

**3.** Gigitan ketiga: setengah dari $4$ kotak adalah $2$ kotak, yaitu $\frac{2}{16} = \frac18$ batangnya. Gigitan keempat: $1$ kotak, yaitu $\frac{1}{16}$. Dari satu gigitan ke gigitan berikutnya, [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) *berlipat dua*: $2$, $4$, $8$, $16$.

**4.** Yang dimakan: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ kotak dari $16$, yaitu $\frac{15}{16}$ batangnya. Yang tersisa: $1$ kotak, $\frac{1}{16}$.

**5.** $\frac12 = \frac{8}{16}$ (kalikan atas dan bawahnya dengan $8$), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (dengan $4$), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (dengan $2$), dan $\frac{1}{16}$ tetap. Membilang perenambelasannya: ada $8 + 4 + 2 + 1 = 15$, jadi [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $\frac{15}{16}$.

**6.** Gigitannya: $32$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$ kotak. Yang dimakan seluruhnya: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ kotak, jadi $1$ kotak tersisa: $\frac{1}{64}$ batangnya.

**7.** Setelah setiap gigitan yang tersisa adalah

$$
\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad
\frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :
$$

sisanya membelah dua setiap kali — [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) berlipat dua. Gigitan ketujuh yang khayalan itu akan menyisakan $\frac{1}{128}$.

**8.** Setiap gigitan hanya memakan *setengah* dari yang tersisa, jadi setengah sisanya masih ada di sana: setelah berapa pun gigitan, selalu ada yang tertinggal. Karena itu [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang dimakan selalu di bawah $1$ — persis seperti dua puluh angka sembilan pada [Soal 38.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#pb-g6-decimals-1), yang makin lama makin dekat ke $3$ tanpa pernah mencapainya.

**9.** Kedua [pecahan](#def-g6-fractions-def) itu berpembilang $1$, dan memotong menjadi $128$ bagian membuat bagian yang lebih kecil daripada memotong menjadi $100$: jadi $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$. Setelah gigitan ketujuh [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $\frac{1}{128}$, jadi bagian yang dimakan melebihi $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$: tantangan itu dimenangkan pada gigitan ketujuh.

**10.** Dalam perenambelasan, [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) adalah $\frac{8}{16}$, $\frac{12}{16}$, $\frac{14}{16}$, $\frac{15}{16}$. Setiap [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) baru mendarat tepat *di tengah* antara [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sebelumnya dan $1$: tangganya terus membelah dua [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) jaraknya ke $1$, tanpa pernah menginjaknya.

**11.** Yang benar: pada setiap tahap gambaran Zeno, memang masih ada jarak yang tersisa (pertanyaan 8) — daftar tahapnya tidak pernah berakhir. Perangkapnya: tahapnya menjadi sangat pendek, dalam jarak *dan* dalam waktu berlari; pelari itu tidak menghabiskan waktu yang sama pada setiap tahap. Menjelaskan lariannya dalam potongan yang tak hingga banyaknya dan makin mengecil tidak membuat larian itu sendiri tanpa akhir: pelarinya sampai ke tembok, dan pertanyaan 9 menunjukkan gambarannya melewati titik mana pun sebelum tembok itu.

**12.** Potonglah $8$ batang menjadi setengahan: $16$ potongan setengah. Potonglah $4$ batang menjadi seperempatan: $16$ potongan [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half). Potonglah $2$ batang menjadi perdelapanan: $16$ potongan perdelapan. Potonglah batang terakhir menjadi perenambelasan: $16$ potongan kecil. Itu memakai $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ batang, dan setiap anak menerima satu potongan dari tiap ukuran.

**13.** Bagian setiap anak adalah

$$
\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
$$

sebuah batang (pertanyaan 5). Enam belas bagian semacam itu menjadi $16 \times \frac{15}{16} = 15$ batang ([Teorema 39.4](#thm-g6-fractions-quotient)): tepat seperti yang dipotong, tanpa [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) sama sekali — pembagian $15$ batang yang adil kepada $16$ anak, hanya dengan membelah dua.

**14.** Tetangga sebelah menerima $\frac78$ batang untuk masing-masing. Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $16$: $\frac78 = \frac{14}{16}$, sedangkan anak kita menerima $\frac{15}{16}$. Jadi satu anak dari yang $16$ menerima lebih banyak: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$, [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) seperenam belas batang.

**15.** Pada gambar persegi itu, setiap gigitan yang diwarnai mengisi setengah dari pojok yang belum terwarnai, dan pojok yang belum terwarnai itu terus mengecil: setelah setiap gigitan ia setengah dari sebelumnya, dan ia tidak pernah lenyap. Dua fakta yang benar: (i) setelah gigitan yang banyaknya berhingga, selalu ada [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) — [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang dimakan selalu tepat di bawah $1$; (ii) [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) itu menjadi lebih kecil daripada [pecahan](#def-g6-fractions-def) mana pun yang ingin disebut orang ($\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$, …), asalkan ia menggigit cukup lama. Memberi makna yang tepat pada kata “[jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) tak hingga itu sama dengan $1$” adalah tugas *limit*, di buku Sekolah Menengah.